参数线性规划共20页

线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
线性规划PPT课件
本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。

4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。

基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200

θ
X3 15/2
1+2λ X2
1/2 -2 -1/5
λ
Z
15 7.2
-2
-1/5
1
λ
max(min) Z = C + λC ) X （
AX ≤ (=, ≥)b s.t X ≥0
——当资源系数连续变化时： 当资源系数连续变化时： 当资源系数连续变化时
max(min) Z = CX
AX ≤ (=, ≥)b + λb s.t X ≥0
参数线性规划的步骤： ——先令参数为零（即先不考虑参数），求出相应 的最优单纯性表； ——在最优表中代入参数； ——在参数取值范围内，找出最优解和最优值的变 化趋势及相关临界点。
-1
2 X1 0 6 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0
1 X2 5 2 1 1 5 1/3 2/3 1/3 0 0 1 0
0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 5/4 1/4 -1/4 -1/4
0 X5 0 0 1 0 0 0 1 0 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
θ
4 5
12 3/2
Step2：代入参数，进行分析：
Cj CB 0 2+λ 1+2λ XB X3 X1 X2 B-1b 15/2 7/2 3/2 σ 2+λ X1 0 1 0 0 1+2λ X2 0 0 1 0 0 X3 1 0 0 0 0 X4 5/4 1/4 -1/4 -1/4+λ/4 0 X5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2-5λ/2 1/2-
Z*=0
-1
2+λ X1 0 1 0 0 0 1 0 0

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

x1、 x2 0 第19页/共20页
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
第3页/共20页
❖图解法
x2
9— 8— 7—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
6—
5—
(0, 4)
4—
3—
2—
4x1 16
4 x2 12 x1 + 2x2 8
三、 线性规划的图解法
第1页/共20页
图解法的一般步骤：
先将约束条件和非负条件加以图解， 画出可行域；
再画目标函数等值线（令Z为某一常 数c）；
最后，结合目标函数的要求，平移目 标函数的等值线，从可行域中找出最优
解。
第2页/共20页
图解法举例
例1-1
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
0 || | 12 3
4 x2 16 x1 + 2x2 8
||| ||| 456 789
x1
第5页/共20页
❖图解法
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4 —B
C
3—
2—
1 — 可行域
0 || |
A
12 3
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
第18页/共20页
线性规划问题求解的 几种可能结果
x2
该问题可行域 为空集，即无 可行解，也不 存在最优解。

设变量 x、 y 满足 | x|| y|1，则 x 2 y 的最大值和式训练（三）
若 x、 y 满足
y 1
y
2 x -1
x y m
若目标函数 zxy最小值-1，则m的值.
可编辑课件
15结束
变式训练（四）
x y 1
若 x、 y 满足 x y 4
x
y
2
x y 2
可编辑课件
6
问题（四）
用什么方法解决这个问题呢？ 根据什么判断这是一个线性规划问题呢？
可编辑课件
7
解：设每天吃x百克苹果,y百克桔子,花 钱z元，则 50x 25y 75
0.2x 0.4y 1 x0 y0
z 0.75x y
可编辑课件
8
M
M
可编辑课件
9
当直线z=0.75x+y经过可行域上的点M时，z有最小值
巩固练习
x y 1
若点M( x , y ) 在平面区域 x y 4 上
x
y
2
x y 2
向量a (1, 2)，则 OM a 的最大值.
可编辑课件
12
变式训练（一）
x y 1
若 x、 y
满足
x
x
y y
4 2
x y 2
则 z | x2y| 最大值.
可编辑课件
13
变式训练（二）
解方程组500.2xx++205.y4=y=751
得M的坐标为（1，7） 33
所以，zmin
0.75x
y
31 12
2.6
答：最少可以花约2.6元.
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10
问题（五）
解决线性规划实际问题的步骤：

0 2
当 1 / 5 时，由原最终单纯形表
cj 2 1 2 CB X B b x1 x2 0 x3 15 / 2 0 0 2 x1 7 / 2 1 0 1 2 x2 3 / 2 0 1 cj zj
0 0
0 0 0 x3 x4 x5 1 5 / 4 15 / 2 0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2 1 1 5 0 4 4 2 2
举例分析——目标函数的系数
含有参数的线性规划问题 分析 值变化时，下述参数线性规划 问题最优解的变化。
max z ( ) (2 ) x1 (1 2 ) x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x x 5 2 1 x1 , x2 0
cj
1 0 0 0 x2 x3 x4 x5 5 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 6 1 0 0 2 z 10
先令 0 求得最优 解，然后 将 b 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj
CB X B
b
2 1 0 x1 x2 x3 0 0 1
0 x4
0 x5
15 5 0 x3 2 4 7 1 2 x1 若 6， 4 2 则x 4 0 3 1 1 x2 2 4
先令 0求得最优 解，然后 将C 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj 2 1 2 0 0 0 CB X B b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 15 / 2 0 最优解保持不变的条件 / 2 0 1 5 / 4 15 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 417 132 1/ 1 z 1 2 x2 3 / 2 5 0 1 0 1 / 42 3 /22 1 1 5 0 0 0 cj zj 4 4 2 2

x1, x2 , x3 0
0≤λ≤40000/6=20000/3
1
B－1 ~b
=
2
1 4
1 6 1 4
1386000000
3
=
15000 5
4500
3
Cj
60 40 22 0 0
CB XB
b
x1 x2 x3 x4 x5
40 x2 15000-5λ/3 0 1 4/3 1/2 -1/6
X*=（0,0,0,0,0,15）T z*=37.5
(5) B影子价格2/3>0.5，故购进B。
B
1b
1/ 3 1/ 5
21//53
3045b
35
2bb/ 3/ 5
0
b 15 故B购进15单位，安排丙生产9单位。
(6) 取c1=-M
Cj
-M 1 5
CB XB b
x1
x2
x3
-M x1 5 1 -1/3 0
c1 / 3 4
2
c2 c3 / 2 c1 / 2 4
运筹学
0 -1/2 -1/4 1/4
0 -4/3 -5 -25/3
X*=（500，5000，0，0）T，z*=230000万元。
设两种原料甲、乙分别补充μ与λ千克，则： 2μ+6λ=40000 即：μ=20000－3λ
max z 60x1 40x2 22x3
2x1 3x2 3x3 36000 3 6x1 3x2 x3 18000
Cj
CB XB
b
x3 5/2
x1 3/2
σj
x1
x2
x3 x4 x5
0 1/2 1 1/2 0
1 -1/2 0 -1/6 1/3