MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法

MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法

线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。

第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。使用该函数的语法如下：

X = linsolve(A, B)

其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：

A=[12;34];

B=[5;6];

X = linsolve(A, B);

上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。

第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。使用“inv”函数的语法如下：

X = inv(A) * B 其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：

A=[12;34];

B=[5;6];

X = inv(A) * B;

上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。

第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。使用“mldivide”函数的语法如下：

X=A\B

其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。该方法会自动选择合适的求解方法，返回解向量X。下面是一个使用“mldivide”函数解线性方程组的例子：

应用数学和力学，第２３卷第ｌ０期（２００２年ｌＯ月）　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　应用数学和力学编委会编　重庆出版社出版　

文章簟号：１０００－０￣８７（２００２）１０．１００８－０５　

判定线性偏微分方程组解的完备性的　

一个符号计算方法。　

张鸿庆，　谢福鼎，　陆　斌　

（大连理工大学应用数学系，大连１１６０２４）　

（我刊编委张鸿庆来稿）　

摘要：　从微分代数的角度出发，借助于吴微分特征集理论，对于线性偏微分方程组，给出了判定　它的解的完备性的一个符号计算方法．这个算法是一个机械化的算法，借助于符号计算软件　Ｍａｐｌｅ，可以在计算机上实现．　

关键词：微分代数；偏微分方程组；符号计算；特征集　中圈分类号：０１５５；０１７５．２　文献标识码：　Ａ　

引　言　

考虑线性微分代数方程组　：Ｐ　（Ｙ１，Ｙ２，…，ｙ　）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｒ），　系数在一个特征为０的微分域　内．如何求解方程组，是偏微分方程理论研究的一个重要问　

题．通过变换，我们可以把它化成一个容易求解的偏微分方程组，一般地，我们不能保证　的　

解是完备的．张鸿庆［　］对于常系数的情况，给出了变换的一般形式，且提出了恰当解的概念．　

张鸿庆［　、王敏中［　］等研究了胡海昌解的完备性．直到目前为止，尚无一个一般性的方法去判　

定线性偏微分代数方程组的完备性．随着计算机的发展和应用领域的不断扩大，符号计算在　

数学领域中体现出了日益强大的生命力，微分代数ｌ－４　］是研究代数形式偏微分方程组的一个　

有力的工具，吴微分特征集［　］的研究与应用，对代数形式偏微分方程组的计算提供了理论基础　

和方法．本文正是在以上的基础上，给出了一个判定线性偏微分方程组解的完备性的符号计　

算方法．　

１　预备知识　

１．１概念和符号　设　是一个特征为０的微分域，　具有有限多个微分算子：艿。，艿２，…，艿　，且艿ｆ　＝　艿　，ｉ，　

．『：１，２，…，ｍ；＠是一个由６。，　，…，６　生成的自由幺半群，具有幺元￡＝　…　，　的一个元　

湖北民族学院理学院2016届

本科毕业论文(设计)

线性方程组的求解方法及应用

学生姓名： 付世辉 学 号： 0

专 业： 数学与应用数学 指导老师： 刘先平

答辩时间： 装订时间：

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for

Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

The calculation method and application of the

system of linear equations

Student Name: Fu Shihui Student No.: 0

Specialty: Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu

Xianping

Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:

摘 要

线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.

线性方程组的几种解法

线性方程组形式如下：

常记为矩阵形式

其中

一、高斯消元法

高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：

（一）消元过程

第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得

再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得

由(3)-4×(1)(1)得 )1(32)2(......03432xx)1(321)1(......23132xxx

第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得

再将(3)(1)式中x2系数化为零，即

由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得

第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得

经消元后，得到如下三角代数方程组：

（二）回代过程

由(3)(3)得 x3=1,

将x3代入(2)(2)得x2=-2,

将x2 、x3代入(1)(1)得x2=1

所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T

（三）、用矩阵演示进行消元过程

第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式

第二步：然后对矩阵进行初等行变换

初等行变换包含如下操作

（1） 将某行同乘或同除一个非零实数

（2） 将某行加入到另一行

（3） 将任意两行互换

第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1x)2(3)3(......6318x)2(32)2(......02xx)1(32)3(......6310314xx 式如下：

示例：

（四）高斯消元的公式

综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为

1． 消元

（1） 令

aij(1) = aij , （i,j=1,2,3,…,n）

bi(1) =bi , （i=1,2,3,…,n）