【高中数学课件】欧拉公式1 ppt课件

及 F 2E
2m 2n mn
m
当m 3, n 5,
E
2(3)(5) 2(3) 2(5) (3)(5)
30 1
30
F
2(30) 3
20
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

THANKS
感谢观看
+ i)(1 - i)} = - frac{1}{2} + frac{1}{2}i$，故答案为$- frac{1}{2} +
frac{1}{2}i$.
习题二
题目：已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$frac{2 + i}{z} = i$，则复数$z =$( )
答案：B
解析：由$frac{2 + i}{z} = i$，得$z = frac{2 + i}{i} = frac{(2 + i)i}{i^{2}} = frac{- 1 + 2i}{- 1} = 1 + i$.故选B.
总结词
统一处理方式
详细描述
欧拉公式揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，使得在微积分中处理这两类函数时可以采用统一的处理方 式，简化了一些微积分问题的求解过程。
在复数中的应用
总结词
复数表示的桥梁
详细描述
欧拉公式是复数表示的桥梁，它可以将复数表示为三角函数的形式，使得复数的运算更加直观和方便 。同时，欧拉公式在复变函数和复分析等领域也有着广泛的应用。
欧拉公式在物理、工程、金融等领域也有广泛应用，例如在解决波动方程、计算复 利、评估期权价格等问题中都发挥了关键作用。
欧拉公式的历史背景
欧拉是一位杰出的数学家，他 在18世纪发现了欧拉公式。
欧拉公式的发现过程充满了曲 折和探索，它是欧拉在解决其 他数学问题的过程中偶然发现 的。
欧拉公式的发现为数学和物理 学的发展做出了巨大贡献，被 誉为数学史上的里程碑之一。
总结词独特的优势 。
详细描述
例如，欧拉公式的一个变种是球坐标系下的形式，它将三维空间的点表示为球坐标系中 的(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xoy平面上的投影与x轴的夹角，φ是点 在xz平面上的投影与x轴的夹角。这种形式在处理球对称问题时非常有用。此外，还有

例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求 这个多面体的面数和棱数。
例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体，问这个 多面体有多少条棱？多少个顶点？
例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积．
结束 谢谢观赏！
个数、顶点数、边数分别为
F、V、E。
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···nF边形，各个面的内角总和是多少？
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800 思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF=2E
问题2：如何证明欧拉公式
E1 A1
D1 B1 C1
D
E A
C B
D
D1
E
E1
A1
C1 C
B1
A
B
多边形角和=（E-F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的 全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
观察下列几何体是否满足欧拉公式：
简单多面体： 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。

【高中数学课件】欧拉公式1 ppt课件
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8
（3）
6
（4）
20
（3）
面数F 4 6 8 12
规律：V+F-E=2
(4) 棱数E
6 12 12 30
讨论
问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y
个由．题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E=
1 2
（3×60）
问题3:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1Leabharlann B讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形

正多面体
什么叫正多面体（两个 特征）？
正多面体有哪几种？为 什么？
们问的题顶1.点图规数中V有律,面5:个V数多+FF和面-E棱体=数,2分E,别并数填出表它:
1
2
3 4
图形编号
1
顶点数V 4
面数F 4
棱数E 6
2
8
6
12
3
6
8
12
5
4
9
8
15
5
9
9
16
问题这2些.图图中形有符三合个前多面面找体出，的分规别律数 出并它填V们表+F的。-E顶=2点吗数?V、面数F和棱数E,
3
1
2
图形编号 顶点数V
面数F
棱数E
1
5
5
8
2
12
12
24
3
7
8
12
比较问题1和问题2中的图形，如果这些多 面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且 可以向它们的内部充气那么其中哪些多面 体能够连续（不破裂）变形，最后其表面 可变为一个球面？
像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多
面体,叫简单多面体.
多面体的顶点数V=60，
面数F=x+y
棱数E=1 (3 60)
2
根据欧拉公式可得：
60 (x y) 1 (3 60) 2 2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
1 (5x 6 y) 1 (3 60)
2
2
由以上两方程解出x=12，y=20
答：C60分子中有12个五边形，20个六边形。
2）有没有棱数是7的简单多面体？说明理由 3）为什么只有5种正多面体？(阅读材料)

信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。

《高一数学欧拉公式》 PPT课件
数学欧拉公式是高一数学的重要内容之一，介绍了公式的形式和含义，以及 它在数学研究和实际应用中的重要性。
导入欧拉公式数学欧拉公 Nhomakorabea是由瑞士数学家 欧拉提出的一种重要数学公式， 具有广泛的应用价值。
带来的启示
欧拉公式不仅仅是一个公式， 更是对数学思维的启示和对实 际应用的指导。
欧拉公式对数学学习的推进
通过学习和理解欧拉公式，可以提 高数学学习的效果和兴趣。
欧拉公式对数学研究的促进
欧拉公式的研究推动了数学领域的 发展，激发了更多的数学研究兴趣。
参考
欧拉公式的相关文献
相关学术论文和研究报告
数学学科发展的相关书籍
维能力，提升数学问题的解决能力。
3
欧拉公式对实际应用的启示
欧拉公式的应用不仅限于数学领域，还可以
欧拉公式在其他领域的应用
4
启发人们在实际问题中进行创新和思考。
除了数学领域，欧拉公式还被广泛应用于物 理学、工程学和计算机科学等其他领域。
研究对象
如何使用欧拉公式研究问题
通过欧拉公式的运用，可以解决 复杂的数学问题，如数列和级数 的求和等。
研究对象
通过欧拉公式，我们可以研究 一些复杂的数学问题和实际应 用中的现象。
欧拉公式
1 介绍欧拉公式
2 公式的形式
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它 连接了数学中的五个重要常数。
欧拉公式的形式为：e^(πi) + 1 = 0，其中e是自然 对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。
3 公式的含义
4 公式的证明
欧拉公式表明了数学中不同的数学常数之间的奇 妙关系，展示了数学的美妙和深奥。
欧拉公式的证明是数学中的一大经典问题，需要 运用其他数学知识和技巧进行推导。

研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
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哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之

K3,3中，n=6，m=9，不满足上述不等式， 所以K3,3不是平面图。
17
离
散
数
证明
学
北
• 京
工 业
证明具有5个顶点的无向完全图K5
大 学
是非平面图
软
件 学
•
证明 因为在K5中顶点数n=5，边
院 数m=10，3n – 6 = 9<m，
张 丽
不满足平面图的必要条件，
所以K5是非平面图。
18
离
散
数
另一种是由一条自由回路构成的图，这
时n=1，m=1，r=2，所以欧拉公式成立。
9
离
散
数
学
欧拉公式证明（续）
北
京 工
• 设当连通平面图具有m条边时，欧拉公
业 大
式成立。
学 软 件 学
• 一个具有m+1条边的连通平面图，删去 一条边后，仍然是平面图。
院
• 把具有m+1条边的连通平面图看作是由
张 丽
含m条边的连通平面图添加一条边后构
•则
件
学 院
3n- 6≥m
张 丽
15
离
散
数
推论证明
学
北
京 工
•
由于G是简单图，因此G中每一个区域
业 大
至少由3条边围成，
学 软
•
件
学
院
若G中有r个区域，围成r个区域总边数 为2m(因为每条边都作为两个相邻区域 的公共边，被计算了两次)。
张 • 所以有
丽
2m≥3r 或 r ≤ 2m/3
• 代入欧拉公式后得
n - m+ 2m/3 ≥ 2

例2 设p.q是两个不同的奇素数,n=pq, a是 与pq互素的整数,如果整数e满足1<e< (n) ,且(e, (n) )=1,那么存在整数d,1≤d< (n) 使得ed≡ 1(mod (n) ),而且,对于整 数a, c ,ae ≡c(mod n), 有cd ≡a(mod n) 证明:因为(e, (n) )=1,故存在整数d,1≤d< (n) 使得 ed≡ 1(mod (n) ), 因此,存在正整数k 使得 ed= 1+k (n)
• 定理2(Fermat) 设p是素数，则对于任意 的整数a，有 • ap a (mod p)。 • 证明 若(a, p) 1，则由定理1得到 • ap 1 1 (mod p) ap a (mod p)。 • 若(a, p) > 1，则pa，所以 • ap 0 a (mod p)。 • 证毕。
2.4 欧拉定理, 费马定理
定理3 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数. 假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p. 由题设条件 知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p1)!+1)-(p-1)!), 即a|l, 因而p只有因子1和p, 即p为素数
RSA公钥密码算法
• • • • • • (1)选取两个大素数p，q (2)计算n=pq， (n) =（p-1）(q-1) (3)随机选取正整数e，1< e < (n) 且(e,(n) )=1 (4)计算d，满足de≡1(mod (n) ) （p,q为了安全考虑通常被毁掉） d 是保密的，n，e公开 (5)加密:对明文m， 1< m< n ，加密后密文： c≡ me (mod n), • (6)解密：对应密文1< c< n ，解密后明文： m≡ cd (mod n),