探求三角形的外接圆半径

探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。

一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。

解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

三角形外接圆与内切圆半径求法-CAL-FENGHAL-{YICAI)-Company One 1三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是宜角三角形的斜边. 例 1 已知：在ZkABC 中，AB = 13. BC = 12, AC=5 求△ABC的外接圆的半径.解：7AB = 13. BC = 12. AC=5,.•.AB2=BC2 + AC2,/. ZC=90"..•■AB为△ABC的外接圆的直径，AABC的外接圆的半径为.2、一般三角形①已知一角和它的对边例 2 如图，在△ABC 中，AB = 10, ZC = 100^ , 求△ABC外接圆©O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则 ZD = 180" -ZC=80° , ZBAD=90°「.BD=如=旦sinD sin 80°••• △ABC外接圆OO的半径为二一.sin 80。

注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在△ABC 中，AB=10r ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆＜DO的半径.分折：可转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° ,乙DBA=90°sinD sin 60° 3••• AABC外接圆OO的半径为y75 • ②已知两边夹一角例 4 如图，已知，在△ABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60°求△ABC外接圆©O的半径.分析：考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.作AE丄BC,垂足为E,则ZDBA=9O。

三角形外接圆半径的求法及应用九年义教初中《几何)第三册(以下简称“教材”)第94页例2：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．(课本题)．解由题意知三角形底边上的高为(95山西中考)解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．(94山西)解①A(2，－9)；②B(－1，0)； C(5， 0)．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π教材第206页第5题：在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a ＝______cm．(95广西中考)解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径．(课本题)解由题意知：1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

三角形内切圆和外接圆半径的计算方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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任意三角形外接圆的半径公式在我们的数学世界里，三角形那可是个常客。

今天咱们就来聊聊任意三角形外接圆的半径公式。

先给您说说啥是三角形的外接圆。

想象一下，有一个三角形，然后画一个圆，这个圆刚刚好能经过三角形的三个顶点，那这个圆就是三角形的外接圆啦。

那外接圆的半径咋算呢？这就有个公式：R = abc / 4S 。

这里的 a、b、c 是三角形的三条边，S 是三角形的面积。

为啥会有这么个公式呢？咱来仔细琢磨琢磨。

我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这公式咋来的呀，感觉好神奇！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”先从面积说起，咱们都知道三角形的面积可以用 S = 1/2 absinC 来表示（这里的 C 是 a 和 b 两边的夹角）。

那把这个式子变变形，就有sinC = 2S / ab 。

然后呢，根据正弦定理，c / sinC = 2R ，把 sinC = 2S / ab 带进去，就能得到 2R = c / （2S / ab），再一整理，这不就得出 R = abc / 4S 嘛。

您看，其实也没那么难理解，对吧？咱们再来说说这个公式在实际解题中的用处。

比如说，有一个三角形，三条边分别是 3、4、5，那先算一下它的面积。

根据勾股定理，这是个直角三角形，面积就是 3×4÷2 = 6 。

然后把数值带进公式 R =3×4×5÷（4×6） = 2.5 ，这外接圆的半径就求出来啦。

不过啊，有些同学一开始用这个公式的时候容易出错。

就像有一次考试，有个同学粗心大意，把边长的数值给弄混了，结果算出个稀奇古怪的答案。

我在批改试卷的时候，真是又好气又好笑。

总之呢，掌握了这个任意三角形外接圆的半径公式，再加上多多练习，遇到相关的题目就能轻松应对啦。

希望您也能把这个公式玩儿得转，在数学的海洋里畅游无阻！。

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。

求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式1.外接圆半径的求法：三角形的外接圆是一个经过三个顶点的圆，因此可以通过三边的长度来计算外接圆的半径。

设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。

根据三角形的外接圆性质，外接圆的半径与三角形的边长之间存在如下关系：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，R表示外接圆的半径，A、B、C表示三角形的顶点角的度数。

2.内切圆半径的求法：三角形的内切圆是一个与三条边都切于一个点的圆，因此可以通过三边的长度来计算内切圆的半径。

设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。

根据三角形的内切圆性质，内切圆的半径与三角形的半周长s之间存在如下关系：r=s/(a+b+c)其中，r表示内切圆的半径，s表示三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2需要注意的是，在计算内切圆半径时，需要先计算出三角形的半周长。

综上所述，我们可以使用以上两个公式来计算任意三角形的外接圆半径和内切圆半径。

下面通过具体的例子来说明如何使用这些公式。

例1：已知三角形的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。

根据外接圆半径的公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中A、B、C分别对应三角形的顶点角。

根据三角形的三角函数关系sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)，可以得到：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC) = 5/2因此，三角形的外接圆半径R为5/2根据内切圆半径的公式：r=s/(a+b+c)其中s表示三角形的半周长。

三角形的半周长s=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=6因此，三角形的内切圆半径r为6/(3+4+5)=6/12=1/2例2：已知三角形的三边长分别为a=6，b=8，c=10，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。

初中数学如何计算三角形的外接圆半径
计算三角形的外接圆半径需要知道三角形的三个顶点坐标或三边的长度。

假设三角形的三个顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

步骤如下：
1. 首先计算三角形的边长。

可以使用两点之间的距离公式来计算两条边的长度：
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)
2. 计算三角形的半周长s，即三边之和的一半：
s = (AB + BC + AC) / 2
3. 计算三角形的面积A，可以使用海伦公式：
A = √(s(s - AB)(s - BC)(s - AC))
4. 计算三角形的外接圆半径R，外接圆半径等于三角形三边长度的乘积除以4倍三角形的面积：
R = (AB * BC * AC) / (4 * A)
综上所述，通过以上步骤，可以计算出三角形的外接圆半径R。

需要注意的是，如果只给出了三角形的边长而没有给出顶点坐标，可以使用三角形面积公式和边长关系来计算。

此外，当给定三角形的顶点坐标时，还可以使用向量的方法来计算外接圆半径。

具体方法是，计算出三角形的两条边的向量，然后求出两条边向量的垂直平分线，该垂直平分线的交点就是外接圆心，外接圆半径等于圆心到任意一个顶点的距离。

综上所述，计算三角形的外接圆半径可以使用边长公式或向量方法，根据题目所给信息选择合适的方法进行计算。

外接圆和内切圆的半径公式一、外接圆的半径公式及应用外接圆是指一个圆完全包围住一个多边形的情况，它的圆心位于多边形中的顶点。

外接圆的半径可以通过以下公式计算：1.三角形的外接圆半径公式：给定一个三角形ABC，三角形的三条边长分别为a，b和c。

外接圆的半径R可以计算为：R=(a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。

这个公式是基于三角形外接圆的性质：三角形的外接圆的直径等于三角形的对边的长度之积除以四倍三角形的面积。

2.多边形的外接圆半径公式：对于任意一个多边形，可以使用下列公式计算其外接圆半径：R=(a*b*c)/(4*S)其中，a，b和c代表多边形的边长，S代表多边形的面积。

外接圆的半径公式在计算多边形的外接圆时非常有用。

在构造几何图形、计算物体的形状和位置时，我们经常需要根据多边形的边长和面积计算外接圆的半径。

二、内切圆的半径公式及应用内切圆是指一个圆完全被一个多边形包含，它的圆心位于多边形边的中点。

内切圆的半径可以通过以下公式计算：1.三角形的内切圆半径公式：给定一个三角形ABC，三角形的三个边长分别为a，b和c。

内切圆的半径r可以计算为：r=Δ/s其中，Δ表示三角形的面积，s表示三角形的半周长，s=(a+b+c)/2这个公式是基于三角形内切圆的性质：三角形的内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

2.多边形的内切圆半径公式：对于任意一个多边形，可以使用以下公式计算其内切圆的半径：r=S/p其中，S代表多边形的面积，p代表多边形的半周长。

内切圆的半径公式在计算多边形的内切圆时非常有用。

在设计建筑、计算物体的内部空间等情况下，我们经常需要根据多边形的面积和半周长计算内切圆的半径。

三、外接圆和内切圆的应用举例1.基于外接圆和内切圆的构造几何问题：外接圆和内切圆的半径公式可以帮助我们构造几何图形。

例如，给定一个正方形的一条边长a，我们可以使用外接圆公式计算正方形的外接圆半径R，然后利用内切圆公式计算正方形的内切圆半径r。

三角形外接圆公式
三角形外接圆公式：
1、三角形外接圆中心坐标：三角形三个顶点坐标相加再除以3，得到
外接圆中心坐标(h,k)。

2、三角形外接圆半径：半径r要满足：|rs-a|+|rs-b|+|rs-c|=0，其中s是
外接圆半径，a,b,c是三角形的三边的长度。

3、三角形外接圆方程：三角形外接圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r*r，其中h,k,r为上述求得的外接圆中心坐标和半径。

4、调和线与三角形外接圆外接直线：三角形外接圆外接的直线方程是
调和线方程的特殊形式：x/a+y/b+z/c=0，其中a,b,c分别是三角形的三
边的长度。

5、外接圆与角平分线的关系：三角形的任意一边的两个角平分线均切
于外接圆。

6、外接圆与内接圆的区别：外接圆的半径大于三角形的任意一条边的
一半，且三角形的任意三边都切于外接圆；内接圆的半径小于三角形
的任意一条边的一半，且只有三个内角和对应的三个内角平分线相交
于内接圆。