山东省高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第1讲 直线与圆 理

地地道道的达到 第一讲 直线与圆考点一 直线的方程1．两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线 l 1， l 2 的斜率 k 1， k 2 存在，则 l 1∥ l 2? k 1＝ k 2， l 1⊥ l 2? k 1k 2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在．2．两个距离公式(1) 两平行直线l 1： ＋＋ 1＝0，2：＋＋ 2＝ 0 间的距离 d ＝| C 1－ C 2| .Ax By C lAx By CA 2 ＋B 2 (2) 00到直线 l ： Ax ＋By ＋ C ＝ 0 的距离公式 d ＝ | Ax 0＋By 0＋ C |.点 ( x ， y ) A 2＋B 2[ 对点训练 ]1．(2018 ·东北三校联考 ) 过点 (5,2) ，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ()A ． 2x ＋ y － 12＝0B ． 2x ＋ y － 12＝0 或 2x －5y ＝ 0C ． x －2y － 1＝ 0D ． x －2y － 1＝0 或 2x － 5y ＝ 0[ 分析 ] 当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x － 5y ＝ 0；当直线不经过原点时，x y即可解出 2x ＋ y － 12＝0，应选 B. 可设出其截距式为 a ＋ 2a ＝ 1，再由过点 (5,2) [答案] B2．直线 l 过点 (2,2) ，且点 (5,1) 到直线 l 的距离为 10，则直线 l 的方程是 ()A ． 3x ＋ y ＋ 4＝ 0B ． 3x － y ＋ 4＝ 0C ． 3x － y － 4＝ 0D ． x －3y － 4＝ 0[分析 ]由已知，设直线 l 的方程为 y － 2＝ k ( x － 2) ，即 kx － y ＋ 2－ 2k ＝ 0，所以|5 k － 1＋ 2－ 2k |3x － y － 4＝ 0. 应选 C.k 2＋ － 1 2 ＝ 10，解得 k ＝ 3，所以直线 l 的方程为[答案] C3．(2018 ·湖北孝感五校联考 ) 已知直线 y ＝ 2 x 是△中∠ C 的均分线所在的直线， 若ABC点 A ， B 的坐标分别是 ( － 4,2) ， (3,1) ，则点 C 的坐标为 ()A ． ( －2,4)B ． ( －2，－ 4)C ． (2,4)D ． (2 ，－ 4)[分析]设 A ( － 4,2) 对于直线y ＝ 2x的对称点为A ′(x ， y ) ， 则y － 2＝ ，x ＋ 4×2＝－ 1，x解得 4 即 ′(4，－2)，∴直线 ′C 即所在直线y ＋ 2－ 4＋ xy ＝－ 2，AABC2 ＝2×2，的方程为y － 1＝－ 2－1 ( x － 3) ，即 3 ＋ y － 10＝ 0. 又知点C 在直线 y ＝ 2 x 上，联立4－ 3 x3x ＋ y －10＝ 0，解得x ＝ 2，则 C (2,4) ，应选 C.y ＝ 2 ，y ＝ 4，x[答案]C4．(2018 ·湖南东部十校联考 ) 经过两条直线 2x ＋3y ＋ 1＝0 和 x － 3y ＋ 4＝ 0 的交点， 并且垂直于直线 3x ＋ 4y － 7＝ 0 的直线方程为 ________________________ ．2 ＋3 ＋1＝0，[分析]解法一：由方程组 x y 解得x － 3y ＋ 4＝ 05 x ＝－ 3，577即交点为 －3，9 ，y ＝ ，9∵所求直线与直线3x ＋ 4y － 7＝ 0 垂直，4∴所求直线的斜率为k ＝ 3.7 45由点斜式得所求直线方程为y － 9＝3 x ＋ 3 ，即 4x － 3y ＋ 9＝0.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x － 3y ＋ m ＝ 0，2 ＋3 y ＋ 1＝0，5 7x由方程组 x －3y ＋ 4＝ 0可解得交点为 － 3， 9 ，代入 4x － 3y ＋ m ＝ 0 得 m ＝9，故所求直线方程为4x － 3y ＋ 9＝ 0.解法三：由题意可设所求直线的方程为(2 x ＋ 3y ＋ 1) ＋ λ ( x － 3y ＋ 4) ＝ 0，即 (2 ＋λ ) x ＋ (3 － 3λ ) y ＋ 1＋ 4λ＝ 0，①又因为所求直线与直线 3x ＋ 4y － 7＝ 0 垂直，所以 3(2 ＋ λ ) ＋ 4(3 － 3λ) ＝ 0所以 λ ＝ 2，代入①式得所求直线方程为 4x － 3y ＋ 9＝ 0.[答案] 4x －3 ＋9＝0y[ 迅速审题 ] 看到直线方程的求解， 想到直线方程的五种形式， 想到每种形式的合用条件．求直线方程的两种方法(1) 直接法： 采纳适合的直线方程的形式， 由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．(2) 待定系数法：先由直线知足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件建立方程，求出待定系数．考点二圆的方程1．圆的标准方程当圆心为 ( a ， b ) ，半径为 r 时，其标准方程为( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝ r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x 2＋y 2＝ r 2.2．圆的一般方程2222DED 2＋E 2－ 4Fx ＋ y ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，此中 D ＋ E － 4F >0，表示以－ ，－2 为圆心，2为2半径的圆．[ 对点训练 ]1．(2018 ·福建漳州模拟 ) 圆 ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 1 对于直线 y ＝ x 对称的圆的方程为()A ． ( x － 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y －2) 2＝ 1C ． ( x ＋ 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1D ． ( x － 1) 2＋ ( y ＋2) 2＝ 1[分析]∵点 ( ， ) 对于直线 y ＝ x 对称的点为 ′( ， x ) ，P x yP y∴ (1,2) 对于直线 y ＝ x 对称的点为 (2,1) ，∴圆 ( x － 1) 2＋ ( y －2) 2＝ 1 对于直线 y ＝x 对称的圆的方程为 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝1，应选A.[答案] A2．(2018 ·广东珠海四校联考 ) 已知圆 C 与直线 x － y ＝ 0 及 x － y － 4＝ 0 都相切，圆心在直线 x ＋ ＝0 上，则圆C 的标准方程为 ()yA ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 2B ． ( x － 1) 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 2C ．( － 1) 2＋( －1) 2＝ 2D ． ( ＋1) 2＋( ＋1) 2＝2[分析]由题意设圆心坐标为| a － － a | | a － － a － 4|( a ，－ a ) ，则有 ＝，即 | a | ＝ | a22 －2| ，解得 a ＝ 1. 故圆心坐标为 (1 ，－ 1) ，半径 r ＝ 2＝2 ，所以圆 C 的标准方程为 ( x －21) 2 ＋( y ＋ 1) 2＝2. 应选 B.[答案] B3．(2018 ·重庆一模 ) 若 P (2,1) 为圆 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 25 的弦 AB 的中点， 则直线 AB 的方程 为()A ． x －y － 1＝ 0B ． 2x － y － 3＝ 0C ． x ＋y － 3＝ 0D ． 2x ＋ y － 5＝ 0[ 分析 ] 圆心 C 的坐标为 (1,0)1－ 0AB的，所以直线 PC 的斜率为 k ＝ 2－ 1＝ 1，所以直线PC斜率为－ 1，故直线 AB 的方程为 y － 1＝－ ( x － 2) ，即 x ＋y － 3＝ 0，应选 C.[答案]C4．[ 原创题 ] 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx － y － 2m － 1＝0( m∈ R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________________________________________ ．| m ＋ 1|m ＋ 1 22m2| m | [分析]解法一：由题意得： 半径等于2＝2＋1 ＝1＋ 2 ≤ 1＋ 2m ＋ 1mm ＋ 1m ＋ 1≤ 2，当且仅当＝ 1 时取等号，所以半径最大为 r ＝ 2，所求圆为 ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.m解法二：直线－ － 2 － 1＝ 0 过定点 (2 ，－ 1) ，当切点为 (2 ，－ 1) 时圆的半径最大，mx y m此时半径 r ＝ 1－ 2 2＋ 0＋ 1 2＝ 2，故所求圆的方程为( x －1) 2＋ y 2＝ 2.[答案]( x － 1) 2＋y 2＝ 2[ 迅速审题 ] 看到圆的方程， 想到圆心与半径， 看到含参数的直线方程， 想到直线能否过定点．求圆的方程的两种方法(1) 几何法：经过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的地点关系，进而求得圆的基本量和方程．地地道道的达到(2) 代数法： 用待定系数法先设出圆的方程， 再由条件求得各系数， 进而求得圆的方程，一般采纳待定系数法．考点三直线与圆、圆与圆的地点关系1．判断直线与圆的地点关系的方法(1) 代数法： 将圆的方程和直线的方程联立起来构成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系：>0? 订交； ＝ 0? 相切； <0? 相离．(2) 几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： d <r ? 订交；d ＝ r ? 相切；d >r ? 相离．2．与圆的切线相关的结论22 2上一点 P ( x ，y ) 的切线方程为2(1) 过圆 x＋ y ＝ rx x ＋y y ＝ r .0 0(2) 过圆 ( x － a ) 2＋( y － b ) 2＝ r 2 上一点 P ( x 0，y 0) 的切线方程为 ( x 0－ a )( x － a ) ＋( y 0－ b )( y－ b ) ＝ r 2.(3) 过圆 x 2＋ y 2＝ r 2 外一点 P ( x 0， y 0) 作圆的两条切线，切点为 A ， B ，则过 A 、 B 两点的直线方程为 x 0x ＋ y 0y ＝ r 2.[分析](1) 由题意知：圆心坐标为 (0,0) ，半径为 2 ，则△ AOB 的边长为2，所以△ AOB 的高为 3，即圆心到直线x － y － a ＝ 0 的距离为 3，所以| － a |2＝3，解得 a ＝± 6.2＋ － 11(2) 当直线斜率不存在时，显然知足题意，此时直线 l 的方程为 x ＝ 1. 当直线斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y－5＝ (x －1) ，再由圆心到直线的距离等于半径， 得 |3 k ＋ 1－k ＋ 5|1＋ k 2k4＝ 2，解得 k ＝－ 3，所以直线 l 的方程为 4x ＋ 3y － 19＝ 0. 综上，直线 l 的方程为 x ＝ 1 或 4x ＋3y － 19＝0.(3) 直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1，圆心 C (2,3)|2 k － 3＋ 1||2 k－ 2| 到直线 l 的距离 d ＝2＋ 1 ＝，kk 2＋ 1由 R 2＝ d 2＋ 12| MN | 22k － 2 21地地道道的达到1解得 k ＝ 2 或 2，1所求直线 l 的方程为 y ＝2x ＋ 1 或 y ＝ 2x ＋ 1.[答案](1)B(2) x ＝ 1 或 4x ＋ 3y － 19＝ 0(3)1y ＝ 2x ＋1 或 y ＝ x ＋ 122 5→ →[ 研究追问1] 在本例 (3) 中若把条件“| | ＝ ”，改为 · ＝ 12，此中 O 为坐标MN 5 OM ON原点，则 | MN |＝ ________.[分析] 设 ( 1， y 1)， ( 2， y 2) ，M xN x由题意得直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋1， 代入方程 ( x － 2) 2＋( y － 3) 2＝1，整理得22(1 ＋ k ) x － 4(1 ＋ k ) x ＋ 7＝ 0， 所以 x 1＋ x 4 1＋ k 2＝ 72，2＝ 2 ， 11＋ k x x 1＋k→ →4k 1＋ k2OM · ON ＝x 1x 2＋ y 1y 2＝ (1 ＋k ) x 1x 2＋ k ( x 1＋ x 2) ＋ 1＝ 1＋k 2 ＋ 8， 由题设可知 4k 1＋ k ＋ 8＝ 12，解得 k ＝ 1，1＋ k 2所以直线 l 的方程为 y ＝x ＋ 1，故圆心 C 在直线 l 上，所以 | MN | ＝ 2. [答案]2[ 研究追问 2]在本例 (3) 中若圆C 的方程不变，且过点(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 上A起码存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的取值范围是________．[分析]由题意知直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1，要使直线 l 上起码存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只要直线 l 与圆 C ′： ( x － 2) 2 ＋( y － 3) 2＝ 4 有公|2 k － 3＋ 1| |2 k － 2| 共点，所以 21 2≤2，即 1＋ k2 ≤2，解得 k ≥0. k ＋ －[答案][0 ，＋∞)地地道道的达到直线 ( 圆 ) 与圆的地点关系的解题思路(1)议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充分利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”成立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3) 弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝ 2 r2－d2( 此中l为弦长，r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)．[ 对点训练 ]1．(2018 ·福建福州一模 ) 已知圆O：x2＋y2＝ 4 上到直线l：x＋y＝a的距离等于 1 的点起码有 2 个，则a的取值范围为 ( )A． ( －3 2，3 2)B． ( －∞，－ 3 2) ∪ (3 2，＋∞)C． ( －2 2，2 2)D．[ －3 2，3 2][分析] 由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1 的点起码有2 个，所以圆心到直线l 的距离 d<r ＋1＝2＋1，则 d＝| －a| | a|<3，解得12＋12＝2∈( －3 2，3 2) ，应选 A.a[答案] A2．已知圆C1：x2＋y2－ 2x＋ 10y－ 24＝ 0 和圆C2：x2＋y2＋ 2x＋ 2y－ 8＝ 0，则两圆的公共弦长为 ________．[分析] 联立两圆的方程得x2＋ y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减整理得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．解法一：设两圆订交于点A， B，则 A，B 两点的坐标知足方程组x－2y＋4＝0，x2＋ y2＋2x＋2y－8＝0，x＝－4，x＝0，解得或y＝0y＝2.所以 ||＝ 0＋42 ＋ 2－0 2＝25，AB即公共弦长为 2 5.解法二：由 x 2＋ y 2－2x ＋ 10y －24＝ 0，得圆心坐标为 (1 ，－ 5) ，半径 r ＝ 5 2.圆心到直线 x －2y ＋ 4＝ 0 的距离 d ＝ |1 －2× － 5 ＋4|＝ 3 5，12＋ －2 2 设两圆的公共弦长为 l ，22l2由 r ＝ d ＋ 2，得 l ＝2 r 2－ d 2＝2 5 22－ 3 52＝2 5， 即两圆的公共弦长为 2 5.[答案] 2 51．(2016 ·全国卷Ⅱ ) 圆 x 2＋ y 2－2 x － 8 ＋13＝ 0 的圆心到直线ax ＋ － 1＝ 0 的距离为 1，yy则 a ＝ ()43A ．－3B ．－4C. 3D ．2[分析]由已知可得圆的标准方程为( x － 1) 2＋ ( y － 4) 2＝ 4，故该圆的圆心为 (1,4) ，由| a ＋4－ 1|4点到直线的距离公式得d ＝a 2＋ 1 ＝ 1，解得 a ＝－ 3，应选 A.[答案]A2．(2018 ·全国卷Ⅲ ) 直线 x ＋y ＋ 2＝ 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆 ( x －2) 2＋ y 2＝ 2 上，则△ ABP 面积的取值范围是 () A ． [2,6] B ． [4,8]C ．[ 2， 3 2]D ．[2 2，3 2][分析]由圆 ( x － 2) 2＋ y 2＝ 2 可得圆心坐标为 (2,0) ，半径 r ＝ 2，△ ABP 的面积记为S ，1|2 ＋0＋2|点 P 到直线 AB 的距离记为 d ，则有 S ＝ 2| AB | · d ，易知 | AB | ＝ 2 2，d max ＝12＋ 12＋2＝|2 ＋0＋2|32， d min ＝－ 2＝ 2，所以 2≤ S ≤6，应选 A.221 ＋ 1[答案]A3．(2018 ·北京卷 ) 在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos θ ， sin θ) 到直线 x －my － 2＝0 的距离．当 θ ，m 变化时， d 的最大值为 ()A ．1B ．2C ．3D ．4[ 分析 ] 解法一：由点到直线的距离公式得 d ＝|cos θ－ m sin θ－ 2| ， cos θ － m sin θ ＝21＋ m21m1＋m2cos θ －2sin θ ，1＋m1＋ m令 sin α ＝1m 2，2， cos α ＝1＋ m1＋ m| －22∴ cos θ － m sin θ ＝ 21＋ m － 2|1＋ m ＋ 21＋ m sin( α － θ ) ， ∴ d ≤2＝2 ＝1＋1＋ m1＋ m2 2，1＋ m∴当 ＝ 0 时， max ＝ 3，应选 C.m d解法二：∵ cos 2θ＋ sin 2θ ＝1，∴ P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 x －my － 2＝ 0 表示过点 (2,0) 且斜率不为 0 的直线，如图，可得点 ( － 1,0) 到直线 x ＝ 2 的距离即为 d 的最大值．应选 C. [答案]C4．(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，→ →(5,0) ，以AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点. 若 · ＝ 0，则点A 的横坐标为BD AB CD________．[分析] 由题意易得∠ BAD ＝45°.地地道道的达到1设直线 DB 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝－ 2，∴ tan ∠ ABO ＝－ tan( θ －45°) ＝ 3， ∴ k AB ＝－ tan ∠ ABO ＝－ 3.∴ AB 的方程为 y ＝－ 3( x － 5) ，y ＝－ 3 x － 5 ，由A得 x ＝3.y ＝2x ，[答案]35．(2016 ·全国卷Ⅲ ) 已知直线 l ： ＋ ＋ 3 － 3＝0 与圆 x 2＋ y 2＝ 12 交于 ， 两点，mx y m A B过 A ， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C ，D 两点．若 | AB | ＝2 3，则 | CD | ＝ ________.[分析]由题意可知直线 l 过定点 ( － 3， 3) ，该定点在圆 x 2＋ y 2＝ 12 上，不如设点A ( － 3， 3) ，因为 | AB | ＝ 2 3，r ＝ 2 3，所以圆心到直线 AB 的距离为 d ＝2 3 2－ 3 2＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝ |3 m － 3| ，∴|3 m － 3| ＝ 3，22m ＋ 1 m ＋ 133解得 m ＝－ 3，所以直线 l 的斜率 k ＝－ m ＝ 3 ，即直线 l 的倾斜角为30°. 如图，过点 C 作 ⊥ ，垂足为 ，所以 || ＝2 3，在 Rt △中，∠＝30°，所以 || ＝ 2 3CH BDHCHCHDHCDCDcos30°＝ 4.[答案]4地地道道的达到1. 近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热门，需要点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考察．2．直线与圆的方程有时独自命题，独自命题时有必定的深度，有时也会出此刻压轴题的地点，难度较大，对直线与圆的方程( 特别是直线 ) 的考察主要表此刻圆锥曲线的综合问题上．热门课题14与圆相关的最值问题[ 感悟体验 ]1．(2018 ·厦门模拟 ) 已知圆C1： ( x－ 2) 2＋ ( y－3) 2＝ 1，圆C2： ( x－ 3) 2＋ ( y－ 4) 2＝9，M， N分别是圆 C， C 上的动点， P为 x 轴上的动点，则| PM|＋| PN|的最小值为()1 2A．5 2－ 4 B. 17－1 C ．6－2 2 D. 17[分析] 两圆的圆心均在第一象限，先求| PC1| ＋| PC2|的最小值，作点 C1对于 x 轴的对称点′ (2，－3) ，则C1(| PC| ＋| PC|)min ＝ | C′ C|＝5 2，所以(| PM|＋1 2 1 2| PN|) min＝ 5 2－ (1 ＋3) ＝ 5 2－ 4. 应选 A.[答案] A2．(2018 ·宁夏银川一中检测 ) 过点(1,2) 的直线l 与圆 ：( x － 3)2＋( y － 4) 2＝25 交MC于 A ， B 两点， C 为圆心，当∠ ACB 最小时，直线l 的方程是 ________________ ．[ 分析 ] 考证得 M (1,2) 在圆内，当∠ ACB 最小时，直线 l 与 CM 垂直，又圆心为 (3,4) ，4－ 2则 k CM ＝ 3－ 1＝1，则 k l ＝－ 1，故直线 l 的方程为 y － 2＝－ ( x －1) ，整理得 x ＋ y －3＝ 0.[答案]x ＋ y －3＝ 0专题追踪训练 ( 二十四 )1．(2018 ·合肥检测 ) 直线 x ＋ ( a 2＋ 1) y ＋ 1＝ 0 的倾斜角的取值范围是 ()A. 0，πB. 3π ， π4 4C. 0， πππ π3π4∪ 2 ， πD. 4， 2 ∪4 ， π11[分析] 由直线方程可得该直线的斜率为－a 2＋1，又－1≤－a 2＋1<0，所以倾斜角的取3π ， π . 应选 B.值范围是 4[答案]B2．(2018 ·沈阳质量监测 ) 已知直线 l 过圆 x 2＋ ( y － 3) 2＝ 4 的圆心，且与直线 x ＋ y ＋ 1＝0 垂直，则直线 l 的方程为 ()A ． x ＋y － 2＝ 0B ． x －y ＋ 2＝ 0C ． x ＋y － 3＝ 0D ． x －y ＋ 3＝ 0[分析]由已知得，圆心为 (0,3) ，所求直线的斜率为 1，由直线方程的斜截式得， y ＝x ＋ 3，即 x － y ＋ 3＝0，应选 D.[答案]D3．(2018 ·河北五个一结盟联考 ) 已知直线 l 1：mx － 2y ＋ 1＝0，l 2：x － ( m － 1) y － 1＝ 0， 则“ m ＝2”是 l 1 平行于 l 2 的 ()A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充分必需条件D ．既不充分也不用要条件[分析] 当 ＝2 时，直线l 1：2 x －2 ＋ 1＝0，直线 l 2： － － 1＝ 0，此时直线l 1与l 2myx y平行，所以充分性成立；当 l ∥ l22 时，－ m( m － 1) ＋ 2＝ 0，即 m － m － 2＝ 0，∴ m ＝ 2 或 m ＝－11，经查验 m ＝－ 1 时，直线 l 1 与直线 l2重合，故 l ∥ l 2 时， m ＝ 2，故必需性成立．综上，1[答案]C4．(2018 ·陕西西安高三质检 ) 圆：x 2＋ y 2－ 2 x －2 ＋ 1＝ 0 上的点到直线 x － ＝2距离yy的最大值是 ()A ．1＋ 2B ． 22C ．1＋ 2D ． 2＋2 2[分析]将圆的方程化为 ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1，即圆心坐标为 (1,1) ，半径为1，则圆|1 －1－2|x － y ＝ 2 距离的最大值为心到直线 x － y ＝ 2 的距离 d ＝ 2 ＝ 2，故圆上的点到直线1＋ d ＝ 1＋ 2，应选 A.[答案] A5．(2018 ·宁夏银川质检 ) 已知圆 C2 222： x ＋ y ＝ 4，圆 C： x ＋y ＋ 6x － 8y ＋ 16＝ 0，则圆121与圆 2的地点关系是 ()C CA ．相离B ．外切C ．订交D ．内切[分析]易知圆 C 2 的标准方程为 ( x ＋ 3) 2＋ ( y －4) 2＝ 9，则圆 C 1 与 C 2的圆心的距离为22123 ＋4 ＝ 5，又两圆半径之和为 2＋ 3＝ 5，所以圆 C 与圆 C 外切，应选 B. [答案] B6．(2018 ·辽宁第一次质量监测 ) 已知直线 l ： y ＝ k ( x ＋ 3) 和圆 C ： x 2＋ ( y － 1) 2＝ 1， 若直线 l 与圆 C 相切，则 k ＝()A ．0 B.3 C.33或3 或0D.| － 1＋ 3k |[分析] 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝1＋ k 2＝1，即 |－1＋ 3k | ＝ 1＋ k 2，解得 k ＝ 0 或 k ＝ 3，应选 D.[答案]D7．(2018 ·长春二检 ) 圆 ( x － 2) 2＋ y 2＝ 4 对于直线 y＝3对称的圆的方程是 ()3xA ．( － 3) 2＋( －1) 2＝4x yB ． ( x － 2) 2＋ ( y － 2) 2＝ 4C ． x 2＋ ( y － 2) 2＝ 4D ． ( x － 1) 2＋ ( y － 3) 2＝ 4[分析]解法一：圆与圆对于直线对称， 则圆的半径同样， 只要圆心对于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为( ， ) ，则a b地地道道的达到b － 0 3a － 2× 3 ＝－ 1，b ＋ 03a ＋ 2解得 { a ＝ 1， b ＝ 3. 所以圆 ( x －2) 2＋ y 2＝ 4 的圆心关2 ＝3 × 2，于直线 y ＝3 (1 ， 3) ，进而所求圆的方程为 ( x － 1)23) 2＝ 4，x 对称的点的坐标为＋ ( y －3应选 D.解法二： 因为两圆对于直线对称， 所以两圆心的连线必与该直线垂直， 则两圆心连线的斜率为－ 3，备选项中只有选项 D 中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为－3，应选 D.[答案]D8．已知直线 2x ＋ ( y － 3) m － 4＝ 0( m ∈ R) 恒过定点 P ，若点 P 均分圆 x 2＋ y 2－ 2x －4y － 4＝0 的弦 MN ，则弦 MN 所在直线的方程是 ( )A ． x ＋y － 5＝ 0B ． x ＋ y － 3＝ 0C ． x －y － 1＝ 0D ． x － y ＋ 1＝ 0[ 分析 ]对于直线方程 2x ＋ ( y － 3) m － 4＝ 0( m ∈R) ，取 y ＝ 3，则必有 x ＝ 2，所以该直线恒过定点 P (2,3) ．设圆心是 C ，则易知 C (1,2) ，3－ 2所以 k CP ＝2－ 1＝ 1，由垂径定理知 CP ⊥ MN ，所以 k MN ＝－ 1.又弦 MN 过点 P (2,3) ， 故弦所在直线的方程为 y －3＝－ ( x －2)．MN即 x ＋y － 5＝ 0.[答案]A9．(2018 ·福州质检 ) 过点 (1 ，－ 2) 作圆 ：( －1) 2＋y 2＝1 的两条切线，切点分别为PC xA ，B ，则 AB 所在直线的方程为 ()31A ． y ＝－ 4B ． y ＝－ 231C ． y ＝－ 2D ． y ＝－ 4[分析]圆 ( x －1) 2＋ y 2＝ 1 的圆心为 C (1,0) ，半径为 1，以| PC |＝ 1－ 1 2＋ － 2－0 2＝2 为直径的圆的方程为 ( x － 1) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为 2y1＋1＝ 0，即 y ＝－ 2. 应选 B.[答案] B10．(2018 ·河南名校第二次联考 ) 已知m，n，a，b∈R，且知足 3m＋ 4n＝ 6,3 a＋4b＝ 1，则m－ a 2＋ n－ b 2的最小值为( )A. 3B.12C．1D.2[分析] 本题可理解为点( ， )和点( ，) 分别在直线l1：3x＋ 4 ＝ 6 与l2：3x＋A m nB a b y4y＝1 上，求A、B两点距离的最小值， | AB| ＝m－ a 2＋ n－ b 2，因为 l 1∥ l 2，所以| AB|min＝|6－1|＝1，应选 C.32＋ 42[答案] C11．(2018 ·四川成都二模 ) 已知直线l 的方程是 y＝ k( x－1)－2，若点 P(－3,0) 在直线l 上的射影为 H， O为坐标原点，则| OH|的最大值是( )A．5＋ 2 B． 3＋2 2C.5＋2D. 3＋3 2[分析] 因为直线 l 的方程是 y＝ k( x－1)－2，所以直线 l 过定点 M(1，－2)．则点 P(－3,0) 在直线 l 上的射影 H在以 PM为直径的圆上．| PM|＝ 1＋3 2＋－2 2＝2 5，线段 PM的中点即圆心C(－1，－1)，则| OC|＝ 2.所以，当 O， C， H三点共线时，| OH|获得最大值＝5＋ 2.[答案] C12．(2018 ·安徽芜湖六校联考 ) 在平面直角坐标系xOy中，点 A(0,3) ，直线 l ：y＝2x －4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使 | MA|＝ 2| MO|，则圆心C的横坐标 a 的取值范围是( )A.12B． [0,1] 0，5C.12D.12 1，0，[分析]因为圆心在直线 y ＝ 2x －4 上， 所以圆 C 的方程为 (x － ) 2＋ [ y －2( －2)] 2＝1.a a设点 M ( x ，y ) ，因为 | MA | ＝ 2| MO |，所以 x 2＋ y － 3 2＝ 2 x 2＋ y 2，化简得 x 2＋ y 2＋2y － 3＝0，即 x 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 4，所以点 M 在以 D (0 ，－ 1) 为圆心， 2 为半径的圆上．由题意，点 M ( x ，y ) 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 |2 －1| ≤|CD | ≤2＋ 1，即1≤ a 2＋ 2a － 3 2≤3.由 a 2 ＋ 2a － 3 2≥1得 5a 2－ 12a ＋8≥0，解得 a ∈ R ；22 212由 a ＋ 2a － 3 ≤3得 5a － 12a ≤0，解得 0≤ a ≤ 5 .所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0， 12.应选 A.5 [答案]A二、填空题13 ．若点 P (1,2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为__________________ ．2－ 01[分析] 由题意，得 k OP ＝1－ 0＝ 2，则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为－ 2，所以所1求切线方程为y － 2＝－ 2( x －1) ，即 x ＋ 2y － 5＝0.[答案]x ＋ 2y － 5＝ 014．若圆 1： 2＋ 2＝1 与圆2： 2＋ 2－ 6 x －8 y ＋ ＝0 外切，则实数的值为 ________．C xyC x ymm[分析]22因为圆 C ： ( x －3) ＋ ( y －4)＝ 25－ m ，又因为圆 C 与圆 C 外切，所以 25－ m21 2＋1＝ 5，解得 ＝ 9.m[答案]915．(2018 ·衡水中学模拟 ) 已知直线 ax ＋ y － 1＝ 0 与圆 C ：( x － 1) 2＋ ( y ＋ a ) 2＝ 1 订交于 ， 两点，且△为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ________．A BABC[分析]因为△ ABC 是等腰直角三角形，所以圆心 C (1 ，－ a ) 到直线 ax ＋ y － 1＝0 的距离 ＝ sin45 °＝2 d ＝12 ＝± 1.，即 ＝，所以d r2a 2＋12a[答案] ±116．(2018 ·南宁测试 ) 过动点 M 作圆： ( x －2) 2＋ ( y － 2) 2＝1 的切线 MN ，此中 N 为切点，若| MN |＝ | MO |( O 为坐标原点 ) ，则 | MN |的最小值是 ________．[分析]解法一： 由题意知圆的圆心为 (2,2) ，半径为 1. 设( ， )，则| | ＝x 2＋ y 2，M x yMO227MN x y MN MO x y y 4－ x ，所以 | MN |＝| MO |地地道道的达到＝2227 2227 49 2 x －7 2497 | 获得x ＋y ＝x ＋ － x＝x －2x＋ ＝8 ＋ ，当x ＝时，|416328MN49 7 2最小值32＝ 8 .解法二：由题意知圆的圆心为 (2,2) ，半径为 1. 设 M ( x ， y ) ，则 | MO |＝ x 2＋ y 2，| | ＝x －2 2＋ y － 2 2－1. 由| | ＝ | | ，得 4 ＋4 －7＝0，即点M 的轨迹为 4 x ＋MNMNMOx y4y － 7＝ 0，则由题意知， 要使 | MN |获得最小值，即 | MO |获得最小值， 此时 | MO |的最小值就是原点到直线 4 x ＋ 4 －7＝ 0 的距离，即77 2 7 24 2＋ 4 ＝，故 | | 的最小值为.y28MN87 2 [答案]8。

高考数学二轮复习专题 6 分析几何第一讲 直 线与 圆 理第一讲 直线与圆1．两直线平行．(1) 设直线 l 1， l 2 是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有 l 1∥ l 2? k 1＝k 2．(2) 设直线 l ， l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有 l ∥ l．1122．两直线垂直．(1) 设直线 l 1， l 2 的斜率都存在，分别为k 1， k 2，则 l 1⊥ l 2? k 1k 2＝－ 1．(2) 若直线 l 1， l 2 的斜率一个为 0，另一个斜率不存在，则l 1⊥ l 2．1．两点间的距离公式．点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的距离为 | P 1P 2| ＝（ x 2 －x 1） 2＋（ y 2－y 1） 2．2．点到直线的距离公式．点 ( x 0， y 0) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 的距离为 d ＝| Ax 0＋ By 0＋C |A 2＋B 2 ．3．两条平行直线间的距离．| C －C |平行线 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0 与 l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0 间的距离 d ′＝21A 2＋B 2．1．直线与圆的地点关系及其判断．(1) 几何法．设圆心到直线l 的距离为 d，圆的半径为r ，则直线与圆相离? d＞r；直线与圆相切? d＝r；直线与圆订交? d＜r．(2)代数法．Ax＋By＋ C＝0，（x－a） 2＋（y－b） 2＝r 2消元后得一元二次方程的鉴别式的值，则直线与圆相离 ? ＜ 0；直线与圆相切? ＝0；直线与圆订交 ? ＞ 0．2．圆与圆的地点关系．(1)几何法．设两圆的圆心距为d，半径分别为r 1， r 2，则两圆外离 ? d＞r1＋r2；两圆外切 ? d＝r1＋r2；两圆订交 ? | r1－r2 | ＜d＜r1＋r2；两圆内切 ? d＝ | r1－r2|( r1≠r2) ；两圆内含 ? 0≤d＜ | r1－r2|( r1≠r2) ．(2)代数法．222，（ x－ a1）＋（ y－ b1）＝r1（－2）2＋（－2）2＝22，则x a y b r两圆外离或内含 ? 方程组无解；两圆外切或内切 ? 方程组有一组实数解；两圆订交 ? 方程组有两组不一样的实数解．3 ．设空间两点A( x1， y1， z1)， B( x2， y2， z2)，则 A， B 两点间距离为d ＝（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2＋（ z2－ z1）2．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1) 依据直线的倾斜角的大小不可以确立直线的地点．( √ )(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ×)(4) 经过定点 A (0 ， b ) 的直线都能够用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ×)(5) 经过随意两个不一样的点P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的直线都能够用方程 ( y － y 1)( x 2－ x 1)＝ ( x － x 1)( y 2－y 1) 表示． ( √ )(6) 方程 Ax 2＋ Bxy ＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0， B ＝ 0， D 2＋ E 2－4AF >0.( √ )1．直线 l 过点 ( － 1， 2) 且与直线 3x ＋ 2y ＝0 垂直，则 l 的方程是 ( D)A ． 3x ＋ 2y － 1＝0B ． 3x ＋ 2y ＋ 7＝ 0C ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x － 3y ＋ 8＝ 022分析： 由题可得 l 斜率为 3，∴ l： y － 2＝ 3( x ＋1) ，即 2x － 3y ＋ 8＝ 0 . 应选 D.2．(2015 ·山东卷 ) 一条光芒从点 ( － 2，－ 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 ( x ＋ 3) 2＋ ( y － 2) 2＝1 相切，则反射光芒所在直线的斜率为( D)5332A ．－ 3或－5B ．－ 2或－ 3C ．－ 5或－4 D ．－ 4或－ 3 45 3 4分析： 由已知，得点 ( － 2，－ 3) 对于 y 轴的对称点为 (2 ，－ 3) ，由入射光芒与反射光芒的对称性，知反射光芒必定过点(2 ，－ 3) ．设反射光芒所在直线的斜率为k ，则反射光芒所在直线的方程为y ＋ 3 ＝ k ( x － 2) ，即kx － y － 2k － 3＝ 0. 由反射光芒与圆相切，则有d ＝| － 3k － 2－2k － 3|43k 2＋ 1＝1，解得k ＝－ 3或k ＝－ 4，应选D.3．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 4 与圆 ( x －2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为( B)A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离4. (2015 ·江苏卷) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线mx － y － 2m－1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( x － 1) 2＋ y 2＝ 2．分析：直线mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径 r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋ 1) 2 ＝2.一、选择题1．已知两条直线 y ＝ ax －2 和 y ＝( a ＋ 2) x ＋1 相互垂直，则a 等于 ( D)A ．2B ．1C ．0D ．－1分析： 解法一 将选项分别代入题干中察看，易求出 D 切合要求．应选D.解法二 ∵直线＝－ 2 和 y ＝( ＋ 2) x ＋1 相互垂直，∴( ＋2) ＝－1. ∴ ＝－ 1. 故y axaa a a选 D.2. (2015 ·江苏卷改编 ) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y－2m － 1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( A)A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 2B ． ( x －1) 2＋ ( y －1) 2＝ 2C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 2D ． ( x －2) 2＋ ( y －1) 2＝ 2分析： 直线 mx － y － 2m －1＝ 0 经过定点 (2 ，－ 1) ．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋1) 2 ＝2.3．(2015 ·北京卷 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( D)A ． ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ． ( x ＋ 1) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1C ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 2D ． ( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2分析： 圆的半径 r ＝ （ 1－ 0）2＋（ 1－ 0） 2＝ 2，圆心坐标为 (1 ， 1) ，因此圆的标准方程为 ( x －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2.4．对随意的实数 k ，直线 y ＝ kx ＋1 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系必定是 ( C)A ．相离B．相切C ．订交但直线可是圆心D ．订交且直线过圆心圆心 C (0 ，0) 到直线 kx － y ＋ 1＝ 0 的距离为 d ＝112＝ r ，且分析： 解法一1＋ k 2≤ 1＜圆心 C (0 ，0) 不在该直线上．解法二直线 kx － y ＋ 1＝0 恒过定点 (0 ，1) ，而该点在圆 C 内，且圆心不在该直线上． 故选 C.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6 －8 y ＝ 0. 设该圆过点 (3 ， 5) 的最长弦和最短弦分别为ACx和 BD，则四边形 ABCD的面积为( B)A．10 6 B ．20 6C．30 6 D ．406分析：由 x2＋ y2－6x－8y＝0，得( x－3)2＋( y－4)2＝25，圆心为 (3 ， 4) ，半径为 5.又点 (3 ，5) 在圆内，则最长弦 | AC| ＝ 10，最短的弦 | BD| ＝2·25－（ 3－ 3）2－（ 4－ 5）2＝2 24＝4 6，∴ S 四边形ABCD＝1×10×46＝ 20 6. 26．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 已知三点(1 ，0)， (0，3)， (2，3) ，则△外接圆的A B C ABC圆心到原点的距离为( B)521254A. 3B.3C.3D.3分析：在座标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得| AB| ＝| AC| ＝| BC| ＝2( 也能够借助图形直接察看得出) ，因此△ABC为等边三角形．设BC的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．因此 | |2| ＝23|22421＝ |3，进而| |＝ |＋ || ＝1＋＝，AE3AD OE OA AE33应选 B.二、填空题7．(2014 ·陕西卷 ) 若圆C的半径为1，其圆心与点 (1 ， 0) 对于直线y＝x对称，则圆C 的标准方程为x2＋( y－1)2＝1．分析：因为圆心与点(1 ，0) 对于直线y＝ x 对称，因此圆心坐标为(0 ，1) ．因此圆的标准方程为： x2＋( y－1)2＝1.8．(2014 ·湖北卷 ) 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1 分红长度相等的四段弧，则a2＋ b2＝2．分析：依题意，设l 1与单位圆订交于A， B 两点，则∠ AOB＝90°.如图，当a＝1， b＝－1 时知足题意，因此a2＋ b2＝2.三、解答题9．已知圆C： x2＋y2－2x＋4y－4＝0，能否存在斜率为 1 的直线l ，使以l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明原因．分析：圆 C化成标准方程为( x－ 1) 2＋( y＋ 2) 2＝ 9.假定存在以AB为直径的圆M，圆心 M的坐标为( a， b)，b＋2因为 CM⊥ l ，∴ k CM k l＝－1，× 1＝－1，∴ a＋ b＋1＝0，得 b＝－ a－1.①直线 l 的方程为 y－ b＝ x－ a，即 x－ y＋ b－ a＝0.| |＝| b－a＋ 3|，CM2∵以 AB为直径的圆M过原点，∴| MA|＝ | MB| ＝| OM|.2＝9－|b－a＋3|2b－ a＋3|2∴ | MB|2＝| CB|2－ | CM|＝ | OM|2＝a2＋b2，即 9－|＝ a2＋b2.②22 3由①②得 a＝2或 a＝－1，35当 a＝时， b＝－，22此时直线 l 的方程为 x－y－4＝0；当 a＝－1时， b＝0，此时直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x－ y－4＝0或 x－y＋1＝0.10．在平面直角坐标系12222 xOy中，已知圆 C：( x＋3)＋ ( y－ 1)＝ 4和圆 C：( x－4)＋( y－5) 2＝ 4.(1) 若直线l过点 (4 ， 0) ，且被圆1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程；AC(2) 设 P 为平面上的点，知足：存在过点P 的无量多对相互垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分 别与圆 C 和圆 C 订交，且直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 截得的弦长相等， 试求1212全部知足条件的点P 的坐标．分析： (1) 因为直线 x ＝ 4 与圆 C 1 不订交，因此直线 l 的斜率存在． 设直线 l 的方程为 y＝k ( x － 4) ，即 kx －y － 4k ＝ 0.由垂径定理，得圆心C 1 到直线的距离 d ＝22－2 32＝1，2| － 3k － 1－ 4k |＝ 1.联合点到直线距离公式，得k 2＋ 127化简，得 24k ＋ 7k ＝ 0，解得 k ＝ 0 或 k ＝－.7因此直线 l 的方程为： y ＝ 0 或 y ＝－( x － 4) ，即 y ＝ 0 或 7x ＋ 24y － 28＝ 0.24(2) 设点 P 坐标为 ( m ， n ) ，直线 l 1， l 2 的方程分别为：1y － n ＝k ( x － m ) ， y － n ＝－ k ( x － m )( k ≠0) ，11即： kx － y ＋ n －km ＝ 0，－ k x － y ＋n ＋ k m ＝ 0.因为直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂12径定理，得圆心 C 1 到直线 l 1 与圆心 C 2 到直线 l 2 的距离相等．41|－3 －1＋ － |－ k － 5＋ n ＋ k mn km＝，故有k 2＋ 11k 2＋1化简得 (2 － m － n ) k ＝ m － n － 3 或 ( m －n ＋ 8) k ＝m ＋ n － 5，对于 k 的方程有无量多解，有2－m－n＝ 0，m－n＋8＝0，或m－n－3＝0m＋n－5＝0，3，13或5，－1.解得点 P 坐标为－2222经查验，以上两点知足题目条件．11．已知过点A(－1，0)的动直线 l 与圆 C：x2＋( y－3)2＝4订交于 P，Q两点， M是 PQ 中点， l 与直线 m： x＋3y＋6＝0订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程．1分析： (1) ∵l与m垂直，且k m＝－，∴ k l＝3.3故直线 l 方程为 y＝3( x＋1)，即3x－ y＋3＝0.∵圆心坐标 (0 ，3) ，知足直线l 方程．∴当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C.(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1切合题意．②当直线l与 x 轴不垂直时，设直线l的方程为y＝ k( x＋1)，即kx－ y＋ k＝0，∵ PQ＝23，CM＝4－3＝ 1，则由CM＝|－ 3＋k| k2＋1＝ 1，得4k＝3.∴直线l ：4x－3y＋4＝0.故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋ 4＝ 0.。

第1讲直线与圆直线的方程及应用1.(2015贵阳模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-错误!未找到引用源。

x+错误!未找到引用源。

的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )(A)m>1且n<1 (B)mn<0(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0解析:因为y=-错误!未找到引用源。

x+错误!未找到引用源。

经过第一、三、四象限,故-错误!未找到引用源。

>0,错误!未找到引用源。

<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn<0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )(A)（-1,错误!未找到引用源。

）(B) （-∞,错误!未找到引用源。

）∪（1,+∞）(C)(-∞,1)∪（错误!未找到引用源。

,+∞） (D)(-∞,-1)∪（错误!未找到引用源。

,+∞）解析: 如图,k AB=-1,k AC=错误!未找到引用源。

,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪（错误!未找到引用源。

,+∞）.故选D. 4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=错误!未找到引用源。

,所以|ab|=|a×错误!未找到引用源。

|=|a+错误!未找到引用源。

学习资料专题六解析几何第一讲直线与圆1．（2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－错误!B．－错误!C．错误!D．2解析：选A由已知可得圆的标准方程为（x－1）2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为（1，4)，由点到直线的距离公式得d＝错误!＝1，解得a＝－错误!,故选A．2．（2018·全国卷Ⅲ）直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆（x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（)A．［2,6］B．[4，8]C．[错误!，3错误!] D．［2错误!，3错误!］解析：选A设圆（x－2）2＋y2＝2的圆心为C,半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C（2，0），r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2错误!,可得d max ＝2错误!＋r＝3错误!，d min＝2错误!－r＝错误!.由已知条件可得|AB|＝2错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!｜AB｜·d max＝6，△ABP面积的最小值为错误!|AB｜·d min＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]．故选A．3．(2016·全国卷Ⅲ）已知直线l:mx＋y＋3m－错误!＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若｜AB|＝23，则|CD|＝________.解析:设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长｜AB｜＝2错误!＝2错误!,得d＝3，即错误!＝3，解得m＝－错误!，则直线l:x－错误!y＋6＝0,数形结合可得｜CD｜＝错误!＝4。

答案：44．（2018·全国卷Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A，B两点，|AB｜＝8.(1)求l的方程；（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1）由题意得F（1，0），l的方程为y＝k(x－1)（k>0)．设A(x1,y1）,B(x2，y2)，由错误!得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16〉0,故x1＋x2＝错误!。

第1讲直线与圆直线的方程及应用1.(2015贵阳模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )(A)m>1且n<1 (B)mn<0(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0解析:因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn<0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )(A)（-1,） (B) （-∞,）∪（1,+∞）(C)(-∞,1)∪（,+∞）(D)(-∞,-1)∪（,+∞）解析: 如图,k AB=-1,k AC=,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪（,+∞）.故选D.4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.故选C.5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( C )(A)(B)2(C)3(D)4解析:由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m<0),根据平行线间的距离公式得,=,即|m+7|=|m+5|,所以m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.故选C.圆的方程及应用6.圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为( C )(A)(x-1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y+1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2解析:由于圆心在y=x上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将原点(0,0)代入圆的方程得r2=2a2,①由圆在x轴上截得弦长为2,得r2=a2+1,②由①②得所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.7.圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为（x0,）(x0>0),则圆的半径r=≥=,当且仅当2x0=,x0=1时,等号成立,圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A.8.以双曲线-=1的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取y=x,即4x-3y=0.双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线4x-3y=0的距离为d==4,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+y2=16.答案:(x-5)2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015四川省资阳市高三适应性检测)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是 ( C )(A)相离 (B)相切(C)相交且不过圆心(D)相交且过圆心解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且点(0,1)在圆x2+y2=4内,所以对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选C.10.(2015惠州模拟)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( B )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离解析:两圆心的距离为,且1<<5,即|r1-r2|<d<r1+r2,因此两圆相交.故选B.11.(2015合肥模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为( A )(A)1 (B)(C)2 (D)2解析:圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径为2,直线方程l的斜率为-1,方程为x+y-1=0.圆心C到直线l的距离d==.弦长|AB|=2=2=2,又坐标原点O到AB的距离为,所以△OAB的面积为×2×=1.故选A.12.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a= .解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=.由22+()2=2-a,得a=-4.答案:-413.(2014湖北卷)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .解析:由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即=⇒a2=1,同理可得b2=1,则a2+b2=2.答案:2一、选择题1.(2015贵州模拟)过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( D )(A)x+y-4=0(B)3x-y=0(C)x+y-4=0或3x+y=0(D)x+y-4=0或3x-y=0解析:若直线过原点,设直线方程为y=kx,把点P(1,3)代入得k=3,此时直线为y=3x,即3x-y=0.若直线不经过原点,则设直线方程为+=1,即x+y=a.把点P(1,3)代入得a=4,所以直线方程为x+y=4,即x+y-4=0,故选D.2.(2015唐山模拟)直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值为( B )(A)1或-6 (B)1或-7(C)-1或7 (D)1或-解析:圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2,圆心为(-1,-1),半径为,由题意直线与圆相切,即d==,解得m=-7或m=1.故选B.3.(2015贵州模拟)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( C )(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0(C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0解析:圆(x-3)2+y2=9的圆心为A(3,0),所以AP⊥MN,AP的斜率为k==-,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,选C.4.(2015福建模拟)若不论m取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为( A )(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1)解析:直线l的方程可化为m(x+2)+y-1=0,由得故直线l恒过定点(-2,1).故选A.5.(2015哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( A )(A)135°(B)120°(C)60° (D)45°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f（）,即-b=a,因此直线l的斜率为-1,倾斜角为135°.6.(2015哈尔滨模拟)已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过P作C的切线有两条,则k 的取值范围是( D )(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,)(C)(-,0) (D)(-,)解析:若x2+y2+kx+2y+k2=0表示一个圆,则k2+4-4k2=4-3k2>0,即-<k<,若过点P作圆的切线有两条,则P点在圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0外,将P(1,2)坐标代入后得到k2+k+9>0,由于k2+k+9=(k+)2+8>0恒成立,所以k的取值范围是(-,).故选D.7.(2015河北模拟)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( B )(A)(B)2(C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.8.(2014安徽卷)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( D )(A)(0,] (B)(0,] (C)[0,] (D)[0,]解析:设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0,].9.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,-,则满足条件的直线l共有( C )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:当A,B位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条;因为|AB|==,而A到直线l与B到直线l距离之和为+-=,所以当A,B位于直线l两侧时,存在一条与AB垂直且距离A,B分别为,-的直线,综合可知满足条件的直线共有3条.10.已知直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是原点),则点P(a,b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( A )(A)+1 (B)2 (C)(D)-1解析:由题意知∠AOB为直角,则原点到直线ax+by=1的距离为d==,则+a2=1,显然M(0,1)为椭圆+a2=1的焦点,所以点P(a,b)与点M(0,1)之间的最大值为+1,选A.11.(2015佳木斯模拟)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A )(A)5-(B)4-(C)-1 (D)5解析:将x2+y2-4x+6y+12=0化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|=×,所以|2x-y-2|表示圆(x-2)2+(y+3)2=1上的点到直线2x-y-2=0的距离的倍,而()min=-1=-1,所以|2x-y-2|的最小值为×(-1)=5-.故选A.二、填空题12.(2015潍坊模拟)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是.解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d====,所以当a=2时,d有最小值=3.此时切线长最小为==4.答案:413.当且仅当m≤r≤n时,两圆x2+y2=49与x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共点,则n-m的值为.解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3)2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为r,要使两圆有公共点需|r-7|≤≤7+r,即2≤r≤12,进而可知m=2,n=12,所以n-m=10.答案:1014.(2015赤峰市高三统考)已知☉O:x2+y2=1,若直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P的☉O 的两条切线互相垂直,则实数k的取值范围是.解析:因为圆心为O(0,0),半径R=1.设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PAOB为正方形,故有PO=R=,由题意知圆心O到直线y=kx+2的距离小于或等于PO=,即≤,即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)15.(2015安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:①若P,Q是x轴上两点,则d(P,Q)=|x1-x2|;②已知两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)为定值;③原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)的最小值为;④若|PQ|表示P,Q两点间的距离,那么|PQ|≥d(P,Q);其中为真命题的是(写出所有真命题的序号).解析:①若P,Q是x轴上两点,两点纵坐标均为0,则d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;②若两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以命题正确;③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值为1,所以命题错误;④由基本不等式a2+b2≥(a+b)2,得|PQ|=≥(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命题成立.综上所述,正确的命题为①②④.答案:①②④。

第1讲 直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．例1 (1)(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行，得a ()a －1＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行”的充要条件．(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2解析 由题意，得直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A ()0，2，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B ()2，0，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C上，其中圆心坐标为C ()1，1，半径为r ＝2， 则圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)已知直线l 1：ax ＋()a ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋()a ＋2a ＝0， ∴a ()a ＋3＝0，∴a ＝0或a ＝－3.故选A.(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 整理得2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2017·海口调研)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32＋()y －12＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋()y －12＝1答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.(2)(2017·百校联盟质检)若圆C 过点()0，－1，()0，5，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为______________． 答案 x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73解析由题意可设圆心C ()a ，2，则||a －2－22＝22⇒a ＝0或a ＝8，所以半径等于0＋32或82＋32，即圆C 的标准方程为x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 跟踪演练2 (1)圆心为()4，0且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A.()x －42＋y 2＝1 B.()x －42＋y 2＝12C.()x －42＋y 2＝6 D.()x ＋42＋y 2＝9答案 B解析 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离， 即r ＝d ＝||3×4－03＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为()x －42＋y 2＝12 .(2)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2017·保定模拟)若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 2 D ．± 2答案 D解析 圆x 2＋()y －a 2＝1的圆心坐标为()0，a ，半径为1，因为直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，所以圆心()0，a 到直线的距离d ＝r ，即||a 2＝1，解得a ＝±2，故选D.(2)(2017·银川模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案 B解析 化圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)(2017·深圳调研)直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( ) A.22B. 2C. 6 D ．2 6答案 C解析 由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝2 2－12＝6，故选C. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.()－3，－1∪()1，3B.()－3，3C.[]－1，1D.[]－3，－1]∪[1，3 答案 D解析 圆心()a ，a 到原点的距离为||2a ，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆()x －a 2＋()y －a 2＝8与圆x2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，∴r －r ′≤||2a ≤r ＋r ′，即1≤||a ≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[]－3，－1]∪[1，3， 故选D.真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝ 2. 又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________． 答案2553．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 押题预测1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 C解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sinπ3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23， 即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( )A ．有最小值1＋2，无最大值B ．有最小值3＋22，无最大值C ．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 B解析 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．2解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点()3，4在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 答案 C解析 将点()3，4代入直线方程，求得a ＝3，所以直线l ：3x －y ＋1＝0 ，斜率k ＝3，所以倾斜角为60°，故选C. 2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.3．直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )32C ．－23 D ．－32答案 C解析 设P (a,1) ，Q (b ，b －7) ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P ()1，2的直线与圆x 2＋y 2＝1相切，且与直线ax＋y －1＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．－43C ．0或43 D.43答案 C解析 当a ＝0时，直线ax ＋y －1＝0，即直线y ＝1，此时过点P ()1，2且与直线y ＝1垂直的直线为x ＝1，而x ＝1与圆相切，满足题意，所以a ＝0成立；当a ≠0时，过点P ()1，2且与直线ax ＋y －1＝0垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为y －2＝1a()x －1，即x －ay＋2a －1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得||2a －1a 2＋1＝1，解得a ＝43.所以a ＝0或43.故选C.5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －10y ＋25＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y ＋3＝0 C ．x ＋3y －1＝0 D ．3x －y ＋1＝0答案 A解析 由题设可知，线段AB 的垂直平分线过两圆的圆心C 1(1,2)，C 2(－2,5)，由此可得kC 1C 2＝5－2－2－1＝－1，故由点斜式方程可得y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0，故选A. 6．(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的方程为y ＝k ()x ＋2，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 B解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O: x 2＋y 2＝4上至少存在三点到直线l: y ＝k ()x ＋2的距离为1，则圆心()0，0到直线kx －y ＋2k ＝0的距离d 应满足d ≤1，即||2k k 2＋1≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33，故选B.7．(2017·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]答案 C解析 过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，MC ，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，只需∠AMC ≥45°，sin ∠AMC ＝10(5－1)2＋(t －4)2≥22，解得2≤t ≤6，故选C.8．(2017届上海市黄浦区模拟)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －1＝0，4x ＋ay －2＝0有无数多组解，则实数a ＝________. 答案 2解析 当a ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，不合题意；当a ≠0时，由a 4＝1a ＝－1－2，解得a ＝2.综上可知，a ＝2.9．(2017届安徽省马鞍山市质检)已知A ()0，0，B ()2，－4，C ()4，2，线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是__________．答案 ()6，－2解析 设D ()x ，y ，因为B ()2，－4，C ()4，2在圆周上且AD 是△ABC 外接圆的直径，所以k BA ·k BD ＝－1＝－42×－4－y 2－x ，k CA ·k CD ＝－1＝24×2－y 4－x，解得x ＝6，y ＝－2，所以点D 的坐标是()6，－2.10．以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．答案 x 2＋y 2＝2 相交解析 由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程是x 2＋y 2＝2.因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2(0,1)，r 2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 2－r 1＝2－2，所以r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2，故两圆的位置关系是相交．11．(2017届四川省绵阳市诊断性考试)过定点M 的直线：kx －y ＋1－2k ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9相切于点N ，则|MN |＝________.答案 4解析 由直线kx －y ＋1－2k ＝0，即y －1＝k (x －2)，直线经过定点M (2,1)．又圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9，则圆心坐标为C (－1,5)，半径r ＝3，所以|MC |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，所以|MN |＝|MC |2－r 2＝52－32＝4.12．设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l: x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．答案 2π解析 如图，设圆心坐标为C ()a ，b ， 则⎩⎨⎧ r 2＝a 2＋1，r ＝2||b ⇒2b 2＝a 2＋1， 所以圆心C ()a ，b 到直线x －2y ＝0的距离d ＝||a －2b 5， 故d 2＝()a －2b 25＝15()a 2＋4b 2－4ab . 由于a 2＋b 2≥2ab ⇒－4ab ≥－2a 2－2b 2，故d 2＝15()a 2＋4b 2－4ab ≥15()2b 2－a 2＝15(当且仅当a ＝b 时取等号)， 此时r 2＝a 2＋1＝2，故圆的面积S ＝πr 2＝2π.B 组 能力提高13．(2017·广州市综合测试)已知三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析 因为三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23. 所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D. 14．(2017届南昌模拟)若对圆()x －12＋()y －12＝1上任意一点P ()x ，y ，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是() A ．a ≤－4 B ．－4≤a ≤6C ．a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6答案 D解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1: 3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2: 3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2距离和与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．(2017届广西南宁模拟)过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．答案 728 解析 由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1.由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0.∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0.求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为 ||742＋42＝7 2 8. 16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．答案 [－2，2]解析 由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin45°＝22，解得－2≤m ≤ 2.。