高中数学3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式课件新人教A版必修四1

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两角和与差的正余弦、正切公式

及二倍角公式

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.

2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

一、 两角和的余弦公式：sinsincoscos)cos( 的推导：

复习：两点间的距离公式：

设),(111yxP，),(222yxP 22122121()()PPxxyy

推导过程：

由三角函数定义知：

(1,0)A， (cos,sin)B, (cos(),sin())C， (cos(),sin())D，

由已知：AOCBOD; 设角、角为任意角

如左图在平面直角坐标系xoy中

作AOB,BOC

则AOC

作单位圆．．．，

设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C

再作DOABOC 2

 DABABC

DBAC

2222coscos()[sinsin()]cos()1sin()

2222coscos()[sinsin()]cos()1sin()

展开并整理得: 22(coscossinsin)22cos()

 sinsincoscos)cos(

上述公式称为两角和的余弦公式

记为 ():Csinsincoscos)cos(

一、选择题

1.cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12等于( )

A．－32 B．－12 C.12 D.32

解析：cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.

答案：D

2．已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为( )

A.12 B．－12 C.32 D．－32

解析：∵12＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14，

又∵α∈－π4，0，∴sinα＝－12.

答案：B

3．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为( )

A．－15 B．－35 C.15 D.35

解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35，故选B.

答案：B

4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )

A.2 B.22 C.12 D.32

解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]

＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)

＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]

＝sin45°＝22.

答案：B

5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为( )

A.π6 B.5π6 C.π6或56π D.π3或23π

解析：两式平方相加可得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，sin(A＋B)＝sinC＝12，所以C＝π6或56π.如果C＝56π，则0＜A＜π6，从而cosA＞32，3cosA＞1与4sinB＋3cosA＝1矛盾(因为4sinB＞0恒成立)，故C＝π6.

§3.1.2 第2课时

（一）导入新课

思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.

思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.

1.化简下列各式

(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;

(2)cossin1tancossincossinsin22xxxxxxx;

(3).tantancossin)sin()sin(2222

2.证明下列各式

(1);tantan1tantan)cos()sin(

(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;

(3).sinsin)cos(2sin)2sin(

答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.

2.证明略.

教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.

②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.

活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础知识归纳

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

基础题必做

1． 若tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于( )

A．2 B．3

C．4 D．6

解析：选D sin 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝2tan α＝2×3＝6.

2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A．－22 B.22

C.32 D．1

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22.