最新(北师大版)必修四：1.9《三角函数的简单应用》ppt课件

水车问题
例1.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一 个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距 水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是 4 min.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m). 3 (1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图. (2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流 水量减少时，所求得的函数解析式中的参 数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减 慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的
安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海
底的距离)，该船何时能进入港口？ (3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m,该船在
2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减
少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向 较深的水域？
y
7.5 5 2.5 O 3
6
9
12
15
18
21 24 x
北师大版数学课件
精品整理
§9
三角函数的简单应用
我们已经知道周期现象是自然界中最常见 的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要 的数学模型.在本节中，我们将通过实例，让同 学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实 际问题.
1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程， 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型．（重点） 2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数 形结合、抽象概括等能力.（难点）
53.1 80 11.8( s ) ， 此时 t 360
故可列表、描点，画出函数在区间[11.8,91.8]上 的简图：
h 1.5sin(
t
40
t 0.295 ) 1.2
11. 31. 51. 71. 91. 8 8 8 8 8 1.2 2.7 1.2 1.2 0.3
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心 O 与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数 b 发生变化. 水面上涨时参数 b 减小；水面回落时参数 b 增大.如果水车轮 转速加快，将使周期 T 减小，转速减慢则使周期 T 增大.
(2)点P第一次达到最高点大约要多长时间？
解:(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋 转,如图所示,建立平面直角坐标系.
y P
3 O 2 φ P0 x
设角 ( < <0)是以Ox为
2
始边，OP0为终边的角. 由OP在ts内所转过的角为
( 4 2π 2π )t = t， 60 15
2π t+ ，, 可知以Ox为始边， OP为终边的角为 15
单位时间（单位：s）旋转的角度（单位：rad）
2 为 . T 40 rad / s .
1.2 从图中可以看出： sin ，所以 1.5
53.1 0.295 rad .
h 1.5sin(

40
t 0.295 ) 1.2( m)
这就是 P 点距水面的高度 h 关于时间 t 的 函数解析式.因为当 P 点旋转到 53.1 时，P 点到水面的距离恰好是 1.2(m)，
影响？
解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P 点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期 函数的关系.
如图，设水车的半径为 R，R=1.5m;水车中心到 水面的距离为 b,b=1.2m; QOP 为 ;水车旋转
4 一圈所需的时间为 T;由已知 T 3 (min) 80( s ) ，
分析(1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数 法求解；(2)在涉及三角不等式时，可利用图像求解.
解：(1)可设所求函数为f(x)=Asinωx+k，由已知数 据求得A=2.5，k=5，T=12， ω = 2π = π ， T 6 π 故 f(x)=2.5sin x+5. 6
在整点时的水深近似为: 1:00；5:00；13:00；17:00为 6.3m； 2:00；4:00；14：00；16:00为 7.2m；
故P点纵坐标为3sin(
2 则 z 3sin( t + ) 2. 15 2 sin . 当t=0时，z =0，可得 3
故所求函数关系式为 z = 3sin(
2 t + 15
)，
π < < 0，所以 ≈-0.73， 因为 2
2π t 0.73) + 2. 15
一些简单的实际问题.
把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问 上的规则而断事是书生的怪癖. ——培根
卸货后，落潮时返回海洋,下面给出了某港在某 季节每天几个时刻的水深.
水深 水深 水深 时刻 时刻 /m /m /m 18:0 0:00 5.0 9:00 2.5 5.0 0
时 刻
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时 间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值; (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，
面对实际问题建立数学模型，是一项重要的
基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，
把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学
语言”，这个过程是很自然的.
解答应用题关键是将实际问题转 化为数学模型.
潮汐问题 例2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落
的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮,晚潮叫汐,在
通常情况下,船在涨潮时候驶进航道,靠近船坞;
y
1 O -1 5 10
π y=sin 6 x
15
20
x
y=-0.12x+0.44
由图像可知当x=6.7时，即6：42时，该船必须停 止卸货，将船驶向较深的水域.
一半径为3m的水轮如图所 示，水轮圆心O距离水面2m，已 知水轮每分钟转动4圈，如果当
P
3
O2
P0
水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算 时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间 t(s)的函数.
0.4≤ x≤5.6， 或
12.4≤x≤17.6.
故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港. (3)若2≤x≤24, x时刻吃水深度为h(x)=5.5－0.3(x －2)， 由f(x)≥h(x)+1.5，得
sin ≥ x 0.44 0.12x. 6
画出y=sin x和y=0.44－0.12x的图像(如图)， 6
7:00；11:00；19:00；23:00为 3.7m；
8:00；10:00；20:00；22:00为 2.8m；
(2)由2.5sin 6
x+5≥5.5，得 sin

6
ห้องสมุดไป่ตู้x ≥0.2
画出y=sin 6
x的图像(如图所示)，由图像可得
π 6
y
1
y=sin x
y=0.2 x
O
-1
5
10
15
20
2 (2)令 z 3sin( t 0.73) 2 5，得 15 2 sin( t 0.73) 1. 15 2 取 t 0.73 ， 解得t≈5.5. 15 2
答:点P第一次达到最高点大约需要5.5s.
1.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模 的过程. 2.会求三角函数的解析式，能利用数学知识解决