7 动能和动能定理

7 动能和动能定理

[学习目标] 1.知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能.2.能从牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义.3.能应用动能定理解决简单的问题．

一、动能

[导学探究] 让铁球从光滑的斜面滚下，与木块相碰，推动木块做功．(如图1所示)

(1)让同一铁球从不同的高度滚下，可以看到：高度大时铁球把木块推得远，对木块做的功多．

(2)让质量不同的铁球从同一高度滚下，可以看到：质量大的铁球把木块推得远，对木块做的功多．

以上两个现象说明动能的影响因素有哪些？

图1

答案 由于铁球从同一斜面上滚下，加速度均为gsin θ，由v2＝2ax和x＝hsin θ得知，铁球到达水平面时的速度由h决定．同一铁球从不同高度滚下，高度大的到达水平面时的速度大，把木块推得远，对木块做功多，故动能的影响因素有速度；质量不同的铁球从同一高度滚下，到达水平面时的速度相等，质量大的铁球对木块做功多，说明动能的影响因素有质量．

[知识梳理] 对动能的理解

(1)动能的表达式：Ek＝12mv2.

(2)动能的理解

①动能的瞬时性：物体动能的大小与物体瞬时速度的大小相对应，是一个状态量．

②动能的标矢性：动能是标量，只有大小没有方向，且总大于(v≠0时)或等于零(v＝0时)，不可能小于零．运算过程中无需考虑速度方向．

③动能的相对性：对于不同参考系速度不同．动能表达式中的速度都是相对地面为参考系．

[即学即用] 下列关于动能的说法正确的是( )

A．两个物体中，速度大的动能也大

B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍

C．做匀速圆周运动的物体动能保持不变 D．某物体的动能保持不变，则速度一定不变

答案 C

解析 动能的表达式为Ek＝12mv2，即物体的动能大小由质量和速度大小共同决定，速度大的物体的动能不一定大，故A错误；速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；速度只要大小保持不变，动能就不变，故C正确，D错误．

二、动能定理

[导学探究] 如图2所示，物体在恒力F的作用下向前运动了一段距离，速度由v1增加到v2.试推导出力F对物体做功的表达式．

图2

答案 W＝Fl＝Fv22－v212a＝Fv22－v212Fm＝12mv22－12mv21

[知识梳理] 对动能定理的理解

(1)内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．

(2)表达式：W＝Ek2－Ek1＝12mv22－12mv21.

①其中Ek2＝12mv22表示这个过程的末动能，Ek1＝12mv21表示这个过程的初动能．

②W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和．

如果合力做正功，物体的动能增加；如果合力做负功，物体的动能减小．

[即学即用] 甲、乙两辆汽车的质量之比m1∶m2＝2∶1，它们刹车时的初动能相同，若它们与水平地面之间的动摩擦因数相同，则它们滑行的距离之比x1∶x2等于( )

A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1

答案 B

解析 对两辆汽车由动能定理得：－μm1gx1＝0－Ek，－μm2gx2＝0－Ek，x1∶x2＝m2∶m1＝1∶2，B正确．

一、动能及动能定理的理解

例1 下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )

A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化

B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零 C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化

D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零

解析 力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误．物体合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确．物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误．

答案 C

[总结提升]

(1)动能是标量，物体的速度变化时，动能不一定变化．

(2)功是物体动能变化的原因，合外力做正功，物体动能增加；合外力做负功，物体动能减少．

针对训练 下列对动能定理表达式W＝Ek2－Ek1的理解，正确的是( )

A．物体具有动能是由于力对物体做了功

B．力对物体做功是由于该物体具有动能

C．力做功是由于物体的动能发生变化

D．物体的动能发生变化是由于力对物体做了功

答案 D

解析 功是能量发生变化的原因，功是能量转化的量度．所以物体的动能发生变化是由于合外力对物体做了功，且合外力做的功等于物体动能的变化，故D正确，A、B、C错误．

二、动能定理的应用

例2 如图3所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2，求：

图3

(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)．

(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离．

解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零．从木块开始运动到弧形槽最高点，由动能定理得：

FL－FfL－mgh＝0

其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N

所以h＝FL－FfLmg＝1.5－1.0×1.50.5×10 m＝0.15 m.

(2)设木块离开B端后沿桌面滑动的最大距离为x.由动能定理得：

mgh－Ffx＝0 所以：x＝mghFf＝0.5×10×0.151.0 m＝0.75 m.

答案 (1)0.15 m (2)0.75 m

[方法归纳]

应用动能定理解题的一般步骤

1．选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．

2．对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．

3．明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.

4．列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程求解并验算.

1．(多选)关于动能、动能定理，下列说法正确的是( )

A．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

B．动能不变的物体，一定处于平衡状态

C．合力做正功，物体动能可能减小

D．运动物体所受的合力为零，则物体的动能肯定不变

答案 AD

解析 一定质量的物体，动能变化时，物体的速度大小一定变化，所以速度一定变化，而速度变化时，物体的速度大小不一定变化，所以动能不一定变化，A项正确；动能不变的物体，速度方向可能改变，不一定处于平衡状态，B项错误；合力做正功时，动能肯定增加，合力做功为零时，动能肯定不变，C项错误，D项正确．

2．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰撞过程中的速度变化和动能变化分别是( )

A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0

C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0

答案 AD

解析 速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s.而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，A、D正确．

3．(多选)物体沿直线运动的v－t图象如图4所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则( )

图4

A．从第1 s末到第3 s末合力做功为4W

B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W

C．从第5 s末到第7 s末合力做功为W

D．从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.75W

答案 CD

解析 由题图可知物体速度变化情况，根据动能定理得

第1 s内：W＝12mv20，

第1 s末到第3 s末：

W1＝12mv20－12mv20＝0，A错；

第3 s末到第5 s末：

W2＝0－12mv20＝－W，B错；

第5 s末到第7 s末：

W3＝12m(－v0)2－0＝W，C正确；

第3 s末到第4 s末：

W4＝12m(v02)2－12mv20＝－0.75W，D正确．

4.如图5所示，AB段为粗糙水平面轨道，BC段是固定于竖直平面内的光滑半圆形导轨，半径为R.一质量为 m的滑块静止在A点，在水平恒力F作用下从A点向右运动，当运动至B点时，撤去恒力F，滑块沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C.已知滑块与水平轨道间的滑动摩擦力Ff＝mg4，水平恒力F＝mg2.求：

图5

(1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ；

(2)滑块运动至C点的速度大小vC；

(3)水平轨道AB的长度L. 答案 (1)0.25 (2)gR (3)10R

解析 (1)滑块在水平轨道上运动时，由Ff＝μFN＝μmg得：μ＝FfFN＝0.25

(2)滑块在C点时仅受重力，据牛顿第二定律，有mg＝mv2CR

可得：vC＝gR

(3)滑块从A到C的过程，运用动能定理得：

(F－Ff)L－2mgR＝12mv2C－0

又Ff＝mg4，F＝mg2

解得：L＝10R.

一、选择题(1～7为单项选择题，8～10为多项选择题)

1．关于物体的动能，下列说法中正确的是( )

A．一个物体的动能可能小于零

B．一个物体的动能与参考系的选取无关

C．动能相同的物体的速度一定相同

D．两质量相同的物体，若动能相同，其速度不一定相同

答案 D

解析 由Ek＝12mv2知动能不会小于零，A选项错误；因v的大小与参考系的选取有关，故动能的大小也与参考系的选取有关，B选项错误；由Ek＝12mv2知，动能的大小与物体的质量和速度的大小都有关系，动能相同，速度不一定相同，C选项错误；质量相同的物体，若动能相同，速度的大小一定相同，但速度方向不一定相同，D选项正确．

2．关于动能定理，下列说法中正确的是( )

A．在某过程中，动能的变化等于各个力单独做功的绝对值之和

B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变

C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动

D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况

答案 D

解析 动能的变化等于各个力单独做功的代数和，A错；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，B错；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，C错，D对．