微分方程数值解习题(李立康)

1 / 2北京邮电大学2011——2012学年第2学期《微分方程数值解》期末考试试题A 卷1.（15分）写出求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的欧拉（Euler）格式，证明欧拉（Euler）法的局部截断误差的阶为2()O h .2.（15分）若单步法1(,,)n n n n u u h t u h ϕ+=+中(,,)t u h ϕ 0(,t t T ≤≤00,h h ≤≤ (,))u ∈−∞∞关于u 满足Lipschitz 条件，即：1212(,,)(,,)t u h t u h L u u −≤−ϕϕϕ其中L ϕ为与u，t 无关的常数。

证明该算法稳定。

3.（15分）用待定系数法确定求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的四步四阶显式格式1123555937924()n n n n n n hu u f f f f +−−−=+−+−.4.（15分）对于两点边值问题2222422101310122(),(,)(),().d ux u x x dxu u e ⎧−++=+∈⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩1）推导上微分方程的中心差分格式。

2）假设求解区间上共有5个分点，即N＝4，写出求解该问题的中心差分格式的矩阵形式。

5. (15分）推导初边值问题22000000(,),,(,)(),(,)(,),u ua f x t t T t x u x x x l u t u l t t T φ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩的向前差分格式和向后差分格式。

2 / 26. (15分）用有限体积法构造逼近方程()u u k u k k f x x y y ⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞−∇∇=−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦i第一边值问题|(,)u x y αΓ=的五点差分格式，这里0min (,)k k x y k =≥>. 7.(10分) 学习完本课程后，你最大的收获是什么？请结合实际谈谈你对本课程的看法以及将来学习的展望。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题一及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数。

解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 02．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h, h =x k +1－x k(k =0,1,2,…,n －1)，4．将下列方程化为一阶方程组（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨'==⎩（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''⎧=⎨'''==-=⎩5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。

《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践
作者：邓斌， 朱晓临， 张瑞丰， 吴强， 王寿城
作者单位：合肥工业大学数学学院,安徽合肥,230009
刊名：
大学数学
英文刊名：College Mathematics
年，卷(期)：2014,30(z1)
1.胡健伟;汤怀民微分方程数值解 2007
2.张宏伟注重培养研究能力的《微分方程数值解法》课程教学研究与实践[期刊论文]-大学数学 2006(6)
3.教育部数学与统计学教学指导委员会数学类专业教学指导分委员会信息与计算科学专业教学规 2003(06)
4.戴嘉尊微分方程数值解法 2002
5.李立康微分方程数值解法 2003
6.尹秀玲,董立华"微分方程数值解法"的教学体会[期刊论文]-河北理科教学研究 2009(1)
7.阳莺应用Matlab辅助微分方程数值解法教学[期刊论文]-桂林电子科技大学学报 2007(4)
8.唐玲艳,屈田兴微分方程数值解课程教学的实践与探索[期刊论文]-湖南工业大学学报 2010(2)
9.杨韧,杨光崇,谢海英"微分方程数值解"的教学研究与实践[期刊论文]-高等数学研究 2010(1)
引用本文格式：邓斌.朱晓临.张瑞丰.吴强.王寿城《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践[期刊论文]-大学数学 2014(z1)。

微分方程练习练习1 求解范德堡（vander pol）方程练习2 单摆运动图4.3中一根长的细线，一端固定，另一端悬挂质量为的小球，在重力作用下，小球处于竖直的平衡位置. 现使小球偏离平衡位置一个小的角度，然后使其自由运动，在不考虑空气阻力情形下，小球将沿弧线作周期一定的简谐运动.为平衡位置，在小球摆动过程中，当与平衡位置夹角为时，小球所受重力在其动运轨迹的分量为（负号表示力的方向使减少），由牛顿第二定律可得微分方程（4.12）设小球初始偏离角度为，且初速为0，式（4.12）的初始条件为（4.13）当不大时，，式（4.12）化为线性常系数微分方程图4.3（4.14）解得（4.15）简谐运动的周期为.现在的问题是：当较大时，仍用近似，误差太大，式（4.12）又无解析解，试用数值方法在两种情况下求解，画出的图形，与近似解（4.15）比较，这里设.练习3 捕食与被捕食当鲨鱼捕食小鱼，简记为乙捕食甲，在时刻，小鱼的数量为，鲨鱼的数量为，当甲独立生存时它的（相对）增长率与种群数量成正比，即有，为增长率，而乙的存在使甲的增长率减少，设减少率与乙的数量成正比，而得微分方程（4.16）比例系数反映捕食者掠取食饵的能力.乙离开甲无法生存，设乙独自存在时死亡率为，，甲为乙提供食物，使乙的死亡率降低，而促其数量增长，这一作用与甲的数量成正比，于是满足（4.17）比例系数反映甲对乙的供养能力，设若甲，乙的初始数量分别为（4.18）则微分方程（4.16），（4.17）及初始条件（4.18）确定了甲，乙数量、随时间变化而演变的过程，但该方程无解析解，试用数值解讨论以下问题：（1）设，求方程（4.16），（4.17）在条件（4.18）下的数值解，画出的图形及相图，观察解的周期变化，近似确定解的周期和的最大、小值，近似计算在一个周期内的平均值.（2）从式（4.16）和（4.17）消去得到（4.19）解方程（4.19），得到的解即为相轨线，说明这是封闭曲线，即解确为周期函数.（3）将方程（4.17）改写为（4.20）在一个周期内积分，得到一周期内的平均值，类似可得一周期内的平均值，将近似计算的结果与理论值比较.进一步练习（1）编写改进欧拉公式求微分方程数值解的程序，并用其与ode23求下列微分方程数值解，对二者作出比较.a）或.b)（Bessel方程，这里令，其精确解为）.c).（2）倒圆锥形容器，上底面直径为1.2m，容器的高亦为1.2m，在锥尖的地方开有一直径为3cm的小孔，容器装满水后，下方小孔开启，由水利学知识可知当水面高度为时，水从小孔中流出的速度为为重力加速度，若孔口收缩系数为0.6（即若一个面积单位的小孔向外出水时，水柱截面积为0.6），问水从小孔中流完需多少时间？2分钟时，水面高度是多少？（3）一只小船渡过宽为的河流，目标是起点正对着的另一岸上点，已知河水流速与船在静水中的速度之比为.（a）建立小船航线的方程，求其解析解.（b）设，用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图并与解析解比较.（c）若流速为0,0.5,2 (m/s)，结果将如何？（4）研究种群竞争模型. 当甲、乙两个种群各自生存时，数量演变服从下面规律其中，分别为时刻甲，乙两个种群的数量，为其固有增长率，为它们的最大容量，而当这两个种群在同一环境中生存时，由于乙消耗有限资源而对甲的增长产生影响，将甲的方程修改为（4.22）这里的含意是：对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对）的消耗率为单位数量甲（相对）消耗的倍，类似地，甲的存在亦影响乙的增长，乙的方程应改为（4.23）给定种群的初始值为（4.24）及参数后，方程（4.22）与（4.23）确定了两种群的变化规律，因其解析解不存在，试用数值解法研究以下问题：（a）设，计算，画出它们的图形及相图，说明时间充分大以后的变化趋势（人们今天看到的已经是自然界长期演变的结果）.（b）改变，但与不变（保持），分析所得结果，若，再分析结果，由此你得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释.（c）试验当时会有什么结果；当时又会出现什么结果，能解释这些结果吗？。

常微分方程习题 《李立康》习题1.用Euler 方法求初值问题⎩⎨⎧=-='0)0(21u tuu 在1=t 时的近似解（取41=h ）。

2.初值问题1300u u u()⎧⎪'=⎨⎪=⎩ 有解3223/u(t )t ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和HTh =,都只能得到N t u t , (2)1,0==，试解释此现象产生的原因。

3.用Euler 方法计算⎩⎨⎧=='1)0(u uu 在1=t 处的值，取161和41=h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。

4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243h O t u h -'''-；（2）当1<hL 时，其整体截断误差满足：)1(22--≤Lt n lT m e hLRe εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。

5.导出用改进Euler 法求解⎩⎨⎧=='1)0(u uu 计算公式mmh h u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22 取41=h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。

6.就初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(u bat u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bt t au +=22相比较。

7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(<h 。

8.对初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(2u u u 用41=h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解tu +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。

9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。

河北科技大学2007——2008学年第一学期《微分方程数值解法》期末考试答案及评分标准学院 理学院 班级 04级信科 班 姓名 学号一、 选择题（每小题4分，共4×5=20分）1. 求解对流方程0=∂∂+∂∂xu at u 的差分方程011=-+-++hu u au u njn j njn jτ是( A ).(A) 两层显式格式 (B) 两层隐式格式 (C) 三层显式格式 (D) 三层隐式格式 2. 设n n A u u =+1为求解扩散方程的差分格式的矩阵表示形式，则以下关于稳定性条件的叙述正确的是( C ).(A) 0≠A 是必要条件 (B)τρM A +≤1)(为充要条件 (C) τρM A +≤1)(为必要条件(D) τρM A +≤1)(为充分条件3. 求解扩散方程的Richardson 格式02221111=+----+-+hu u u au u nj n j n j n j n jτ是（ B ）．(A) 三层条件稳定格式 (B) 三层绝对不稳定格式 (C) 三层隐式格式(D) 三层绝对稳定格式4. Poisson 方程(,)u f x y -∆=的五点差分格式1,,1,,1,,1221222i j i j i j i j i j i j ij u u u u u u f h h +-+--+-+⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的局部截断误差为( D ). 其中221212()h h h =+。

(A) O (h )(B) O (1)(C) O (h 3)(D) O (h 2)5. 以下关于],[2b a L 中函数的广义导数的叙述正确的是（ D ）．(A) 所有函数均存在属于],[2b a L 的广义导数 (B) 广义导数是唯一的(C) 广义导数可能异于常义导数 (D) 在几乎处处的意义下广义导数是唯一的二、填空题（每空4分，共4×5=20分）1. 设有1-J 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110110110S ，则S 的特征值为=k λh k πcos 2Jk or πcos 2其中1,,2,1-=J k 。

一．填空1.Euler 法的一般递推公式为，整体误差为 ，局部截断误差为：.，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为，局部截断误差为：。

2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。

3.当，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n Tu u h t u h n hϕ+=+=，稳定。

4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。

5. 若，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是。

7.刚性方程是：8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，相容的充要条件为：8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d uLu qu f a x bdxu a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩ 的中心差分格式为：P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。

逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。

12.SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（），且Jacobi 迭代收敛。

最佳松弛因子是。

二．判断τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。

6、Euler 法非A 稳定。

7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8.对任意网比12r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。

9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。

三．选择1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）A 绝对稳定B 无条件稳定C 条件稳定D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ=（）为()()0h ρλσλ-=的根。

《微分方程数值解》教学大纲-V课程的基本信息课程名称：《微分方程数值解》英文名称！Numerical solution for differential equaiton 课程性质！专业方向选修课课程编号:1623313002周学时：3学时总学时：48学时（理论40+实验8）学分：3学分适用专ilb适用于信息与计算科学专业预备知识：数值计算、常微分方程、数值逼近、数理方程课程教材：李立康主编，《微分方程数值解法》，复旦大学出版社出版、1999年參考书目！[1]戴嘉尊主编,《微分方程数值解法》，东南大学出版社、2008年.[2]李荣华主编,《微分方程数值解法》（第四版）,高等教育出版社、2009年考核方式：考查制定时间J 2013年10月制定二、课程的目的与任务《微分方程数輛》是高等院校信息与计专业的专业选修课之一。

本课程主要内容为常微分方程和偏微分方程的数值求解问题,包括各种差分方法，有限元方法等的基本理论。

通过微分方程数值解的教学，使学生了解和掌握微分方程数值解这一学科的基本概念、理论,培养学生的理论思维能力,为从事信患与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

通过本课程的学习,学生应熟练掌握常微分方程和偏微分方程的常用数值求解方法和分析手段,从能力方面,应使学生初步认识如何从实际问题出发,建立微分方程数学模型,将连续问题离散化,由微分方程转化为差分方程,利用计算机实现数值方法求解一个微分方程的定解问题,并对结果给以几何解释。

从教学方法上, 看更体现思维方式，注重解决实际问题的方法以及利用计算机进行科学计算的能力培养。

三、课程内容及学时分配第一章微分方融值解法（10学时）本章基本要求I .掌握线性多步方法，Rungc-Kum方法，Gear方法等计算常微分方程的计算格式；2.掌握相容性，稳定性，绝对稳定性概念和相互关系；3 . 了解刚性问题和辛计算格式。

二、教学内容I.微分方程模型和定性理论2.计算格式：线性多步方法和高阶单步方法3.稳定性和收敛性分析4.刚性问题和其他第二章椭圓方程差分方法（8学时）本章基本要求1.掌握椭圆型方程的五点、九点差分格式和有限体积法；2.掌握极里，收敛性分析和误劉古计。

微分方程数值法复习题一、证明：同一个函数的广义导数并不唯一，但不同的广义导数几乎处处相等。

二、设A 为对称正定矩阵，证明下列两个问题等价：（1）求0n x R ∈，使0()min ()nx RJ x J x ∈= ，其中1()(,)()2J x A x x b x =--（2）求下列方程组的解：A x b =证明：由于00002000002000()()1(,)(,)21[(,)(,)(,)(,)](,)(,)2()[(,)(,)2(,)](,)22J x x Ax Ax x x b x x Ax x Ax x Ax x Ax x b x b x J x Ax x Ax x b x Ax x ϕλλλλλλλλλλλ=+=++-+=+++--=++-+又A 是对称矩阵，从而00(,)(,)Ax x Ax x =，故 200()()(,)(,)2J x Ax b x Ax x λϕλλ=+-+如果()J x 于0x 取极小值，即()ϕλ于0λ=取极小值，则有0(0)(,)0,nAx b x x R ϕ'=-=∀∈从而00Ax b -=，即0x 是A x b =的解，又(0)(,)0,Ax x x ϕθ''=>∀≠故A 必为正定矩阵。

反之，设A 是对称正定矩阵，0x 是方程组的解，即 00Ax b -= 则得202()()(,)2(0)(,)(0),0,2J x Ax x Ax x x λϕλλϕϕλθ=+=+>≠≠即()J x 于0x 取极小值。

证毕。

三、证明下列定理：设02*(),f C I u C ∈∈是边值问题(),(,)(),()0d du Lu p qu f x a b dx dx u a a u b ⎧=-+=∈⎪⎨⎪'==⎩ 的解，则*u 使1()(,)(,)2J u a u u f u '=-达到极小值；反之，若21*E u C H ∈ 使()J u 达到极小值，则*u 是上述边值问题的解。

高等无机化学答案陈慧兰【篇一：高等无机化学陈慧兰 7.3节】t>固体的导电性是由于固体中载流子的运动。

对于金属导体载流子是电子，半导体的载流子是电子或空穴。

固体电解质（solid electrolytes)具有与强电解质水溶液相当的导电性（见表 7-4)。

这类固体通过其中的离子迁移进行电荷传递，载流子是离子，故又称为固体离子导体 (solid ionic conductors)、快离子导体（fastionic conductors）或超离子导体( superionic conductors）。

早在1834年faraday就发现第一个固体电解质pbf2 ,其电导率随温度升高而连续增大，这种现象被称faraday相变。

1913年，发现agi在400 ℃以上离子电导率可以与液体电解质相比。

1961年合成了agi和ag2s 的固溶体ag3si，1967年发现了 rbag4i5 ，它们的室温离子电导率与液体电解质相当。

现在发现的固体电解质材料已达到数百种之多。

表7-5列出一些重要的固体电解质，它们大部分是氧化物或卤化物，晶格中存在着缺陷或可提供离子迁移的通道，部分离子处于无序状态。

如agcl晶体中，可能存在着schottiky和 frenkel两类缺陷，其中ag+ 离子在晶格中迁移方式（图7-27)可以按以下两种机制：（ⅰ）空穴机制，这种模式涉及晶格中空穴的运动，当晶体中出现空穴时，其附近的离子跃入该空穴，原来填充离子的位置出现新的空穴。

（ⅱ)空隙机制。

空隙的ag+ 离子跃入相邻的空隙空穴。

实际的固体电解质也可以是（ⅰ）和（ⅱ）的协同，可称为堆填子机制。

由于室温下原子或离子在固体中的扩散通常比气体、液体中的扩散慢得多，只有温度升高，缺陷的浓度增大，离子有足够的能量在体晶格中迁移，出现较大的离子导电现象。

ea是缺陷形成和运动所需激活能。

对于碱金属卤化物，ea值较高，因此只有在接近。

而一些在低温或室温下使用的固体电解质有较低活化能，电导率可与液体电解质相当。

微分方程数值解II ，课堂开卷。

1.(20分)选择题（在选项前头打√，每题只选一个） (1). 下述哪个误差是描述数值方法的相容性的：(a) 离散误差； (b) 舍入误差；(c) 全局误差；√(d) 截断误差。

(2).逼近于微分方程0=+x t q u q 的某个格式的修正方程为44343323x v x d x v x d x v u t v ∂∂∆+∂∂∆=∂∂+∂∂，其中为不为零的常数。

43,d d 则正确的说法是： (a) 右端第一项为耗散误差，第二项为频散误差；√(b)频散误差引起数值振荡；(c) 耗散误差引起数值振荡；(d) 耗散误差始终起抑制数值振荡的作用。

(3). 关于求解扩散方程的ADI 方法，错误的说法是： (a) ADI 格式属于一种分数步法；（b ）每个方向只需要求解一维的方程组；√（c ）对于二、三维初边值问题都是无条件稳定的；（d ）可能存在因式分解误差。

(4). 下列哪个方程不属于双曲型方程？(a) 标量方程0=+x t q u q ；（b ）波动方程 0c x 2t =-x t q q ；（c ）标量方程()02=+xt q q ；√(d) 方程组03221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡xt q p q p 。

(5). CFL 条件是差分格式稳定的必要条件，它可以描述为： √(a)数值解的依赖域包含微分方程真解的依赖域；（b ）微分方程真解的依赖域包含数值解的依赖域。

(6). 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-<≤≤≤=<=3x if 22x 1 if 13x 2or 1x 0 if 13or x 0 x if 1q(x)的Total variation 是:√(a) 5； (b) 1； (c) 2； (d) 4。

(7). 标量守恒律0)(=+x t q f q 的特征线在解的光滑区为： (a) 一般曲线；√ (b) 直线。