2018和平区一模数学答案

2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣D．2．据报道，截至2015年12月底，我区户籍人口突破90万，是沈阳户籍人口最多的区，数据“90万”用科学记数法可表示为（）A．90×104B．9×104C．9×105D．0.9×1053．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．如图，AB∥CD，BD=CD，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°5．通过统计甲、乙、丙、丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙、丁三明同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2=17，S乙2=36，S丙2=14，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如下表：则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA7．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们的材质、大小和背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽取一张，以其正面的数学作为b的值，则满足a2+b2=5的概率为（）A．B．C．D．8．已知a，b满足方程组，若a+b+m=0，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．29．如图，直线y=x﹣b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．C．2 D．310．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：3ax2﹣12ay2=．12．不等式组的解集是．13．将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上．从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD=．15．某射击小组某次射击的数据如表：则这个射击小组20人射击成绩的中位数是环．16．如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为m．三、解答题（共9小题，满分82分）17．计算：．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，∠EBD=60°，则BE=cm时，四边形BFCE是菱形．19．某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨．小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．20．在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图．（1）直接补全条形统计图；（2）m=，n=；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？21．如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D 的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若∠DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k2x+b．（1）反比例函数的表达式是；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是．24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．①求线段DM的长；②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．25．直线y=与抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是．2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣D．【考点】绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质求出答案．【解答】解：﹣2016的绝对值是：2016．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．据报道，截至2015年12月底，我区户籍人口突破90万，是沈阳户籍人口最多的区，数据“90万”用科学记数法可表示为（）A．90×104B．9×104C．9×105D．0.9×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将90万用科学记数法表示为9×105．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】计算题．【分析】从正面看几何体即可确定出主视图．【解答】解：几何体的主视图为．故选C【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．如图，AB∥CD，BD=CD，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【考点】平行线的性质．【分析】由平行线的性质得出∠ABC=∠C=40°，由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠C=40°，得出∠ABD=∠ABC+∠DBC=80°即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=40°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=40°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=80°，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．5．通过统计甲、乙、丙、丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙、丁三明同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2=17，S乙2=36，S丙2=14，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如下表：则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】求得丁同学的方差后与前三个同学的方差比较，方差最小的成绩最稳定．【解答】解：丁同学的平均成绩为：×（80+80+90+90）=85；方差为S丁2=[2×（80﹣85）2+2×（90﹣85）2]=25，所以四个人中丙的方差最小，成绩最稳定，故选C．【点评】本题考查了方差的意义及方差的计算公式，解题的关键是牢记方差的公式，难度不大．6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．7．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们的材质、大小和背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽取一张，以其正面的数学作为b的值，则满足a2+b2=5的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】画出树状图，然后确定出a2+b2=5的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，满足a2+b2=5的有：a=1，b=2；a=﹣1，b=2；a=2，b=1；a=2，b=﹣1；共4个，所以，P==．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．已知a，b满足方程组，若a+b+m=0，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程组两方程相加表示出a+b，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：，①+②得：4（a+b）=16，即a+b=4，代入a+b+m=0中得：m=﹣4，故选A【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．如图，直线y=x﹣b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由点A（3，1）在直线AB上，可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出直线AB 的解析式，令y=0即可得出B点的坐标，套用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵直线y=x﹣b过点A（3，1），∴有1=3﹣b，解得b=2，∴直线的AB的解析式为y=x﹣2．令y=0，则有x﹣2=0，解得x=2，即点B的坐标为（2，0）．△AOB的面积S=×2×1=1．故选A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是求出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，在解决该题中，要注意到那些信息有用，那些信息无用，此题中反比例的函数解析式用不到，只要找出点B的坐标套用三角形的面积公式即可得出结论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：3ax2﹣12ay2=3a（x+2y）（x﹣2y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：原式=3a（x2﹣4y2）=3a（x+2y）（x﹣2y），故答案为：3a（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．不等式组的解集是x≤2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组解集即可．【解答】解：解不等式3x＜2x+4，得：x＜4，解不等式x﹣3≤﹣1，得：x≤2，所以不等式组解集为：x≤2，故答案为：x≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，准确求出每个不等式的解集是解题的前提和根本，依据口诀确定不等式组解集是关键．13．将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上．从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出组成的两位数大于23的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中组成的两位数大于23的数为9，所以组成的两位数大于23的概率=故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD=70°或14°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】①根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CB，DA=DB，证明△CAD≌△CBD，得到答案；②根据线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明结论．【解答】解：①如图1，∵点C、D为线段AB的垂直平分线上的两点，∴CA=CB，DA=DB，在△CAD和△CBD中，，∴△CAD≌△CBD，∴∠CAD=∠CBD，∵∠ACB=40°，∠ADB=68°，∴∠CAD=（360°﹣40°﹣68°）=121°；②如图2，∵点C为线段AB的垂直平分线上的点，∴CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=（180°﹣40°）=70°，∵点D为线段AB的垂直平分线上的点，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA=（180°﹣68°）=56°，∴∠CAD=∠CBD=70°﹣56°=14°．综上所述：∠CAD=70°或14°．故答案为：70°或14°．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．某射击小组某次射击的数据如表：则这个射击小组20人射击成绩的中位数是7.5环．【考点】中位数．【分析】要求中位数，因表中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．【解答】解：这个射击小组20人射击成绩的中位数是（7+8）÷2=7.5．故答案为：7.5．【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．16．如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为15m．【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BC=x，BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值，进而可得a的值，由AB=3a计算可得．【解答】解：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BC=x，BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，∵a=﹣x+10＞0，∴x＜40，则y=﹣x2+30x=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米，当x=20时，a=﹣x+10=5，∴AB=AE+BE=3a=15米，故答案为：15．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．三、解答题（共9小题，满分82分）17．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】先分别根据0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣2+3﹣5﹣2=﹣6+．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质是解答此题的关键．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，∠EBD=60°，则BE=3cm时，四边形BFCE是菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），进而求出BE=FC，BE∥FC，即可得出答案；（2）直接利用菱形的性质得出△EBC是等边三角形，进而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE=FC，∠ABE=∠DCF，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE=EC，∵AD=7cm，DC=2cm，AB=DC，∴BC=3cm，∵∠EBD=60°，EB=EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE=3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键．19．某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨．小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．【考点】分式方程的应用．【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，等量关系为：2月份的用水量﹣12月份的用水量=5m3．【解答】解：设去年居民用水价格为x元/立方米，则今年水费为x（1+）元/立方米，根据题意可列方程为：﹣=5整理，得﹣=5，解得：x=2．经检验x=2是原方程的解．则x（1+）=2.4．答：该市今年居民用水价格为2.4元．【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20．在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图．（1）直接补全条形统计图；（2）m=25，n=5；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是72°；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）总人数乘以30元所占百分比可得30元人数，用总人数减去其余各组人数可得80元的人数，补全条形图；（2）用20元、80元的人数除以总人数可得其所占百分比；（3）用360°乘以30元占总数的百分比；（4）用总体中人数×样本中80元所占比例可得．【解答】解：（1）费用为30元的有：40×20%=8人，费用为80元的有：40﹣2﹣8﹣16﹣4=10人，补全条形统计图如下：（2）m==25，n=×100=5；（3）360°×20%=72°；（4）320×25%=80人．答：估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生约有80人．故答案为：（2）25，5；（3）72°．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D 的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作BF⊥DE于F，易知四边形AEFB是矩形，分别在RT△BFC和RT△BFD中求出CF，DF即可解决问题．【解答】解：如图作BF⊥DE于F，∵∠BAE=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=1.4，BF=AE=10，在RT△BFC中，∵∠CBF=45°，∠BFC=90°，∴∠FBC=∠FCB=45°，∴BF=CF=10，在RT△BFD中，∵∠BFD=90°，∠DBF=60°，BF=10，∴tan∠DBF=，∴=，∴DF=10，DC=DF﹣CF=10﹣10，CE=CF+EF=11.4，答：建筑物CE及旗杆CD的高度分别为11.4m和（10﹣10）m．【点评】本题考查解直角三角形的有关知识、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是理解仰角、俯角的概念，学会添加辅助线，把问题转化为直角三角形、特殊的四边形解决，属于中考常考题型．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若∠DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；圆内接四边形的性质．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°，根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OC，OD，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°﹣108°﹣27°=45°，由圆周角定理得到∠DOC=90°，推出△COD是等腰直角三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=108°，∴∠B=72°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=18°；（2）连接OC，OD，∵∠D=108°，∠DCA=27°，∴∠DAC=180°﹣108°﹣27°=45°，∴∠DOC=90°，∴△COD是等腰直角三角形，∵AB=8，∴OC=OD=4，∴阴影部分的面积=S﹣S△COD=﹣×42=4π﹣8．扇形COD【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k2x+b．（1）反比例函数的表达式是y=；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3）．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）求出点A坐标代入y=即可解决．（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集．（3）如图作EM⊥OB于M，利用翻折不变性，设设PC=PN=x，利用△EMN∽△NBP得=，求出x即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∴OD=BC=4，OB=CD=4，∵OA=OC，∴点A坐标（2，4），∵点A在反比例函数y=上，∴k1=8，∴反比例函数为y=，故答案为y=．（2）∵点E、F在反比例函数图象上，∴点E坐标（2，4），点F坐标（8，1），设直线EF为y=kx+b，则，解得，∴直线EF为y=﹣x+5．于图象可知不等式k2x+b＜的解集为x＜2或x＞8．（3）如图作EM⊥OB于M，∵∠DOM=∠EMO=∠EDO=90°，∴四边形DEMO是矩形，∴EM=DO=4，∵△EPN是由△EPC翻折得到，∴EC=EN=6，PC=PN，∠ECP=∠ENP=90°，设PC=PN=x，MN==2，∵∠ENM+∠PNB=90°，∠PNB+∠NPB=90°，∴∠ENM=∠NPB，∵∠EMN=∠PBN，∴△EMN∽△NBP，∴=，∴=，∴x=9﹣3，∴PB=BC﹣PC=4﹣（9﹣3）=3﹣5．故答案为（8，3﹣5）．【点评】本题考查反比例函数、一次函数的有关知识、翻折变换等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会待定系数法确定函数解析式，学会利用函数图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．①求线段DM的长；②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．【考点】三角形综合题．【专题】综合题；一次函数及其应用．（1）由三角形内角和定理求出∠A的度数，根据D为直角三角形斜边上的中点，得到CD=AD，【分析】利用等边对等角及内角和定理得到∠ADC=60°，利用等边三角形的判定方法判断即可得证；（2）①由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定出AC=CD=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出DH与AC平行，确定出DM为三角形ABC中位线，利用中位线定理判断即可求出DM的长；②分三种情况考虑：当MN=DN；当MN=DM；当DN=DM，分别求出MP的长即可．【解答】（1）证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=60°，由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=60°，∴∠ADC=60°，∴△ACD为等边三角形；（2）解：①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点，∴AC=CD=AD，∴∠ACD=∠A，∵∠CDH=∠A，∴∠ACD=∠CDH，∴DH∥AC，∴DM为△ABC的中位线，∴DM=AC=5；②分三种情况考虑：（i）当MN=DN时，如图1所示，由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，∵MN=DN，∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，∴△ADC∽△DNM，∴=，即=，解得：DN==CD，∴CN=DN，∵DH∥AC，∴△ACN≌△PDN，∴PD=AC=10，∴MP=PD﹣DM=10﹣5=5；（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，∴△ADC∽△MDN，∴=，即=，解得：DN=，∴CN=13﹣=，∵△ACN∽△PDN，∴=，即=，解得：PD=；（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=13﹣5=8，∵△ACN∽△PDN，∴=，即=，解得：PD=，则MP=PD﹣DM=．【点评】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25．直线y=与抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为x=3，将x=3代入直线AB的解析式中即可求出点C的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD的长度；（2）将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中较大的数，令其为t，变换等式即可得出结论；（3）①借用（2）的结论，利用CD=CB得出关于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程进行验证即可确定m的结果，在将m代入t关于m的解析式中即可得出B点的横坐标，由点B 在直线y=x上即可得出B点坐标；②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M，通过三角形内两边之和大于第三边找出点F的位置，再结合两直线垂直，斜率之积为﹣1找出B′M的解析式，结合对称轴为x=3即可得出结论．【解答】解：（1）抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x=3，令x=3，则有y=×3=4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∴CD=4﹣（﹣4m+3）=4m+1．（2）令x=（x﹣3）2﹣4m+3，即x+12﹣4m=0，解得：x1=﹣，x2=+．∵点A在点B的左侧，且点B的横坐标为t，∴t=x2=+，∴m=．（3）①依照题意画出图形，如图1所示．。

2018 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.设集合 A={ 1 ， 2，3， 4， 5， 6} ，B={ x|2＜ x＜ 5} ，则 A∩（ ?R B）等于（）A. { 2，3，4，5}B. { 1，2，5，6}C. {3，4}D.{1，6}2.设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+2y 的取值范围是（）A. [1，8]B. [1，7]C. [1，4]D. [4，8]3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（）A. B. C. D.4.函数 f （ x） =cosx（ sinx-cosx） +1 的最小正周期和最大值分别为（）A.和B. 和C. 和D.和2π 1π 2π2π5.设x R|x+2|+|x-1| ≤5-2≤x≤3）∈ ，则“”是“”的（A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线（ a＞ 0， b＞ 0）的离心率为，过右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 M．若△FOM 的面积为，其中 O 为坐标原点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.如图，在直角梯形 ABCD 中， AB∥DC， AD ⊥DC，AD=DC=2AB，E 为 AD 的中点，若=，则λ +μ的值为（）A.B.C.2D.8. 若曲线与直线y=kx-1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A. C.（5-2 ， 5+2 ）（-∞， 5-2 ）B.D.（0， 5-2 ）（ -∞， 0）∪（ 0， 5-2）二、填空题（本大题共 6 小题，共30.0分）9.设 i 是虚数单位， a 为实数，若复数a+是纯虚数，则 a=______ ．10.若的展开式中的第4项为常数项，则n的值为______．11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm3．12.已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数），曲线 C 的参数方程为（θ为参数）则它们公共点的坐标为______．13.已知a0 b 0，a+b=m m为常数，则y=的最小值为______．＞，＞，其中14.已知函数 f（ x）在 R 上满足 f（ -x）=f（ x），且当 x∈[0，+∞）时， f（ x）= x3+ x2，函数 g（x）=|sin（）|，则函数 h（ x）=f（x）-g（ x）在 R 上的零点个数为 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）ABC中，角A B C为三个内角，已知A=45 ° cos B=．15. 在△，，，（Ⅰ）求 sin C 的值；（Ⅱ）若 BC=10 ，D 为 AB 的中点，求CD 的长及△ABC 的面积．16.对一批渔业产品进行抽测，从中随机抽取10 件产品，测量该产品中某种元素的含量数据如下（单位：mg）： 18，13，26， 8，20，25，14，22， 16， 24，并规定该产品中元素含量不少于15mg 的为优质品．（Ⅰ）在这 10 件产品中，随机抽取 3 件，求这 3 件产品均为优质品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设抽到的 3 件产品中优质品件数为X，求 X 的分布列与数学期望E（ X ）．17.已知在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB=2，AA1= ，点E、F 分别为侧棱 BB1和边 A1C1的中点．（Ⅰ）求证： BF ⊥平面 ACE；（Ⅱ）求直线 AF 与平面 ACE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角 F -CE-A 的余弦值．18. 已知数列 { a n }的各项均为正数，其前n项和S n满足S n=n N*（∈），数列 { b n} 是公差为正数的等差数列，且b2=5 ， b1， b3， b11成等比数列．（Ⅰ）求数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式；（Ⅱ）令 c n=，求数列 { c n} 的前 n 项和 T n．19.已知函数 f（ x） =ln x-ax，x∈（ 0， e]，其中 e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若 x=1 为 f （ x）的极值点，求 f （ x）的单调区间和最大值；（Ⅱ）是否存在实数 a，使得 f （ x）的最大值是 -3？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设 g （ x）=，x∈（0，e]，在（Ⅰ ）的条件下，求证：f（ x）+g （ x） +＜ 0．20.已知椭圆 C：（ a＞ b＞ 0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若 A、B 为椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点， P 点坐标为（ 4，0），连接 PB 交椭圆 C 于另一点 D，求证：直线 AD 恒过 x 轴上的定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 x 轴上的定点为 M，若 AB 过椭圆 C 的左焦点，求△ABM 的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：?R B={x|x ≤2，或x≥ 5}；∴A∩（?R B）={1 ，2，5，6} ．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，交集、补集的运算．2.【答案】A【解析】解：作出变量 x，y 满足约束条件可行域如图，由 z=x+2y 知，y=- x+ z，所以动直线 y=- x+z 的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得 A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点 A （2，3）时，目标函数取得最大值 z=2+2×3=8．由，解得 B（1，0）结合可行域可知当动直线经过时点 B（1，0），目标函数取得最小值 z=1．则目标函数 z=x+2y 的取值范围是：[1，8]故选：A．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=x+2y过点 A （2，3）时，z 最大值，经过 B（1，0）时，取得最小值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基本知识的考查．3.【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0，k=1满足条件 i＜ 6，M=，k=3，S=，i=2满足条件 i＜ 6，M=，k=5，S=+，i=3满足条件 i＜ 6，M=，k=7，S=++，i=4满足条件 i＜ 6，M=，k=9，S=+++，i=5满足条件 i＜ 6，M=，k=11，S=++++，i=6不满足条件 i ＜6，退出循环，输出 S=++++=（1-- -）==．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i ，S，k 的值，当i=6 时，不满足条件，退出循环，由裂项法可得 S 的值．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的 M ，k，S，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：f（x）=cosx（sinx-cosx）+1，=，=，所以函数的最小正周期为：T=π，当 sin（2x-）=1时，函数的最大值为：，故选：C ．首先通过三角函数关系式的恒等 变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性 质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变换，正弦型函数的性质的应用．5.【答案】 D【解析】解：|x+2|+|x-1| ≤5，当 x ＞1 时，化为：2x+1≤5，解得 1＜x ≤2．当 -2≤x ≤1时，化为：x+2+1-x ≤5，即3≤5，解得-2≤x ≤1．当 x ＜-2 时，化为：-（x+2）-（x-1）≤5，解得-3≤x＜ -2．综上可得：x 的取值范围是：[-3，2]．∴“ |x+2|+|x-1| ≤ 是5”“-2≤ x ≤的3”既不充分也不必要条件．故选：D ．对 x 分类讨论，利用不等式的解法即可得出．本题考查了不等式的性 质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】 C【解析】解：由题意可得 e= = ，可得：，设 F （c ，0），渐近线为 y= x ，可得 F 到渐近线的距离 为 d==b ，由勾股定理可得 |OA|===a ，由题意可得ab= ，又 a 2+b 2=c 2，解得 b= ，a=2，c=3，可得双曲 线的方程为：．故选：C ．运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 F 到渐近线的距离为 b，由勾股定理可得 |OA|=a，运用三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解得 a，b，即可求出双曲线方程．本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设 AB=1 ，则 D（0，0），C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1）．=（-2，2），=（-2，1），=（1，2），∵=，∴（-2，2）=λ（-2，1）+μ（1，2），∴，解得λ= ，μ= ．则λ+μ=．故选：B．如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、向量基本定理、方程解法，考查了推理能与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：作出曲线的图象如图：直线 y=kx-1 过定点（0，-1），当 k=0 时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当 k＜0 时，两个函数有 2 个交点，满足条件，第8页，共 18页当 k ＞0 时 线y=kx-1 与 y= 在 x ＞ 1 相切 时，，直 两个函数只有一个交点，此时=kx-1，即kx 2-（1+k ）x+3=0，22-10k+1=0，判别式△=（1+k ）-12k=0，解得k k=5-2或 k=5+2（舍去）综上满足条件的 k 的取值范围是（-∞，0）∪（0，5-2 ），故选：D ．作出两个函数的 图象，利用数形结合即可得到 结论．本题主要考查函数与方程的 应用，利用数形结合以及分段函数的性 质是解决本题的关键．9.【答案】 -3【解析】解：a 为实数，若复数 a+=a+ =a+3-i 是纯虚数，则 a+3=0，解得 a=-3．故答案为：-3．利用复数的运算法 则、纯虚数的定 义即可得出．本题考查了复数的运算法 则、纯虚数的定 义，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题．10.【答案】 5【解析】解：展开式的第 4 项为T 3+1= ??3=（-3）? ? ，令-1=0，解得 n=5，∴n 的值是 5．故答案为：5．根据二项式展开式的通项公式，即可求出 n 的值．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．11.【答案】【解析】解：根据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1 的圆锥．上部是一个高为 3 的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是∴几何体的体积是故答案为：．1，22×1×π× 1+π×1（×）．1+2=根据三视图可知几何体下部是一个高为1圆锥，上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1，根据柱体的体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．12.【答案】（，）【解析】解：由直线的参数方程（t 为参数），把 t=代入 y=为线的普通方程为：3y+x=4，①t，化直由曲线C 的参数方程为为22，（θ 参数）．利用sinθ +cosθ =1，线C 的普通方程为：（x-222可得曲）．+y =1 ②联立①② 可得：x=，y=，可得它们公共点的坐标为（，）．故答案为：（，）．把直线和曲线的参数方程用代入法消去参数化为普通方程，联立方程组求得两个曲线的交点的坐标．本题主要考查把参数方程化 为普通方程的方法，求两个曲 线的交点坐 标，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵a ＞0，b ＞0，a+b=m ，∴=1∴y= = （a+b ）（）= +（）≥= ，当且仅当 a= ，b=时等号成立．则 y=的最小值为故答案为： ．利用题设中的等式，把 y 的表达式 转化成 = （a+b ）（）展开后，利用基本不等式求得 y 的最小值．本题主要考查了基本不等式求最 值．注意把握好一正，二定，三相等的原 则．14.【答案】 7【解析】解：函数f （x ）在R 上满足 f （-x ）=f （x ），且当 x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x 3+ x 2，可得 f （x ）为偶函数，图象关于 y 轴对称，且 x ＞0 时，f （x ）递增，g （x ）=|sin （ ）|的最小正周期 为 ，分别作出函数 y=f （x ）和y=g （x ）=|sin （ ）|的图象，由图象可得它 们有 7 个交点，则数 h （x ）=f （x ）-g （x ）在R 上的零点个数 为 7．故答案为：7．由题意可得 f （x ）为偶函数，图象关于 y 轴对称，x ＞0 时，f （x ）递增，求出 g （x ）的周期，分别作出函数 y=f （x ）和y=g （x ）=|sin （ ）|的图象，通过图象即可得到所求交点个数．本题考查函数的零点个数求法，注意运用数形 结合思想方法，考查函数的奇偶性和周期性的运用，属于中档 题．15.【答案】 解：（ I ） ∵cosB= ， B ∈（ 0°， 180 °），∴sinB== ．∴sinC=sin （B+45 °） =sinBcos45 +cosBsin45° =° ．（ II ）由正弦定理可得 ，可得 b=6 ．由（ I ）可得： cosB= ，∴B ＜ 45°，∴B+A ＜90 °， ∴C ＞ 90 °，∴cosC=-=- ．由由余弦定理可得： AB 2 =（ 6 ） 2+10 2-2 ×6×10cosC=196，解得 AB=14 ．在 △ACD 中， CD 2=（ 6 ） 2+7 2-2 × ×7cos45 °=37 ，∴CD =．△ABC 的面积 S=【解析】（I ）由cosB ，B ∈（0°，180°），可得sinB ．利用 sinC=sin （B+45°）展开即可得出．（II ）由正弦定理可得：，可得b ．由（I ）可得：cosB，可得 B＜ 45°，C ＞ 90°，cosC ．由余弦定理可得：AB ．在△ACD 中，利用余弦定理可得 CD 及△ABC 的面积．本题考查了和差公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考 查了推理能力与 计 算能力，属于中档题．16.【答案】 解：（ Ⅰ ）随机抽取 10 件产品，测量该产品中某种元素的含量数据如下（单位： mg ）：18， 13，26， 8， 20， 25， 14， 22， 16， 24，规定该产品中元素含量不少于 15mg 的为 优质品．∴在这 10 件产品中，优质品有7 件，随机抽取 3 件，基本事件总数n==120，这 3 件产品均为优质品包含的基本事件个数m==35 ，∴这 3 件产品均为优质品的概率 p= == ．（Ⅱ ）设抽到的 3 件产品中优质品件数为X，则 X 的可能取值为0， 1， 2，3，P（ X=0） = =，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）= =，∴X 的分布列为：X0123P数学期望E（X ）==．【解析】这10 件产优质品有 7件，随机抽取 3 件，基本事件总数 n=（Ⅰ）在品中，这3 件产品均为优质品包含的基本事件个数 m==35，由此能求出=120，这 3件产品均为优质品的概率．设3件产品中优质品件数为X 则X的可能取值为0123（Ⅱ）抽到的，，，，，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 E（X ）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识查查函数与方程思，考运算求解能力，考想，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OF，OB，则有A1A FO，故FO⊥平面ABC，∥在正三角形 ABC 中，O 是 AC 的中点，故 OB⊥AC，OA=OC=1， OB=，如图，以 O 为原点，分别以OA， OB， OF 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 O（ 0，0，0），A（ 1，0，0），B（ 0，，0），C（ -1， 0， 0）， E（ 0，，）， F（0， 0，），∴ =（0，，-），=（ -1，，），=（ -2， 0， 0），=（ -1， 0，），∵ ?=0--1=0（，，） ?（，，），∴ ⊥，即 FB⊥AE，又∵ ?=0-）?（-200=0，（，，，，）∴⊥，即FB⊥AC，而 AE∩AC=A，∴FB⊥平面 ACE ；解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 AEC 的一个法向量为=（0，，-），=（ -1， 0，），设直线 AF 与平面 ACE 所成角为θ，则 sin θ== =．∴直线 AF 与平面 ACE 所成角的正弦值为．（Ⅲ）设平面AEF 的法向量为=（ a， b，c），则，令 c=，得=（ 6，），平面 AEC 的一个法向量为=（ 0，），设二面角 F -AE-C 的平面角为θ，由图象知0，∴cos θ===．【解析】（Ⅰ）取AC 的中点 O，连接 OF，OB，以O 为原点，分别以 OA ，OB，OF 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，证明 FB⊥AE ，FB⊥AC ，即可证明FB⊥平面 AEC．（Ⅱ）求出平面AEC 的一个法向量和=（-1，0，），利用向量法能求出直线 AF 与平面 ACE 所成角的正弦值．（Ⅲ）求出平面AEF 的法向量、平面 AEC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-AE-C 的余弦值．本题考查线面垂直，考查平面与平面所成的角，考 查向量知识的运用，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题．18.【答案】 解：（ I ）∵S n =（n ∈N * ），∴n ≥2时， a n =S n -S n-1 =-，化为：（ a n +a n -1）（ a n -a n-1-2） =0 ，∵数列 { a n } 的各项均为正数， ∴a n -a n-1=2，n=1 时， a 1=，解得 a 1=3．∴数列 { a n } 是等差数列，公差为 2，首项为 3． ∴a n =3+2 （ n-1）=2n+1．数列 { b n } 是公差 d 为正数的等差数列，且b 2=5， b 1 ，b 3， b 11 成等比数列．∴ =b 1 b 11，即（ 5+d ） 2=（5-d ）（ 5+9d ），解得 d=3 ． ∴b n =5+3 （ n-2）=3n-1．（ II ）c n = == ，∴数列 { c n } 的前 n 项和 T n =++==． 【解析】（I ）S（∈ * ），≥2时，为）（a），化 ：（a-2n=n N na n =S n -S n-1n+an-1n-an-1 =0，根据数列{a n } 的各项均为正数，可得 a n -a n-1=2，n=1 时，a 1=，解得 a 1．利用等差数列的通 项公式可得 a n ．数列{b n } 是公差 d 为正数的等差数列，且 b 2=5，b 1，b 3，b 11 成等比数列．可得2=b 1b 11，即（5+d ）=（5-d ） （5+9d ），解得d ．即可得出．（II ）c n = ==，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通 项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．19.【答案】 （ Ⅰ）解： ∵f （ x ） =ln x-ax ， x ∈（ 0， e] ，∴f ′（ x ） =，由 f ′（ 1）=0，得 a=1 ． ∴∴x∈（ 0， 1）， f′（ x）＞ 0， x∈（ 1， +∞）， f′（ x）＜ 0，∴f（x）的单调增区间是（ 0， 1），单调减区间是（ 1， e）；f（ x）的最大值为 f（ 1） =-1；（Ⅱ）解：∵g（ x） =ln x-ax，∴g′（ x） = -a=，①当 a≤0时， f（ x）在（ 0， e]单调递增，得 f （ x）的最大值是f（3） =1- ae=-3，解得 a= ＞ 0，舍去；② a＞ 0 时， x∈（ 0，）， f ′（ x）＞ 0，x∈（， e）， f ′（ x）＜ 0，∴f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，e），∵f（x）在（ 0，e] 上的最大值为 -3，∴f（x）max=g（） =-1-ln a=-3 ，∴a=e2．综上： a=e2．（Ⅲ）证明：∵g(x)= ， x∈（ 0， e] ， g'(x)=，∴x∈（ 0， e）， g′（ x）＞ 0， g（x）在（ 0， e] ，∴g（ x）max =g（ e） = ，又 f （ x）的最大值为 f（1） =-1 ．∴对于区间（ 0， e]上的任意 x，总有 f （ x） +g （ x） + ＜ -1++ ＜0．【解析】（Ⅰ）f（x）=ln x-ax ，x∈（0，e]，由f ′（1）=0，得a=1．可得 f （x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，e），f（x）的最大值为 f（1）=-1；（Ⅱ）g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，e），利用g（x）在（0，e]上的最大值为 -3，求 a 的值．g（x），又f （x）的最大值为f（1）=-1．（Ⅲ）可得max=g（e）=可得对于区间（0，e]上的任意 x，总有 f （x）+g （x）+＜-1+ +＜ 0．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．20.【答案】（I）解：以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．∴b==．又 = ，a2=b2+c2，联立解得： c=1， a=2．∴椭圆 C 的方程为：+ =1．（ 2）证明：由题意可设直线PB 的方程为： y=k（ x-4），联立，化为：（ 3+4k2） x2-32k2x+64k2-12=0 ，设 B（x1， y1）， D （x2，y2）， A（ x1，-y1）．则 x1+x2=，x1x2=，直线 AD 的方程为： y-y2=（x-x2），设直线 AD 与 x 轴的交点为M，令 y=0，则 x=x2-===1，∴直线 AD 恒过 x 轴上的定点M（ 1，0）．（ III ）解：在（Ⅱ）的条件下，设x 轴上的定点为M（ 1，0），∵AB 过椭圆 C 的左焦点，∴A，B．∴△ABM 的面积 S==3．【解析】为圆椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．可得 b=（I）以原点心，2 2 2 联=．又 = ，a =b +c ，立解出即可得出．（II ）由题意可设直线 PB 的方程为：y=k（x-4 ），与椭圆方程联立化为：（3+4k 2）x2-32k2x+64k 2-12=0，设 B（x1，y1），D（x2，y2），A（x1，-y1）．直线 AD 的方程为：y-y 2=（x-x2），设直线AD与x轴的交点为M，令y=0，则x=x2-=，把根与系数的关系代入即可证明直线 AD 恒过 x 轴上的定点．（III ）在（Ⅱ）的条件下设， x 轴上的定点为 M （1，0），AB 过椭圆 C 的左焦点，可得 A，B．可得△ABM的面积S．本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年天津市和平区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算36÷（﹣6）的结果等于（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣30 D．62．（3分）tan45°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105B．6.8×106C．6.8×107D．6.8×1085．（3分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计﹣1的值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．（3分）把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（）A．36°B．45°C．72°D．90°8．（3分）分式方程﹣=1的解为（）A．x=1 B．x=0 C．x=﹣D．x=﹣19．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A． B．C．D．10．（3分）如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B；乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲11．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y312．（3分）已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）A．0≤x0≤1 B．0＜x0＜1且x0≠C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（x4）2的结果等于．14．（3分）计算的结果等于．15．（3分）已知一次函数的图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为．16．（3分）袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是．17．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E．（Ⅰ）AB的长等于；（Ⅱ）点F是线段DE的中点，在线段BF上有一点P，满足=，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共计66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式的解集为．20．（8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．21．（10分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．22．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从D点测得A点的仰角为30°，B点的俯角为10°，求建筑物AB的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，取1.732．23．（10分）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的A，B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为60吨，B库的容量为120吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）若从甲库运往A库粮食x吨，（Ⅰ）填空（用含x的代数式表示）：①从甲库运往B库粮食吨；②从乙库运往A库粮食吨；③从乙库运往B库粮食吨；（Ⅱ）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？24．（10分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长=；（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B 的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（Ⅰ）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；（Ⅱ）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．2018年天津市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算36÷（﹣6）的结果等于（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣30 D．6【解答】解：36÷（﹣6）=﹣（36÷6）=﹣6，故选：A．2．（3分）tan45°的值等于（）A．B．C．D．1【解答】解：tan45°=1，故选：D．3．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，故C正确；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：C．4．（3分）把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105B．6.8×106C．6.8×107D．6.8×108【解答】解：把6800000，用科学记数法表示为6.8×106．故选：B．5．（3分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选：B．6．（3分）估计﹣1的值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，故选：C．7．（3分）把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（）A．36°B．45°C．72°D．90°【解答】解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360°÷5=72°．故选：C．8．（3分）分式方程﹣=1的解为（）A．x=1 B．x=0 C．x=﹣D．x=﹣1【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣1=（x+1）2，整理得：﹣3x﹣2=0，解得：x=﹣，检验：当x=﹣时，（x+1）2≠0，故x=﹣是原方程的根．故选：C．9．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A． B．C．D．【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：，故选：C．10．（3分）如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B；乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲【解答】解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE，∵AE=BE=AB，∴AD=EF=AC，DE=BE=BC．∴甲=乙图3与图1中，三个三角形相似，所以==，==，∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选：A．11．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜y1．故选：B．12．（3分）已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）A．0≤x0≤1 B．0＜x0＜1且x0≠C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1【解答】解：二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），当y=0时，x1=﹣a，x2=a+1，∴对称轴为：x==当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，由m＜n，得0＜x0≤；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（x4）2的结果等于x8．【解答】解：（x4）2=x8．故答案为：x8．14．（3分）计算的结果等于．【解答】解：==．故答案为：．15．（3分）已知一次函数的图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为y=﹣3．【解答】解：∵一次函数的图象与直线y=x+3平行，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴×（﹣2）+b=﹣4，解得b=﹣3，所以这个一次函数的表达式是：y=x﹣3．故答案为y=x﹣3．16．（3分）袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，第一次摸到红球，第二次摸到绿球的结果数为1，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率=．故答案为．17．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为．【解答】解：延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故答案为：18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E．（Ⅰ）AB的长等于；（Ⅱ）点F是线段DE的中点，在线段BF上有一点P，满足=，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，因为DG∥CH，所以FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，因为BI∥DJ，所以BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．．【解答】解：（Ⅰ）AB的长==，（Ⅱ）由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，∵DG∥CH，∴FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，∵BI∥DJ，∴BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．故答案为由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，因为DG∥CH，所以FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，因为BI∥DJ，所以BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．三、解答题（本大题共7小题，共计66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式的解集为﹣2≤x≤2．【解答】解：（I）解不等式①，得x≤2，（II）解不等式②，得x≥﹣2，（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：；（IV）原不等式组的解集为﹣2≤x≤2，故答案为：x≤2，x≥﹣2，﹣2≤x≤2．20．（8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为50，图①中m的值为28；（Ⅱ）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．【解答】解：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为10÷20%=50，m%=×100%=28%，所以m=28，故答案为：50、28；（Ⅱ）平均数为=5.16次，众数为5次，中位数为=5次；（Ⅲ）×350=252，答：估计该校350名九年级男生中有252人体能达标．21．（10分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵E点是BC的中点，∴DE=BC=BE，∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE，∵∠ABC=90°，∴∠ODE=90°；（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD=∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE=90°，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=．22．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从D点测得A点的仰角为30°，B点的俯角为10°，求建筑物AB的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，取1.732．【解答】解：如图，根据题意，BC=40，∠DCB=90°，∠ABC=90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则∠DEB=90°，∠ADE=30°，∠BDE=10°，可得四边形DCBE为矩形，∴DE=BC=40，在Rt△ADE中，tan∠ADE=，∴AE=DE•tan30°=，在Rt△DEB中，tan∠BDE=，∴BE=DE•tan10°=40×0.18=7.2，∴AB=AE+BE=23.09+7.2=30.29≈30.3，答：建筑物AB的高度约为30.3m．23．（10分）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的A，B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为60吨，B库的容量为120吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）若从甲库运往A库粮食x吨，（Ⅰ）填空（用含x的代数式表示）：①从甲库运往B库粮食（100﹣x）吨；②从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨；③从乙库运往B库粮食（20+x）吨；（Ⅱ）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【解答】解：（Ⅰ）设从甲库运往A库粮食x吨；①从甲库运往B库粮食（100﹣x）吨；②从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨；③从乙库运往B库粮食（20+x）吨；故答案为：（100﹣x）；（60﹣x）；（20+x）（Ⅱ）依题意有：若甲库运往A库粮食x吨，则甲库运到B库（100﹣x）吨，乙库运往A库（60﹣x）吨，乙库运到B库（20+x）吨．则，解得：0≤x≤60．从甲库运往A库粮食x吨时，总运费为：y=12×20x+10×25（100﹣x）+12×15（60﹣x）+8×20×[120﹣（100﹣x）]=﹣30x+39000；∵从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨，∴0≤x≤60，此时100﹣x＞0，∴y=﹣30x+39000（0≤x≤60），∵﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=60时，y取最小值，最小值是37200，答：从甲库运往A库60吨粮食，从甲库运往B库40吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是37200元．24．（10分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长=6；（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=6，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=6，∴OA′=6，故答案为：6；（Ⅱ）如图2，连接AA′，∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA=AA′，∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，∴∠A′BA=60°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2，∴OD=OA﹣AD=8﹣2，∴点D（8﹣2，0）；（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°，∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2，由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BM A′∽△A′ND，则=，即=，解得：DN=3﹣5，则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，∴D（3﹣1，0）；②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°，∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+6，由∠EMA′=∠A′NB=∠B A′D=90°知△EMA′∽△A′NB，则=，即=，解得：ME=，则OE=MO﹣ME=6+，∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，∴△DOE∽△A′ME，∴=，即=，解得：DO=3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0），综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．25．（10分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B 的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（Ⅰ）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；（Ⅱ）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．【解答】解：（I）∵y=x2﹣6x+9=（x﹣3）2∴顶点坐标为（3，0）联立解得：或（II）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（3﹣t，1），设直线AC的解析式为y=kx+b将A（1，4），C（3，0）代入y=kx+b中，∴解得：∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6当点E在直线AC上时，﹣2（3﹣t）+6=1，解得t=当点E在直线AD上时，（3﹣t）+3=1，解得t=5，∴当点E在△DAC内时，＜t＜5（III）如图，直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+3与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣3，0），F（0，3）∴OD=OF=3，∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°，∵OC=OF=3，∠FOC=90°，∴CF==3∠OFC=∠OCF=45°∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF⊥AB，∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍，∴AB•PM=AB•CF∴PM=2CF=6∵PN⊥x轴，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°，在Rt△PGM中，sin∠PGM=∴PG===12，∵点G在直线y=x+3上，P（m，n）∴G（m，m+3）∵﹣3＜m＜1，∴点P在点G的上方，∴PG=n﹣（m+3）∴n=m+15，∵P（m，n）在抛物线y=x2﹣6x+9上，∴m2﹣6m+9=n，∴m2﹣6m+9=m+15，解得：m=∵﹣3＜m＜1，∴m=不合题意，舍去，∴m=，∴n=m+15=。

天津市和平区2018届高三数学摸底测试试题文第Ⅰ卷（本卷共10 道题，每题4 分，共40 分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i 为虚数单位，则5 i等于（）1 iA．23iB．23iC．23iD．2 3i2．分别写有数字1，2，3，4，5 的5 张卡片，从这5 张卡片中随机抽取2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．B．C ．D．3．阅读右面的程序框图，则输出的S （）A. 14B.20C.30D.554．设a l og 3 ，bl og23 ，cl og32 ，则（）A．abcB．acbC．bacD．bc a5．已知集合M x l og2 x 1 ，N x x2x，则“a M ”是“aN ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平行四边形 ABCD 中， ABa MN =（） ， AD b ， AN3NC ， M 为 BC 的中点，则A ．1 a 1 bB ． 1 a 1 bC ． 1 bD ．3 a 3 b44222441 11 1 0,2 B ． 2 ,C ． 0, 3D ． 0,2A ．向右平移 6 个单位B ．向左平移6个单位C ．向右平移 4 个单位D ．向左平移3个单位8．已知点在直线上运动，则的最小值为（）A ．B ．C． D ．9．已知定义域为R 的函数满足：，且对任意总有，则不等式的解集为（）A ．（）B ．（）C ．（ ）D ．（）110．若函数 f x满足 fx1 f x 1，当 x0,1时，f xx ，若在区间1,1上， g xA ．f xmx m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）第Ⅱ卷（本卷共 10 道题，共 80 分）二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

把答案填在题中横线上）11．已知全集UR ，Z 是整数集，集合 A x 中元素的个数为个x2x 60, xR，则 ZC U Am ），则这个几何体的体积为m31 x 213．椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则该椭圆的离心率为14．在等差数列 中，公差，前 100 项的和 ，则15．已知 a 、b 、c都是正实数，且满足，则使 恒成立的 c 的取值范围是16．定义域为 R 的函数 f x 满足 f x2 2 f x，当 x 0,2 时，x2 xxfx10xt 的取值范围是0 ,11 , 2，若x4,6 时， fxt 22t 4 恒成立，则实数三、解答题：本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（本小题 12 分）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千 克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克。

2018年九年级数学中考一模试题一、选择题:1.2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为38万公里，将数38万用科学计数法表示，其结果（）A．3.8×104B．38×104C．3.8×105D．3.8×1062.下列各式计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．（﹣a4）3=a7 C．2a•（﹣3b）=6ab D．a5÷a4=a（a≠0）3.下列图形中，不是轴对称图形的是( )4.以长为13cm、10cm、5c m、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图,已知∠1=60°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°6. (-2)2的算术平方根是( )A．2 B．±2 C．－2 D．7.如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等 B．纵坐标相等 C.横坐标的绝对值相等 D．纵坐标的绝对值相等8.某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是（）A ．0.71元B ．2.3元C ．1.75元D ．1.4元9.已知0>b , 化简b a 3-的结果是（ ）A ．ab a -B ．ab aC ．ab a --D ．ab a -10.10名学生的身高如下（单位：cm ）159、169、163、170、166、165、156、172、165、162，从中任选一名学生，其身高超过165cm 的概率是（ ）A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.111.如图，在▱ABCD 中，F 是AD 延长线上一点，连接BF 交DC 于点E ，则图中相似三角形共有（ ）对.A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 12.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A ．y=(x ＋2)2＋2B ．y=(x-2)2-2C ．y=(x-2)2＋2D ．y=(x ＋2)2-2 二、填空题:13.因式分解：x 3-xy 2=________________.14.若，则_______ ,___________ ． 15.若ab=2，a+b=﹣1，则的值为 ．16.已知三角形ABC 的三边长为a,b,c 满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形.17.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点C ，D 作BD ，AC 的平行线，相交于点E ．若AD=6，则点E 到AB 的距离是________．。

2018年天津市和平区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算36÷（﹣6）地结果等于（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣30 D．62．（3分）tan45°地值等于（）A．B．C．D．13．（3分）下列图形中是轴对称图形地是（）A．B．C．D．4．（3分）把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105B．6.8×106C．6.8×107D．6.8×1085．（3分）如图是由八个相同小正方体组合而成地几何体，则其左视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计﹣1地值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．（3分）把图中地五角星图案，绕着它地中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（）A．36°B．45°C．72°D．90°8．（3分）分式方程﹣=1地解为（）A．x=1 B．x=0 C．x=﹣D．x=﹣19．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A． B．C．D．10．（3分）如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地地路线图，已知甲地路线为：A→C→B；乙地路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB地中点；丙地路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）地数据，判断三人行进路线长度地大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲11．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=地图象上地点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确地是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y312．（3分）已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0地取值范围是（）A．0≤x0≤1 B．0＜x0＜1且x0≠C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（x4）2地结果等于．14．（3分）计算地结果等于．15．（3分）已知一次函数地图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数地解析式为．16．（3分）袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球地概率是．17．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内地两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF地长为．18．（3分）如图，在每个小正方形地边长为1地网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E．（Ⅰ）AB地长等于；（Ⅱ）点F是线段DE地中点，在线段BF上有一点P，满足=，请在如图所示地网格中，用无刻度地直尺，画出点P，并简要说明点P地位置是如何找到地（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共计66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题地解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②地解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式地解集为．20．（8分）为了解某校九年级男生地体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下地统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽测地男生人数为，图①中m地值为；（Ⅱ）求本次抽测地这组数据地平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．21．（10分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC地中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE地大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A地大小．22．（10分）如图，两座建筑物地水平距离BC为40m，从D点测得A点地仰角为30°，B点地俯角为10°，求建筑物AB地高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，取1.732．23．（10分）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食地安全，决定将甲、乙两个仓库地粮食，全部转移到没有受洪水威胁地A，B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库地容量为60吨，B库地容量为120吨，从甲、乙两库到A、B两库地路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）若从甲库运往A库粮食x吨，（Ⅰ）填空（用含x地代数式表示）：①从甲库运往B库粮食吨；②从乙库运往A库粮食吨；③从乙库运往B库粮食吨；（Ⅱ）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库地总运费y（元）与x（吨）地函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省地总运费是多少？24．（10分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x 轴地正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上地一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A地对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形地对角线OB上时，OA′地长=；（Ⅱ）若点A′落在边AB地垂直平分线上时，求点D地坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO地垂直平分线上时，求点D地坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B 地左侧），抛物线地顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（Ⅰ）求抛物线地顶点C地坐标及A，B两点地坐标；（Ⅱ）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线地顶点E在△DAC内，求t地取值范围；（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB地面积是△ABC面积地2倍时，求m，n地值．2018年天津市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算36÷（﹣6）地结果等于（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣30 D．6【解答】解：36÷（﹣6）=﹣（36÷6）=﹣6，故选：A．2．（3分）tan45°地值等于（）A．B．C．D．1【解答】解：tan45°=1，故选：D．3．（3分）下列图形中是轴对称图形地是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，故C正确；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：C．4．（3分）把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105B．6.8×106C．6.8×107D．6.8×108【解答】解：把6800000，用科学记数法表示为6.8×106．故选：B．5．（3分）如图是由八个相同小正方体组合而成地几何体，则其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面可看到从左往右三列小正方形地个数为：2，3，1．故选：B．6．（3分）估计﹣1地值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，故选：C．7．（3分）把图中地五角星图案，绕着它地中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（）A．36°B．45°C．72°D．90°【解答】解：五角星可以被中心发出地射线平分成5部分，那么最小地旋转角度为：360°÷5=72°．故选：C．8．（3分）分式方程﹣=1地解为（）A．x=1 B．x=0 C．x=﹣D．x=﹣1【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣1=（x+1）2，整理得：﹣3x﹣2=0，解得：x=﹣，检验：当x=﹣时，（x+1）2≠0，故x=﹣是原方程地根．故选：C．9．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A． B．C．D．【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：，故选：C．10．（3分）如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地地路线图，已知甲地路线为：A→C→B；乙地路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB地中点；丙地路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）地数据，判断三人行进路线长度地大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲【解答】解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE，∵AE=BE=AB，∴AD=EF=AC，DE=BE=BC．∴甲=乙图3与图1中，三个三角形相似，所以==，==，∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选：A．11．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=地图象上地点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确地是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x地增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜y1．故选：B．12．（3分）已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0地取值范围是（）A．0≤x0≤1 B．0＜x0＜1且x0≠C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1【解答】解：二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），当y=0时，x1=﹣a，x2=a+1，∴对称轴为：x==当P在对称轴地左侧（含顶点）时，y随x地增大而减小，由m＜n，得0＜x0≤；当P在对称轴地右侧时，y随x地增大而增大，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，所求x0地取值范围0＜x0＜1．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（x4）2地结果等于x8．【解答】解：（x4）2=x8．故答案为：x8．14．（3分）计算地结果等于．【解答】解：==．故答案为：．15．（3分）已知一次函数地图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数地解析式为y=﹣3．【解答】解：∵一次函数地图象与直线y=x+3平行，∴设一次函数地解析式为y=x+b，∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴×（﹣2）+b=﹣4，解得b=﹣3，所以这个一次函数地表达式是：y=x﹣3．故答案为y=x﹣3．16．（3分）袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球地概率是．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能地结果数，第一次摸到红球，第二次摸到绿球地结果数为1，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球地概率=．故答案为．17．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内地两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF地长为．【解答】解：延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故答案为：18．（3分）如图，在每个小正方形地边长为1地网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E．（Ⅰ）AB地长等于；（Ⅱ）点F是线段DE地中点，在线段BF上有一点P，满足=，请在如图所示地网格中，用无刻度地直尺，画出点P，并简要说明点P地位置是如何找到地（不要求证明）由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，因为DG∥CH，所以FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，因为BI∥DJ，所以BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．．【解答】解：（Ⅰ）AB地长==，（Ⅱ）由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，∵DG∥CH，∴FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，∵BI∥DJ，∴BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．故答案为由题意：连接AC、BD．易知：AC∥BD，可得：EC：ED=AC：BD=3：10，取格点G、H，连接GH交DE于F，因为DG∥CH，所以FD：FC=DG：CH=5：8，可得DF=EF．取格点I、J，连接IJ交BD于K，因为BI∥DJ，所以BK：DK=BI：DJ=5：6，连接EK交BF于P，可证BP：PF=5：3．三、解答题（本大题共7小题，共计66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题地解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；（Ⅲ）把不等式①和②地解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式地解集为﹣2≤x≤2．【解答】解：（I）解不等式①，得x≤2，（II）解不等式②，得x≥﹣2，（III）把不等式①和②地解集在数轴上表示出来：；（IV）原不等式组地解集为﹣2≤x≤2，故答案为：x≤2，x≥﹣2，﹣2≤x≤2．20．（8分）为了解某校九年级男生地体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下地统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽测地男生人数为50，图①中m地值为28；（Ⅱ）求本次抽测地这组数据地平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．【解答】解：（Ⅰ）本次抽测地男生人数为10÷20%=50，m%=×100%=28%，所以m=28，故答案为：50、28；（Ⅱ）平均数为=5.16次，众数为5次，中位数为=5次；（Ⅲ）×350=252，答：估计该校350名九年级男生中有252人体能达标．21．（10分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC地中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE地大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A地大小．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O地直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵E点是BC地中点，∴DE=BC=BE，∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE，∵∠ABC=90°，∴∠ODE=90°；（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，∴FE是△COB地中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD=∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE=90°，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=．22．（10分）如图，两座建筑物地水平距离BC为40m，从D点测得A点地仰角为30°，B点地俯角为10°，求建筑物AB地高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，取1.732．【解答】解：如图，根据题意，BC=40，∠DCB=90°，∠ABC=90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则∠DEB=90°，∠ADE=30°，∠BDE=10°，可得四边形DCBE为矩形，∴DE=BC=40，在Rt△ADE中，tan∠ADE=，∴AE=DE•tan30°=，在Rt△DEB中，tan∠BDE=，∴BE=DE•tan10°=40×0.18=7.2，∴AB=AE+BE=23.09+7.2=30.29≈30.3，答：建筑物AB地高度约为30.3m．23．（10分）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食地安全，决定将甲、乙两个仓库地粮食，全部转移到没有受洪水威胁地A，B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库地容量为60吨，B库地容量为120吨，从甲、乙两库到A、B两库地路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）若从甲库运往A库粮食x吨，（Ⅰ）填空（用含x地代数式表示）：①从甲库运往B库粮食（100﹣x）吨；②从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨；③从乙库运往B库粮食（20+x）吨；（Ⅱ）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库地总运费y（元）与x（吨）地函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省地总运费是多少？【解答】解：（Ⅰ）设从甲库运往A库粮食x吨；①从甲库运往B库粮食（100﹣x）吨；②从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨；③从乙库运往B库粮食（20+x）吨；故答案为：（100﹣x）；（60﹣x）；（20+x）（Ⅱ）依题意有：若甲库运往A库粮食x吨，则甲库运到B库（100﹣x）吨，乙库运往A库（60﹣x）吨，乙库运到B库（20+x）吨．则，解得：0≤x≤60．从甲库运往A库粮食x吨时，总运费为：y=12×20x+10×25（100﹣x）+12×15（60﹣x）+8×20×[120﹣（100﹣x）]=﹣30x+39000；∵从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨，∴0≤x≤60，此时100﹣x＞0，∴y=﹣30x+39000（0≤x≤60），∵﹣30＜0，∴y随x地增大而减小，∴当x=60时，y取最小值，最小值是37200，答：从甲库运往A库60吨粮食，从甲库运往B库40吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省，最省地总运费是37200元．24．（10分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x 轴地正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上地一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A地对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形地对角线OB上时，OA′地长=6；（Ⅱ）若点A′落在边AB地垂直平分线上时，求点D地坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO地垂直平分线上时，求点D地坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=6，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=6，∴OA′=6，故答案为：6；（Ⅱ）如图2，连接AA′，∵点A′落在线段AB地中垂线上，∴BA=AA′，∵△BDA′是由△BDA折叠得到地，∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，∴∠A′BA=60°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2，∴OD=OA﹣AD=8﹣2，∴点D（8﹣2，0）；（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°，∵点A′在线段OA地中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2，由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，则=，即=，解得：DN=3﹣5，则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，∴D（3﹣1，0）；②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴地平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°，∵点A′在线段OA地中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+6，由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，则=，即=，解得：ME=，则OE=MO﹣ME=6+，∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，∴△DOE∽△A′ME，∴=，即=，解得：DO=3+1，则点D地坐标为（﹣3﹣1，0），综上，点D地坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．25．（10分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B 地左侧），抛物线地顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（Ⅰ）求抛物线地顶点C地坐标及A，B两点地坐标；（Ⅱ）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线地顶点E在△DAC内，求t地取值范围；（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB地面积是△ABC面积地2倍时，求m，n地值．【解答】解：（I）∵y=x2﹣6x+9=（x﹣3）2∴顶点坐标为（3，0）联立解得：或（II）由题意可知：新抛物线地顶点坐标为（3﹣t，1），设直线AC地解析式为y=kx+b将A（1，4），C（3，0）代入y=kx+b中，∴解得：∴直线AC地解析式为y=﹣2x+6当点E在直线AC上时，﹣2（3﹣t）+6=1，解得t=当点E在直线AD上时，（3﹣t）+3=1，解得t=5，∴当点E在△DAC内时，＜t＜5（III）如图，直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+3与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣3，0），F（0，3）∴OD=OF=3，∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°，∵OC=OF=3，∠FOC=90°，∴CF==3∠OFC=∠OCF=45°∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF⊥AB，∵△PAB地面积是△ABC面积地2倍，∴AB•PM=AB•CF∴PM=2CF=6∵PN⊥x轴，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°，在Rt△PGM中，sin∠PGM=∴PG===12，∵点G在直线y=x+3上，P（m，n）∴G（m，m+3）∵﹣3＜m＜1，∴点P在点G地上方，∴PG=n﹣（m+3）∴n=m+15，∵P（m，n）在抛物线y=x2﹣6x+9上，∴m2﹣6m+9=n，∴m2﹣6m+9=m+15，解得：m=∵﹣3＜m＜1，∴m=不合题意，舍去，∴m=，∴n=m+15=赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

天津市和平区2018届高三第一次质量调查理科数学试题第I卷选择题(共40分)1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3、本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A B)P(A)P(B)=+柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为(A)、(-1，1) (B)、(l，1) (C)、(1，-l) (D)、(-1，-l)(2)若f(x)a sin x b=+(a，b为常数)的最大值是5，最小值是-1，则ab的值为(A)、23- (B)、23或23- (C)、32-（D）、32(3)在如图所示的计算1+3+5+…+2018的程序框图中，判断框内应填入(A)、i≤504(B)、i≤2009(C)、i<2018(D)、i≤2018(4)己知函数1f(x)+是偶函数，当1x(,)∈-∞时，函数f(x)单调递减，设1122a f(),b f(),c f()=-=-=，则a，b，c的大小关系为(A)c<a<b (B)a<b<c (C)a<c<b (D)c<b<a(5)已知正四棱柱ABCD—A1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为(A)15 (B) 10 (C) 10（D ）35(6)若抛物线y 2=a x 上恒有关于直线x +y-1=0对称的两点A ，B ，则a 的取值范围是 (A)(43-，0) (B)(0，34) (C)(0，43) (D)403(,)(,)-∞+∞(7)已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x ==+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则(A) x 1<x 2<x 3 (B) x 2<x 1<x 3 (C) x 3<x 1<x 2 (D) x 2<x 3<x 1(8)已知命题p ：关于x 的函数221f (x )x ax =+-在[3，+∞)上是增函数；命题q ：关于x 的方程x 2-a x +4=0有实数根。

和平区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，则实数x 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C．﹣ D．2． 若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ） A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 3． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．44． 复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（2，4）5． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 26． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．7． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）A． B．C． D．8． 若方程x 2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（4，+∞）D ．（0，4）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A 10．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）A ．若m ∥β，则m ∥lB ．若m ∥l ，则m ∥βC ．若m ⊥β，则m ⊥lD ．若m ⊥l ，则m ⊥β11．某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图 12．曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ． e 2B ．2e 2C ．e 2D ． e 2二、填空题13．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 14．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．16．已知f （x ）=，则f （﹣）+f （）等于 ．17．不等式的解为 ．18．S n =++…+= ．三、解答题19．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .20．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．22．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．23．已知f（α）=，（1）化简f（α）；（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cos2α的值．24．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足S n=（b n﹣1）且a2=b1，a5=b2（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，设T n为{c n}的前n项和，求T n．和平区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，∴=0，∴8﹣6+x=0；∴x=﹣2；故选A．【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．2．【答案】D【解析】考点：几何概型．3．【答案】A【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．4．【答案】A【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．5．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．6．【答案】B【解析】7．【答案】B【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选B．【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．8．【答案】C【解析】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．9．【答案】D【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A．故选D．10．【答案】D【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选D11．【答案】D【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D．【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．【答案】D【解析】解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．二、填空题13．【解析】考点：直线与圆的位置关系的应用. 1【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把yx的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.14．【答案】1 2考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．15．【答案】0.9【解析】解：由题意，=0.9，故答案为：0.916．【答案】4．【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣）=f（）=2×=，∴f（）+f（﹣）=+．故答案为：4．17．【答案】 {x|x ＞1或x ＜0} ．【解析】解：即即x （x ﹣1）＞0 解得x ＞1或x ＜0故答案为{x|x ＞1或x ＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出18．【答案】【解析】解：∵ ==（﹣），∴S n =++…+= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）| ＝|a ＋b |得，当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值， ∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b . （2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，（a ＋b ）2＝a ＋b ＋2ab ≤2（a ＋b ）＝4， ∴a ＋b ≤2，∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥a ＋b ， 即f （x ）≥a ＋b . 20．【答案】【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB ，∴△ABC为等腰直角三角形，∵M为AB的中点，∴AM=BM=CM，CM⊥AB，∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AC，设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，∴EM2+MC2=EC2，∴CM⊥EM；（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．21．【答案】【解析】【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）22．【答案】【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，令n=1，得，即a1=1，又4S n+1=（a n+1+1）2，∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，则b1+b2+…+b n===．23．【答案】【解析】解：（1）f（α）===﹣tanα；…5（分）（2）∵f（α）=﹣2，∴tanα=2，…6（分）∴sinαcosα+cos2α====．…10（分）24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=（b n﹣1），∴b1=S1=，解得b1=3．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，化为b n=3b n﹣1．∴数列{b n}为等比数列，∴．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{a n}的公差为d．∴，解得d=2，a1=1．∴a n=2n﹣1．综上可得：a n=2n﹣1，．（Ⅱ）c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．∴T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1．∴﹣2T n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣（2n﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n）•3n+1﹣6．∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷2018.1一、选择题1．2017的相反数是（）A．B．﹣C．﹣2017 D．20172．如图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A． B．C．D．3．数字970000用科学记数法表示为（）A．97×105B．9.7×105C．9.7×104D．0.97×1044．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列说法中正确的是（）A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《沈视早报》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小6．下列运算正确的是（）A．x3+x3=2x6B．x3+x3=x3C．（xy2）3=x3y6D．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y27．将二次函数y=x2﹣2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，对于得到的新的二次函数，y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：节水量（m3）0.2 0.3 0.4 0.5家庭数（个） 1 2 3 4那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是（）A．0.5m3B．0.4m3C．0.35m3D．0.3m39．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y310．如图，已知四边形ABCD中，∠C=90°，点P是CD边上的动点，连接AP，E，F分别是AB，AP 的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A．线段EF的长先减小后增大B．线段EF的长不变C．线段EF的长逐渐增大D．线段EF的长逐渐减小二．填空11．因式分解：m2﹣4mn+4n2= ．12．不等式组的解集为．13．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量呈正比，某弹簧不挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm．写出弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式．14．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=115°，则∠AOC的度数为度．15．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成全部任务．则采用技术后每天加工套运动服．16．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为．三．计算17．计算：（π﹣3.14）0+|cos30°﹣3|﹣（）﹣2+．18．小明和小亮用6张背面完全相同的纸牌进行摸牌游戏，游戏规则如下：将牌面分别标有数字1、3、6的三张纸牌给小明，将牌面分别标有数字2、4、5的三张纸牌给小亮，小明小亮分别将纸牌背面朝上，从各自的三张纸牌中随机抽出一张，并将抽出的两张卡片上的数字相加，如果和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，则小亮获胜．（1）小明抽到标有数字6的纸牌的概率为；（2）请用树状图或列表的方法求小亮获胜的概率．19．如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AF=AC，AD=BC，AE=EC．（1）求证：FD=AB（2）若∠B=50°，∠F=110°，求∠BCD的度数．20．为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．课外阅读t（单位：时）组别A X＜2B 2≤x＜3C 3≤x＜4D x≥4请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）一共调查了名学生；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数；（3）直接补全条形统计图（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？21．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．（1）求证：OE⊥BD；（2）若BE=2，CE=1①求⊙O的半径；②△ACF的周长是．22．如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）23．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．①求AC的长；②求点B的坐标；（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F（1）求证：四边形形ABCD是菱形（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME（3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是．25．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tan∠BAN=2，求点N的纵坐标；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；（4）连接AC、BC，△ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AG⊥BC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F′，连接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A两边上的高交于点P，连接AP，CP，△F′AC与△PAC的面积分别记为S1，S2，S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值．2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．2017的相反数是（）A．B．﹣C．﹣2017 D．2017【考点】14：相反数．【分析】依据相反数的定义解答即可．【解答】解：2017的相反数是﹣2017．故选：C．2．如图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】画出从左边看到的图形即可．【解答】解：这个几何体的左视图是：故选：A．3．数字970000用科学记数法表示为（）A．97×105B．9.7×105C．9.7×104D．0.97×104【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将970000用科学记数法可表示为：9.7×105．故选：B．4．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，∴点P（3，﹣4）在第四象限．故选D．5．下列说法中正确的是（）A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《沈视早报》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小【考点】X1：随机事件；V2：全面调查与抽样调查；W5：众数；W7：方差．【分析】依据必然事件的定义以及方差、众数的定义即可判断．【解答】解：A、了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查，正确，选项符合题意；B、打开电视，正在播放《沈视早报》”是随机事件，选项不符合题意；C、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，选项不符合题意；D、一组数据的波动越大，方差越大，选项不符合题意．故选A．6．下列运算正确的是（）A．x3+x3=2x6B．x3+x3=x3C．（xy2）3=x3y6D．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2x3，不符合题意；B、原式=2x3，不符合题意；C、原式=x3y6，符合题意；D、原式=y2﹣x2，不符合题意，故选C7．将二次函数y=x2﹣2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，对于得到的新的二次函数，y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值．【分析】先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式，然后再求二次函数最值．【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，将二次函数y=（x﹣1）2﹣1的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的新的二次函数y=（x﹣3）2，因为y=（x﹣3）2≥0，所以y的最小值是0．故选：C．8．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：节水量（m3）0.2 0.3 0.4 0.5家庭数（个） 1 2 3 4那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是（）A．0.5m3B．0.4m3C．0.35m3D．0.3m3【考点】W2：加权平均数；VA：统计表．【分析】根据加权平均数的计算公式即可求出答案．【解答】解：这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是，故选B9．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=（a为常数）中，k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵﹣5＜0，0＜1＜2，∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第四象限，∴y2＜y3＜y1．故选C．10．如图，已知四边形ABCD中，∠C=90°，点P是CD边上的动点，连接AP，E，F分别是AB，AP 的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A．线段EF的长先减小后增大B．线段EF的长不变C．线段EF的长逐渐增大D．线段EF的长逐渐减小【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】连接BD，BP，当点P在BC上从C向B移动时则BD＞BP，由题意可知EF是△ABP的中位线，即EF=BP，为的值，点P在CD上从点D向点C移动过程中，EF的长也在减小．【解答】解：连接BD，BP，∵E，F分别是AB，AP的中点，∴EF是△ABP的中位线，∴EF=BP，∵点P在CD上从点D向点C移动过程中，BD＞BP，∴线段EF的长逐渐减小．故选D．二．填空11．因式分解：m2﹣4mn+4n2= （m﹣2n）2．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣4mn+4n2=（m﹣2n）2．故答案为：（m﹣2n）2．12．不等式组的解集为2＜x≤．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：由①得x＞2，由②得x≤，故不等式组的解集为2＜x≤．故答案为：2＜x≤．13．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量呈正比，某弹簧不挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm．写出弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式L=0.6x+15 ．【考点】FG：根据实际问题列一次函数关系式．【分析】根据题意可知，弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y=kx+15．代入求解．【解答】解：设弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系为L=kx+15．由题意得 16.8=3k+15，解得k=0.6，所以该一次函数解析式为L=0.6x+15．故答案为L=0.6x+15．14．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=115°，则∠AOC的度数为130 度．【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．【解答】解：∵∠ABC=115°∴∠D=180°﹣∠B=65°∴∠AOC=2∠D=130°．故答案为：130．15．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成全部任务．则采用技术后每天加工24 套运动服．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设原计划每天加工x套运动服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套运动服，根据结果提前2天完成全部任务，列方程求解即可【解答】解：设原计划每天加工x套运动服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套运动服，由题意得， +，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，所以采用技术后每天加工1.2×20=24套，答：则采用技术后每天加工24套运动服，故答案为：24．16．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为6+2或6﹣2．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】分两种情况：如图1，F是线段CD上一动点，如图2，F是DC延长线上一点，利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．【解答】解：如图1，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF，在Rt△BCE中，EC===2，∴CF=CE=2，∵AB=CD=6，∴DF=CD﹣CF=6﹣2，如图2，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF，在Rt△BCE中，EC===2，∴CF=CE=2，∵AB=CD=6，∴DF=CD+CF=6+2，故答案为6+2或6﹣2．三．计算17．计算：（π﹣3.14）0+|co s30°﹣3|﹣（）﹣2+．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（π﹣3.14）0+|cos30°﹣3|﹣（）﹣2+=1+3﹣﹣9+3=﹣518．小明和小亮用6张背面完全相同的纸牌进行摸牌游戏，游戏规则如下：将牌面分别标有数字1、3、6的三张纸牌给小明，将牌面分别标有数字2、4、5的三张纸牌给小亮，小明小亮分别将纸牌背面朝上，从各自的三张纸牌中随机抽出一张，并将抽出的两张卡片上的数字相加，如果和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，则小亮获胜．（1）小明抽到标有数字6的纸牌的概率为；（2）请用树状图或列表的方法求小亮获胜的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵牌面分别标有数字1、3、6的3张纸牌，∴小明抽到标有数字6的纸牌的概率=，故答案为：；（2）列表如下：小亮小明2 4 51（1，2） （1，4） （1，5） 3（3，2） （3，4） （3，5）6 （6，2） （6，4） （6，5） ∵共有9种等可能的结果，和为奇数有5种情况，∴P （小亮获胜）=．19．如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AE 交于点F ，AF=AC ，AD=BC ，AE=EC ．（1）求证：FD=AB（2）若∠B=50°，∠F=110°，求∠BCD 的度数．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SAS 即可证明；（2）利用全等三角形的性质，求出∠BAC ，根据∠BCD=∠B+∠BAC 即可解决问题；【解答】（1）证明：∵EA=EC ，∴∠EAC=∠ECA ，在△AFD 和△CAB 中，，∴△AFD≌△CAB，∴FD=AB．（2）解：∵△AFD≌△CAB，'∴∠BAC=∠F=110°，∴∠BCD=∠B+∠BAC=50°+110°=160°．20．为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．课外阅读t（单位：时）组别A X＜2B 2≤x＜3C 3≤x＜4D x≥4请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）一共调查了80 名学生；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数162°；（3）直接补全条形统计图（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比可得答案；（2）用360°乘以A所占百分比即可；（3）先求得B、C的人数即可补全图形；（4）用总人数乘以A、B组的百分比之和可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总数为36÷45%=80（人），故答案为：80；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数为360°×45%=162°，故答案为：162°；（3）B组人数为80×30%=24（人），C组人数为80×10%=8（人），补全图形如下：（4）2400×（45%+30%）=1800（人），答：估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有1800人．21．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．（1）求证：OE⊥BD；（2）若BE=2，CE=1①求⊙O的半径；②△ACF的周长是10+2．【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，根据勾股定理求得结论；②连接BC，根据勾股定理得到BC=，根据圆周角大家得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC==2，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根据相似三角形的性质得到CF=2BF，BF=，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF=90°，∵∠DCA=∠DBA，∴∠DBA=∠CFA，∴DB∥CF，∴∠OEB=∠OCF=90°，∴OE⊥DB；（2）解：①设⊙O的半径为r，∵CE=1，OE=r﹣1，∵BE=2，在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，∴r2=（r﹣1）2+22，∴r=，∴⊙O的半径为；②连接BC，∵CE=1，BE=2，∴BC=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==2，∵CF是⊙O的切线，∴∠A=∠BCF，∵∠F=∠F，∴△ACF∽△CBF，∴=2，∴CF=2BF，∵，∴CF2=AF•BF，∴4BF2=（5+BF）•BF，∴BF=，∴CF=，AF=，∴△ACF的周长=AC+CF+AF=2++=10+2．故答案为：10+2．22．如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】先解Rt△DBE，求出BE=9，再将Rt△ABC，求出BC=27≈46.8，那么AD=CE=27﹣9=18≈31.2．【解答】解：由题意，可知∠BDE=30°，∠BAC=60°，四边形ACED是矩形，∴DE=AC=27．在Rt△DBE中，tan∠BDE=，∴=，∴BE=9．在Rt△ABC中，tan∠BAC=，∴=，∴BC=27≈46.8，AD=CE=27﹣9=18≈31.2．答：大楼AD的高约31.2m，塔BC的高约46.8m．23．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．①求AC的长；②求点B的坐标；（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是5+．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）①根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得答案；②根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；（2）首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【解答】解：（1）①当x=0时，y=2x+4=4，∴A（0，4）；当y=2x+4=0时，x=﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA=4，OC=2，∴AC==2．②过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，∴∠CAO=∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD=AO=4，DB=OC=2，OD=OC+CD=6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．（2）如图2所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC=90°，AC=2，∴OE=CE=AC=，∵BC⊥AC，BC=2，∴BE==5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F（1）求证：四边形形ABCD是菱形（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME（3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图1中，连接AE．只要证明△ADE是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明；（3）如图2中，作EH⊥DF．当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，想办法求出PN、PF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．（2）证明：如图1中，连接AE．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，∴∠FOD=90°，∵△ABD旋转得到△EFD，∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，∵点F恰好在AC上，∴DF=2OD，在Rt△FOD中，cos∠ODF==，∴∠ADE=∠BDF=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∵∠MAD=30°，∴∠EAM=∠EAD﹣∠MAD=30°，∴∠EAM=∠MAD，∴DM=EM．（3）解：如图2中，作EH⊥DF．∵AB=AD=15，△ABD的周长为48，∴BD=48﹣15﹣15=18，当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，在Rt△COB中，OC==12，∵•BD•OC=•BC•DP，∴DP=，∵DF=BD=18，∴PF=18﹣=，∵PN∥EH，∴=，∴=，∴PN=，∴S△PNF=××=．故答案为．25．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tan∠BAN=2，求点N的纵坐标；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；（4）连接AC、BC，△ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AG⊥BC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F′，连接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A两边上的高交于点P，连接AP，CP，△F′AC与△PAC的面积分别记为S1，S2，S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，然后求得a、b的值即可；（2）过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．设点N的坐标为（x， x2﹣x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣x2+x+3，然后依据tan∠BAN=2，列方程求解即可；（3）连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．先求得AC，AD的长，依据S△ACD=CD•OC=AD•CG，可求得CG的长，然后依据勾股定理可求得AG的长，从而可得到tan∠AED===，从而可求得EF和E′F的长，然后求得点E和点E′的坐标即可；（4）先证明AB=BC，由等腰三角形的性质可知MB为AC的垂直平分线，然后再证明△CMP∽△F′MC，依据相似三角形的性质可求得MP•MF′=，最后由m=S1•S2=AC•PM•AC•MF′求解即可．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．（2）如图1所示：过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．设点N的坐标为（x， x2﹣x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣x2+x+3．∵tan∠BAN=2，∴=2，解得：x=或x=﹣1（舍去）．∴MN=2AM=3×（+1）=，∴点N的坐标为（，﹣）．（3）如图2所示：连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．∵点C与点D关于对称轴直线x=对称，∴D（3，﹣3）．∴DF=3，CD=3．依据两点间的距离公式可知AD=5，AC=．∵S△ACD=CD•OC=AD•CG，∴CG=．∴AG==．∴tan∠CAD=．∵∠AED=∠CAD，∴tan∠AED===，即==，解得EF=EF′=．∴E（﹣，0），E′（，0）．∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）．（4）如图3所示：∵A（﹣1，0），（4，0），C（0，﹣3），∴AB=BC=5，AC=．∵MB为△ABC的中线，∴MB⊥AC，MC=．∴MB为AC的垂直平分线，∴∠AF′M=∠CF′M．∵点P为AF′与CF′的高线的交点，∴∠CAQ+∠ACQ=90°，∠CAQ+∠MF′A=90°，∴∠ACQ=∠AF′M．∴∠ACQ=∠CF′M．又∵∠CMP=∠CMF′，∴△CMP∽△F′MC．∴=，即MP•MF′=．∴m=S1•S2=AC•PM•AC•MF′=×（）2×=．。

2018年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．2B．4C．10D．123．（5分）数列{a n}中“a n2＝a n﹣1a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{a n}是等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝2.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．105．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若a＝30.3•f（30.3），b＝logπ3•f（logπ3），c＝log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（]D．（）8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2）B．（，）C．（﹣∞，3﹣2）D．（3﹣2，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）＝3i+5，则m+n＝．10．（5分）若曲线y＝kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝．11．（5分）过点（2，2）作圆x2﹣2x+y2＝0的切线，则切线方程为．12．（5分）正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的体积的最大值为．13．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是．14．（5分）设a，b为正实数，，（a﹣b）2＝4（ab）3，则log a b＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称中心；（Ⅱ）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4，f（）＝，求边a的值16．（13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角A1﹣DC﹣A为45°，①证明：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线A1A与平面A1C1D所成角的正切值．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}首项为1的正项等差数列，满足，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和R n．19．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a∈R），函数g（x）＝﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数F（x）＝f（x）+ag（x）的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为（，0），且经过点（﹣1，），点M是y轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B 两点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若＝2，且直线l与圆O：x2+y2＝相切于点N，求|MN|的长．2018年天津市和平区耀华中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由x2﹣x＜0，解得0＜x＜1，可得A＝（0，1）．∵A∩B＝A，∴A⊆B．∴1≤a．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：C．2．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．2B．4C．10D．12【解答】解：画出不等式组表示的可行域，如图所示；由图形知目标函数z＝2x+y在A处取得最大值，由，解得点A（3，4），代入目标函数z＝2x+y得z的最大值为2×3+4＝10．故选：C．3．（5分）数列{a n}中“a n2＝a n﹣1a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{a n}是等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若{a n}是等比数列，则＝，a n+1对任意n≥2且n∈N*都成立，故a n2＝a n﹣1是必要条件，反之不成立，比如a n＝0时，不是充分条件，故选：A．4．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝2.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．10【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝k，满足条件n＜4，执行循环体，n＝2，S＝k﹣＝，满足条件n＜4，执行循环体，n＝3，S＝﹣＝，满足条件n＜4，执行循环体，n＝4，S＝﹣＝，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：＝2.5，解得：k＝10．故选：D．5．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，代入抛物线方程y＝x2+1，得x2x+1＝0，由相切的条件可得，判别式﹣4＝0，即有b＝2a，则c＝＝＝a，则有e＝＝．故选：C．6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若a＝30.3•f（30.3），b＝logπ3•f（logπ3），c＝log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：令h（x）＝xf（x），∵函数y ＝f （x ）以及函数y ＝x 是R 上的奇函数 ∴h （x ）＝xf （x ）是R 上的偶函数，又∵当x ＞0时，h ′（x ）＝f （x ）+xf ′（x ）＜0，∴函数h （x ）在x ∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数； ∴h （x ）在x ∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递增函数．若a ＝30.3•f （30.3），，又∵函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）＝0，从而h （0）＝0因为log 3＝﹣2，所以f （log 3）＝f （﹣2）＝﹣f （2）， 由0＜log π3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h （log π3）＞h （30.3）＞h （2）＝f （log3）， 即：b ＞a ＞c 故选：A ．7．（5分）已知函数f （x ）＝2sin ωx cos 2（）﹣sin 2ωx （ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．[]C ．（]D ．（）【解答】解：∵2cos 2（）＝1+cos （ωx ﹣）＝1+sin ωx ，f （x ）＝sin ωx （1+sin ωx ）﹣sin 2ωx ＝sin ωx ．令ωx ＝+2k π可得x ＝+，∵f （x ）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值， ∴0≤≤π，解得ω≥．令﹣+2k π≤ωx ≤+2k π，解得：﹣+≤x ≤+，∵f （x ）在区间[]上是增函数，∴，解得ω≤．综上，．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2）B．（，）C．（﹣∞，3﹣2）D．（3﹣2，+∞）【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ax，恰有三个不同的零点，就是函数f（x）与y＝ax有3个交点，也就是函数y＝ax与f（x）＝x2+3x+2，x≤a的图象有2个交点，y＝ax与f（x）＝，x＞a的图象有1个交点，画出函数f（x）与y＝ax的图象如图，函数y＝ax，看做直线斜率为a，由图象可知a，a小于直线与抛物线相切时的斜率，可得，可得x2+（3﹣a）x+2＝0，△＝（3﹣a）2﹣8＝0，解得a＝3﹣2．综上a∈（，3﹣2）．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上.9．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）＝3i+5，则m+n＝．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）＝（4m+2n）+（4n﹣2m）i＝3i+5，得，解得m＝，n＝．∴m+n＝+＝．故答案为：10．（5分）若曲线y＝kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝﹣1．【解答】解：由题意得，y′＝k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1＝0，得k＝﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）过点（2，2）作圆x2﹣2x+y2＝0的切线，则切线方程为3x﹣4y+2＝0或x＝2．【解答】解：由圆的一般方程x2﹣2x+y2＝0可得圆的圆心与半径分别为：（1，0）；1．当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣2k+2＝0，由点到直线的距离公式可得：，解得：k＝，所以切线方程为：3x﹣4y+2＝0，当切线与x轴垂直时，可得：x＝2，故答案为：3x﹣4y+2＝0或x＝2．12．（5分）正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的体积的最大值为64．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为a，则：底面顶点A到底面中心的距离AH＝．则：OH＝，所以：三棱柱的高为：2OH＝，则：V＝，＝，＝由于：a2•a2•（96﹣2a2）＝323，故：，故三棱柱的体积的最大值为64．故答案为：6413．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是[0，2]．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），E（1，0），D（，），B（2，0），C（，），F（，）；设P（cosα，sinα）（0°≤α≤60°），由＝，∴（cosα，sinα）＝λ（﹣，）+μ（，），∴cosα＝﹣λ+…①，sinα＝λ+μ…②，由①②解得λ＝﹣cosα+sinα，μ＝cosα+sinα，∴2λ+μ＝2（﹣cosα+sinα）+（cosα+sinα）＝sinα，α∈[0°，60°]时，sinα∈[0，]，∴sinα∈[0，2]．故答案为：[0，2]．14．（5分）设a，b为正实数，，（a﹣b）2＝4（ab）3，则log a b＝﹣1．【解答】解：由，得．又，即．①于是．②再由不等式①中等号成立的条件，得ab＝1．与②联立解得或故log a b＝﹣1．故答案为：﹣1三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称中心；（Ⅱ）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4，f（）＝，求边a的值【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin2x﹣2sin2（x﹣）＝1﹣cos2x﹣[1﹣cos2（x﹣）]＝cos（2x﹣）﹣cos2x＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴令2x﹣＝kπ．k∈Z，解得：x＝kπ+，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心是（kπ+，0），k∈Z．（Ⅱ）∵f（+）＝，∴sin（B+）＝，可得sin B+cos B＝，可得a sin B+a cos B＝b+c，∴由正弦定理可得：sin A sin B+sin A cos B＝sin B+sin C，可得sin A sin B＝sin B+cos A sin B，∵sin B＞0，∴sin A﹣cos A＝1，可得sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，可得﹣＜A﹣＜，可得：A﹣＝，可得：A＝，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+16﹣2×3×4×＝13，可得：a＝．16．（13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3＝27种，而满足a+b＝c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率为＝．（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为＝，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣＝．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角A1﹣DC﹣A为45°，①证明：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线A1A与平面A1C1D所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中A1B1∥AB且A1B1＝AB，由平行四边形ABCD得CD∥AB且CD＝AB，∴A1B1∥CD且A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，A1D∥B1C，∵B1C⊂平面BCC1B1，A1D⊄平面BCC1B1，∴A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）①取CD的中点O，连接AO，A1O，在平行四边形ABCD中BC＝AD，又AC＝BC，所以AD＝AC，O是CD中点，所以AO⊥CD，（1）∵AA1⊥平面ABC，AC、AD⊂平面ABC，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，又AD＝AC，所以A1D＝A1C，O是CD中点，所以A1O⊥CD，（2）由（1）、（2）可知∠A1OA是二面角A﹣DC﹣A1的平面角，即∠A1OA＝45°，所以在Rt△A1AO中AO＝A1A＝2，平行四边形ABCD中AB＝CD＝4，所以在等腰三角形ADC中，所以DA⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，又A1A⊥AC，A1A∩DA＝A，所以AC⊥平面A1AD，三棱柱ABC﹣A1B1C1中AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面A1AD，∵A1C1⊂平面A1C1D，∴平面A1C1D⊥平面AA1D；②过A作AM⊥A1D于M，由于平面A1C1D⊥平面AA1D，及平面A1C1D∩平面A1AD＝A1D，∴AM⊥平面A1C1D，∴A1M是AA1在平面A1C1D上的射影，∠AA1M是AA1与平面A1C1D所成角，在Rt△A 1AD中，，∴．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}首项为1的正项等差数列，满足，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（Ⅰ）由3a n＝2S n+3，得a1＝3，当≥2时，3a n﹣1＝2S n﹣1+3，则3a n﹣3a n﹣1＝2a n，即a n＝3a n﹣1（n≥2）．∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，∴．设数列{b n}的公差为d（d＞0），由，，成等比数列，得成等比数列，即，解得d＝2．∴b n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，c n＝＝＝．∴数列{c n}的前n项和R n＝＝．19．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a∈R），函数g（x）＝﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数F（x）＝f（x）+ag（x）的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），＝．（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y＝F（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．故函数y＝F（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由题意知t≥0.，当﹣2≤a≤﹣1时，函数y＝f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又函数y＝g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．记h（x）＝f（x）+tg（x）＝lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．则2t﹣1≥（2x+）max，而y＝2x+在[1，2]上单调递增，所以函数y＝2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．20．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为（，0），且经过点（﹣1，），点M是y轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B 两点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若＝2，且直线l与圆O：x2+y2＝相切于点N，求|MN|的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，即（a2﹣4）（4a2﹣3）＝0，a2＝3+b2＞3，解得：a2＝4，b2＝1，故椭圆C的方程为+y2＝1；（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设M（0，m），直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与圆O：x2+y2＝相切，∴＝，即m2＝（k2+1），①，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由韦达定理得：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由＝2，有x1＝﹣2x2，解得x1＝﹣，x2＝，∴﹣＝，化简得﹣＝m2﹣1，②，把②代入①可得：48k4+16k2﹣7＝0，解得k2＝，m2＝，在Rt△OMN中，可得|MN|＝＝，故|MN|的长为。