2014-2015年黑龙江省鹤岗一中高一下学期期末数学试卷及答案(文科)

鹤岗一中2017～2018学年度下学期期末考试高一数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【详解】分析：如果，则或者与异面；如果，则或者，故C、D都是错误的. 如果，则或者与异面或者与相交，排除B.详解：如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，但，故B错.另外，平面，平面，但是平面平面，故C错.又平面平面，平面，平面，但是与是异面的，故错.根据面面垂直的判定定理可知A正确.综上，选A.，点睛：通常在正方体模型中选择合适的点、线、面进行不同位置关系的判断.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.视频3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【解析】原平面图形是直角梯形,高为2,上底为1,下底为 , 面积是 ,选D.4. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：体积最大的球是其内切球，即球半径为1，所以表面积为.考点：球的表面积.5. 用与球心距离为的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：截面面积球的半径球的表面积，故选C.考点：球的结构特征.6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为,∴,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键7. 已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【详解】分析：如图所示，把平移到点处，则与所成的角都为的直线有3条.详解：过作与平行的直线，如图，，直线过点且，这样的直线有两条.又，直线为的平分线，则，综上，满足条件的直线的条数为3.点睛：一般地，如果两条异面直线所成的角为，过空间一点作直线与所成的均为，即直线的条数为，则（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则（6）若，则.8. 已知圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图如图所示，且，上只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：在侧面展开图中，的长度为蚂蚁在圆锥表面爬行的最短路程.详解：在侧面展开图中，蚂蚁从在圆锥表面爬行一周又回到的最短路程就是的长度，因，，故，故选B.点睛：空间几何体的表面路径最短问题，需要展开几何体的表面，把空间中的最值问题转化为平面上两点之间的距离问题.9. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1：2：3B. 1：3：5C. 1：2：4D. 1：3：9【答案】B【解析】如图，令，，由侧面积公式，得分成三个圆锤的侧面积，则分成的三部分面积比为，故选B。

2016-2017学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷（文科）一．选择题1．（5分）若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（）A．40πB．35πC．50πD．60π2．（5分）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a6+a7＝20，若a8+a2＝（）A．10B．11C．12D．144．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a+b为（）A．25B．35C．﹣25D．﹣355．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β6．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b7．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则S n＝（）A．2n﹣1B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．9．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，则直线AB与MN所成的角为（）A．60°B．30°C．120°D．60°或30°11．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣4＜m＜2B．﹣2＜m＜4C．m≥4或m≤﹣2D．m≥2或m≤﹣4 12．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP ⊥面SAC．中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．14．（5分）不等式＜0的解集为．15．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，∠ABC＝90°，AC中点为点O，AC＝2，SO⊥平面ABC，SO＝，则三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，M，N分别为CC1，BB1的中点，则点N到面A1BM的距离为．三．解答题17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AD的中点．（1）若AD平行BC，AD＝2BC，求证：直线BM平行平面PCD．（2）若P A＝PD，平面P AD⊥平面PBM，求证：AD⊥PB．18．（12分）已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．20．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C﹣1）＝1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．22．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，且AD⊥AE．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若AB＝2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值．2016-2017学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（）A．40πB．35πC．50πD．60π【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱a，b，c的长分别为3，4，5，得a2+b2+c2＝50；所以，球的直径2R满足4R2＝（2R）2＝a2+b2+c2＝50；所以外接球的表面积为S＝4πR2＝50π；故选：C．2．（5分）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y＝1，则1，化为：xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号．∴xy的最大值为．故选：A．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a6+a7＝20，若a8+a2＝（）A．10B．11C．12D．14【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a3+a7＝a4+a6＝a8+a2，∴a8+a2＝＝10．故选：A．4．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a+b为（）A．25B．35C．﹣25D．﹣35【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴ax2﹣5x+b＝0的根为﹣3、2，即﹣3+2＝﹣3×2＝解得a＝﹣5，b＝30∴a+b＝﹣5+30＝25．故选：A．5．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．6．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．7．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则S n＝（）A．2n﹣1B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵a1＝1，S n＝2a n+1，∴S n＝2（S n+1﹣S n），化为：S n+1＝S n．∴数列{S n}是等比数列，公比为，首项为1．则S n＝．故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S＝×（1+2）×2＝3．该几何体为x，几何体的体积V＝＝1，可得x＝3．故选：B．9．（5分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【考点】L2：棱柱的结构特征；L Y：平面与平面垂直．【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，则直线AB与MN所成的角为（）A．60°B．30°C．120°D．60°或30°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：取BD中点O，连结OM、ON，∵三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，∴OM∥CD，且OM＝，ON∥AB，且ON＝，∴∠MON是直线AB与CD所成角（或所成角的补角），且OM＝ON，∴∠MON＝60°或∠MON＝120°，∵AB∥ON，∴∠ONM是直线AB与MN所成的角，∵OM＝ON，∠MON＝60°或∠MON＝120°，∴∠ONM＝30°或∠ONM＝60°，∴直线AB与MN所成的角为60°或30°．故选：D．11．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣4＜m＜2B．﹣2＜m＜4C．m≥4或m≤﹣2D．m≥2或m≤﹣4【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由+＝1，可得x+2y＝（x+2y）（+）＝4＝8，而x+2y＞m2+2m恒成立⇔m2+2m＜（x+2y）min，所以m2+2m＜8恒成立，即m2+2m﹣8＜0恒成立，解得﹣4＜m＜2．故选：A．12．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP ⊥面SAC．中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l＝3，底面周长即扇形的弧长为×3＝2π，∴底面圆的半径r＝1，可得底面圆的面积为π×r2＝π又圆锥的高h＝＝＝2故圆锥的体积为V＝×π×＝π，故答案为：．14．（5分）不等式＜0的解集为（﹣，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：＜0即（x﹣1）（2x+3）＜0，解得：﹣＜x＜1，故不等式的解集是（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．15．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，∠ABC＝90°，AC中点为点O，AC＝2，SO⊥平面ABC，SO＝，则三棱锥外接球的表面积为．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：∵∠ABC＝90°，SO⊥平面ABC，∴外接球的球心M在直线SO上，且BO＝AC＝1，设OM＝h，则外接球的半径R＝MS＝﹣h，又R＝MB＝＝，∴＝﹣h，解得h＝，∴R＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝．故答案为：．16．（5分）底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，M，N分别为CC1，BB1的中点，则点N到面A1BM的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点O为坐标原点，A1O所在直线为x轴，B1C1所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．O（0，0，0），B，A1，M，N．＝，＝，＝．设平面A1BM的法向量为＝（x，y，z），则，即，取＝．则点N到面A1BM的距离d＝＝＝．故答案为：．三．解答题17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AD的中点．（1）若AD平行BC，AD＝2BC，求证：直线BM平行平面PCD．（2）若P A＝PD，平面P AD⊥平面PBM，求证：AD⊥PB．【考点】LS：直线与平面平行；L Y：平面与平面垂直．【解答】证明：（1）因为AD∥BC，AD＝2BC，M为AD中点，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD∥BM，又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．（2）因为P A＝PD，M为AD中点，所以PM⊥AD，又平面P AD⊥平面PBM，平面P AD∩平面PBM＝PM，AD⊂平面P AD，所以AD⊥平面PBM．又PB⊂平面PBM，所以AD⊥PB．18．（12分）已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|＝4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，所以BC1∥面CA1D；（2）解：AC＝BC，D是AB的中点，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，CD⊥面AA1B1B，CD⊂面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1﹣A1DC的高，又＝，所以＝×AD＝＝1；20．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1＝2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2﹣（2+d）（3+3d），解得d＝2，或d＝﹣1，当d＝﹣1时，a3＝0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n．即数列{a n}的通项公式a n＝2n；（Ⅱ）由a n＝2n，得b n＝＝，∴S n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C﹣1）＝1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C﹣1）＝1得：2cos A cos C（﹣1）＝1，∴2（sin A sin C﹣cos A cos C）＝1，即cos（A+C）＝﹣，∴cos B＝﹣cos（A+C）＝，又0＜B＜π，∴B＝；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B＝＝，∴＝，又a+c＝，b＝，∴﹣2ac﹣3＝ac，即ac＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝．22．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，且AD⊥AE．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若AB＝2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L Y：平面与平面垂直．【解答】（Ⅰ）证明：由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，…（3分）又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，…（4分）所以DB⊥平面AEC，BD⊂面BED故有平面AEC⊥平面BED．…（6分）（Ⅱ）解：作DE的中点F，连接OF，AF，∵O是DB的中点，∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角．…（8分）设正方形ABCD的边长为2a，则，…（9分）∵∠BAE＝90°，AB＝2AE，∴AE＝a，，∴…（10分）又AD⊥AE，∴＝，∴cos∠FOA＝＝∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为…（12分）。

2014-2015学年黑龙江省鹤岗一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知角α的终边过点（﹣3，4），则cosα=（）A．B．C．D．2．（5.00分）已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．﹣3 C．D．﹣3．（5.00分）已知△ABC中，点D在BC边上，且，则r+s 的值是（）A．B．C．﹣3 D．04．（5.00分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量在方向上的投影（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5.00分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣ B．C．﹣ D．6．（5.00分）若，则有（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b7．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5.00分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．9．（5.00分）若函数y=cos（3x+）的最小正周期为T，则函数y=3sin（2x﹣T）的图象（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5.00分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．11．（5.00分）使函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的一个θ值是（）A．B． C． D．12．（5.00分）已知函数f（x）=，下列说法正确的个数是（）（1）f（）=﹣+1；（2）函数f（x）是周期函数；（3）方程f（x）=x在[﹣3，3]上的实数解的个数为8；（4）函数y=f（x）在区间（，）上是增函数．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）函数f（x）=+lg（2sinx﹣）的定义域为．14．（5.00分）已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则sin2α的值．15．（5.00分）设和是两个单位向量，其夹角是60°，则向量=2+与=2﹣3的夹角是．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（填写正确结论的序号）（1）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（2）在△ABC中，点O为平面内一点，若满足•=•=•，则点O为△ABC的外心；（3）函数y=2sin（3x﹣）+3的频率是，初相是﹣；（4）函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（，0），（k∈Z）（5）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设，是两个不共线的非零向量，如果=3+k，=4+，=8﹣9，且A，B，D三点共线，求实数k的值．18．（12.00分）（1）化简：当＜α＜2π时，；（2）求值：tan10°+tan50°+tan10°tan50°．19．（12.00分）设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求函数f（x）的解析式，并写出其最小正周期；（2）在给出的坐标系中利用五点法画出y=f（x）在区间[0，π]上的图象．20．（12.00分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？21．（12.00分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤）在（0，5π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，函数取到最大值2，当x=4π时，函数取到最小值﹣2（1）求函数解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m使得不等式f（）＞f（）成立，若存在，求出m的取值范围．2014-2015学年黑龙江省鹤岗一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知角α的终边过点（﹣3，4），则cosα=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∴故选：C．2．（5.00分）已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选：B．3．（5.00分）已知△ABC中，点D在BC边上，且，则r+s 的值是（）A．B．C．﹣3 D．0【解答】解：∵△ABC中，点D在BC边上，且∴=，∵在△ABC中，=∴∵，∴∴r=，s=﹣，∴r+s=0故选：D．4．（5.00分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量在方向上的投影（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：因为点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量=（5，5），=（2，1），所以向量在方向上的投影为=；故选：B．5．（5.00分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选：D．6．（5.00分）若，则有（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【解答】解：，，∵a=，c=，∴a＞c∴b＞a＞c故选：A．7．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．8．（5.00分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．9．（5.00分）若函数y=cos（3x+）的最小正周期为T，则函数y=3sin（2x﹣T）的图象（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【解答】解：函数y=cos（3x+）的最小正周期为T，则：所以：函数y=3sin（2x﹣）的单调递增区间为：令：（k∈Z）解得：所以函数的单调递增区间为：x（k∈Z）当k=0时，函数的递增区间为：x函数的单调递减区间为：令：（k∈Z）解得：所以函数的递减区间为：x（k∈Z）故选：B．10．（5.00分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知sinθ+cosθ=，有1+sin2θ=，解得2sinθcosθ=﹣，sinθ﹣cosθ==，则tan2θ===．故选：A．11．（5.00分）使函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的一个θ值是（）A．B． C． D．【解答】解：f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）=2[cos（2x+θ）+sin（2x+θ）]=2sin （2x+θ+），∵函数f（x）为奇函数，∴θ+=kπ，k∈Z，即θ=kπ﹣，∵在[0，]上是减函数，∴θ=kπ﹣，（k为奇数），∴为θ的一个值，故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=，下列说法正确的个数是（）（1）f（）=﹣+1；（2）函数f（x）是周期函数；（3）方程f（x）=x在[﹣3，3]上的实数解的个数为8；（4）函数y=f（x）在区间（，）上是增函数．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）f（）=f（﹣）+1=sin（﹣π）+1=﹣+1；故正确；（2）由f（x）=f（x﹣1）+1知，函数f（x）不是周期函数；故错误；（3）方程f（x）=x在[﹣3，3]上的实数解的个数即f（x）与y=x的交点的个数，如下图，故有4个交点，（注意端点取不到）；故错误；（4）由图知，函数y=f（x）在区间（，）上是减函数，故错误．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）函数f（x）=+lg（2sinx﹣）的定义域为[+2kπ，+2kπ），k∈Z．【解答】解：∵函数f（x）=+lg（2sinx﹣），∴；即，解得+2kπ≤x＜+2kπ，k∈Z，∴f（x）的定义域为[+2kπ，+2kπ），k∈Z．故答案为：[+2kπ，+2kπ），k∈Z．14．（5.00分）已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则sin2α的值﹣．【解答】解：∵＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，π＜α+β＜，又cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，∴sin（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×（﹣）+×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．15．（5.00分）设和是两个单位向量，其夹角是60°，则向量=2+与=2﹣3的夹角是120°．【解答】解：=；=，=；∴cos=；∴夹角为120°．故答案为：120°．16．（5.00分）下列命题中，正确的是（3），（5）（填写正确结论的序号）（1）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（2）在△ABC中，点O为平面内一点，若满足•=•=•，则点O为△ABC的外心；（3）函数y=2sin（3x﹣）+3的频率是，初相是﹣；（4）函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（，0），（k∈Z）（5）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．【解答】解：对于（1），的方向不确定，且与任意向量均平行，故错误；对于（2），在△ABC中，点O为平面内一点，若满足•=•=•，则点O为△ABC的垂心，故错误；对于（3），函数y=2sin（3x﹣）+3的频率是，初相是﹣，故正确；对于（4），函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（，0），（k∈Z），故错误；对于（5），在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），即sinAcosB ﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=1，即A+B=，则△ABC的形状一定是直角三角形，故正确．故正确的命题是：（3），（5），故答案为：（3），（5）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设，是两个不共线的非零向量，如果=3+k，=4+，=8﹣9，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【解答】解：；∵A，B，D三点共线；∴存在实数λ使；∴；∴；解得k=﹣2．18．（12.00分）（1）化简：当＜α＜2π时，；（2）求值：tan10°+tan50°+tan10°tan50°．【解答】解：（1）∵＜α＜2π，∴＜＜π，则=====﹣cos；（2）∵tan10°+tan50°+tan10°tan50°=tan（10°+50°）（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°=（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°=﹣tan10°tan50°+tan10°tan50°=．19．（12.00分）设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求函数f（x）的解析式，并写出其最小正周期；（2）在给出的坐标系中利用五点法画出y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【解答】解：（1）∵f（x）==2cosxcosx+sin2x=sin（2x+）+1，∴最小正周期T==π；（2）列表：2x+0π2πxsin（2x+）010﹣10y 11﹣+11作图：20．（12.00分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124 y10139.97101310.1710经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【解答】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴=10，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．21．（12.00分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0），所以sin+acos=0，解得a=﹣；（2）由（1）可得，f（x）=sinx﹣cosx=，所以g（x）=[f（x）]2﹣2=﹣2==，由x∈（，）得，∈（，），则，所以，则函数g（x）的值域：[﹣2，1）；（3）因为g（）=﹣，所以=﹣，即，因为＜a＜，所以，则=﹣，所以sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=﹣×（）+=，则cos（α+）=sinα=．22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤）在（0，5π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，函数取到最大值2，当x=4π时，函数取到最小值﹣2（1）求函数解析式；（2）求函数的单调递增区间； （3）是否存在实数m 使得不等式f （）＞f （）成立，若存在，求出m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得A=2，半个周期为 •=4π﹣π=3π，∴ω=．再由2sin （•π+φ）=2，可得sin （+φ）=1，结合0≤φ≤，可得 φ=，故．（2）令2kπ﹣≤+≤2kπ+，k ∈z ，可得 6kπ﹣2π≤x ≤6kπ+π，故函数的增区间为[6kπ﹣2π，6kπ+π]（k ∈Z ）．（3）由于﹣m 2+2m +3=﹣（m ﹣1）2+4≤4，0≤﹣m 2+4≤4，∴∈[0，2]，∈[0，2]．要使不等式f （）＞f （）成立，需＞≥0， 解得，故m 的范围是 （，2]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014—2015学年度下学期期中考试高一文科数学试题命题人：刘丽 审题人：田野一．选择题（每题5分，计60分）21....(,1)(3,)B C R D ∅-∞-⋃+∞关于x 的不等式x -2x+3>0解集为（ ）A.(-1,3){}2.21.21.23.25n n n n n a n B a n C a n D a n =+=-=-=-等差数列的前三项为x-1，x+1,2x+3.则这个数列的通项公式为（ ）A.a3．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或4．已知数列{}n a 中，23=a ，17=a ，且数列1{}1n a +为等差数列，则8a =（ ） A ．117- B ．1113 C ．1311D ．75-5．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC∆的面积是（ ） A.3 B.39 C.33 D.33 7．各项不为零的等差数列{n a }中，3711220a a a -+=，数列{n b }是等比数列，且77b a =则68b b =（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．168．已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是 （ ）22222211....a b A a b B C a b ab D a bb a ><>> 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．12010．若不等式43x x a ---≤对一切x R ∈恒成立，那么实数a 的取值范围是 （ ）.1.1.1.1A a B a c a D a ><≤≥11．若锐角ABC ∆中，B C 2=，则bc的取值范围是（ ） （A ）()2,0 （B ）()2,3 （C ）()3,2 （D ）()2,212．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a, b, c ，且满足A c C a B b cos cos cos 2+=，若3=b ，则c a +的最大值为（ ）A ．32B ．3C ．23D ．9二．填空题（每题5分，计20分） 13．不等式12x -<的解集为{}12347814.30,________60,_n a a a a a a a +=+=+=在等比数列中，则15．如图，在ABC ∆中，45,B D ∠=是BC 边上一点，5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为{}{}9357842316..,4_______3__n n n n n n S n a b n S T n T n a a b b b b -=-+=++等差数列，的前项和分别为，若对任意自然数都有则三．解答题（共70分）117.(10)(1)2x -分求y=x+(x>2)得最小值。