任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆的性质与判定在数学中，三角形的外接圆与内切圆是两个重要的概念。

它们具有一些独特的性质，并且可以通过一些准确的判定方式来确定。

本文将详细介绍三角形的外接圆和内切圆的性质，并给出它们的判定条件。

一、三角形外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。

下面是外接圆的一些重要性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线交点处，也就是三角形的三条垂直平分线的交点。

2. 外接圆的半径等于三角形的边长的一半的倒数，即R = (abc)/(4S)，其中a、b、c为三角形的边长，S为三角形的面积。

3. 外接圆的直径等于三角形中最长边的边长。

4. 外接圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。

二、三角形内切圆的性质内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

下面是内切圆的一些重要性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的角平分线交点处，也就是三角形的三条角平分线的交点。

2. 内切圆的半径等于三角形面积除以半周长的值，即r = S/p，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长。

3. 内切圆的切点分别是三角形的三个顶点。

4. 内切圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。

三、三角形外接圆与内切圆的判定条件根据三角形的性质，我们可以通过以下条件来判定三角形是否存在外接圆或内切圆：1. 外接圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的外角和为360度时，三角形存在外接圆。

2. 内切圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的内角和为180度时，三角形存在内切圆。

除了上述判定条件外，我们还可以通过计算三角形的边长、角度、面积等来进一步确定外接圆和内切圆的位置和属性。

总结：三角形的外接圆与内切圆是三角形的重要概念，它们具有一些独特的性质。

外接圆与三角形的垂直平分线、外角和、直径等相关；内切圆与三角形的角平分线、内角和、半径等相关。

我们可以通过计算三角形的边长、角度、面积来判定三角形是否存在外接圆或内切圆。

等腰三角形是指有两边相等的三角形，而内切圆和外接圆是与三角形相切的圆。

在等腰三角形中，内切圆和外接圆都有特定的半径和关系。

本文将介绍等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行详细解释。

1. 等腰三角形内切圆的半径公式在等腰三角形中，内切圆的半径可以表示为r，三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。

根据三角形的性质，等腰三角形内切圆的半径公式可以表示为：r = (b/2) * tan(π/4)其中，π是圆周率，tan是正切函数。

该公式表示了内切圆的半径与等腰边长度的关系。

通过该公式，我们可以计算出等腰三角形内切圆的半径。

2. 等腰三角形外接圆的半径公式在等腰三角形中，外接圆的半径可以表示为R，等腰三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。

根据三角形的性质，等腰三角形外接圆的半径公式可以表示为：R = (b/2) * csc(π/4)其中，π是圆周率，csc是余割函数。

该公式表示了外接圆的半径与等腰边长度的关系。

通过该公式，我们可以计算出等腰三角形外接圆的半径。

3. 推导过程以上述公式为基础，我们来简要介绍等腰三角形内切圆和外接圆半径公式的推导过程。

对于内切圆的半径公式，我们可以利用正切函数的定义，即tan(π/4) = 1。

等腰三角形的顶角为π/2，于是等腰边与底边的夹角为π/4。

根据三角函数的定义，tan(π/4)就是等腰边界的对边与邻边的比值，而等腰边的长度b/2就是对边，底边长度a就是邻边。

内切圆的半径公式可以推出为r = (b/2) * tan(π/4) = b/2。

对于外接圆的半径公式，我们可以利用余割函数的定义，即csc(π/4) = √2。

同样，根据三角形的性质，我们可以推导出外接圆的半径公式为R = (b/2) * csc(π/4) = b/2√2。

我们介绍了等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行了详细解释。

通过这些公式，我们可以在解决相关问题时更方便地计算等腰三角形的内切圆半径和外接圆半径，为数学和几何学习提供了重要的工具。

三角形外接圆与内切圆的关系三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的外接圆与内切圆是三角形的两个重要特性。

本文将重点介绍三角形外接圆与内切圆的关系，并通过具体的例子和分析来说明这一关系。

一、外接圆与内切圆的定义首先，我们来了解一下外接圆与内切圆的定义。

对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三条边都相切，这个圆就叫做三角形的内切圆。

另外，我们还可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三个顶点都相切，这个圆就叫做三角形的外接圆。

二、外接圆与内切圆的关系外接圆与内切圆之间存在着一定的关系，这一关系可以通过以下几个方面来说明。

1. 位置关系：外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。

我们可以通过一个具体的例子来说明这一关系。

假设有一个等边三角形ABC，我们可以很容易地发现，三角形的外接圆与内切圆的圆心都在三角形的重心上，而重心也是三条中线的交点。

这个例子表明，外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。

2. 半径关系：外接圆的半径大于内切圆的半径。

我们可以通过一个等边三角形的例子来说明这一关系。

假设三角形ABC是一个等边三角形，那么三角形的外接圆的半径等于三角形的边长，而内切圆的半径等于三角形的边长的一半。

由于等边三角形的边长是固定的，所以外接圆的半径大于内切圆的半径。

3. 面积关系：三角形面积与外接圆和内切圆的半径之间存在一定的关系。

我们可以通过一个直角三角形的例子来说明这一关系。

假设三角形ABC是一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。

根据三角形的性质，我们可以得到三角形的面积为S = (1/2) * a * b。

而三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即r = (a^2 + b^2)^(1/2) / 2。

内切圆的半径等于直角边的一半，即r' = (a + b - (a^2 + b^2)^(1/2)) / 2。

通过计算可以得到，外接圆的半径r大于内切圆的半径r'，而且它们的比值r/r'等于(1 + (a^2 + b^2)^(1/2)) / (a + b)。

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。

三角形的外心与内切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质与关系。

其中，外心与内切圆是三角形中重要的概念。

本文将对三角形的外心与内切圆的关系性质进行解析。

一、外心与内切圆的定义1. 外心：三角形的外接圆的圆心被称为外心，它是三条边的垂直平分线的交点。

外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。

2. 内切圆：三角形内切圆的圆心被称为内心，它是三角形三条内切线的交点。

内切圆的半径等于内心到三条边的距离。

二、外心与内切圆的位置关系1. 外心与内心的连线垂直于三角形的一条边：外心与内心之间的连线垂直于三角形的一条边。

根据垂直平分线的性质可知，外心与该边的中点相重合。

2. 外心是三角形三条高的交点：三角形的高是指从三个顶点到对边的垂线段。

外心是三条高的交点，同时也是三条边上的垂直平分线的交点。

3. 内心是三角形内角的平分线的交点：三角形的内心是三个内角的平分线的交点。

内心到三条边的距离相等，等于内切圆的半径。

4. 内切圆切分三角形的面积：三角形被内切圆切分成三个小三角形，每个小三角形的面积等于半周长与边长之差的乘积。

三、外心与内切圆的关系性质1. 外心、内心和重心共线：重心是三角形三条中线的交点，它也是三角形内接圆三条角平分线的交点。

根据欧拉定理可知，外心、内心和重心三点共线，且内心与重心在外心与重心的连线上的一半距离。

2. 内切圆半径与外接圆半径的关系：内切圆半径r和外接圆半径R之间有如下关系：r = R / 2，即内切圆半径是外接圆半径的一半。

3. 外心到顶点的距离等于外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径，即OA = OB = OC = R，其中O为外心，A、B、C为三角形的顶点。

4. 内心到顶点的距离等于内切圆半径：内心到三角形任意顶点的距离等于内切圆的半径，即IA = IB = IC = r，其中I为内心。

四、应用与拓展外心与内切圆的关系性质不仅在几何学中有重要应用，也在其他学科中有广泛的拓展。

三角形外接圆与内切圆的性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内接圆和外接圆则是与三角形密切相关的圆形。

本文将对三角形外接圆与内切圆的性质进行解析，以便更好地理解三角形的几何特征。

一、三角形外接圆的性质1. 外接圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心与三角形的三个顶点都在一条直线上，且圆的半径与三角形的三条边相等，那么这个圆就是三角形的外接圆。

2. 外接圆的圆心对于任意一个三角形ABC，它的外接圆的圆心O位于三角形的外心上，即外心是三角形三个顶点到外接圆圆心的垂直平分线的交点。

3. 外接圆的直径三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边，因此可以通过测量三角形的三条边的长度，选取最长的一条作为外接圆的直径。

4. 外接圆的切线外接圆与三角形的每一条边都有且只有一条切线，且切线与三角形的边相切于切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边上。

二、三角形内切圆的性质1. 内切圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心位于三角形的内部，并且这个圆的切点分别位于三角形的三条边上，那么这个圆就是三角形的内切圆。

2. 内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心位于三角形的内心上，即内心是三角形三个角的角平分线的交点。

3. 内切圆的半径三角形的内切圆的半径等于三角形的周长除以2倍的三角形的面积，即r = S / p，其中r为内切圆的半径，S为三角形的面积，p为三角形的周长。

4. 内切圆的切点内切圆与三角形的每一条边都有且只有一个切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边的中点。

三、内接圆与外接圆之间的关系1. 欧拉公式对于任意一个三角形ABC，它的三个特殊圆（内切圆、外接圆和垂径圆）的圆心O、I、H分别位于一条直线上，并且满足OI = 2IH，即内接圆的圆心到外接圆的圆心的距离是内接圆的半径的两倍。

2. 欧拉线欧拉线是连接三角形的几何中心的一条直线。

对于任意一个三角形ABC，连接内心I、外心O和垂心H的直线构成的直线就是欧拉线。

三角形的内切圆和外接圆---- 三角形外接圆半径的求法及应用方法一:R ＝ab/(2h ）三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB AC=ＡE AD ．证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°.∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°，∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ，∴AC AE AD AB ，∴ ＡB AC=AE AD方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。

求证：2R=AB/Si ｎC证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ，则∠ABE=90°.∴AE ＝AB/ＳinE∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ=S ｉnE∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC∴2R ＝AB/SinC若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ. 设 C Ｅ＝x ，∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8 A BC OD E---- ∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。

三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.解：作直径BD ，连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310. ②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131. ③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ∴132-x 2＝152-(14-x)2 x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865. 二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2c b a -+.2、一般三角形 ①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S △ABC ＝84，从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13， 因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311- B③已知两角夹一边分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。

三角形内切圆和外接圆的性质在数学几何中，三角形内切圆和外接圆是两个重要的概念，它们具有一些特殊的性质。

本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质及其相关定理。

一、三角形内切圆的性质三角形内切圆是指与三角形的三边都相切于一个点的圆。

下面是三角形内切圆的一些性质：1. 三角形内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，称为内切圆心。

2. 由内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等。

3. 三角形的三条边与内切圆的切点连接起来，构成的三个三角形面积之和等于原三角形的面积。

4. 内切圆的半径等于三角形的周长除以两倍的三角形的面积。

这些性质都可以通过几何推导或利用一些定理来证明。

二、三角形外接圆的性质三角形外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一个圆上的圆。

下面是三角形外接圆的一些性质：1. 三角形外接圆的圆心是三角形的三条中垂线的交点。

2. 外接圆的半径等于三角形的任意一条边的长度的一半除以正弦值。

3. 外接圆的直径等于三角形的外接圆切线之间的距离。

4. 外接圆的切线与三角形的边相交于同一个点。

同样，这些性质也可以通过几何推导或利用一些定理来证明。

三、相关定理在三角形内切圆和外接圆的性质基础上，还有一些重要的定理与之相关，如下所示：1. 欧拉定理：三角形的内心、重心、垂心和外心四个点共线。

2. 欧拉-波利亚公式：三角形的内心到三个顶点的距离之和等于三角形的外心到三个顶点的距离之和，且和为内切圆半径的三倍。

3. 欧拉三角恒等式：三角形的外心、垂心和内心的距离平方之和等于内切圆的半径的平方加上九倍的四面角和两倍的外角和。

这些定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值，深化了对三角形内切圆和外接圆的理解。

综上所述，三角形内切圆和外接圆具有一系列的性质和定理，这些性质和定理有助于我们更深入地研究和理解三角形的特性。

三角形外接圆半径与三角形面积公式内切圆半径：r=2 * S / (a + b + c)，其中S是三角形面积，a、b、c是三角形三边。

外接圆半径：R=a * b * c / (4 * S)
S可以用海伦公式S = （p(p - a)(p - b)(p - c)）^（1/2）算得
p = (a + b + c)/2
对于不同的场合，每个公式都有自己的优势，若是已知三个顶点坐标a(x1,y1), b(x2,y2), c(x3,y3)，若要求三点围成的三角形的面积，对计算机而言这个公式应该是最适合的：
S = 1/2 * |(x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)| 也可以展开成：
S = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2)|，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，表示三角形外接圆半径的方法有：1.用三角形的边和角来表示它的外接圆的半径；2．用三角形的三边来表示它的外接圆的半径；3. 用三角形的三
边和面积表示外接圆半径的公式等。

1.用三角形的边和角来表示它的外接圆的半径
2．用三角形的三边来表示它的外接圆的半径
3.用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式
内切圆半径
1．用三角形的三边来表示它的内切圆的半径
2．用三角形的边和角来表示它的内切圆的半径。

推导三角形的外接圆半径和内切圆半径的关系三角形是几何中的基本图形之一，研究三角形的性质有助于深入理解几何学的基本原理。

其中，外接圆和内切圆是常见的与三角形相关联的圆形。

一、外接圆的定义和性质在三角形ABC中，如果可以找到一个圆使得该三角形的三条边恰好都与该圆相切或者都交于圆上的某一点O，则称该圆为三角形的外接圆，该圆的半径称为外接圆半径。

我们先研究外接圆的性质，以便更好地理解外接圆与内切圆之间的关系。

1. 外接圆的存在性：任意三角形都存在外接圆。

2. 外接圆的唯一性：对于同一个三角形，其外接圆是唯一的。

3. 外接圆的特点：外接圆的圆心是三角形的外心，三角形的三条边与外接圆的切点形成的切线长度相等。

二、内切圆的定义和性质在三角形ABC中，如果可以找到一个圆使得该圆的圆心与三角形的三条边上的切点都重合在一点I上，则称该圆为三角形的内切圆，该圆的半径称为内切圆半径。

现在，我们来研究三角形的内切圆与外接圆之间的关系。

三、三角形外接圆与内切圆的关系推导设三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为R；内切圆的圆心为I，半径为r。

定理1：三角形的内心，垂心和外心共线。

定理2：内切圆的圆心I、外接圆的圆心O和三角形的顶点A共线，并且IO与AI垂直。

基于定理1和定理2，我们可以推导出内切圆半径和外接圆半径的关系。

定理3：AI⊥OI。

证明：由于AOI是三角形AOB的内角，AOB的外角是AOB对应的圆周角。

根据圆周角的性质可知，圆周角的两边和圆心连线所夹的角等于360度。

故有AOI+AOB=360度。

又根据直角定义得AOB=90度。

因此，AOI=360-90=270度。

而AIO是直角三角形AIO的角，故AI⊥OI。

根据定理3的结论，我们可以得到下面的定理4：定理4：OI⊥BC。

证明：由定理1和定理2可知，内切圆的圆心I、外接圆的圆心O和三角形顶点A共线，且IO与AI垂直。

又根据向内切，BC也与IO相切，所以有OI⊥BC。

一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a（余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=α RaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()((。

三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，与之相关的几何定理也非常多。

其中，三角形的外接圆和内切圆是两个重要的概念。

本文将探讨这两个圆的性质及其与三角形的关系。

一、三角形的外接圆外接圆，即能够完全包围三角形的圆，是指与三角形三边上的各个顶点都相切的圆。

首先，我们来看一下外接圆的性质。

1. 外接圆的圆心：三角形的外接圆的圆心恰好位于三角形的三条边的垂直平分线的交点处，称为"外心"。

2. 外接圆的半径：外接圆的半径等于三角形边长的一半的倒数，即 R = (a*b*c) / (4*Δ)，其中 a、b、c分别为三角形的三边长，Δ为三角形的面积。

3. 外接圆的特点：外接圆与三角形的三条边互相相切，因此，任意一条边的中点如果与另外两条边的中点相连，则这条线段恰好是外接圆的直径。

二、三角形的内切圆内切圆，顾名思义，是能够与三角形内接的圆，也就是恰好与三角形的三条边相切的圆。

接下来，我们来了解一下内切圆的性质。

1. 内切圆的圆心：三角形的内切圆的圆心位于三角形三条边的角平分线的交点处，称为"内心"。

2. 内切圆的半径：内切圆的半径等于三角形面积与半周长（s = (a+b+c)/2）之比（r = Δ / s）。

3. 内切圆的特点：内切圆与三角形的三条边互相相切，而且三角形的三条边的切点恰好是内切圆的圆心。

三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆是紧密相关的，它们之间存在一些有趣的关系。

1. 欧拉定理：三角形的外心、内心和重心三点共线，而且重心将外心和内心分成两个倍长的线段。

2. 内接圆与外接圆的半径关系：内切圆与外接圆的半径满足关系式：R = 2r，其中 R为外接圆的半径，r为内切圆的半径。

3. 内接圆与外接圆的位置关系：无论三角形的形状如何变化，内切圆始终位于外接圆的内部。

四、应用举例外接圆和内切圆的概念在实际应用中也有很多重要的应用。

例如，在工程建设中，外接圆和内切圆的关系可以用来设计合适的桥梁、隧道和弧形道路的曲线。

三角形的外接圆与内切圆关系三角形是几何学中最基础的图形之一，它由三条线段组成。

而在三角形的研究中，外接圆与内切圆是两个重要的概念。

本文将探讨三角形的外接圆与内切圆之间的关系。

一、外接圆外接圆指的是一个圆可以完全包围三角形，且圆的圆心位于三角形的外部。

对于任意三角形而言，都存在一个唯一的外接圆。

1. 性质三角形的外接圆有以下性质：（1）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外角的平分线的交点。

（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的延长线所在的垂直平分线的长度。

2. 计算方法为了计算外接圆的圆心坐标和半径，我们可以利用数学方法，以三角形的顶点坐标来计算。

假设三角形的三个顶点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）。

首先，我们可以通过两点之间的距离公式计算三角形任意两条边的中点坐标，分别为：（x12，y12）、（x23，y23）、（x31，y31）。

然后，可以根据两条边的中点坐标，求得边的斜率，进而求得两条垂直平分线的斜率。

最后，利用两条垂直平分线的斜率和任意一条中点坐标，可以求得垂直平分线的方程，进而计算出圆心坐标，即外接圆的圆心。

而外接圆的半径则可以通过圆心坐标与任意一个顶点的距离公式来求解。

二、内切圆内切圆指的是一个圆可以与三角形的三边相切，且圆的圆心位于三角形的内部。

对于任意三角形而言，都存在一个唯一的内切圆。

1. 性质三角形的内切圆有以下性质：（1）内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，即三角形内角的平分线的交点。

（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

2. 计算方法与外接圆不同，计算内切圆的圆心和半径较为复杂，常用的方法有以下两种：（1）利用三角形的边长求解。

根据三角形的边长可以求得半周长，再根据面积公式计算得到内切圆的半径。

通过角平分线的性质可以求得内切圆的圆心坐标。

（2）利用三角形的内角求解。

通过计算三角形内每个角的大小，利用三角函数和角平分线的性质可以求得内切圆的圆心坐标。

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。

求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2ABCODE∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它的内部和外部都可以通过一些特殊的圆来描述。

在本文中，我们将探讨三角形的外接圆和内切圆。

一、外接圆外接圆是一个与三角形的三个顶点都相切的圆。

它的特点是，三角形的三条边的垂直平分线的交点所确定的圆心就是外接圆的圆心。

而外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长度的一半。

对于任意三角形ABC，设三边的中点分别为D、E、F，连接AD、BE、CF，并求得它们的垂直平分线分别交于点O。

那么，点O就是外接圆的圆心。

证明如下：1. 根据垂直平分线的定义，AO与OD垂直且相等，BO与OE垂直且相等，CO与OF垂直且相等。

2. 根据相等弦对应的弧相等的性质，可以得出AO、BO、CO是等长的，即O是等距离于三个顶点的点，因此O是三角形的外接圆心。

3. 根据三角形内角和为180度的性质，可以得出AOB、BOC、COA是三个内角的和为180度的角，因此它们都位于同一个圆周上，即O是三角形的外接圆心。

二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。

它的特点是，三角形的三条边的角平分线的交点所确定的圆心就是内切圆的圆心。

而内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

对于任意三角形ABC，设三条边分别为a、b、c，半周长为s = (a + b + c) / 2。

则内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c) / s)。

证明如下：1. 连接内切圆的圆心O与三个顶点A、B、C，分别交三条边于点D、E、F。

2. 根据角度的定义，OA与AD、OB与BE、OC与CF分别是同一个角的角平分线。

3. 根据角平分线的定义，AO与OD、BO与OE、CO与OF垂直且相等。

4. 根据垂直平分线的性质，可以得出AO = OD，BO = OE，CO = OF。

5. 根据等边三角形的定义，可以得出三角形ODA、OEB、OFC是等边三角形。

6. 根据等边三角形的性质，可以得出OD = DA，OE = EB，OF = FC。