高中新课程数学(苏教版必修四)《2.2.1向量的加法》

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角

第一课时

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量1122a=xy,b=xy,ab= （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于

。

如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求ab。

2.平面内两点间的距离公式

（１）设a=(x,y),则2a=________________或a________________。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）

3.向量垂直的判定

设1122a=x,y,b=x,y,则ab_________________

如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC是直角三角形。

4.两向量夹角的余弦（0≤≤）

cos＝__________________________________＝_________________

______________

如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,aBCbCA,则a与b的夹角为_________________。

【小试身手、轻松过关】

1.已知(4,3),(5,6)ab则23a4ab=（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83

课 题：向量的加法

江苏省盐城中学 徐瑢

一、教学目标

向量是近代数学中重要的基本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以体现的．向量的加法运算是向量运算的基础,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算．依据《高中数学课程标准》的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、发展思维、提升能力基于此,本节课的教学目标确立为:

1理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；

2经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,发展各种能力；

3发展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养．

二、学情分析

向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃．然而学生的认知存在着不足，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度．这就需要去分析学生已有的知识经验．其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比较熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法则的抽象原型，同时，学生在学习《向量的概念和表示》时，已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法则奠定了基础；此外，学生在初中已经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法．因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法则，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回顾，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用．

1 2.2.1 向量的加法

整体设计

教学分析

向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.

向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.

三维目标

1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.

一、向量的加法

两个向量做加法运算就是向量的加法，是一种向量的运算。

首先我们来看图像。

向量加法图像 向量的加法口诀： 首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。

二、向量的减法

两向量做减法运算，图像如下图所示：

向量的减法图像 向量的减法口诀： 首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。 以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。 向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。

向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。

附一；

三角形定则解决向量加减的方法

将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法 将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法

将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。)

注:当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时常选用平行四边形法则。

坐标系解向量加减法

在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,

A(X1,Y1)B(X2,Y2)，则A+B=(X1+X2，Y1+Y2)，A-B=(X1-X2，Y1-Y2)