第3章 习题一、填空题3.1.1 跨过定滑轮的细绳下端系质量为m 的物体，在物体以4/g 的恒定加速度下落一段距离h 的过程中，绳的拉力对物体做的功为考察物体以4g的恒定加速度下落一段距离h 的过程。
设初速率为P v ，末速率Q v 满足 22224Q P g v v a s h -=∆=（3-1） 物体受到重力mg r和绳子的拉力T r 的作用，合外力F r 做功为Q Q Q mg T PPPA F dr mg dr T dr A A =⋅=⋅+⋅=+⎰⎰⎰r r r r r r（3-2）注意到重力是保守力，其做功为()()()mg pQ pP Q P P Q A E E mgh mgh mg h h mgh =--=--=-=（3-3）对物体使用动能定理，有()2222111222kQ kP Q P Q P A E E mv mv m v v =-=-=-（3-4）联立（3-1）～（3-4），可求出绳的拉力对物体所做的功为34T A mgh =-3.1.2 高m 100的瀑布每秒钟下落31200m 水，假设水下落过程中动能的75％由水力发电机转换成电能，则此发电机的输出功率为 。
依题设，每秒钟有质量为33361.0101200 1.210m V kg m m kg ρ-==⨯⋅⨯=⨯的瀑布水下落。
取水和地球为系统，在水从瀑布最高点下落h 的过程中，系统机械能守恒，有k E mgh =经水力发电机转换后的电能为6875% 1.2109.810075%8.8210()E mgh J =⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯由于以上电能是每秒钟产生的，所以发电机的输出功率为888.82108.8210()1E P W t ⨯===⨯3.1.3 质量为kg 1000的汽车以h km /36的速率匀速行驶，摩擦系数为0.10。
在水平路面上行驶发动机的功率为 。
小车的速率110003636103600mv km h m s s-==⨯=⋅小车匀速行驶，故30.1010009.8109.810()9.8()P Fv fv mgv W kW μ====⨯⨯⨯=⨯=3.1.4 以恒定速率拉一小船所需的力与速率成正比，使该小船速率达到s m /2.1所需的功率为1N ，使小船速率达到s m /6.3所需的功率为2N ，则2N 是1N 的 倍。
依题意，设以恒定速率拉船所需的力F 与速率v 满足如下关系F kv =其中k 为一常数。
所需的功率为2P Fv kv ==所以2222222111 3.691.2N v v N v v ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.1.5 速度为0v 的子弹射穿木板后，速度恰好变为零。
设木板对子弹的阻力恒定不变，那么，当子弹射入木板的深度等于木板厚度的一半时，子弹速度的大小为 。
以质量为m 的子弹为对象，考察子弹以初速0v 从与厚度为d 木板相碰至恰好射穿的过程，设木板对子弹的平均阻力为f ，依据动能定理，可知20102fd mv -=-现考察子弹从木板相碰至射入木板的深度为木板厚度的一半（设此时子弹的速率为v ）的过程，仍然对子弹使用动能定理，有22011222d fmv mv -=- 由以上两式，可解出所求子弹速率为v =3.1.6 质量为kg 100的货物平放在卡车车厢底板上，卡车以2/4s m 的加速度起动，4秒内摩擦力对该货物所做的功为 。
考察货物自静止开始随汽车匀加速运动4秒内的过程，显然，初速率10P v m s -=⋅，而4秒末的速率为104416()Q P v v at m s -=+=+⨯=⋅在该过程中，货物受到3个力的作用，即：重力mg r，车厢底板对它的支持力N r 和静摩擦力f r ，对货物使用动能定理，合外力F r做功为Q Q Q Q Q Qf f PPPPPPA F dr mg dr N dr f dr mg vdt N vdt A A =⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r r r r r r r所以摩擦力做功为22224111110016100022221.2810()f kQ kP Q P A A E E mv mv J ==-=-=⨯⨯-⨯⨯=⨯3.1.7 以N 200的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了m 0.5。
若小车的质量为kg 100，小车运动时的摩擦系数为0.10，则小车的末速为 。
考察小车从静止出发至行驶5m 的过程，小车受到四个力的作用，分别为：重力mg r,地面的支持力N r 和摩擦力f ，还有推力F r。
由动能定理，有2102mg N F f F f kQ kP A A A A A A A E E mv =+++=+=-=-而F A F s =∆ 和 f A f s =-∆其中摩擦力f mg μ=所以小车的末速为13.2()v m s -==≈⋅3.1.8 从轻弹簧原长开始，第一次拉伸l ，在此基础上，第二次再拉伸l ，继而，第三次又拉伸l ，则第三次拉伸弹簧与第二次拉伸弹簧弹力所做功之比为 。
由于弹簧的弹性力是保守力，其做功为2211()22pQ pP Q P A E E kx kx ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭第一次拉伸l 的过程，0P x =，Q x l =，弹性力做功为2221111222Q P A kx kx kl ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭在此基础上，第二次再拉伸l 的过程，P x l =，2Q x l =，弹性力做功为2222113222Q P A kx kx kl ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭继而，第三次又拉伸l 的过程，2P x l =，3Q x l =，弹性力做功为2223115222Q P A kx kx kl ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭所求第三次拉伸弹簧与第二次拉伸弹簧弹性力所做功之比为2322552332kl A A kl -==-3.1.9 功的大小不仅与物体的始、末位置有关，而且还与物体的运动路径有关，这样的力称 。
非保守力3.1.10 有一倔强系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。
在此过程中外力所作的的功为 。
考察小球，地球和弹簧组成的系统，对题设的过程应用功能原理，有21=()()2A E Q E P kx -=外又kx mg =可解出21=()2A mg k外3.1.11 以初速率0v 将质量为kg 9的物体竖直向上发射出去，物体运动过程中受空气阻力而损耗的能量为J 680。
如果不计空气阻力，则物体上升的高度将比有空气阻力时增加 。
如果不计空气阻力，设物体能达到的高度为0H 。
今取物体，地球为系统，在物体自初速率0v 发射（P 态，设高度为0）至最高点（Q 态）的过程中，该系统机械能守恒，有20012mv mgH = 同样的过程，考虑到空气阻力f ，设物体能达到的高度为H ，对物体应用动能定理，有2102mg f kQ kP A A A E E mv =+=-=- 因重力是保守力，它在此过程对物体做功()(0)mg pQ pP A E E mgH mgH =--=--=-由以上三式，可得0f A H H mg=+所求没有空气阻力时物体上升的高度将比有空气阻力时增加06807.799.8f A H H H m mg-∆=-=-=-≈⨯3.1.12 质量为m 的质点沿竖直平面内半径为R 的光滑圆形轨道内侧运动，质点在最低点时的速率为0v ，使质点能沿此圆形轨道运动而不脱离轨道，0v 的值至少应为 。
当物体运动至最高点时，其受力情况如图3-1所示，设此物体的速率为v ，则有2v N mg m R+=质点能沿此圆形轨道运动而不脱离轨道的条件为轨道对物体的作用力0N =取物体，圆形轨道和地球为系统，在物体从最高点运动至最低点的过程，该系统机械能守恒，可知2211(2)22mv mg R mv += 图3-1 由以上三式可求出05v gR =3.1.13 一皮球从m 5.2高处自由落下，与地面碰撞后，竖直上跳，起跳速率为落地速率的3/5，不计空气阻力，皮球跳起能达到的最大高度为 。
取皮球，地球为系统，在皮球自高度为0 2.5H m =自由下落至刚触地（设此时皮球速率为0v ）的过程中该系统机械能守恒，有20012mgH mv = 再考察皮球自地面起跳（此时皮球速率为035v v =）至最高点（设高度为H ）的过程，该系统机械能仍然守恒，有212mv mgH = 由以上两式，可求出皮球跳起能达到的最大高度为22003 2.50.9()5v H H m v ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、选择题3.2.1 一个质点在几个力同时作用下的位移为m k j i r )456(ρρρρ+-=∆，其中一个力N k j i F )359(ρρρρ--=，则这个力在该位移过程中所做的功为：（ ）A. J 91B. J 67C. J 17D. J 67-因为()()95365467()A F r i j k i j k J =⋅∆=--⋅-+=r r r r r r rr选B 。
3.2.2 质量为m 的物体置于电梯底板上，电梯以加速度2/g 匀加速下降距离h ，在此过程中，电梯作用于物体的力对物体所做的功为：（ ） A. mgh B. mgh - C.mgh 21 D. mgh 21-人受到两个力的作用，分别为重力mg r和电梯地板对他的支持力N r 。
法一：因人随电梯相对于地面匀加速下降，故2g mg N m-= 可知12N mg =，方向竖直向上。
在人下降h 的过程中，支持力做功为12N A Nh mgh =-=-法二：考察人随电梯下降h 的过程，由动能定理，有221122N mg kQ kP Q P A A A E E mv mv =+=-=-因重力是保守力，故()()mg pQ pP Q P A E E mgh mgh mgh =--=--=又，人以匀加速度2g下降了h ，其初、末速率满足如下关系 2222Q P g v v h -=⨯⨯联立以上三式，可知支持力做功为12N A mgh =-选D 。
3.2.3 一单摆摆动的最大角度为0θ，当此单摆由0θ向平衡位置（0=θ）摆动过程中，重力做功功率最大的位置θ为：（ ） A.0=θ B. 0θθ=C. 00θθ<<D. 由于机械能守恒，所以功率不变当0θ=时，mg r 与v r 垂直，0P mg v =⋅=r r ，A 排除；当0θθ=时，0v =r ，0P mg v =⋅=r r，B 排除；而当00θθ<<时，cos(,)P mg v mgv g v =⋅=r r r r一般大于0。
