2017-2018学年北师大版九年级数学上册第4章单元检测试题

2019年秋北师九上数学单元测试卷班级 姓名第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy＝( )A.32B.38C.23D.852．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCB ′C ′且∠B ＝∠B ′D.AB A ′B ′＝BCA′C′且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)．(1，5)5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝( )B.18D.246．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.459．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d la 2－a 1＋l.则上述公式中，d 表示的是( )A ．QA 的长 ．AC 的长C ．MN 的长D ．QC 的长10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.435二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．,13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．14．[2018·包头]如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝25.求：(1)a －c b －d； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BC A.19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EA D.22．(10分)如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．,24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证：(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF.25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．A 【解析】 由xx ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝32.2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)．5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝19，解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选．6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝32时，△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DCAB ＝3，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝34.9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQl ·a 1－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQl ×a 2－a 2－A C.∴PQ ＝AC·la 2－a 1＋l ，∴d＝A C.10．D【解析】 连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2，∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23，∴DF ＝25BD ＝25×23＝45 3.二、11．4. 12． 127．答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x4，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.13． 1.5 25∶9．【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB，∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254，∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254，又∵AF FC ＝AE EB ＝23， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.15．23 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BPCD.∵AB ＝BC ＝3，BP＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°解：∵OC 2＝CE ·BC ，∴OC CE ＝BCOC，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，∵BE ＝BO ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝25d∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝25（b －d ）b －d ＝25. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25，∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝25（2b ＋3d －4f ）2b ＋3d －4f ＝25.(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，∴BF BE ＝BA BC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BC A.19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B C.又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FD C.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，S四边形EBCD＝3×8＝24.20．解：图略．(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EA D.22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12. ∴FG ＝13AG ＝2 5.(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.24．证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠AC D.又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CA D.(2)∵△ABD∽△CAD，∴ABCA＝BDAD.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠ED C.∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.又∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴ADDB＝AFDF，∴ABAC＝DFAF.25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝95.∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.。

第四章达标测试卷一、选择题(每题 3 分，共 30 分)1．如图，已知 l 1∥l 2∥l 3，若 AB ＝1，BC ＝2，DE ＝1.5，则 EF 的长为()A ．1.5B ．2C ．2.5D ．32．下列说法正确的是()A ．对应边都成比例的多边形相似B ．对应角都相等的多边形相似C ．边数相同的正多边形相似D ．矩形都相似AD 1 DE3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝3，则BC 等于()1 1 1 1 A.2 B.3 C.4 D.54．如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是位似图形，且 AC ∶AF ＝2∶3，则下列结论不正确的是()A ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是相似图形B ．AD 与 AE 的比是 2∶3C ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的周长比是 2∶3 D ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的面积比是 4∶95．已知△ABC 如图所示，则下面 4 个三角形中与△ABC 相似的是()6．如图，已知点 C ，D 都是线段 AB 的黄金分割点，如果 CD ＝4，那么 AB 的长度是()A ．2 5－2B ．6－2 5C ．8＋4 5D ．2＋ 52；②△S DOE＝2；③AB＝OB；④△S DOE＝3.其中正确的个数是()7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶58．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5m，则梯子的长为()A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2mDE 9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①BC＝11AD OE1△S COB△S ADEA．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC 的距离为()A．1B．2C．122－6D．62－6二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，线段AB BC＝，那么AC BC等于________．12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于 20 cm ，那么与其相邻的一条边的长等于__________．13△．若 ABC ∽ △A ′B ′C ′，且对应中线之比为 1∶2△，则 ABC △与 A ′B ′C ′的面积之比为________．14．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点 D 在 AB 上(点 D 与 A ，B 不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD ∽△ABC ，则这个条件是________________(写出一个条件即可)．15．如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3，4，x ，那么 x 的值为________．16．如图，在平面直角坐标系中有两个点 A(4，0)，B(0，2)，如果点 C 在 x 轴上(点 C 与点 A 不重合)，当点 C 的坐标为__________________时，使得由点 B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似(不包括全等)．17．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学的眼睛 A 、标杆顶端 F 与树的顶端 E 在同一条直线上，此同学的眼睛距地面 1.6 m ，标杆长为 3.3 m ，且 BC＝1 m ，CD ＝4 m ，则 ED ＝________．18．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF ，点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上，连接 CE ，则 CE的长是________．三、解答题(19，20 题每题 8 分，21，22 题每题 9 分，23，24 题每题 10 分，25题 12 分，共 66 分)19．如图，已知∠ADC ＝∠BAC ，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，求 DC 的长．△A B C.20．如图，已知在ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)△求AEF与△CDF的周长之比；(2)如果△SAEF＝6cm2，求△S CDF的值．21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)△画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△AB1C1三条边放大为原来的2倍后的222(3)△ABC△与A2B2C2的面积比为________．22．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．C 1D (1)请你探究：AB ＝DB ，AB 1＝DB 是否都成立？23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶端 A 在同一直线上．已知 DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离 DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离 DC ＝20 m ，求旗杆的高度．24．如图，有一块面积等于 1 200 cm 2 的三角形铁片 ABC ，已知底边与底边 BC上的高的和为 100 cm(底边 BC 大于底边上的高)，要把它加工成一块正方形铁片，使正方形的一边 EF 在边 BC 上，顶点 D ，G 分别在边 AB ，AC 上，求加工成的正方形铁片 DEFG 的边长．25．如图①，在等边三角形 ABC 中，线段 AD 为其内角平分线，过点 D 的直线B 1C 1⊥AC 于点 C 1，交 AB 的延长线于点 B 1.AC CD AC1 1AC(2)请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角平分线，请问AB ＝CDDB 仍然成立吗？并说明理由．40(3)如图②，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝ 3 ，E 为 AB 上一点且DFAE＝5，CE交其内角平分线AD于点F，试求AF的值．∥BC ，所以BC ＝2，①正确；由DE ∥BC △易得 DOE ∽△COB ，则△S DOE＝BC△S ADE DE 2 1 △S ABC ＝6h ＝3，所以△S DOE＝12，所以△S DOE ＝3，④正确．故选 C.△S ABC 12 2答案EF BC一、1.D 点拨：已知 l 1∥l 2∥l 3，根据平行线分线段成比例，得DE ＝AB ，所以EF ＝3.2．C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A19．C 点拨：由中线 BE ，CD 知，DE △为 ABC的中位线，所以 DE ＝2BC ，DEDE 1 DE△S COB2 1 AD DE DE OE AD OE＝4，②错误；由 DE ∥BC 易得AB ＝BC ，BC ＝OB ，所以AB ＝OB ，③正确；由 DE ∥BC 易知△ADE ∽△ABC ，则 ＝BC ＝4△，设 DOE 的边 DE 上的高为 h △，则 BOC 的边 BC 上的高为 2h △， ABC 的边 BC 上的高为 6h ，则△S COB2h 1 S1 1 △ABC △S ADE10．D 点拨：过点 A 作 A M ⊥BC 于点 M ，交 DG 于点 N ，延长 GF 交 BC 于点H ，易证△ADG ∽△ABC ，∴∠ADG ＝∠B.∴DG ∥BC.∴AN ⊥DG.∵四边形1DEFG 是正方形，∴FG ⊥DG.∴FH ⊥BC.∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12，∴BM ＝2AN DG AN 6BC ＝6.由勾股定理可得 A M ＝12 2.∴A M ＝ B C ，即＝12.∴AN ＝6 2.∴MN ＝AM －AN ＝6 2.∴FH ＝MN －GF ＝6 2－6.二、11.12.(10 5－10) cm13．1∶414．∠ACD ＝∠ABC(答案不唯一)15．5 或 7 点拨：当 6，8 均为直角边时，x ＝5；当 8 为斜边时，x ＝ 7.16．(－1，0)或(1，0)317．10.1 m18.5 10三、19.解：∵∠ADC ＝∠BAC ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC.AC DC ∴BC ＝ A C .∵BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，12×12∴DC ＝ 16 ＝9(cm)．20．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，DC ∥AB.∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DEA ＝∠CDE.∴△AEF ∽△CDF.∵AE ∶EB ＝1∶2，∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3.∴△AEF △与 CDF 的周长之比为 1∶3.(2)∵△AEF ∽△CDF ，AE ∶CD ＝1∶3，∴△S AEF ∶△S CDF ＝1∶9. ∵△S AEF ＝6 cm 2， ∴△S CDF ＝54 cm 2.21．解：(1)如图， △AB 1C 1 即为所求．(2)如图， △A 2B 2C 2 即为所求．(3)1∶422．解：(1)△ABE ∽△DFA.理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴∠DAE ＝∠AEB.①又∵DF ⊥AE ，∴∠DF A ＝∠B ＝90°.②由①②知△DF A ∽△ABE.(2)根据题意，得 AE ＝10，由(1)可知 DF AB ＝AD AE ，∴DF ＝7.2.DE EF23．解：∵∠DEF ＝∠DCA ，∠EDF ＝∠CDA ，∴△DEF ∽△DCA.∴DC ＝CA.0.5 0.25∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ，∴ 20 ＝ CA .∴AC ＝10 m ．又∵CB＝DG ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋CB ＝10＋1.5＝11.5(m )．答：旗杆的高度为 11.5 m.24．解：作 AM ⊥BC 于 M ，交 DG 于 N ，如图所示，由题易知 AN ⊥DG.设 BC ＝a cm ，BC 边上的高为 b cm ，DG ＝DE ＝x cm ，根据题意，得 a ＋b ＝100，12ab ＝1 200，解得 a ＝60，b ＝40，或 a ＝40，b ＝60(不合题意，舍去)，∴BC ＝60 cm ，AM ＝40 cm.由题意知 DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠C.∴△ADG ∽△ABC.AN DG 40－x x ∴A M ＝ B C ，即 40 ＝60.解得 x ＝24，即加工成的正方形铁片 DEFG 的边长为 24 cm.25．解：(1)两个等式都成立．理由如下：∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD 垂直平分 BC ，∠CAD ＝∠BAD ＝30°，AB ＝AC.∴DB ＝CD.AC CD ∴AB ＝DB.∵B 1C 1⊥AC ，∠C 1AB 1＝60°， ∴∠B 1＝30°.∴AB 1＝2AC 1.∵∠DAB 1＝30°＝∠B 1，∴DA ＝DB 1. 又∵∠C 1AD ＝30°，∠AC 1D ＝90°， ∴DA ＝2C 1D.C 1D ∴DB 1＝2C 1D.∴AB 1＝DB .AC11(2)结论仍然成立．理由如下：如图①，△ABC 为任意三角形，过 B 点作 BE ∥AC ，交 AD 的延长线于点 E ，∴∠E ＝∠CAD.又∵∠CAD ＝∠BAD ，∴∠E ＝AC CD∠BAD.∴BE ＝AB.由作图易证△EBD ∽△ACD ，∴EB ＝DB.又∵BE ＝AB ，∴AC CD对任意三角形，结论AB ＝DB 仍然成立．①②(第 25 题)(3)如图②，连接 ED.∵AD △为 ABC 的内角平分线，CD AC 8 3 BD 5 ∴DB ＝AB ＝40＝5.∴BC ＝8.340BE 3 －55 BD BE 而AB ＝ 40 ＝8.∴BC ＝AB.3又∵∠B ＝∠△B ，∴ BDE ∽△BCA.∴∠BDE ＝∠BCA.∴DE ∥AC.∴∠FDE ＝∠CAF ，∠FED ＝∠ACF.∴△DEF ∽△ACF.DF DE ∴AF ＝AC .由(2)知 AE ＝DE ，DF DE AE 5 ∴AF ＝AC ＝AC ＝8.。

第四章图形的相似时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）A ．3秒或4．8秒B ．3秒C ．4．5秒D ．4．5秒或4．8秒2．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为（ ）A ．6米B ．7米C ．8.5米D ．9米 3．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，21EB AE ，S 四边形BCFE =8，则S △ABC 等于( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．134．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：65．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B′的坐标是（ ）A ．（﹣2，3）B ．（2，﹣3）C ．（3，﹣2）或（﹣2，3）D ．（﹣2，3）或（2，﹣3）第6题图 第7题图6．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB7．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A.AD AB ＝AE AC B.DF FC ＝AE EC C.AD DB ＝DE BC D.DF BF ＝EF FC8．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m 外的景物的宽CD 为（ ）A ．12mB ．3m C.32m D.43m第8题图 第9题图 第10题图9．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′的长是（ ）A.2－1B.22 C ．1 D.1210．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF .其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例，若m ＝2，n ＝8，y ＝20，则线段x 的长为________. 12．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的周长之比_________.13．若a 3＝b 4＝c 5，则2a －b c＝__________.14．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为_________．第14题图 第16题图15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形．从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于__________厘米．16．如图，若△ADE ∽△ACB ，且AD AC ＝23，若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是_________．17．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A ，E ，C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为___________.第17题图 第18题图18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标为A (－1，1)，B (2，3)，C (0，3)．现以坐标原点为位似中心，作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为23.则点A 的对应点A ′的坐标为____________.三、解答题(共66分)19．(6分)已知a 2＝b 3＝c4≠0，2a －b ＋c ＝10，求a ，b ，c 的值．20．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F的度数；(2)如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；(2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标；(3)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标．22．(8分)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．23．(12分)如图，△ABC 是等边三角形，CE 是∠ACB 的外角平分线，点D 在AC 上，连接BD 并延长交CE 于点E .(1)求证：△ABD ∽△CED ；(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．24．(12分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，BD ＝AD ＝AC ，AD 与CE 相交于点F ，AE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠ADC ＝∠DCE ＋∠EAF ； (2)求证：AF ·AD ＝AB ·EF .25．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm.动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3cm 的速度向定点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2cm 的速度向点B 运动，运动时间为t 秒⎝⎛⎭⎪⎫0＜t ＜103，连接MN . (1)若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值；(2)连接AN ，CM ，若AN ⊥CM ，求t 的值．答案ADABD DADAA11．5 12.1∶2 13.25 14.95 15.(105－10)16.8517.5.1m 18.⎝⎛⎭⎫－23，23或⎝⎛⎭⎫23，－23 19．解：设a 2＝b 3＝c4＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k .(2分)∵2a －b ＋c ＝10，∴4k －3k ＋4k＝10，解得k ＝2.(4分)∴a ＝4，b ＝6，c ＝8.(6分)20．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°，∴∠C ＝∠C 1＝95°，∠D ＝∠D 1＝135°，∠E ＝∠E 1＝120°.(3分)由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF 的内角和为180°×(6－2)＝720°，∴∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(6分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)21．解：(1)如图所示，点C 1的坐标是(3，2)；(3分) (2)如图所示，点C 2的坐标是(－6，4)；(6分) (3)点D 2的坐标是(2a ，2b )．(8分)22．解：∵∠DEF ＝∠DCA ，∠EDF ＝∠CDA ，∴△DEF ∽△DCA ，∴DE DC ＝EFAC.(3分)∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米，∴0.520＝0.25AC，∴AC ＝10米．(6分)∴AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(米)．(7分)答：旗杆的高度为11.5米．(8分)23．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°.∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝60°，∴∠A ＝∠ACE .(3分)又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；(5分)(2)解：由(1)可知△ABD ∽△CED ，∴AB CE ＝AD CD .∵AD ＝2CD ，AB ＝6，∴CE ＝12AB ＝3.(7分)如图，过点E 作EG ⊥BF 于点G .在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，∴∠CEG ＝30°，∴CG ＝12CE ＝32，∴EG ＝CE 2－CG 2＝32 3.(9分)∵△ABC 是等边三角形，AB ＝6，∴BC ＝AB ＝6.在Rt △BEG 中，BG ＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝⎝⎛⎭⎫1522＋⎝⎛⎭⎫3232＝63＝37.(12分)24．证明：(1)∵AE 2＝EF ·EC ，∴AE CE ＝EFAE.又∵∠AEF ＝∠CEA ，∴△EAF ∽△ECA ，∴∠EAF ＝∠ECA .(3分)∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD .∵∠ACD ＝∠DCE ＋∠ECA ＝∠DCE ＋∠EAF ，∴∠ADC ＝∠DCE ＋∠EAF ；(6分)(2)由(1)可知△EAF ∽△ECA ，∴∠EF A ＝∠EAC ，即∠EF A ＝∠CAB .(8分)∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，即∠B ＝∠EAF ，∴△F AE ∽△ABC ，(10分)∴F A AB ＝FEAC，∴F A ·AC ＝AB ·FE .(11分)∵AC ＝AD ，∴AF ·AD ＝AB ·EF .(12分)25．解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴BA ＝62＋82＝10(cm)．由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，∴BN ＝(8－2t )cm.(2分)当△BMN ∽△BAC 时，BM BA ＝BN BC ，∴3t 10＝8－2t8，解得t ＝2011；当△BMN ∽△BCA 时，BM BC ＝BN BA ，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223.(5分)综上所述，△BMN与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223；(6分)(2)如图，过点M 作MD ⊥CB 于点D .∴∠BDM ＝∠ACB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△BDM ∽△BCA ，∴DM AC ＝BD BC ＝BM BA .∵AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，BA ＝10cm ，BM ＝3t cm ，∴DM＝95t cm ，BD ＝125t cm ，∴CD ＝⎝⎛⎭⎫8－125t cm.(9分)∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCD .∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB ＝90°，∴△CAN ∽△DCM ，∴AC CD ＝CN DM，∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.(12分)。

2017-2018学年度第一学期北师大九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）A.米B.米C.米D.米2.已知，且相似比为，，则A. B. C. D.3.如图，与是位似图形，其中，那么的长与的长之间函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.4.在中，、分别是、上的点，下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）A. B. C. D.6.下面四个命题，其中假命题是（ ）A.全等三角形是相似三角形B.所有的正方形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的直角三角形都相似7.如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（）A.①B.①③C.①②D.①②③8.一根米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为米；此时一棵水杉树的影长为米，这棵水杉树高为（）A.米B.米C.米D.米9.如图，，分别为，的中点，则A. B. C. D.10.如图，边长为的正方形中有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的边长为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知，若与的相似比为，则与的面积比为________．12.如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶的点和，、、三点在同一直线上，甲乙两楼的底部、与也在同一直线上，测得相距米，相距米，乙楼高为米，则甲楼高（小明身高忽略不计）为________米．13.如图，若________（请补充一个条件），则．14.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的长为________．15.如图，，，的周长为，则的周长是________．16.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，在方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后对应边的比为，则点的对应点的坐标为________．17.如图，用两根等长的钢条和交叉于点构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度、设，且量得，则内槽的宽等于________．18.线段，，则的值为________．19.在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么必须等于________．20.如图，中，交于点，，，，，则的长等于________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？22.如图所示，在矩形中，对角线，相交于点．过点作于点，连接交于点，过点作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．23.如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接．变化时，设．若用表示和；若，且与相似，求相应长．24.如图，是等边三角形，是延长线上一点，是延长线上一点，且满足．求证：．25.一块直角三角形木板的一条直角边长为，面积为，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图，乙设计方案如图．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）26.如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？答案1.C2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.A9.A10.C11.13.14.15.16.17.18.19.20.21.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴，，∴，，∴，，∴．22.解：与是位似图形，∵，，∴，又、的连线相交于点，∴与是位似图形，位似中心是点，∵四边形是矩形，∴，，又，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，则，∴与的相似比是．23.解：，解：∵是的平分线，是的外角平分线，∴，分情况讨论：①当时，，，所以，②当时，，，所以，．③当时，，，所以，．24.证明：∵是等边三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，25.解：由，，可得，由图，若设甲设计的正方形桌面边长为，由，得，∴，即，∴，，由图，过点作斜边上的高，交于，交于．由，，得，由可得，，设乙设计的桌面的边长为，∵，∴，∴，即，解得，∵，∵，∴甲同学设计的方案较好．26.秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由∴只要或者∵，∴只要或者设时间为则，∴或者，∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；。