专题10 第7章《平面图形的认识(二)》解答题尖子生培优训练(三)(原卷版)(苏科版)

专题9 第7章《平面图形的认识（二）》解答题尖子生培优训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.【问题】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n 种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4=2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的P4种分割方案．分割方案，可视为12第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5=P4+12P4+P4=52×P4=104×P4=5(种)探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分制方案．所以，此类共有P4种分制方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6=P5+P4+P4+P5=P5+25P5+25P5+P5=145P5=14(种)探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7=______×P6，共有______种不同的分割方案．【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？(直接写出P n与P n−1的关系式，不写解答过程)．【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？(应用上述结论，写出解答过程)【答案】解：【探究】3 42【结论】：由题意知：P5=104×P4，P6=145P5，P7=186P6，…∴P n=4n−10n−1P n−1；【应用】根据结论得：P8=4×8−107×P7=227×42=132．P9=4×9−108×P8=268×132=429．则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案．【解析】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7=P6+P5+2P4+P5+P6=2P6+2×514P6+2×514×25P6=186P6=3P6=42(种)．故答案为：3，42；【结论】见答案；【应用】见答案．此题主要考查了图形变化类，研究了多边形对角线分割三角形的关系，关键是能够得到规律，有难度，注意利用数形结合的思想．2.如图，已知直线l1//l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．(1)如图①，当动点P在线段CD上运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明；(2)如图②，当动点P在线段DC的延长线上运动时，(1)中的结论是否成立？若不成立，试写出新的结论，并给出证明．【答案】解：(1)∠3+∠1=∠2成立．理由如下：过点P作PE//l1，∴∠1=∠APE；∵l1//l2，∴PE//l2，∴∠3=∠BPE；又∵∠BPE+∠APE=∠2，∴∠3+∠1=∠2．(2)∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3−∠1=∠2．理由如下：过点P作PE//l1，∴∠1=∠APE；∵l1//l2，∴PE//l2，∴∠3=∠BPE；又∵∠BPE−∠APE=∠2，∴∠3−∠1=∠2．【解析】本题主要考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线．(1)相等关系成立．过点P作PE//l1，则有∠1=∠APE，又因为PE//l2，又有∠3=∠BPE，因为∠BPE+∠APE=∠2，所以∠3+∠1=∠2；(2)原关系不成立，过点P作PE//l1，则有∠1=∠APE；又因为PE//l2，又有∠3=∠BPE，困为此时∠BPE−∠APE=∠2，则有∠3−∠1=∠2．3.如图，已知AB//CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC=70°．(1)求∠EDC的度数．(2)若∠ABC=m°，求∠BED的度数(用含m的代数式表示)．(3)将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)．【答案】解：(1)∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°，∴∠EDC=12∠ADC=35°．(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=12m°，∵AB//CD，∴∠BCD=∠ABC=m°，∴∠CBE+∠BED=∠EDC+∠BCD，即12m°+∠BED=35°+m°，解得∠BED=35°+12m°．(3)分以下三种情况：①过点E作EF//AB，如图：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠EDC=12∠ADC=35°，∵AB//CD，EF//AB，∴EF//AB//DC，∴∠DEF=∠EDC=35°，∠BEF=180°−∠ABE=180°−12n°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°−12n°+35°=215°−12n°；②过点E作EF//AB，如图：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABG=12∠ABC=12n°，∠EDC=12∠ADC=35°，根据对顶角的性质可得∠EBH=∠ABG=12n°，∵AB//CD，EF//AB，∴EF//AB//DC，∴∠DEF=∠EDC=35°，∠BEF=∠EBH=12n°，∴∠BED=∠BEF−∠DEF=12n°−35°；③过点E作EF//AB，如图：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDG=12∠ADC=35°，∵AB//CD，EF//AB，∴EF//AB//DC，∴∠BEF=∠ABE=12n°，∠DEF=∠CDG=35°，∴∠BED=∠BEF−∠DEF=12n°−35°；综上所述，∠BED的度数为215°−12n°或12n°−35°．【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．(1)根据角平分线的定义可得∠EDC=12∠ADC，然后代入数据计算即可得解；(2)根据角平分线的定义表示出∠CBE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；(3)根据点E的位置分三种情况，画出图形，结合图形，利用角平分线的性质，平行线的求出∠BED的度数即可．4.如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF.(1)∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是__________.请说明理由．(2)如图2，若点P在直线AB的上侧时，∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是____________________(不需说明理由).(3)如图3，在图1的基础上，P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB=x∘，∠PFD=y∘，则∠P1=__________(用含x，y的代数式表示).若P2E平分∠P1EB，P2F 平分∠P1FD，可得∠P2，P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3⋯⋯依次平分下去，则∠P n=__________．(4)科技活动课上，雨轩同学制作了一个如图4的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=28∘，∠PBC=30∘，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗?请说明理由．【答案】解：(1)∠EPF=∠PEB+∠PFD，理由如下：过点P作PH//AB//CD∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH而∠EPF=∠EPH+∠FPH∴∠EPF=∠PEB+∠PFD；(2)∠PFD=∠PEB+∠EPF；(3)12(x+y)°；(12)n(x+y)°；(4)∠APB=∠C+58°.理由如下：过A、B分别作直线AE、BF，使AE//BF.如图，由(1)规律可知∠C=∠1+∠2．∠APB=∠PAE+∠PBF=(∠PAC+∠1)+(∠PBC+∠2)=∠PAC+∠PBC+(∠1+∠2)=∠ACB+58°【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题目之间的联系是关键．(1)过点P作PH//AB//CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；(2)若点P在直线AB上时，过P作AB的平行线，同理依据两直线平行，内错角相等即可证得；(3)利用(1)的结论和角平分线的性质即可写出结论；(4)过A、B分别作直线AE、BF，使AE//BF，利用(1)的结论即可求解．【解答】解：(1)∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠P=∠PEB+∠PFD故答案为∠P=∠PEB+∠PFD；(2)如图(2)，若点P在直线AB上时，∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PFD=∠PEB+∠EPF，故答案为∠PFD=∠PEB+∠EPF；(3)∠P1=12(x+y)°(用x，y的代数式表示)∠P n=(12)n(x+y)°．故答案为12(x+y)°；(12)n(x+y)°；(4)见答案．5.(1)如图①，∠CEF=90∘，点B在射线EF上，AB//CD.若∠ABE=130∘，求∠C的度数；(2)如图②，把“∠CEF=90∘”改为“∠CEF=120∘”，AB//CD.猜想∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由；(3)如图③，在(2)的条件下，作GC⊥CE，垂足为C，反向延长CD至H若∠GCH=θ，则∠ABE=______ (请用含θ的式子表示)．【答案】解：(1)如图①，过E作EK//AB，则∠ABE+∠1=180°，∴∠1=180°−∠ABE=50°，∵∠CEF=90°，∴∠2=90°−∠1=40°，∵AB//CD，EK//AB，∴EK//CD，∴∠C=∠2=40°；(2)∠ABE−∠C=60°，理由：如图②，过E作EK//AB，则∠ABE+∠1=180°，∴∠1=180°−∠ABE，∵AB//CD，EK//AB，∴EK//CD，∴∠C=∠2，∵∠CEF=∠1+∠2=120°，即180°−∠ABE+∠C=120°，∴∠ABE−∠C=180°−120°=60°；(3)150°−θ．【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角．(1)过E作EK//AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB//CD，EK//AB，即可得到EK//CD，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；(2)过E作EK//AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB//CD，EK//AB，即可得到EK//CD，再根据平行线的性质，即可得到180°−∠ABE+∠C=120°，据此可得∠ABE与∠C的数量关系；(3)过E作EK//AB，则∠ABE+∠KEB=180°，再根据AB//CD，EK//AB，可得EK//CD，根据∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，可得∠ABE+120°+90°+θ=360°，进而得到∠ABE=150°−θ．【解答】解(1)见答案；(2)见答案；(3)如图③，过E作EK//AB，则∠ABE+∠KEB=180°，∵AB//CD，EK//AB，∴EK//CD，∴∠DCE+∠KEC=180°，∴∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，又∵GC⊥CE，∠GCH=θ，∠CEF=120°，∴∠ABE+120°+90°+θ=360°，∴∠ABE=150°−θ.故答案为150°−θ．6.我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：(1)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系．初步应用：(2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=135°，则∠2−∠C=______．(3)解决问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．(4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．∠A【答案】45°∠P=90°−12【解析】解：(1)∠DBC+∠ECB−∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB−∠A=180°．(2)∠2−∠C=45°．理由是：∵∠2+∠1−∠C=180°，∠1=135°，∴∠2−∠C+135°=180°，∴∠2−∠C=45°．故答案为：45°；(3)∠P=90°−12∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，∵△BPC中，∠P=180°−∠CBP−∠BCP=180°−12(∠DBC+∠ECB)，∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∴∠P=180°−12(180°+∠A)，=90°−12∠A．故答案为：∠P=90°−12∠A，(4)∠P=180°−12(∠A+∠D)．理由是：∵∠EBC=180°−∠1，∠FCB=180°−∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3=12∠EBC=90°−12∠1，∠4=12∠FCB=90°−12∠2，∴∠3+∠4=180°−12(∠1+∠2)，∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°−(∠A+∠D)，又∵△PBC中，∠P=180°−(∠3+∠4)=12(∠1+∠2)，∴∠P=12×[360°−(∠A+∠D)]=180°−12(∠A+∠D)．(1)根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；(2)利用(1)的结论：∵∠2+∠1−∠C=180°，将∠1=135°代入可得结论；(3)根据角平分线的定义得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入(1)中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−12∠A；(4)根据平角的定义得：∠EBC=180°−∠1，∠FCB=180°−∠2，由角平分线得：∠3=1 2∠EBC=90°−12∠1，∠4=12∠FCB=90°−12∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−12(∠1+∠2)，再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．7.我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿(东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼)，编制了当时最先进的历法《授时历》．小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分(如图2)，∠1=α，∠2=β，∠3=γ，∠4=θ；(1)当a//b，α=70°，β=25°，γ=30°时，根据所学知识，可求得∠4=______；(2)当a//b时，如图2，猜想∠1，∠2，∠3和∠4的数量关系______；(3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到∠5，如图3，如果m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5为定值，求mn的值．(备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分)【答案】75°α+γ=β+θ；【解析】解：(1)分别过A，B两点作AC//a，BD//a，如图2，∵a//b，∴a//AC//BD//b，∴∠CAB−∠3+∠4=180°，∠1=∠2+∠ABD，∠CAB+∠ABD=180°，∴∠CAB=180°+∠3−∠4，∠ABD=∠1−∠2，∴180°+∠3−∠4+∠1−∠2=180°，∴∠1+∠3=∠2+∠4，∵∠1=α=70°，∠2=β=25°，∠3=γ=30°，∴∠4=70°+30°−25°=75°．故答案为75°；(2)分别过A，B两点作AC//a，BD//a，如图2，∵a//b，∴a//AC//BD//b，∴∠CAB−∠3+∠4=180°，∠1=∠2+∠ABD，∠CAB+∠ABD=180°，∴∠CAB=180°+∠3−∠4，∠ABD=∠1−∠2，∴180°+∠3−∠4+∠1−∠2=180°，∴∠1+∠3=∠2+∠4，∵∠1=α，∠2=β，∠3=γ，∠4=θ，∴α+γ=β+θ．故答案为α+γ=β+θ；(3)分别过A，B，E作AC//a，BD//a，EF//a，∴a//AC//BD//EF，∴∠PEF=∠5，∠CAE+∠4+∠PEF=180°，∠CAE+∠3+∠ABD=180°，∠1=∠2+∠ABD，∴∠CAE=180°−∠4−∠5，∠ABD=∠1−∠2，∴180°−∠4−∠5+∠3+∠1−∠2=180°，即(∠1+∠3)−(∠2++∠4+∠5)=0°，∵m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5为定值，即m(∠1+∠3)+n(∠2++∠4+∠5)为定值，∴m，n互为相反数，=−1，∴mn故答案为−1．(1)分别过A，B两点作AC//a，BD//a，则a//AC//BD//b，根据平行线的性质可得∠1+∠3=∠2+∠4，再代入计算即可求解；(2)分别过A，B两点作AC//a，BD//a，则a//AC//BD//b，根据平行线的性质可得∠1+∠3=∠2+∠4，再代入计算即可求解；(3)分别过A，B，E作AC//a，BD//a，EF//a，则a//AC//BD//EF，根据平行线的性质可得(∠1+∠3)−(∠2++∠4+∠5)=0°，结合m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5为定值可得m，n互为相反数，进而可求解．本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键．8.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”。

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题7.10第7章平面图形的认识（二）单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•广陵区校级期中）下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（）A．B．
C．D．
2．（2020秋•集贤县期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
3．（2020春•常州期中）若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（
）
A．4B．5C．6D．8
4．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（）
A．40°B．60°C．80°D．140°
5．（2020春•常州期中）如图所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
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苏科版七年级下册数学第7章平面图形的认识（二）含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一张折叠型方桌子如图甲，其主视图如乙，已知AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，现将桌子放平，要使桌面a距离地面m为40cm高，则两条桌腿需要叉开的角度∠AOB为（）A.150°B.约105°C.120°D.90°2、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF =4cm2，则S△ABC的值为（）A.1cm 2B.2cm 2C.8cm 2D.16cm 23、如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB 于点E,，∠A=60º, ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（）A.35 ºB.70ºC.100 ºD.110 º4、如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A. 当∠1=∠2时，一定有a∥bB. 当a∥b时，一定有∠1=∠2C. 当a∥b时，一定有∠1＋∠2=180°D. 当a∥b时，一定有∠1＋∠2=90°5、如图，能判定EB∥AC的条件是（）A.∠C=∠ABEB.∠A=∠ABEC.∠C=∠ABCD.∠A=∠EBD6、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）．A.100°B.100°或40°C.40°D.80°7、已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A.13B.11C.11或13D.12或158、给出下列命题①三条线段组成的图形叫三角形，②三角形的三条高相交于三角形内同一点，③任何一个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高④三角形的内角和等于外角和、⑤多边形的内角和大于外角和⑥三角形的三条角平分线相交于形内同一点．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD交于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G．若∠EGD=116°，则∠EFD的度数为（）A.46°B.52°C.58°D.64°10、等腰三角形腰长10cm，底边16cm，则面积（）A.96cm 2B.48cm 2C.24cm 2D.32cm 211、下列说法中错误的是A.三角形的中线、角平分线、高线都是线段B.任意三角形的外角和都是360°C.有一个内角是直角的三角形是直角三角形D.三角形的一个外角大于任何一个内角12、下列图中∠1与∠2是同位角的是（）A. B. C.D.13、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. B. C. 或 D.14、如果将长度为a-2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是（）A.a﹥-1B.a﹥2C.a﹥5D.无法确定15、如图，已知AD//BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（）A.64°B.66°C.74°D.86°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，将三角形 ABC 向左平移 3cm 得到三角形 DEF，其中点 E、B、F、C 在同一条直线上，如果三角形 ABC 的周长是 12cm，那么四边形ACED的周长是________cm.17、已知∠A与∠B的两边一边平行，另一边垂直，∠A=x°，那么∠B等于________.18、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为________.19、如图所示，在等边三角形ABC中，剪去∠A，∠C后，∠1+∠2+∠3+∠4=________．20、填空完成推理过程，如图，点分别是的边上的点，.求证：.求证：证明________（________）________（________）.21、某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米32元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要________元．22、下列说法：①三角形的三条内角平分线都在三角形内，且相交于一点，正确；②在中，若，则一定是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④若等腰三角形的两边长分别是3和5，则周长是13或11；⑤如果一个正多边形的每一个内角都比其外角多，那么该正多边形的边数是10，其中正确的说法有________个.23、如果△ABC中，∠A+∠B=∠C﹣10°，则△ABC是________三角形．24、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为________.25、八边形内角和度数为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数．27、如图,反比例函数（k≠0）图象的一支经过点A(2,6)和点B(n,2)，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，连结AB，AC．求△ABC的面积.28、如图，已知，平分.求证：．29、在△ABC中，∠B=∠C，且∠A与∠B的比例为1：a，用代数式表示A，B，C的度数．30、如图，在四边形中，，，、分别是和的平分线.求证：.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C3、D4、C5、B6、C7、A8、C9、B10、B11、D12、D13、C14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

苏科版七年级下册数学第7章平面图形的认识（二）含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B. C. D.2、能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的线段是三角形的（）A.角平分线B.中线C.高D.以上三种线3、如图，AB∥CD，BC平分∠ABF，若∠BFC=44°，则∠BCF的度数为（）A.56°B.60°C.68°D.74°4、三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5、如图，与没有公共边的三角形是( )A. B. C. D.6、中，已知：，，则中按角分类是（）．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.斜三角形7、画△ABC中AC上的高，下列四个画法中正确的是（）A. B. C.D.8、如图，BD∥CE，∠1=85°，∠2=37°，则∠A的度数是（）A.15度B.37度C.48度D.53度9、过n边形的其中一个顶点有10条对角线，则n的值为( )A.11B.12C.13D.1410、如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数（）A.50°B.100°C.70°D.80°11、如图，将含有30°的直角三角板的直角顶点放在两条相互平行线的一条上，若，则的度数是（）A.22°B.28°C.32°D.38°12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（）A. B.3 C. D.13、如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（）A.∠DAC=∠BCAB.∠DCB+∠ABC=180°C.∠ABD=∠BDCD.∠BAC=∠ACD14、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=48°，则∠2的度数是( )A.64°B.65°C.66°D.67°15、如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDB=30°，那么∠C 的度数为（）A.150°B.130°C.120°D.100°二、填空题(共10题，共计30分)16、等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则它的腰长为________.17、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O 的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是________．18、如图，点P是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC= ，则∠BAC=________.19、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S＝7，DE＝2，AB△ABC＝4，则AC的长是________．20、将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为________．21、如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．22、等腰三角形的两条边长分别为6和9，那么它的周长为________．23、将一副直角三角板如图放置，点E在AC边上，且ED//BC，∠C=30°，∠F=∠DEF=45°，则∠AEF=________度．24、在□ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠B的度数等于________.25、如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简再求值：其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．27、如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且∠APQ=90°，AQ与BP相交于点T，则的值为多少？28、在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．29、如图，，是上两点，且；点，，在同一直线上，，求证：≌.30、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。

专题7.9第7章平面图形的认识（二）单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm2．（2020春•溧阳市期末）如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2020•庆云县模拟）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2020春•魏县期末）下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形5．（2020春•高淳区期末）下列图形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是（）A．B．C．D．6．（2020春•兴化市月考）下列现象中，属于平移的是（）①小朋友在荡秋千；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④瓶装饮料在传送带上移动．A．①②B．①③C．②③D．②④7．（2020秋•姑苏区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（）A．16°B．20°C．26°D．28°8．（2020春•灌云县校级月考）若一个正多边形的外角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．69．（2020春•工业园区校级期中）如图，下列推理中正确的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥ADB．∵∠2＝∠3，∴AB∥CDC．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BCD．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD10．（2020春•邳州市期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•大安市期末）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是．12．（2020秋•松山区期末）在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则∠B＝度．13．（2020秋•沭阳县期中）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE，则∠CAE的度数为．14．（2020春•溧阳市期末）如图，现将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在平行线的一条直线上，与另一条直线的夹角为∠2，若∠1＝2∠2，那么∠1＝．15．（2020春•崇川区校级月考）如图，AB∥CD，∠A＝75°，∠C＝30°，∠E的度数为．16．（2020秋•靖江市期中）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝66°，那么∠2＝．17．（2020秋•溧阳市期中）如图，△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到，若BC＝6，当点E刚好移动到BC的中点时，则CF＝．18．（2020春•高新区期中）如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD ＝．三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•亭湖区校级期中）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．（1）画出△ABC边AB上的高；（2）请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段之间的关系是．20．（2020秋•大安市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？21．（2019春•新沂市期末）请将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD证明：∵CE平分∠ACD∴∠＝∠（_），∵∠1＝∠2．（已知）∴∠1＝∠（）∴AB∥CD（）22．（2019秋•沛县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上任意一点，（1）过点P分别画OA、OB的垂线，垂足分别为N，M．并通过测量发现PM PN．（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）过点P画OA的平行线，交OB于点Q．通过测量发现PQ OQ．（填“＞”或“＜”或“＝”）（3）直接判断PQ与PM的大小关系，并说明理由．23．（2020春•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝31°，∠EDC＝76°，求∠A的度数．24．（2020春•泰兴市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且EF∥AD．求证：∠AGF＝∠F．25．（2020春•邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为°．26．（2020春•姑苏区期中）已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度数；（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG=13∠MFG，∠BEH=13∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．。

七下第七章《平面图形的认识（二）》特优生拓展训练（2）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.下列第一行所示的四个图形，每个图形均是由四种简单的图形a、b、c、d(圆、直线、三角形、长方形)中的两种组成．例如由a、b组成的图形记作a⊙b，那么由此可知，下列第二行的图中可以记作a⊙d的是()A. B. C. D.2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是()A. BE是△ABD的中线B. BD是△BCE的角平分线C. ∠1=∠2=∠3D. BC是△ABE的高3.设a，b，c均为正整数，且a≥b≥c，满足a+b+c=15，则以a，b，c为边长的三角形有()A. 5个B. 7个C. 10个D. 12个4.已知线段AC=3，BC=2，则线段AB的长度()A. 一定是5B. 一定是1C. 一定是5或1D. 以上都不对5.一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的1，则这个多边形是()4A. 正十二边形B. 正十边形C. 正八边形D. 正六边形6.如图，直线AB//CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于()A. 132°B. 134°C. 136°D. 138°7.同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为()A. 0个或1个B. 1个或2个C. 2个或3个D. 0个或1个或2个或3个8.三角形的两边分别为3和5，则三角形周长y的范围是()A. 2<y<8B. 10<y<18C. 10<y<16D. 无法确定9.如图，图1是AD//BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为()A. 1200B. 1080C. 1260D. 114010.如图，长方形ABCD中，AB=6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形A n−1B n−1C n−1D n−1沿A n−1B n−1的方向向右平移5个单，得到长方形A n B n∁n D n(n>2)，则AB n长为()A. 5n+6B. 5n+1C. 5n+4D. 5n+3二、填空题11.如图，∠A=32°，则∠B+∠C+∠D+∠E=°.12.如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是_________．13.一个人从点O出发，每前进1m就向右转a°，照这样走下去，如果它恰好能回到点O，且所走的路线最短，则a的值为__________．14.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图中的△DEF绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为______ s.15.如图，∠CAB为锐角，AB=m，点P在射线AC上，点B到射线AC的距离a，BP=x，若△ABP的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是___________．16.已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A是∠B的3倍少36°，则∠B的度数为________．三、解答题17.阅读下列材料：已知：如图1，直线AB//CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED.求证：∠BED=∠B+∠D.小冰是这样做的：证明：过点E作EF//AB，则有∠BEF=∠B.∵AB//CD，∴EF//CD.∴∠FED=∠D.∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D.图1即∠BED=∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB//CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．(1)如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G.猜想∠G的度数，并证明你的猜想；(2)如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2.求证：∠FG1E+∠G2=180°．18.如图，AB//CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系(3)、(4)中任选一个加以说明。

专题7.16 平行线几何模型（M 模型）（巩固培优篇）（专项练习）1．已知直线AB //CD ，EF 是截线，点M 在直线AB 、CD 之间． (1) 如图1，连接GM ，HM ．求证：∠M ＝∠AGM ＋∠CHM ；(2) 如图2，在∠GHC 的角平分线上取两点M 、Q ，使得∠AGM ＝∠HGQ ．试判断∠M 与∠GQH 之间的数量关系，并说明理由．2．阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1，AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1) 求证：EG FG ⊥；(2) 填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ．②如图3，ABCD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．3．已知直线a b ∥，直线EF 分别与直线a ，b 相交于点E ，F ，点A ，B 分别在直线a ，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E ，F 重合），设∠P AE ＝∠1，∠APB ＝∠2，∠PBF ＝∠3．(1) 如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2) 当点P 在线段EF 外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．4．问题情境：如图①，直线AB CD ∥，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上． (1) 猜想：若1130∠=︒，2150∠=︒，试猜想P ∠=______°；(2) 探究：在图①中探究1∠，2∠，P ∠之间的数量关系，并证明你的结论； (3) 拓展：将图①变为图②，若12325∠+∠=︒，75EPG ∠=︒，求PGF ∠的度数．5．如图：(1) 如图1，AB CD ∥，=45ABE ∠︒，21CDE ∠=︒，直接写出BED ∠的度数．(2) 如图2，AB CD ∥，点E 为直线AB ，CD 间的一点，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，写出BED ∠与F ∠之间的关系并说明理由．(3) 如图3，AB 与CD 相交于点G ，点E 为BGD ∠内一点，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，若60BGD ∠=︒，95BFD ∠=︒，直接写出BED ∠的度数．6．（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？7．如图，//AB CD ，点E 在直线AB ，CD 内部，且AE CE ⊥． （1）如图1，连接AC ，若AE 平分BAC ∠，求证：CE 平分ACD ∠； （2）如图2，点M 在线段AE 上，①若MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若1MCE ECD n∠=∠（n 为正整数），当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由．8．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠P AC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）9．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．10．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．11．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．12．已知AB//CD．（1）如图1，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图，连接AD ，BC ，BF 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，且BF ，DF 所在的直线交于点F ．①如图2，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝50°，∠ADC ＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有α，β的式子表示）13．已知，AB ∥CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．（1）如图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明） （2）如图3中，NE 平分∠FND ，MB 平分∠FME ，且2∠E ＋∠F ＝180°，求∠FME 的度数；（3）如图4中，∠BME ＝60°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，且EQ ∥NP ，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数．14．如图1，点A 、B 分别在直线GH 、MN 上，GAC NBD ∠=∠，C D ∠=∠. （1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明）（2）如图2，AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，若AED GAC ∠=∠，求GAC ∠与ACD ∠之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，BF 平分DBM ∠，点K 在射线BF 上，13KAG GAC ∠=∠，若AKB ACD ∠=∠，直接写出GAC ∠的度数．15．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．16．已知直线AM 、CN 和点B 在同一平面内，且AM ∥CN ，AB ⊥BC ． （1）如图1，求∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，若BD ⊥AM ，垂足为D ，求证：∠ABD ＝∠C ；（3）如图3，已知点D 、E 、F 都在直线AM 上，且∠ABD ＝∠NCB ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ．若∠FCB +∠NCF ＝180°，∠BFC ＝3∠DBE ，请直接写出∠EBC 的度数．17．如图1，点A 在直线MN 上，点B 在直线ST 上，点C 在MN ，ST 之间，且满足MAC ACB SBC ∠+∠+∠360=︒．（1）证明：//MN ST ；（2）如图2，若60ACB ∠=︒，//AD CB ，点E 在线段BC 上，连接AE ，且2DAE CBT ∠=∠，试判断CAE ∠与CAN ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若180ACB n︒∠=（n 为大于等于2的整数），点E 在线段BC 上，连接AE ，若MAE n CBT ∠=∠，则:CAE CAN ∠∠=______．18．如图1，直线AB //CD ，点P 在两平行线之间，点E 在AB 上，点F 在CD 上，连接PE ，PF ．（1）若∠PEB =60°，∠PFD =50°，请求出∠EPF ．（请写出必要的步骤，并说明理由） （2）如图2，若点P ，Q 在直线AB 与CD 之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P 1E 平分∠PEB ，P 1F 平分∠PFD ，若设∠PEB ＝x °，∠PFD ＝y °，则∠P 1= （用含x ，y 的式子表示）．若P 2E 平分∠P 1EB ，P 2F 平分∠P 1FD ，可得∠P 2；P 3E 平分∠P 2EB ，P 3F 平分∠P 2FD ，可得∠P 3…，依次平分下去，则∠Pn ＝ ．（用含x ，y 的式子表示）19．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______； （2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ． ①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．20．如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间． （1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ； （3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．21．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．（1）AOB ∠= ︒；（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结F A 、FB ，E 是射线F A 上的一点，若MAE ∠=n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．22．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且100EOF ∠=︒．（1）求BEO OFD ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN FNM ∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．23．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点P ．（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）24．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A∠与C ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．参考答案1．(1)证明见详解(2)180GQH M ∠=︒-∠；理由见详解【分析】（1）过点M 作MN AB ∥，由AB CD ∥，可知MN AB CD ∥∥．由此可知：AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠，故=AGM CHM GMN HMN M ∠+∠=∠+∠∠；（2）由（1）可知=AGM CHM M ∠+∠∠．再由CHM GHM ∠=∠，∠AGM ＝∠HGQ ，可知 ：M HGQ GHM ∠=∠+∠，利用三角形内角和是180°，可得180GQH M ∠=︒-∠．（1）解：如图：过点M 作MN AB ∥， ∴MN AB CD ∥∥，∴AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠， ∵M GMN HMN ∠=∠+∠， ∴=M AGM CHM ∠∠+∠．（2）解：180GQH M ∠=︒-∠，理由如下： 如图：过点M 作MN AB ∥， 由（1）知=M AGM CHM ∠∠+∠， ∵HM 平分GHC ∠， ∴CHM GHM ∠=∠， ∵∠AGM ＝∠HGQ ， ∴M HGQ GHM ∠=∠+∠， ∵180HGQ GHM GQH ∠+∠+∠=︒， ∴180GQH M ∠=︒-∠．【点拨】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．2．(1)见分析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．解：（1）证明：如图，过G 作GH AB ，AB CD ，AB GH CD ∴，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，180BEF DFE ∴∠+∠=︒，EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠， 111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 在EFG ∆中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒，EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠， 1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．3．(1)证明见详解 (2)①312；证明见详解；②123∠=∠+∠；证明见详解【分析】（1）如图4过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠，根据等量代换就可以得出213∠=∠+∠；（2）①如图5过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知3BPC ∠=∠，1APC ∠=∠，根据等量代换就可以得出312；②如图6过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠，根据等量代换就可以得出123∠=∠+∠．（1）解：如图4所示：过点P 作PC a ∥， ∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠， ∵2APC BPC ∠=∠+∠， ∴213∠=∠+∠；（2）解：①如图5过点P 作PC a ∥， ∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴3BPC ∠=∠，1APC ∠=∠， ∵2BPC APC ∠=∠+∠， ∴312；②如图6过点P 作PC a ∥，∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠， ∵2APC BPC ∠=∠+∠， ∴123∠=∠+∠．【点拨】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．4．(1)80︒(2)36012P ∠=︒-∠-∠；证明见详解(3)140︒【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥， ∴AB MN CD ∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∵1130∠=︒，2150∠=︒， ∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒ ∴36013015080EPN FPN ∠+=︒-︒-︒=︒． ∵P EPN FPN ∠=∠+∠， ∴∠P =80°． 故答案为：80︒；（2）解：36012P ∠=︒-∠-∠，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥， ∴AB MN CD ∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒ ∵EPN FPN P ∠+∠=∠，36012P ∠=︒-∠-∠．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥∵AB CD ∥，∴AB MN KR CD ∥∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，180NPG PGR ∠+∠=︒， 2180RGF ∠+∠=︒．∴12540EPN NPG PGR RGF ∠+∠+∠+∠++∠=︒ ∵75EPG EPN NPG ∠=∠+∠=︒，PGR RGF PGF ∠+∠=∠，12325∠+∠=︒，∴12540PGF EPG ∠+∠+∠+∠=︒ ∴54032575140PGF ∠=︒-︒-︒=︒ 故答案为：140︒．【点拨】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．5．(1)∠BED =66°；(2)∠BED =2∠F ，见分析；(3)∠BED 的度数为130°．【分析】（1）首先作EF ∥AB ，根据直线AB ∥CD ，可得EF ∥CD ，所以∠ABE =∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．解：（1）如图，作EF∥AB，，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3) ，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度数为130°．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．∠-∠=∠，见分析6．（1）见分析；（2）当点C在AB与ED之外时，ABC CDE BCD【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB ∥ED ， ∴∠ABC =∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD =∠BCD +∠CDE ， ∴∠ABC =∠BCD +∠CDE ， ∴∠ABC -∠CDE =∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．7．（1）见分析；（2）①∠BAE +12∠MCD =90°，理由见分析；②∠BAE +1nn +∠MCD =90°，理由见分析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC +∠DCA =180°，再根据AE CE ⊥可得∠EAC +∠ECA =90°，根据AE 平分∠BAC 可得∠BAE =∠EAC ,等量代换可得∠ECD +∠EAC =90°，继而求得∠DCE =∠ECA ；（2）①过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.（1）解：因为//AB CD ， 所以∠BAC +∠DCA =180°，因为AE CE ⊥，所以∠EAC +∠ECA =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠EAC ，所以∠BAE +∠DCE =90°，所以∠EAC +∠DCE =90°，所以∠DCE =∠ECA ，所以CE 平分∠ACD ；（2）①∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +12∠MCD =90°，理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，∵∠E =90°，∴∠BAE +∠ECD =90°，∵∠MCE =∠ECD ，∴∠BAE +12∠MCD =90°；②∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +1n n +∠MCD =90°， 理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，∵∠E =90°，∴∠BAE +∠ECD =90°，∵∠MCE =1n∠ECD ， ∴∠BAE +1n n +∠MCD =90°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.8．（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠；（2）当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1//PE l ，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12////PE l l ，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．解：（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1//PE l ，如图1所示．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）结论：当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠-∠，PBD PAC APB ∴∠-∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠-∠，PAC PBD APB ∴∠-∠=∠．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．9．（1）∠ABE =40°；（2）∠ABE =30°；（3）∠MGN =15°．【分析】（1）过E 作EM ∥AB ，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E 作EM ∥AB ，过F 作FN ∥AB ，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P 作PL ∥AB ，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．解：（1）过E 作EM ∥AB ，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x ＝10°，∴∠ABE ＝3x ＝30°；（3）过P 作PL ∥AB ，∵GM 平分∠DGP ，∴设∠DGM ＝∠PGM ＝y ，则∠DGP ＝2y ，∵PQ 平分∠BPG ，∴设∠BPQ ＝∠GPQ ＝x ，则∠BPG ＝2x ，∵PQ ∥GN ，∴∠PGN ＝∠GPQ ＝x ，∵AB ∥CD ，∴PL ∥AB ∥CD ，∴∠GPL ＝∠DGP ＝2y ，∠BPL ＝∠ABP ＝30°，∵∠BPL ＝∠GPL ﹣∠BPG ，∴30°＝2y ﹣2x ，∴y ﹣x ＝15°，∵∠MGN ＝∠PGM ﹣∠PGN ＝y ﹣x ，∴∠MGN ＝15°．【点拨】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．10．(1)90︒ (2)30F E ∠=∠+︒，理由见分析 (3)15︒【分析】（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，180D DFN ∠+∠=︒，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，由//AB CD ，//AB FN ，得到//CD FN ，根据平行线的性质得到180D DFN ∠+∠=︒，于是得到结论；（3）如图2，过点F 作//FH EP ，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，根据角平分线的定义得到12PEF BEF x ∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，根据平行线的性质得到PEF EFH x ∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，于是得到结论．（1）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒，30EFD BEF ∴∠=∠+︒；（3）解：如图2，过点F 作//FH EP ，由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒， EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒， //FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒，15P ∴∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．11．(1)BAE CDE AED ∠+∠=∠；(2)12AFD AED ∠=∠；(3)60=︒∠BAE 【分析】（1）作EF ∥AB ，如图1，则EF ∥CD ，利用平行线的性质得∠1=∠EAE ，∠2=∠CDE ，从而得到∠BAE +∠CDE =∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD =12∠BAE ，∠CDF =12∠CDE ，则∠AFD =12（∠BAE +∠CDE ），加上（1）的结论得到∠AFD =12∠AED ；（3）由（1）的结论得∠AGD =∠BAF +∠CDG ，利用折叠性质得∠CDG =4∠CDF ，再利用等量代换得到∠AGD =2∠AED -32∠BAE ，加上90°-∠AGD =180°-2∠AED ，从而计算出∠BAE 的度数．解：(1)∠BAE +∠CDE =∠AED理由如下：作EF ∥AB ，如图1∵AB ∥CD∴EF ∥CD∴∠1=∠BAE ，∠2=∠CDE∴∠BAE +∠CDE =∠AED(2)如图2，由（1）的结论得∠AFD =∠BAF +∠CDF∵∠BAE 、∠CDE 的两条平分线交于点F∴∠BAF =12∠BAE ，∠CDF =12∠CDE∴∠AFE =12（∠BAE +∠CDE ）∵∠BAE +∠CDE =∠AED∴∠AFD =12∠AED(3)由（1）的结论得∠AGD =∠BAF +∠CDG而射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G∴∠CDG =4∠CDF∴∠AGD =∠BAF +4∠CDF =12∠BAE +2∠CDE =12∠BAE +2（∠AED -∠BAE ）=2∠AED -32∠BAE ∵90°-∠AGD =180°-2∠AED∴90°-2∠AED +32∠BAE =180°-2∠AED ∴∠BAE =60°【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（1）见分析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+ 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据50ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3，过点F 作//EF AB ，当点B 在点A 的右侧时，ABC α∠=，ADC β∠=，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数．解：（1）如图1，过点E 作//EF AB ，则有BEF B ∠=∠，//AB CD ，//EF CD ∴，FED D ∴∠=∠，BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1252FBA ABC ∴∠=∠=︒，1302FDC ADC ∠=∠=︒， 55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒；②如图3，过点F 作//FE AB ，有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1122FBA ABC α∴∠=∠=，1122FDC ADC β∠=∠=， 1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+． 答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．13．（1）∠BME ＝∠MEN ﹣∠END ；∠BMF ＝∠MFN ＋∠FND ；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E 作EH ∥AB ，易得EH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；过F 作FH ∥AB ，易得FH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；∠BME，进而可求解．（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME ＋∠END ）＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，∴2∠BME ＋2∠END ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，即2∠BMF ＋∠FND ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，解得∠BMF ＝60°，∴∠FME ＝2∠BMF ＝120°；（3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ ＝30°．由（1）知：∠MEN ＝∠BME ＋∠END ，∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，∴∠FEN ＝12∠MEN ＝12（∠BME ＋∠END ），∠ENP ＝12∠END ，∵EQ ∥NP ，∴∠NEQ ＝∠ENP ，∴∠FEQ ＝∠FEN ﹣∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）﹣12∠END ＝12∠BME ，∵∠BME ＝60°，∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．14．（1）见分析；（2）3ACD GAC ∠=∠，见分析；（3）54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到AQD E EAQ ∠=∠+∠，结合平行线的性质得到BDQ E EAQ ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义证得2CDB E GAC ∠=∠+∠，结合已知即可得出结论；（3）分当K 在直线GH 下方和当K 在直线GH 上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．解：（1）如图1，延长AC 交MN 于点P ，∵ACD C ∠=∠，∴//AP BD ，∴NBD NPA ∠=∠，∵GAC NBD ∠=∠，∴GAC NPA ∠=∠，∴//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P ，交DE 于点Q ，∵180E EAQ AQE ∠+∠+∠=°，180AQE AQD ∠+∠=°，∴AQD E EAQ ∠=∠+∠，∵//AP BD ，∴AQD BDQ ∠=∠，∴BDQ E EAQ ∠=∠+∠，∵AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，∴2GAC EAQ ∠=∠，2CDB BDQ ∠=∠，∴2CDB E GAC ∠=∠+∠，∵AED GAC ∠=∠，ACD CDB ∠=∠，∴23ACD GAC GAC GAC ∠=∠+∠=∠；（3）当K 在直线GH 下方时，如图，设射线BF 交GH 于I ，∵//GH MN ，∴AIB FBM ∠=∠，∵BF 平分MBD ∠， ∴1(180)2DBF FBM DBN ∠=∠=-∠°， ∴AIB DBF ∠=∠，∵AIB KAG AKB ∠+∠=∠，AKB ACD ∠=∠，∴ACD DBF KAG ∠=∠+∠，∵13KAG GAC ∠=∠，GAC NBD ∠=∠， ∴11(180)332GAC DBN ACD GAC ∠+-∠=∠=∠°， 即1190332GAC GAC GAC ∠+-∠=∠°，解得：54019GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭． 当K 在直线GH 上方时，如图，同理可证得1(180)2AIB DBN AKB KAG ∠=-∠=∠+∠°， 则有113(180)32GAC GAC GAC ∠+∠=-∠，解得：54023GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭．综上，故答案为54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．15．（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， ∴360ABE BEG GED CDE ∠+∠+∠+∠=︒，∵100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，∴260ABE CDE ∠+∠=︒，∵ABE ∠的角平分线和CDE ∠的角平分线相交于F ，∴130ABF CDF ∠+∠=︒，∴130BFD BFH DFH ∠=∠+∠=︒，∵BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线， ∴12MBF ABF ∠=∠，12MDF CDF ∠=∠，∴65MBF MDF ∠+∠=︒，∴1306565BMD ∠=︒-︒=︒；（2）如图2，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， ∴3ABF ABM ∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴6ABE ABM ∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，∴66360ABM CDM BED ∠+∠+∠=︒，∵BMD ABM CDM ∠=∠+∠，∴6360BMD BED ∠+∠=︒， ∴3606BMD α︒-︒∠=； （3）∵∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ， ∴ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴2ABE n ABM ∠=∠，2CDE n CDM ∠=∠，∴22360n ABM n CDM BED ∠+∠+∠=︒，∠=∠+∠，∵M ABM CDM∴2360n M BED∠+∠=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．16．（1）∠A+∠C=90°；（2）见分析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．（2）画辅助平行线找角的联系．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．17．（1）见分析；（2）见分析；（3）n -1【分析】（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB +∠SBA =180°，即可得证；（2）作CF ∥ST ，设∠CBT =α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据AD ∥BC ，得到∠DAC =120°，求出∠CAE 即可得到结论；（3）作CF ∥ST ，设∠CBT =β，得到∠CBT =∠BCF =β，分别表示出∠CAN 和∠CAE ，即可得到比值．解：（1）如图，连接AB ，，360MAC ACB SBC ∠+∠+∠=︒，180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，180MAB SBA ∴∠+∠=︒，//MN ST ∴（2）2CAE CAN ∠=∠，理由：作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT α∠=，则2DAE α∠=．BCF CBT α∠=∠=，60CAN ACF α∠=∠=︒-，AD //BC ，180120DAC ACB ∠=︒-∠=︒，12012022(60)2CAE DAE CAN αα∴∠=︒-∠=︒-=︒-=∠．即2CAE CAN ∠=∠．（3）作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT β∠=，则MAE n β∠=．//CF ST ，CBT BCF β∴∠=∠=，180180n ACF CAN n nββ︒︒-∠=∠=-=， 1801180180(180)n CAE MAE CAN n n n n βββ︒-∠=︒-∠-∠=︒--+=︒-， 11::1n CAE CAN n n n-∠∠==-， 故答案为n 1-．【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．18．（1）110°；（2）80°；（3）()()11,22nx y x y ⎛⎫+︒+︒ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）过点P 作PH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．解：（1）如图1，过点P 作PH ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠EPH ，∠2=∠FPH ，而∠EPF =∠EPH +∠FPH ，∴∠EPF =∠1+∠2=110°；（2）过点P 作//PM AB ,//QN AB ，//PM AB ，1EPM ∴∠=∠，//,//,//QN AB PM AB AB CD ，//P //QN//AB M DC ∴，MPQ NQP ∴∠=∠，2NQF ∠=∠，3EPM MPQ ∠=∠+∠，4PQN NQF ∠=∠+∠，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；（3）过点P 作////PH AB CD ，1PE 平分PEB ∠，11PEB PEP ∴∠=∠，同理11DFP PFP ∠=∠， ∴111EPF PEB PFP ∠=∠+∠1122PFD BEP =+ ()12PFD BEP =+ ()12x y =+︒，同理1()()2nnyP x∠=+︒，故答案为：11() 2P x y∠=+︒，1()()2nnyP x∠=+︒．【点拨】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．19．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见分析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，BG CN//,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．20．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠F AB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠F AC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠F AB＝180°，∴∠F AB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB ＝∠MCA +∠ABP ， ∵BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ， ∴∠ACN ＝2∠GCA ，∠ABP ＝2∠ABF ， 又∵∠MCA ＝180°﹣∠ACN ，∴∠CAB ＝180°﹣2∠GCA +2∠ABF ＝60°， ∴∠GCA ﹣∠ABF ＝60°， ∵∠AFB +∠ABF +∠F AB ＝180°， ∴∠AFB ＝180°﹣∠F AB ﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA ）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA ﹣∠ABF ＝120°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．21．（1）100；（2）75°；（3）n =3．【分析】（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =641nn ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠F AK ，得144606411n nn n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 解：（1）如图：过O 作OP //MN ， ∵MN //GHl ∴MN //OP //GH∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180° ∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360° ∵∠NAO =116°，∠OBH =144° ∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒， ∴58NAC ∠=︒， 又∵MN //GH ， ∴58CEF ∠=︒；∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒ ∵BD 平分OBG ∠， ∴18DBF ∠=︒， 又∵,CDB ∠=︒35∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒； ∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）设FB 交MN 于K ，∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641nMAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△F AK 中，64601nBKA FKA F n ∠=∠+∠=⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.【点拨】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．22．（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）53．【分析】（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解； （2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得11180100AEG AEG KFD KFD n n∠+∠+︒-∠-∠=︒，即可得关于n 的方程，计算可求解n 值． 解：证明：过点O 作OG ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，∴∠260BEO DFO +∠=︒；（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，。

专题13 第7章《平面图形的认识（二）》中动点问题尖子生培优训练（三）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题（本大题共10小题，共100分）1.如图1，，判断，∠CDP，之间的数量关系．小明的思路：如图2，过点P作，通过平行线性质，可得______问题迁移：，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P 与点E，F不重合)运动．当点P在线段EF上运动时，如图3，判断，∠CDP，之间的数量关系，并说明理由；当点P在直线EF上且在E，F两点外侧运动时，中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出，∠CDP，之间的数量关系．【答案】解：360；(1)∠ABP+∠CDP=∠BPD；证明：如图3，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；(2)不成立，关系式是：∠BPD=∠ABP−∠CDP，或∠CDP−∠ABP=∠BPD．理由：如图4，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，∴∠B−∠D=∠BPQ−∠DPQ=∠BPD，∠BPD=∠B−∠D．即∠BPD=∠ABP−∠CDP．如图5，过P作PQ//AB，∵AB//CD，∴AB//PQ//CD，∴∠BPQ=∠ABP，∠CDP=∠DPQ，∠CDP−∠ABP=∠DPQ−∠BPQ=∠BPD．∴∠CDP−∠ABP=∠BPD．【解析】【分析】本题考查了平行线性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．过点P作PE//AB，根据同旁内角互补进行解答即可；(1)过P作PQ//AB，推出AB//PQ//CD，根据平行线性质，求出即可；(2)过P作PQ//AB，推出AB//PQ//CD，根据平行线性质，求出即可．【解答】解：∵过点P作PE//AB，则PE//CD，∴∠B+∠BPE=∠D+∠DPE=180°，∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，故答案为360；(1)见答案；(2)见答案．2.(1)问题情境：如图①所示，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图②所示，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB//CD，∴PE//CD．请你帮助小明完成剩余的解答．(2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题．如图③所示，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(3)当点P在A、B两点之间时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；(4)当点P在A、B两点的外侧时(点P与点O不重合)，写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系并说明理由【答案】解：(1)∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°−∠PCD=180°−120°=60°，∴∠APC=∠APE+∠EPC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；(3)当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；理由：如图4，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；(4)当P在BO之间时，∠CPD=∠α−∠β.理由：如图5，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．【解析】本题考查了平行公理及其推论，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．(1)过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．(2)过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(3)画出图形，点P在BA的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE(4)点P在AB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．3.如图，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．(1)若∠PEF=48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求∠EFP的度数．∠PFC，求∠EFP的度数．(2)若∠PEF=75°，∠CFQ=12【答案】解：(1)①如图1，当点Q落在AB上，∴FP⊥AB，∴∠EFP=90°−∠PEF=42°，①如图2，当点Q落在CD上，∵将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，∴PF垂直平分EQ，∴∠1=∠2，∵AB//CD，∴∠QFE=180°−∠PEF=132°，∴∠PFE=1∠QFE=66°．2综上，∠EFP的度数为42°或66°；(2)①如图3，当点Q在平行线AB、CD之间时：设∠PFQ的度数为x°，由折叠可得：∠EFP=x°，∠PFC，∵∠CFQ=12∴∠PFQ=∠CFQ=x°，∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴75+x+x+x=180，解得：x=35，即：∠EFP=35°；②如图4，当点Q在CD下方时：设∠CFQ的度数为x°，由∠CFQ=12∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，由折叠得∠PFE=∠PFQ=3x°∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴2x+3x+75=180，解得：x=21，∴∠EFP=3x°=63°，综上：∠EFP的度数为35°或63°．【解析】本题考查平行线的性质，方程思想在几何中的运算，解答的关键是正确画出图形，分类讨论．(1)分两种情况：①当点Q恰好落在AB上时，PF⊥AB，则∠EFP=90°−48°=42°；②当点Q恰好落在CD上时，则∠CFP=∠PFE=12∠CFE=12(180°−48°)=66°；(2)分两种情况：①当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②当点Q在CD下方时，设∠CFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．4.如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动(不与点O重合).射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F。

苏科版七年级下册数学第7章平面图形的认识（二）含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、小明把一副直角三角板如图摆放，其中，则等于（ ).A. B. C. D.2、如图，将▱ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( )A.①②都对B.①②都错C.①对，②错D.①错，②对3、如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①∥；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4、如图，∠1＝∠2，∠3＝112°，则∠4等于（）A.62°B.68°C.78°D.112°5、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=5，CF=3，则BD的长是（）A.2B.1.5C.1D.0.56、已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A.5B.6C.12D.167、在中，若，，则这个三角形一定是（）．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、如图，其中能判定的是( )A. B. C. D..9、如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则等于( )A.6B.8C.9D.1010、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，水条长度分别为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。

若调整木条使木框成为一个三角形，则所有三角形中边最长为( )A.6B.7C.8D.1011、等腰三角形的两边分别为5cm、4cm，则它的周长是（）A.14cmB.13cmC.16cm或9cmD.13cm或14cm12、若等腰三角形腰长是4，则底边不可能是（）A.1B.3C.6D.913、等腰三角形的顶角为80°，则它的底角的度数是( )A.20°B.50°C.60°D.80°14、如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A.54°B.62°C.64°D.74°15、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2的度数等于（）A.50°B.30°C.20D.15°二、填空题(共10题，共计30分)16、一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为________．17、若想检验一块儿破损的木板的两条直的边缘AB，CD是否平行，你的办法是________．（工具不限，可结合图形进行说明，只要能说清思路即可）18、如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线E于点D，，，则边的长为________.19、如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°．将求∠AGD的过程填写完整．因为EF∥AD，所以∠2=________ （________ ），又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3（________ ），所以AB∥________（________ ），所以∠BAC+________ =180°（________ ），因为∠BAC=80°，所以∠AGD=________ ．20、如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于________．21、如图,在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC=________.22、如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ=，则此三角形移动的距离PP′=________ ．23、某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米32元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要________元．24、如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为________.25、如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠ABC=35°，则∠1的度数为________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知∠ABC=52°，∠ACB=60°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O，且平行于BC，求∠BOC的度数．27、如图，已知，在的延长线上，是的平分线，试说明与平行的理由.28、如图，∠EBC+∠EFA=180°，∠A=∠C。

七下第七章《平面图形的认识（二）》解答题提优训练（一）一、解答题1.如图，已知AB//CD，∠A=40°，点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．(1)求∠ECF的度数；(2)随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当∠AEC=∠ACF时，求∠APC的度数。

2.如图，在方格纸上画平行线．(1)过点C画CD⊥AB；(2)过点E画EF//AB．3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分，请求出t的值；(2)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？(请直接写出t的值)(3)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，请求出t的值；4.(1)如图1，AA1//BA2，试写出∠A1，∠A2，∠A1B1A2之间的关系，并说明理由(2)如图2，已知AA1//BA3，请直接写出∠A1，∠A2，∠A3，∠B1，∠B2的关系(无需证明)．(3)如图3，直接写出∠A1，∠A2，…，∠A n，∠B1，∠B2…，∠B n−1之间的关系(无需证明)．5.如图，CD是△ABC的边BC的延长线，射线BE、CE相交于点E．(1)若BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，求证：∠E=12∠A；(2)根据(1)的结论及提示猜想：若∠EBC=1n ∠ABC，∠ECD=1n∠ACD，∠A=60°，则∠E的度数为_____(用含n的式子表示)(3)在(2)的条件下，当CE//AB，∠ABC=30°时，求n的值．6.如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线。