正弦函数余弦函数图像教案及反思

正弦函数余弦函数图像教案及反思

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

教材分析

三⾓函数是基本初等函数之⼀，是描述周期现象的重要数学模型，是函数⼤家庭的⼀员。除了基本初等函数的共性外，三⾓函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作⽤；另外，学习完三⾓函数的定义之后，必然要研究其性质，⽽研究函数的性质最常⽤、最形象直观的⽅法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。

由于正弦线、余弦线已经从“形”的⾓度描述了三⾓函数,因此利⽤单位圆中的三⾓函数线画正弦函数图象是⼀个⾃然的想法.当然,我们还可以通过三⾓函数的定义、三⾓函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.

教学⽬标1.通过简谐振动实验演⽰,让学⽣对函数图像有⼀些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进⽽探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运⽤新旧知识之间的联系,提⾼分析问题、解决问题的能⼒.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三⾓函数图象的三种画法:描点法、⼏何法、五点法,体会⽤“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出⼀些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学⽣体会数学中的图形美,体验善于动⼿操作、合作探究的学习⽅法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树⽴科学的辩证唯物主义观.

重点难点

教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.

教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.

教学⽤具：多媒体教学、⼏何画板软件、ppt控件

教学过程

导⼊新课1.(复习导⼊)⾸先复习相关准备知识：三⾓函数、三⾓函数线。遇到⼀个新的函数,⾮常⾃然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最⼤值与最⼩值等.我们也很⾃然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?2.(物理实验导⼊)视频观看“简谐运动”实验.得到⼀条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了⼀个直观的印象?画函数的图象,最基本的⽅法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下⾯我们利⽤正弦线画出⽐较精确的正弦函数图象.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三⾓函数表得到的数值,由于对⼀般⾓的三⾓函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意⾓的三⾓函数值并⽤线段长(或⽤有向线段数值)表⽰x⾓的三⾓函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?

问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?

对问题①,第⼀步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这⼀段分

成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2

π

、…、2π等⾓的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第⼆步,把⾓x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点⽤平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的⼀段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所⽰(这⼀过程⽤课件演⽰,让学⽣仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学⽣动⼿作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学⽣共同探讨.

图1

对问题②,因为终边相同的⾓有相同的三⾓函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x∈[0,2π]上的图象的形状完全⼀致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平⾏移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这⼀过程⽤课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)

图2

操作结果、总结提炼:①利⽤正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象.

②左、右平移,每次2π个长度单位即可. 提出问题

如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利⽤正弦函数图象得到余弦函数图象吗?

意图:如果再⽤余弦线作余弦函数的图象那太⿇烦了,根据已学的知识,教师引导学⽣观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学⽣从函数解析式之间的关系思考,进⽽学习通过图象变换画余弦函数图象的⽅法.让学⽣动⼿做⼀做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下⼀步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果:

把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2

π

个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.

图3

正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.

提出问题

问题①:以上⽅法作图,虽然精确,但不太实⽤,⾃然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的⽅法.你认为哪些点是关键性的点?

问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?

活动:对问题①,教师可引导学⽣从图象的整体⼊⼿观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作⽤,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2

π

,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).

因此,在精确度要求不太⾼时,我们常常先找出这五个关键点,然后⽤光滑的曲线将它们

连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是⾮常实⽤的,要求熟练掌握.

对问题②,引导学⽣通过类⽐,很容易确定在［0,2π］上起关键作⽤的五个点,并指导学⽣通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:①略.

②关键点也有五个,它们是:(0,1),(

2

π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).

学⽣练习巩固：1。⽤五点法作出函数y=sinx 在［0,2π］上的图象；2. ⽤五点法作出函数y=cosx

在［0,2π］上的图象 应⽤⽰例

例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π]. x 0 2

π π 2

3π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx

1

2

11

图4x

2

π π

2

3π 2π

cosx 1 0 -1 0 1

-cosx -1 0 1 0 -1

描点并将它们⽤光滑的曲线连接起来(图5).

图5

课堂⼩结

以提问的⽅式,先由学⽣反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.怎样利⽤“周⽽复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?

2.如何利⽤图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、⼏何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是⽐较⽅便、实⽤的⽅法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想⽅法.

作业1.活页练习课时作业六

2课本p34 练习1.2

3.课后请同学们利⽤三⾓函数线（把单位圆8等分）来作出正弦函数图象？（思考为什么要进⾏8等分）

教学反思：

这节课从整体上看，⽐较圆满完成了既定的教学⽬标：正弦函数、余弦函数的图像，以及掌握五点法，利⽤五点法作出函数的图像，注意函数之间的内在联系。学⽣掌握了三⾓函数的定义之后，⾃然⽽然就会去研究函数的性质，⽽研究函数的性质⼀般从函数的图像⼊⼿，本节课学⽣的动⼿操作要求较⾼，需要学⽣在练习本上画图；这节课从教学过程看，逻辑⾏强，过渡⽐较⾃然，幻灯⽚制作精美，特别是⼏何画板的控件，让学⽣能够直观看到图像的变化趋势，还有电⼦⽩板的灵活运⽤，可以使⽤新建屏幕页，让学⽣看到我们⽼师如何操作，给学⽣⽰范。

当然，在教学中也存在⼀些问题：前⾯复习回顾的内容⽤时过多，导致后⾯的时间有些紧，例题可以讲⼀个详细的，后⾯让学⽣完成；正弦函数的图像分析透彻之后，对于余弦函数可以略讲。