计算方法3_线性方程组迭代解法

实 验 报 告

实验课程名称 数值计算方法

实验项目名 Jacobi迭代法求解线性方程组

年 级

专 业

学生姓名

学 号

00 学 院

实验时间： 年 月 日

脚本文件：

clc

A=input('请输入系数矩阵：');

b=input('请输入b向量:');

x=input('请给x赋初值：');

e=input('请输入精度：');

x=x';

b=b';

%l=-tril(A,-1);

%u=-triu(A,1);

D=diag(diag(A));

G=D\(D-A);

if max(abs(eig(G)))<1

x2=G*x+D\b;

while max(abs(x2-x))>=e

x=x2;

x2=G*x+D\b;

end

disp('满足精度的解为：');

x2

else

disp('该矩阵的Jacobi迭代不收敛！')

end

实际操作：

（一）求解：3646416664214132514443216542

（二）求解44381852142510314261211414128

电 子 科 技 大 学

《数值计算方法》

实

验

报

告

学生姓名： 柴源 学 号：2704203019

教师：赖生建

一、实验室名称：211大楼206室

二、实验项目名称：《数值计算方法》实验3——线性方程组数值解法

三、实验原理：

1.列主元高斯消去法

列主元高斯消元法的基本思想：在第k步消元之前，选出第k列中位于对角线及其以下元素绝

对值中的最大值，即使得

(k)()

t,k,amaxk

ikkina

≤≤= (1)

将)(kA的第t行和第k行互相交换，则元素)(k

tka为新的对角主元)(k

kka，其余元素也均一交换后的

位置来表示。然后再按着高斯消去法进行第k步消元。

将方程用增广矩阵[]

ijn(1)A|ba

n×+=（）表示

（1）消元过程

对k =1，2···，n-1

① 选主元，找,1,k{i

k+∈k···，n}，使得

i,amax

kkikkina

≤≤= (2)

② 如果0

,=

kika，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行③。

③ 如果k≠

ki，则交换第k行与第

ki行对应元素位置，

jikjkaa↔ ,kj=···，1+n

④ 消元，对,1+=ki···，n计算

/

ikikkklaa= (3)

对,1+=kj···1,+n计算

ijijikkjaala=− (4)（2）回代过程

① 若0=

nna，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行②

②

nnnnnaax/

1,+=；对1−=ni，···，1,2计算

,1

1()/n

iinijjii

jixaaxa

+

=+=−∑ (5)

图1是列主元高斯消元法的流程图

2.矩阵直接三角分解法

矩阵直接三角分解法的基本原理:在()0(1,2,,1)k

kkakn≠=⋅⋅⋅−的条件下,通过消元过程,可以把A分

解为单位下三角矩阵L和三角矩阵U的乘积。这种把矩阵分为简单矩阵的乘积的方法称为矩阵分开始

[]

ijn(1)A|ba

n×+=（）

i,amax

kkikkina

≤≤=

,0

kika=

程序结束 kik≠

2012~ 2013学年第 2学期 计算方法 教案 计1101/02，1181 开课时间：2013-02

《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版 第六章解线性方程组的直接法 2h 1 第六章 线性方程组的解法-直接法

知识点：顺序Gauss消去法，列主元法，全主元法，高斯-约当消去法，范数及误差概念

1.概 念

考察线性方程组

则线性方程组可简记为AX=B.

如果det(A)≠0,则可采用克来姆法则或矩阵求逆来解方程组，但二者工作量都很大，因此，就有了寻求数值解考虑。直接法和迭代法都是求解线性方程组数值解的常用方法。

直接法是经过有限步算术运算求方程组的精确解（假设计算过程中无舍入误差）。

2.Gauss消去法（古老的直接求解线性方程组的方法）

(1)顺序Gauss消去法

顺序消去未知数x1,x2,...,xn的方法。

例1 .解方程组

得上三角形方程组，回代得解：x=[1,2,3]T。

求解过程中假设了变换后的同解方程组或等价矩阵的主对角元非零,即)(kkka≠0。

一般计算过程见教材P106-109，算法见教材110-111，运算量见教材111，须认真阅读

(2)主元素Gauss消去法（运用）

①列主元消去法

在一列中选取按模（绝对值）最大的元素，将其调到主干方程位置进行顺序消元的方法。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa........................22112222212111212111.,,2121212222111211nnnnnnnnbbbBxxxXaaaaaaaaaA记

)3(122)2(123)1(6321321321xxxxxxxxx

姓名：

学号：

班级：

线性方程组的数值解法

实习目的

<1）通过实习进一步掌握高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追赶法以及雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的基本思想；

<2）通过实习进一步掌握高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追赶法以及雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的计算步骤，并能灵活应用；

<3）通过对高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追赶法以及雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的调试练习，进一步体会各种算法的特点；

<4）通过对上机调试运行，组不培养解决实际问题的编程能力。

实习要求

<1）熟悉Turbo C的编译环境；

<2）实习前复习高斯消去法、列主元高斯消去法、直接三角分解法、雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法以及追赶法的基本思想和过程；

<3）实习前复习高斯消去法、列主元高斯消去法、直接三角分解法、雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法以及追赶法的计算步骤。

实习设备

<1）硬件设备：单机或网络环境下的微型计算机一台；

<2）软件设备：DOS 3.3以上操作系统，Turbo C 2.0编译器。

实习内容

实习一 高斯消去法

<1）用高斯消去法求解线性方程组：

<2）要求：

①将线性方程组写成用矩阵表示的形式，即Ax=b的形式。

②输出系数矩阵的原始元素和经高斯消去法消去后的矩阵元素。

③经高斯消去法消去后的矩阵是一个什么形式的矩阵？

④请写出程序的运行结果。

#include

#define N 4

int Gauss(float a[N][N],float b[N]>

{

int i,j,k,flag=1。

float t。 for(i=0。i

{

if(a[i][i]==0>

{

flag=0。

break。

}

else

{

for(j=i+1。j

{

t=-a[j][i]/a[i][i]。

b[j]=b[j]+t*b[i]。