导数的基本公式及运算法则

16个基本导数公式推导过程

推导过程如下：

1.常数函数：f(x)=c

求导结果：f'(x)=0。

证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。所以，f'(x) =

lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。

2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。

求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。

证明过程：利用定义求导。计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x)

= x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数：f(x)=e^x。

求导结果：f'(x)=e^x。

证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = ln(x)。

求导结果：f'(x)=1/x。 证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) -

ln(x)] / Δx。利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。

5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。

求导结果：f'(x) = cos(x)。

证明过程：利用极限定义求导。计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x +

Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。

6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。

求导结果：f'(x) = -sin(x)。

证明过程：同样应用极限定义。计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x +

Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。同样利用三角函数的合角公式和三角恒等式，得出f'(x) = -sin(x)。

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数公式：

基本积分表：

...590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin2222222222222222222220201. 推导余切函数及余割函数的导数公式:

(cot x)′=−csc2x ; (csc x)′= −csc xcot x .

1 一、常用的导数公式：

1、()0c，c是常数；

2、1()xx， 特别的：221111,()2,(),(),...2xxxxxxx ；

3、()xxee, ()lnxxaaa；

4、1(ln)xx， 1(log)lnaxxa；

5、(sin)cosxx， (cos)sinxx；

6、21(arcsin)1xx， 21(arccos)1xx.

二、导数的运算法则：

1、[()()]()()fxgxfxgx；

2、[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx， 特别的：(())()cfxcfx，c是常数；

3、2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx.

三、复合函数的导数：

若()yfu在点u可导，()ugx在点x可导，则复合函数(())yfgx在点x可导，且有关系式dydydudxdudx；（这就是说，复合函数的导数等于它对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积）

2 四、最简单的不定积分公式：

1、0dxC，C是常数；

2、kdxkxC，,kC是常数；

3、111nnxdxxCn，,nC是常数且1n；

4、1ln||dxxCx，C是常数；

5、xxedxeC，lnxxaadxCa，C是常数；

6、sincosxdxxC，cossinxdxxC，C是常数.

五、最简单的积分法则：

1、()()kfxdxkfxdx，k是常数；

2、[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx；

3、若()()ftdtFtC，则1()()faxbdxFaxbCa.

特别的 2231cossincoscoscos3xxdxxdxxC，