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黄金分割 (1)

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成就孩子 点亮未来

1 黄金分割

1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；

2、会运用比例线段解决简单的实际问题；

3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.

1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例的性质：

（1）基本性质：如果acbd，那么adbc.

（2）合比性质：如果++==.acabcdbdbd，那么

如果--==.acabcdbdbd，那么

重点剖析：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

要点二、黄金分割

1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACBCABAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

要点诠释：

512ACAB≈0.618AB(512叫做黄金分割值).

2.作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

重点剖析：

一条线段的黄金分割点有两个.

命题点一、比例线段

成就孩子

点亮未来

2 例1. （2018•陇南）已知32ba（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（

）

A．32ba B．2a=3b C．23ab D．3a=2b

变式1：（2018•徐汇区一模）已知43yx，那么下列等式中，不成立的是（ ）

A.73yxx B.41yyx C.4343yx D.yx34

例2：（2017秋•肥西县校级期中）已知0432zyx，求zyxzyx3434的值.

命题点二、黄金分割

例3.（2016•山西）宽与长的比是215（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

变式1：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，

（1）求AM，DM的长，

（2）试说明AM2=AD·DM

（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？

成就孩子 点亮未来

3

变式2：（2018•山西模拟）综合与实践

美妙的黄金矩形

在数学上称短边与长边的比是215（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRectangle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．

（1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为

______________cm；（精确到0.1cm）

操作发现

利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．

第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在百年AD，BC上），然后把纸片展平．

第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．

第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．

（2）在上述操作中，以AB=2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．（参考计算：415151 ）

拓广探索

（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．

成就孩子 点亮未来

4

例4.（2017秋•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中①BC=BD=AD；②S△ABD：S△BCD=AD：DC；③BC2=CD•AC；④若AB=2，则BC=15，其中正确的结论的个数是_____________个

一周错题整理

错因： 题目及正解：

成就孩子

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5

相似图形

1、掌握相似多边形的概念及性质运用；

2、掌握相似三角形的概念及相关求值问题.

要点一、相似三角形

定义:在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，''''''ABBCCAABBCCA，那么△ABC和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′．

相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

相似三角形的对应边的比叫作相似比.

一般地，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为1k.

重点剖析：

全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例.

要点二、相似多边形

相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.

相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

重点剖析：

用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：

（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；

（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；

（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.

命题点一、平行线分线段成比例

例题1.（2018春•杭州期中）已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD=DF=AF；

求证：DE+FG=BC

成就孩子 点亮未来

6

变式1：（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．

（1）求证：AF：FD=AD：DB；

（2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长．

变式2：（2018•梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）

A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5

命题点二、相似三角形

例题1.已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．

求：（1）∠ACB的度数；（2）DE的长．

例题2.如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．

（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E；

（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长．

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黄金分割

黄金分割

黄金分割线

黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实战中发挥我们意想不到的作用。数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、 233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的总和 2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。有人说这些数字是他从研究金字塔的过程中所得出的结论。金字塔和上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5-8-13），而高底和底面百分比率是0． 618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。

另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！

这组数字十分有趣。0．618的倒数是1．618。譬如144/89＝1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。另外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。

在这里，我们将说明如何得到黄金分割线，并根据它们指导下一步的交易。

黄金分割线分为两种:单点的黄金分割线和两

双点黄金分割线.

以下就是方法：画单点有两个因素（一是黄金数字，二是最高或最低点）

1.画单点黄金分割线的第一步是记住若干个特殊的数字： 0.191 0.382 0.5 0.618 0.809

最为重要，价格极容易在由这5个数产生的黄金分割数字处产生支撑和压力。

专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练（一）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

1. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 𝑐𝑚，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )

A. 6 𝑐𝑚 B. 10 𝑐𝑚 C. 4 𝑐𝑚 D. 8 𝑐𝑚

【答案】D

【分析】

本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．

【解答】

解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96𝑐𝑚，

设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+𝑦160+𝑦=0.618，

解得：𝑦≈8𝑐𝑚．

2. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且𝐴𝑃>𝑃𝐵，则有( )

A. 𝐴𝐵2=𝐴𝑃·𝑃𝐵 B. 𝐴𝑃2=𝐵𝑃·𝐴𝐵

C. 𝐵𝑃2=𝐴𝑃·𝐴𝐵 D. 𝐴𝑃·𝐴𝐵=𝑃𝐵·𝐴𝑃

【答案】B

【分析】

本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可.由𝐴𝑃>𝐵𝑃知AP是较长线段，根据黄金分割点的定义，则𝐴𝑃2=𝐵𝑃·𝐴𝐵．

【解答】

解：∵𝑃为线段AB的黄金分割点，且𝐴𝑃>𝐵𝑃，

∴𝐴𝑃2=𝐵𝑃·𝐴𝐵．

3. 矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是( )

A. 𝑎=4，𝑏=√5+2 B. 𝑎=4，𝑏=√5−2

C. 𝑎=2，𝑏=√5+1 D. 𝑎=2，𝑏=√5−1

【答案】D

【分析】

本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义判断即可．

【解答】

黄金分割 2

黄金分割 2

黄金分割

在线段AB上，点C把线段AB分成两段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即。

黄金比又称黄金分割，是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618或1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。近年来，不少学者在研究黄金分割律与人体美的关系时，发现健美人的容貌和形体结构中有许多与黄金分割律关系密切的点、三角形、矩形及指数，显示了黄金分割律在人体美及美容实践中的重要应用价值。黄金分割蕴藏着丰富的美学价值。例如五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是因为在五角星中线段之间的长度关系符合黄金比。又如舞台上的报幕员以站在舞台长度的黄金分割点最美观，声音传播的最好。

黄金比的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

黄金分割一

黄金分割一

黄金分割

17世纪英国美学家夏里兹曾说：“凡是美的都是和谐的和比例合度的，凡是和谐的和比例合度的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的．”古希腊数学家毕达哥拉斯也有一句名言：“凡是美的东西都具有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致性．”

对黄金比作系统的研究，最早是希腊数学家欧鑫克索斯，但更早的毕达哥拉斯可能已经知道，因为中末比（即黄金比）和正五边形、正十边形的作图是密切相关的，而毕达哥拉斯对此深有所知．天文学家J．开普勒称之为神圣分割，并说“勾股定理和中末比是几何中的两大宝藏，前者好比黄金，后者有如珠玉”．黄金分割在数学、美学、艺术中显示出了巨大的作用，随处可以见到它的影子．首次将它冠以“黄金”美称的，则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达·芬奇．19世纪以后，黄金分割的名称才逐渐流行起来．

建筑师们常常把黄金分割作为门窗的比例；主持人在报幕时往往不会站在舞台正中，而是站在舞台的黄金分割点上，给观众留下更美好的印象．据专家调查，芭蕾演员虽身材修长，但她们的腰长与身高之比平均约为0.518，只有在翩翩起舞的时候，踮起脚尖，方能展现0.618的魅力．另外，医学研究发现，人体内部存在着一个最佳耦合系数，其变动范围在0.617～0.675之间，正巧把黄金分割值0.618包括在内．人类意识活动的最佳状态的重要条件是脑心耦合机制，即心和脑以心、脑最佳频率耦合的形式参与了思维．

黄金分割还有许多其他实际应用．在日常生活、生产和工程设计中，常常会面临这样的问题：如何利用最少的时间和投入成本得出最佳的方案．优选法就是寻找最佳方案的有效方法，其中以黄金分割为核心的0.618法最为人们所称道．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚在全国大力宣传和推广，产生了巨大的经济效益．