九年级数学三角形的内切圆人教实验版五四制

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1 / 4 九年级数学三角形的内切圆人教实验版五四制

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

三角形的内切圆

二. 重点、难点：

重点：三角形内心的性质，内切圆半径的求法

难点：三角形内心与外心的区别

三. 具体内容：

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切的内切圆。

内切圆的圆心叫三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

2. 三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等，并且与顶点的连线平分三角形的内角。

3. 三角形内切圆半径公式：设△ABC三边分别是cba,,，面积为S。

则内切圆半径 cbasr2

4. 三角形内心，外心的区别：

外心：三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。

内心：三内角平分线的交点，到三边距离相等。

【典型例题】

[例1] 已知△ABC，求作：△ABC的内切圆⊙I。

作法：1. 分别作∠B、∠C的平分线交于I

2. 过I作BC的垂线交BC于D

3. 以I为圆心，以ID为半径作⊙I

⊙I即为△ABC的内切圆

[例2] 已知：I是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BIC的度数。

解：∵ I是△ABC的内心 word

2 / 4 ∴∠1=∠2=21∠ABC ∠3=∠4=21∠ACB

又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∠A=80°∴∠ABC+∠ACB=100°

∴∠2+∠4=21∠ABC+21∠ACB=21（∠ABC+∠ACB）=50°

∵∠I+∠2+∠4=180°∴∠BIC=130°

[例3] 如图，△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数。

解：连结IE，IF

∵⊙I切AC于E，切AB于F

∴ IE⊥AC，IF⊥AB

又∵∠FIE=2∠FDE，∠FDE=70°∴∠FIE=140°

∵∠FIE+∠IEA+∠IFA+∠A=360°

∴∠A=180°－∠FIE=40°

[例4] 如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E。求证：IE=BE。

证明：连结BI ∵ I为△ABC的内心

∠1=∠2，∠3=∠4

∵∠4=∠5 ∴∠3=∠5

∵∠IBE=∠2+∠5 ∠BIE=∠1+∠3

∴∠IBE=∠BIE ∴ IE=BE

[例5] 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I是它的内心，BI的延长线交AC于D，过A、B、D三点作⊙O交BC于E，求证：BC=BD+AD word 3 / 4

证明：连结DE

∵∠A=100° AB=AC ∴∠ABC=∠C=40°

∵ I为△ABC内心 ∴∠1=∠2=20°

∴DEAD∴ AD=DE

又易证∠A+∠BED=180°∴∠BED=80°

∵∠BED=∠C+∠CDE ∴∠CDE=40°

∴∠C=∠CDE ∴ DE=CE ∴ AD=CE

∵∠2=20°∠BED=80°

∴∠BDE=80°=∠BED

∴ BD=BE ∴ BC=BE+EC=BD+AD

[例6] 如图，在ABCRt中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，求内切圆半径长。

解：∵∠C=90° AB=5cm，AC=4cm

∴ BC=3cm

∴26342121cmACBCSABC

∴ 连结OA，OB，OC，如图

∴BOCAOCAOBABCSSSSrBCACAB)(21

∴cmBCACABSrABC1345122

∴ 内切圆半径为1cm

【模拟试题】

1. △ABC中，I为内心，若∠A=56°，则∠BIC=。

2. △ABC的内切圆分别切三边于D、E、F，则△DEF是三角形。（填锐、直、钝角）

3. ABCRt中，∠C=90°，BC=5，若三角形内切圆半径为2，则三角形周长为。

4. 如图，△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于D、E、F，若∠A=，则∠BIC=，∠FDE=。 word 4 / 4

5. 从圆外一点引圆的两条切线互相垂直，这点与圆心的距离为4，则此圆的半径长为。

6. 如图⊙O是ABCRt的内切圆，∠ACB=90°，且AB=13，AC=12，则图中阴影部分的面积为。

【试题答案】

1. 118° 2. 锐角 3. 30 4. 2190；2190

5. 22 6. 430

人教版九年级数学下册三角形的内切圆

人教版初中数学课堂教学资料设计

人教版初中数学课堂教学资料设计 3.2 三角形的内切圆同步练习

◆基础训练

1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）

A．40° B．55° C．65° D．70°

图1 图2 图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）

A．70° B．110° C．120° D．130°

3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）

A．112.5° B．112° C．125° D．55°

4．下列命题正确的是（）

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合

D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）

A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5

6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．

（1）求证：BF=CE；

（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．人教版初中数学课堂教学资料设计

人教版初中数学课堂教学资料设计

7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是¼DEF 上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．

沪科版数学九年级下册《三角形的内切圆》教案

《三角形的内切圆》教案

教学目标：

1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；

2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；

3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；

4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；

5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想.

教学重点：

三角形内切圆的概念和画法.

教学难点：

三角形内切圆有关性质的应用.

教学过程:

一、知识回顾

1、确定圆的条件有哪些？

（1）圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点.

2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？

（角平线上的点到这个角的两边的距离相等.）

3、右图中△ABC与⊙O有什么关系？

OABC

（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆；圆心O点叫△ABC的外心）

二、创设情境，引入新课

1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.应该怎样画出裁剪图？

BCA]MNO

探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？

（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？

（3）如何确定这个圆的圆心？

2、探究三角形内切圆的画法：

（1）如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？（圆心O在∠ABC的平分线上）

BCAMNO

（2）如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？

BCAMNO

（圆心O在∠BAC，∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上.）

（3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）

（4）你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？