九年级数学上册 3.5 三角形的内切圆课件青岛青岛级上册数学课件

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初中-数学-打印版 由“三角形内切圆”引出的2个中考命题

江苏 王峰

我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形的内切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以

S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA=rAB21+rBC21+rCA21

=rBCACAB)(21（r为内切圆的半径）

从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论.

我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗？对于任意的n边形呢？请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题：

例1、阅读材料：如图(一)，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r,连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积

∵ S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA

又∵S△OAB=rAB21，S△OBC=rBC21，S△OCA =rCA21

∴S△ABC=rAB21+rBC21+rCA21=rl21 (可作为三角形内切圆半径公式)

（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． ┓ O

三角形的内切圆

◆基础训练

1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ）

A．40° B．55° C．65° D．70°

图1 图2 图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（ ）

A．70° B．110° C．120° D．130°

3．如图3，△ABC中，∠A=45°， I是内心，则∠BIC=（ ）

A．112.5° B．112° C． 125° D．55°

4．下列命题正确的是（ ）

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合

D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）

A．1. 5，2.5 B．2，5 C．1， 2.5 D．2，2.5

6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．

（1）求证：BF=CE；

（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．

7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是DEF 上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．

8．如图，△ABC中，∠A=m°．

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；

（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

◆提高训练

3.5 三角形的内切圆 同步练习

◆根底训练

1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于〔 〕

A．40° B．55° C．65° D．70°

图1 图2 图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•那么∠DOE=〔 〕

A．70° B．110° C．120° D．130°

3．如图3，△ABC中，∠A=45°， I是内心，那么∠BIC=〔 〕

° B．112° C． 125° D．55°

4．以下命题正确的选项是〔 〕

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合

D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，那么它的内切圆与外接圆半径分别为〔 〕

A．1.

6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．

〔1〕求证：BF=CE；

〔2〕假设∠C=30°，CE=23，求AC的长．

7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是DEF 上的动点〔与D，E不重合〕，∠DMF的大小一定吗？假设一定，求出∠DMF的大小；假设不一定，请说明理由．

8．如图，△ABC中，∠A=m°．

〔1〕如图〔1〕，当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；

〔2〕如图〔2〕，当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数； 〔3〕如图〔3〕，当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

三角形的内切圆

学习目标:

1、了解三角形内切圆的相关概念

2、会画任意三角形内切圆，并会写作法

3、掌握三角形内心的性质及简单应用

学习重点：内心的性质及简单应用

学习难点：内心的性质及简单应用

学习过程：

一、温故知新

1、如右图：如果⊙O经过△ABC的三个顶点，

则⊙O叫做△ABC的 ，圆心O叫做△ABC的 ,

反过来，△ABC叫做⊙O的 。△ABC的外心就是AC、BC、AB边的 交点。

2、三角形的三边的 交于一点，三角形的三个内角的 交于一点,

二、探究新知

(一）自主学习

1、内切圆

①内切圆相关概念

如图2，与三角形各边都 的圆叫做三角形的 ,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ．这个三角形叫做圆的 ．三角形的内心就是三角形三条内角 的交点．

即:如图2，如果⊙I与△ABC的三边 ，

则⊙I叫做△ABC的 ,圆心I叫做△ABC的 ,反过来，△ABC叫做⊙I的 .△ABC的内心就是△ABC的三个 的

交点。

OCBA

图2 ②内切圆的作法

已知△ABC，画它的内切圆⊙O

作法：

1、分别作∠A，∠B的 ，两平分线交于点O

2、过点O作AB的垂线段，交AB于D

3、以点 为圆心，以 的长为半径,画圆

那么,所画的⊙O就是△ABC的

（二）合作探究：

1、三角形的内心与外心有什么区别？

2、在三角形ABC中，∠A=68°，点I是内心,求∠BIC的度数.

（三）达标训练

1、如图，⊙O是△ABC 的内切圆,与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，

∠DOE＝120°,∠EOF＝150°，求∠A= ，∠B= ，∠C=

ABCABC(第1题)

2、如图为一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮？