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y1 n n y2 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A xT Ay i 1 j 1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维欧氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
命题
设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空 间T , 使得
并称T是S的补空间。
证明： 设x1 ,x2 , …,x k是S的一组基，则它可扩充为 V的一组基x1 ,x2 , …,x k，x 令 则
k+1，
…,x n,
从而
练习P23：5, 6
第四节
线性映射
主要内容： 一、线性映射 二、线性映射的矩阵表示 三、线性映射的运算（自学） 四、不变子空间（自学）
例4在实线性空间中，对于任意两个 n阶矩阵A，B ，定 义 n n T A, B tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则
( A, B)
是内积，向量空间
R
nn
是欧氏空间。
内积的性质
对于欧氏空间的向量 , ,
1.(0, ) ( ,0) 0, V ; 2.( , ) ( , ) ( , ); 3.( , k ) k ( , )
3 k , k , (4) , 0 当且仅当 0
时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积。 定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
1.( , k ) k ( , )
1 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
T T f ( x), g ( x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1) , (1,4,5) ,
则
( f , g ) T A
2 (1,1,1) 0 2 3
0 2 3 0
实例 求导运算T在多项式空间pn [x]上的值空间R(T)与 核空间N (T)分别为 R(T)=L{1 , x , x2 , … , x
n-1
}
N(T)={ 1 }
定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，
则 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 分别称为象子空间，核子空间；
例2、在R3中线性变换T将基
其中
变为基
（1）求T在基
（2）求向量
下的表示矩阵；
及 在基 下的坐标
解（1）依题意
则
（2）设
则 练习P23：7, 8
第二章 内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
1 , n 2 , n
矩阵 A 也常常称为度量矩阵（或 Gram 矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
定理1：设A为n维欧氏空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
说明： 在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义 中的（3），可采用： (3) k , k , 这样，在例（7）中的内积为：
, aibi
H
i
定理3：设A为n维酉空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；
2.( , ) ( , ) ( , );
3.( , ) ( , ) 0, V .
例7
在向量空间Cn，设
T
a1 , a2 ,, an ,
定义
i
b1 , b2 ,, bn T C n
则Cn成为酉空间。
, H aibi
, 0
当且仅当
0
时等式成立
则称实数 ( , )为向量 , 的内积，
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
例1
在向量空间Rn，设
T
a1 , a2 ,, an
定义
b1 , b2 ,, bn R n
T
, aibi T T
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组； （4）设 则 并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 --T的全体像组成的集合 --零向量原像组成的集合 设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f ( x), g ( x) 定义
f ( x), g ( x) a
b
f ( x) g ( x)dx
是内积，
f ( x), g ( x) 利用定积分的性质，可以验证 C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
2 a23 a32 ( x, x ) 1x x dx 0 , a33 ( x , x ) 1x dx , 5
2
1 2
11dx 2 , a12 a21 (1, x) 1 xdx 0 , 2 2 2 1 x dx , x dx , a22 ( x, x) a13 a31 (1, x ) 3 3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 ,
按某种法则有实数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ,
(2) , , ,
(3)
k , k ,
(4)
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
y1 n n 则 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A y2 x H Ay i 1 j 1 y n
a11 (1,1)
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
则
2 A0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2 2 （2）求 f ( x) 1 x x 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
方法一：利用定义，直接计算 f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空 间={0}，则称和空间为直和，记做
定理 : 设S1 ,S2是线性空间 V的两个子空间，则下列命 题等价 （1）和空间 为直和； （2）和空间
（3）若 则 的任意元 是S1的基， 是 可唯一表示成 是S2的基， 的基。
自学P11定理1.3.5
定理4：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维酉空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
H 矩阵，则 B C AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二节 内积空间的度量 主要容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基
下的矩阵为
矩阵分别为
则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基
下的矩阵为
则
且向量
在该基下的坐标为
二、度量矩阵及性质
设 1 , 2 ,, n 为n维欧氏空间V的基，令
1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 A , , n 2 n 1
n , n
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设
a1 , a2 ,, an T
定义
b1 , b2 ,, bn T R n
, iaibi i 可以验证 , 也是Rn中的内积。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成 不同的欧氏空间。
2 3 1 0 0 4 2 5 5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ( , )
(2) , , ,
一、线性映射（变换）的定义及性质
