正弦函数和余弦函数的图像与性质教案

6.1课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）教案

教学目的：1、理解正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2、会求简单函数的值域、最小正周期和单调区间；

3、掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法。

教学重点：正、余弦函数的性质。

教学过程：

（一）、引入

回顾三角函数的图像：

函数y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，

（二）、新课

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R

2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，

｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx，x∈R

①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

3．周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知： 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

注意：

（1）周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

（2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

（3）T往往是多值的（如y=sinx ，2，4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

4．奇偶性

由sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx

可知：y＝sinx为奇函数， y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

5．单调性

从y＝sinx，x∈［－23,2］的图象上可看出：

当x∈［－2，2］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

当x∈［2，23］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

（三）典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。

（1）y＝cosx＋1，x∈R； （2）y＝sin2x，x∈R

解：（1）使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。

∴函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。 （2）令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝2＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝2＋2kπ，得x＝4＋kπ

即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝4＋kπ，k∈Z｝

∴函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。

例2：求下列函数的单调区间

（1）y＝－cosx （2）y=41sin(4x-3) （3）y=3sin(3-2x)

解：（1）由y＝－cosx的图象可知：

单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)

单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)

（2）当2kπ-2≤4x-3≤2kπ+2，

∴函数的递增区间是[2k-24，2k+245](k∈Z)

当2kπ+2≤4x-3≤2kπ+23

∴函数的递减区间是[2k+245,2k+2411](k∈Z)

（3）当2kπ-2≤3-2x≤2kπ+2时，函数单调递减，

∴ 函数单调递减区间是[kπ-12，kπ+125](k∈Z)

当2kπ+2≤3-2x≤2kπ+23时，函数单调递增，

∴ 函数单调递减区间是[kπ+125，kπ+1211](k∈Z)

例3：求下列三角函数的周期：

(1) y=sin(x+3) (2) y=cos2x (3) y=3sin(2x+5)

解：(1)令z= x+3而 sin(2+z)=sinz 即：f(2+z)=f (z)

f[(x+2)+3]=f(x+3)∴周期T=2.

(2)令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f (x+)=f (x)∴周期T=。

(3)令z=2x+5则

f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(2x+5+2)=3sin(524x)=f (x+4) ∴周期T=4。

注：y＝Asin(ωx＋φ)的周期T=||2。

（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度）

1、求使下列函数y=3-cos2x取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。

解：当cos2x=-1，即2x=2k+，k∈Z，∴{x|x=4k+2，k∈Z }，

y=3-cos2x取得最大值。

2、求y=x2sin21的周期。

解：∵y=x2sin21=41(1-cos2x)=41-41cos2x，∴T=。

3、求函数y=3cos(2x+3)的单调区间。

解：当2kπ≤2x+3≤2kπ+时，函数单调递减，

∴ 函数的单调递减区间是[kπ-6，kπ+3](k∈Z)

当2kπ-≤2x+3≤2kπ时，函数单调递增，

∴ 函数的单调递增区间是[kπ-32，kπ-6](k∈Z)

（五）拓展探究（2个）

1、求下列函数的周期：

（1）y=sin(2x+4)+2cos(3x-6) （2）y=|sinx| （3）y=23sinxcosx+2cos2x-1

解：（1）y1=sin(2x+4) 最小正周期T1=

y2=2cos(3x-6) 最小正周期 T2=32

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2∴T=2

（2）T=

（3） y=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)∴T=

2、求下列函数的最值：

（1）y=sin(3x+4)-1 （2）y=sin2x-4sinx+5 （3）y=xxcos3cos3

解：（1）当3x+4=2k+2即 x=1232k (kZ)时，ymax=0 当3x+4=2k-2即x=432k (kZ)时，ymin=-2

（2） y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k-2 kZ时，ymax=10

当x=2k-2 kZ时，ymin= 2

（3） y=-1+xcos31当x=2k+ kZ时，ymax=2

当x=2k kZ时， ymin= 21

（三）、小结

1、正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2、求简单函数的值域、最小正周期和单调区间方法；

3、掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法。

（四）、作业

课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）

一、填空题

1、函数y=cos(x-2)的奇偶性是_________________。

2、函数y=-5sinx+1的最大值是__________，此时相应的x的值是________________。

3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_________。

4、函数y=sinxcos(x+4)+cosxsin(x+4)的最小正周期是________。

5、函数y=3cos(2x+3)的单调递减区间是___________________。

6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是___________________。

7、函数y=sin(6-2x)的单调递增区间是________________________。

8、已知函数y=f(x)是以3为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解析式可以是________________。

二、选择题

1、函数y=sinx，x∈[6，32]的值域是 （ ）

（A）[-1，1] （B）[21，1] （C）[21，23] （D）[23，1]

2、下列函数中，周期是21的函数是 （ ）

（A）y=sinx （B）y=cos2x （C）y=sin2x （D）y=sin4kπ