高中数学课件 第二章 推理与证明 3 数学归纳法(1)

1 高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=21(an-1+11na)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式

解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.

答案:A

2.下列说法中正确的有( )

①演绎推理是由一般到特殊的推理

②演绎推理得到的结论一定是正确的

③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.

答案:C

3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=31logx是对数函数(小前提），所以y=31logx是增函数（结论）.”上面推理的错误是( )

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

解析:对数函数y=logax不一定是增函数,

当a>1时,y=logax是增函数;

当0

答案:A

4.推理:“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形.”中的小前提是„( )

A.① B.② C.③ D.①和②

1 §2 数学证明

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.

2.___________是最常见的一种演绎推理形式.

第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.

高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为:

大前提:M是P,

小前提:S是M,

结论:S是P.

2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.

3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.

名师解惑

三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.

讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.

已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.

求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.

分析：本题可由三段论逐步推理论证.

1 高中数学 第二章 推理与证明单元检测 苏教版选修1-2

(时间90分钟,满分100分)

一、选择题(每小题3分,共36分)

1．有一个奇数列1,3,5,7,9,„,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};„„试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系（ ）

A. 等于n2 B. 等于n3 C. 等于n4 D. 等于n(n－1)

2．设十人各拿水桶一只同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1,2,„,10)个人的水桶需时Ti分钟,假设这些Ti各不相同,当水龙头只有一个可用时,应如何安排他(她)们的接水次序,使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少（ ）

A. 从Ti中最大的开始,按由大到小的顺序排队

B. 从Ti中最小的开始,按由小到大的顺序排队

C. 从靠近诸Ti平均数的一个开始,按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队

D. 任意顺序排队接水的总时间都不变

3．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置（ ）

A. 各正三角形内的点 B. 各正三角形的某高线上的点

C. 各正三角形的中心 D. 各正三角形外的某点

4．如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H有几条不同的旅游路线可走（ ）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

5．凡自然数是整数,4是自然数,所以4是整数,以上三段论推理（ ）

A. 正确 B. 推理形不正确

C. 两个“自然数”概念不一致 D. 两个“整数”概念不一致 2 6．设数列{an}满足an＋1=an2－nan＋1,n=1,2,3,„,a1=2,通过求a1、a2、a3猜想an的一个通项公为（ ）

1.4 从结果入手，求解计数问题

某些有关计数的应用问题，若在弄清事件的基础上，“从结果入手，构建一一对应”设计解法，常可简化求解．

一、“顺序确定的排列问题，从结果入手，构建组合数”求解．

例1 6个高矮不等的同学站成两行三列，如果每一列前面的同学比其身后的同学矮，则不同的站法有多少种？

分析：从结果入手，理解组合的意义，每一列前面的同学比其身后的同学矮，顺序确定的排列问题为其组合，分步完成有22264290CCC种不同的站法．

二、“换位问题，从结果入手，先选后排”化归组合数和特殊的排列问题简化求解．

例2 7个人站成一排，要调换其中3个人的位置，其余4个人的位置不动，不同的调换方法有多少种？

分析：从结果入手，理解3人换位的意义，设计先选后排，注意3个不同的元素不在原来位置的问题系特殊的有限制条件的排列，用竖图列举法完成．选3人再3人都交换位置只有2种，分步有37270C种．

三、“相同元素分堆问题，从结果入手，隔板法分堆，构建组合数”求解．

例3 某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训，每所学校至少一个名额，求名额不同的分配方案的种数．

分析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归组合数求解．弄清事件，其实质为12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”．即就是12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有811165C种．

四、“最短线路问题，从结果入手，构建组合数”求解

例 4 如图１，在某城市中，M，N两地之间有整体的道路网（2×4方格），则从一个顶点M到对顶顶点N的最短路线有多少条？

分析：弄清事件，从结果入手，理解最短路线就是只能向东或向北两个方向 沿图中路线前进，不同的设计将会产生不同的解法．

解法1：由加法原理进行分类讨论处理．如图，设路口为A，B，C，D，E．由M经一个路口到N的方案有5种；由M经两个路口到N的方案有4种；由M经三个路口到N的方案有3种；由M经四个路口到N的方案有2种；由M经五个路口到N的方案有１种，由加法原理共有5+4+3+2+1=15种；