高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

二、教学重点难点

重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

三、学情分析

鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。

四、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

五、设计思路

本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。

在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。

1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )

A.2π B.4π C.4 D.2

解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42=2.

答案：D

2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)等于( )

A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x

解析：f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2sin2x+2,所以f(x)=2x2+2.

因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x.

答案：C

3.已知α为锐角，且sinα∶sin2=8∶5，则cosα的值为( )

A.2512 B.258 C.257 D.54

解析：由2sin2cos2sin22sinsin=2cos2=58，得cos2=54，

cosα=2cos22-1=2×(54)2-1=257.

答案：C

4.求下列各式的值：

(1)cos12cos125=______________；

(2)(cos12-sin12)(cos12+sin12)=______________；

(3)21-cos28=______________；

(4)-32+34cos215°=______________；

(5)5.22tan15.22tan2=_________________

解析：(1)原式=cos12sin12=21sin6=41；

一、选择题

1.cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12等于( )

A．－32 B．－12 C.12 D.32

解析：cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.

答案：D

2．已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为( )

A.12 B．－12 C.32 D．－32

解析：∵12＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14，

又∵α∈－π4，0，∴sinα＝－12.

答案：B

3．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为( )

A．－15 B．－35 C.15 D.35

解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35，故选B.

答案：B

4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )

A.2 B.22 C.12 D.32

解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]

＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)

＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]

＝sin45°＝22.

答案：B

5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为( )

A.π6 B.5π6 C.π6或56π D.π3或23π

解析：两式平方相加可得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，sin(A＋B)＝sinC＝12，所以C＝π6或56π.如果C＝56π，则0＜A＜π6，从而cosA＞32，3cosA＞1与4sinB＋3cosA＝1矛盾(因为4sinB＞0恒成立)，故C＝π6.

两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式

1.两角和的正弦公式：

设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的和角C的正弦为sinC。根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c，其中a、b、c分别为三角形ABC的对边、邻边和斜边。根据正弦公式，sinC = c/c =

1、所以，两角和的正弦公式为sin(A + B) = sinC = 1

2.两角和的余弦公式：

设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的和角C的余弦为cosC。根据三角函数的定义，有cosA = b/c和cosB = a/c。根据余弦公式，cosC = cos(A + B) = cos(AcosB - BsinA) = cosAcosB + sinAsinB

= (b/c)(a/c) + (a/c)(b/c) = 2ab/c²。

3.两角和的正切公式：

设角A和角B的正切分别为tanA和tanB，则它们的和角C的正切为tanC。根据三角函数的定义，有tanA = a/b和tanB = b/a。根据正切公式，tanC = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) = (a/b +

b/a) / (1 - (a/b)(b/a)) = (a² + b²) / (ab - ab) = a² + b² / ab。

4.两角差的正弦公式：

设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的差角C的正弦为sinC。根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c。根据差角公式，sinC = sin(A - B) = sin(AcosB + BsinA) = sinAcosB - cosAsinB

= a/c(b/c) - (b/c)(a/c) = 2ab/c²。

5.两角差的余弦公式： 设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的差角C的余弦为cosC。根据三角函数的定义，有cosA = b/c和cosB = a/c。根据余弦公式，cosC = cos(A - B) = cos(AcosB + BsinA) = cosAcosB - sinAsinB