江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(十四)

江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i2．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠53．“4＜k＜6”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣C．D．﹣7．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则•的最小值为（）A．2﹣B．C．2+D．18．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2≥a；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤19．已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y+4=0 D．x+2y﹣8=010．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为______．14．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=______．15．函数f（x）=，则f（x）dx的值为______．16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为______（写出所有正确的）三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分）17．设命题p：|2x﹣1|≤3；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．22．已知函数f（x）=ln（ax+1）+﹣x2﹣ax（a∈R）（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a≥时，设g（x）=ln[x2（ax+1）]+﹣3ax﹣f（x）（x＞0）的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为φ（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）φ′（）的最小值．参考答案一、单项选择题1．B 2．D．3．C 4．D 5．D．6．B．7．B．8．A．9．D．10．D．11．A．12．B．二、填空题13．解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．∴△PQF2的周长=20．，故答案为20．14．解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．15．解：因为函数f（x）=，所以f（x）dx==（2x﹣x2）|+=6+π；故答案为：6+π．16．解：对于（1），由y=x 3﹣x 2+1，得y ′=3x 2﹣2x ，则，，y 1=1，y 2=5，则，φ（A ，B ）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y ′=2x ，则k A ﹣k B =2x 1﹣2x 2，==．∴φ（A ，B ）==，（3）正确；对于（4），由y=e x ，得y ′=e x ，φ（A ，B ）==．t •φ（A ，B ）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误． 故答案为：（2）（3）．三、解答题17．解：由：|2x ﹣1|≤3得﹣1≤x ≤2，所以￢p 是x ＜﹣1或x ＞2， 由x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）≤0得：（x ﹣a ）[x ﹣（a +1）]≤0，所以a ≤x ≤a +1， 所以￢q ：x ＜a 或x ＞a +1；因为￢q 是￢p 的必要不充分条件，所以，解得：﹣1≤a ≤1，所以实数a 的取值范围为[﹣1，1]18．解：（1）由题意知椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D （2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．19．解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C．又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．（2）∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC．又∵BD⊥AC∴A1D⊥BD∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．∵AA1=，AD=AC=1∴tan∠A1DA=∴∠A1DA=，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是．（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC∴BD⊥平面A1ACC1，∵AM⊂平面A1ACC1，∴BD⊥AM∵A1D∩BD=D∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=．∴sin∠APM=∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．20．解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…21．解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．22．解：（1）由题意f′（x）=+x2﹣2x﹣a≥0在[4，+∞）上恒成立，整理得ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2≥0在[4，+∞）上恒成立设h（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2，显然a＞0其对称轴为x=1﹣＜1∴h（x）在[4，+∞）单调递增，∴只要h（4）=16a+4（1﹣2a）﹣a2﹣2≥0，∴0＜a≤4+3…（2）g（x）=2lnx﹣2ax+x2，g′（x）=．由题意，∴≥，解得0＜≤，φ′（x）=﹣2cx﹣b，φ（x1）=lnx1﹣cx12﹣bx1，φ（x2）=lnx2﹣cx22﹣bx2，两式相减得ln﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，∴y=（x1﹣x2）φ′（）=﹣lnt（0＜t≤），∴y′=＜0．∴y=（x1﹣x2）φ′（）在（0，]递减，y min=ln2﹣．∴y=（x1﹣x2）φ′（）的最小值为ln2﹣…。

2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题（附答案江西赣州市）2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数（）A．B．C．D．3.若曲线在处的切线分别为且，则的值为（）A．B．C．D．4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形。

若P为底面的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.B.C.D.5.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）6.已知函数在处可导，若，则（）A．B．C．D．7.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．B．C.2D．38.下列图象中，有一个是函数的导数的图象，则的值为（）A.B.C.D.或9.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时左边应增加的项数是（）A．k＋1B．kC．2kD．2k＋110.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A.B.C.D.11.已知，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则=（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B两位必须相邻，C,D两位不能相邻的排法有种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是（1）若且为假命题，则，均为假命题（2）若是的必要条件，则是的充分条件（3）命题“≥0”的否定是“”（4）“”是“”的充分不必要条件16.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是三、解答题17.（共10分）（1）求函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积（2）求由曲线与所围成的封闭图形的面积18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队（1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：；（2）若直线与直线所成的角为,求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量（件）之间近似满足关系：（其中为小于96的正整常数）（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。

江西省高安中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理一、单选题（单项选择题，每小题5分，共60分） 1．若复数z 满足()201811i z i +=-，则复数z 的模为（ ） A.12B. 1232．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如表：X -2 -1 1 2 3 y2436404856且回归方程为 5.7ˆˆyx a =+，则当4x =时， y 的预测值为（ ） A. 58.82B. 60.18C. 61.28D. 62.083．．下列说法错误的是（ ）A. 对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B. 在回归直线方程ˆy=0.2x+0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D. 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( ) A.49B.29C.12D.135．)2()21(5x x +-展开式中3x 的项的系数是（ ）A ．100B ．-100C ．120D ．-1206．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是（ ）A. B. C. D.7.甲、乙等5人排一排照相，要求甲乙相邻但不排在两端，那么不同的排法有（）种A．36 B．24 C．18 D．248．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）种A．240 B．180 C．150 D．5409．参数方程21{11xty tt==-（t为参数）所表示的曲线是（）10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M 是AB的中点，过,,C M D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A.16B.13C.12D.2311．已知函数()222xf x xe ax ax=--在[)1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. (],e -∞B. (],1-∞C. [),e +∞D. [)1,+∞12．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()f x f x >'，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),0-∞ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.定义运算bc ad d b c a -＝ ，若复数i ix +-=11,ix xi i y += 24则=y 14．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a =_____．15．设,P Q 分别为直线,{62x t y t ==-（为参数）和曲线C ： 15,{25x cos y sin θθ=+=-（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．16．若定义在()0,+∞上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为 “z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数：①21y x =-+；②sinx y x =+；③()21xy e x =-；④()2212ln x y x x x -=-+，其中“z 函数”对应的序号为__________．三、解答题（共6小题）17．（10分）已知()f x 为一次函数，且2()()1f x x f t dt =+⎰，（1）求()f x 函数的解析式；（2）()(),x x f x =⋅若g 求曲线()y g x =与x 轴围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积18．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验。

本试卷总分值为150分考试时间为120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数z 满足：i z i =+)1((i 为虚数单位)，则||z 等于.A 21 .B 22 .C 2 .D 2 2.下列四个命题中的真命题为.A 341,00<<∈∃x z x .B 014,00=+∈∃x z x.C 01,2=-∈∀x R x .D 022,2≥+-∈∀x x R x3.已知直线01:1=-+y ax l ，03)2(:2=-+-ay x a l ；命题1:=a p ；命题21:l l q ⊥；则命题p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件4.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=213sin |x x A π，{}0)2)(1(|<-+=x x x B ，则=B A C R )( .A )21,1(- .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,21 .C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,21 .D (-1,2) 5.已知23)2cos(-=+ϕπ，且角ϕ的终边上有一点),2(a ，则=a .A 32 .B 32± .C 332- .D 32- 6.从1、2、3、4、5这五个数中任取三个数，则所取的三个数能构成等差数列的概率为.A 21 .B 52 .C 53 .D 32 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图 中的x 值为 .A29 .B 2 .C 23 .D 3 8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、， 若136422-+=+b a b a ， A C sin 2sin =，则C cos 的值为41.-A 41.B 87.C 1611.D 9.已知圆：3)2(22=+-y x 与双曲线：)0,0(,12222>>=-b a b y a x 的渐近线相切，则双曲线的离心率为.A 332 .B 34 .C 2 .D 41 1 x 2.A 3 .B 4 .C 5 .D 611.已知抛物线x y 42=的焦点为F ，C B A 、、为抛物线上的三点， 若=++；则=++||||||.A 3 .B 4 .C 5 .D 612.函数)26ln(1)(22x x x x xx f -+--=的定义域为 .A ]0,3[- .B )0,3[- .C {}2)0,3[ - .D {}2]0,3[ -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数x x x f 2cos )32sin()(+-=π的最小正周期=T ______14.等差数列{}n a 满足：11-=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若数列{}n S 是单调递增数列，则公差d的取值范围是____15.已知向量)2,1(=，+与共线，52||=，则向量=_____16.已知直线22:+=x y l ，曲线x x y C +=ln :，直线)0(,>=a a x 交直线l 于点A ，交曲线C 于点B ，则||AB 的最小值为______三、解答题：本大题共6小题，其中在22、23题任选一题10分，共70分.17.(本题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由散点图可知，销售量y 与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：a x y+-=20ˆ； (1)求a 的值；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从线性回归直线方程中的关系，且该产品的成本是每件4元，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)18. (本题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：①0>n a ，②21=a ，③对任意+∈N n有022121=--++n n n n a a a a(1)求n a 及n S ；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n n n a n n b b 2221log )2cos 2(sin ⋅-=++ππ； 求2016T 的值；19. (本题满分12分)已知矩形ABCD ，2||=AB ，32||=BC ，E 为AD 上一点(图1)，将ABE ∆沿BE 折起，使点A 在面BCDE 内的投影G 在BE 上(图2)，F 为AC 的中点；(1)当E 为AD 中点时，求证：//DF 平面ABE ；(2)当332||=AE 时，求三棱锥EFC D -的体积。

20172018学年下学期高二年级期中考试仿真测试卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·汇文中学]若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】()()()21i 21i 1i1i 1i z +===+--+，则复数的共轭复数为1i -，故选B ．2．[2018·人大附中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【解析】由函数的解析式可得：()ln 1f x x '=+，则()00ln 12f x x '=+=，0ln 1x ∴=，0e x =，本题选择B 选项．3．[2018·北京工大附中]函数332e x y x x -=+-，则导数y '=（ ）A ．2236e xx x-+-B ．22312e 3xx x-++此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22316e 3xx x-++D ．22316e 3+x x x--+【答案】D【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，()2222331161633+ee xx y x xx x----=+-⨯-=+'，故选D ．4．[2018·山西一模]完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数．） A ．()22πV - B ．()22πF -C ．()2πE -D ．()4πV F +-【答案】A【解析】用正方体（8V =，6F =，12E =）代入选项逐一检验，可排除B ，C ，D 选项． 故选：A5．[2018·湖北联考]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．34【答案】B【解析】由题可知建立以AB 为X 轴，AD 为Y 轴的直角坐标系，则抛物线方程为214y x =，:2232011414123y x dx x x =-=-=⎛⎫⎪⎝⎭⎰，则此点落在阴影部分内的概率为42323=． 6．[2018·北京工大附中]函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()21ln 2f x x x =-得()211x f x x xx'-=-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 在()0,+∞上的最大值为()1102f =-<，故选B ．7．[2018·豫西名校]已知函数()222e xf x x ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞ B ．(],1-∞ C ．[),e +∞ D ．[)1,+∞【答案】A【解析】()()()()()212121e e x x f x x a x x a =+-+=+-'，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，所以导函数在区间[)1,+∞上上()0f x '≥，即0e x a -≥，e xa ≤，e a ≤，选A ．8．[2018·淮北一中]将正整数排成下表： 1 234 56789 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n ．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上； 又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选D ．9．[2018·人大附中]若函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由函数的解析式可得：()232f x x a '=-，函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则()0f x '=在区间()01，内没有实数根， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 无极值，满足题意，当0a >时，由()0f x '=可得x =1≥，解得：32a ≥， 综上可得：实数a 的取值范围是(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，本题选择D 选项．10．[2018·中山期末][]0,3的最大值与最小值之积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】结合函数的解析式有：()()()2422f x x x x '=-=+-，当()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当()2,4x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增， 且：()04f =，()423f =-，()31f =，据此可得函数的最大值为()04f =，函数的最小值为()423f =-，则最大值与最小值之积为416433-⨯=-．本题选择B 选项．11．[2018·南阳一中]从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．23【答案】B【解析】阴影部分的面积为()()121222221xx dx xx x-----+--=-⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12．故选B ．12．[2018·豫西名校]偶函数()f x 定义域为ππ,22-⎛⎫⎪⎝⎭，其导函数是()f x '．当0π2x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()2cos 4πf x f x >⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππππ,,2442-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ,44-⎛⎫⎪⎝⎭D ．πππ,0,442-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题意构造函数()()cos f x F x x=，()()()2cos sin cos f x x f x xF x x+''=，所以函数()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0F x '<，()F x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()π2cos 4f x f x >⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22x ∈-⎛⎫⎪⎝⎭时，可变形为()π4cos 22f f x x >⎛⎫⎪⎝⎭，即()π4F x F >⎛⎫⎪⎝⎭，即ππ44x -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·首师附中]若复数z 满足，则复数z 的模为__________．【解析】14．[2018·百校联盟]函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为__________． 2【解析】设与直线y x =平行的且与()ln g x x =相切的直线切点为()00,ln x x ，因为()1ln 'x x=，则011x =，01x ∴=，则切点为()1,0，∴最短距离为切点到直线yx =的距离：2d ==，故答案为2．15．[2018·上饶模拟]二维空间中，圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；三维空间中，球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312πV r =，则其四维测度W =__________． 【答案】43πr 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；观察发现S l '=，三维空间中球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）发现V S '=，∴四维空间中“超球”的三维测度38πV r =，猜想其四维测度W ，则312πW V r '==，43πW r ∴=，故答案为43πr ．16．[2018·烟台诊断]直线y b =分别与直线21y x =+和曲线ln y x =相交于点A 、B ，则AB 的最小值为____________________． 【答案】ln 212+【解析】两个交点分别为1A ,2b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()e ,b B b ，1e 2bb AB -=-， 设函数()1e 2xx g x -=-，()1e 2xg x '=-，()0g x '=的根为ln 2x =-，所以()g x 在区间(),ln 2-∞-单调递减，在区间()ln 2,-+∞上单调递增， 所以()()ln 2min g x g =-=ln 212+．填ln 212+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·石嘴山中学]已知复数1Z 2ai =+（其中a ∈R 且a 0>，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值； （2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ． 【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）2221(2i)44i z a a a =+=-+，因为21z 为纯虚数，所以2400 0a a a ⎧-=≠>⎪⎨⎪⎩，解得：2a =．·······6分 （2）122i z =+，22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z +++====--+，2z =．·······12分 18．[2018·西城156中]已知函数()32133f x x x x =--．（）求()f x 的单调区间．（）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-；（2）的最大值为53，最小值为9-．【解析】（）由题得()()()22313f x x x x x '=--=+-．令()0f x '>，解得1x <-或3x >，令()0f x '<，解得13x -<<，∴()f x 的单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．·······6分（）由（）可知，()f x 在区间()3,1--上单调递增， 在()1,3-上单调递减，且()39f -=-，()39f =-， ∴()f x 在区间[]3,3-上的最大值为5(1)3f -=， 最小值为()()339f f -==-．·······12分19．[2018·豫西名校]（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-； （2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证211n n n n +-+<+-， 即证221n n n ++<+，只要证()()22221n nn ++<+，即证()222244n n n n +++<+，即证()21n n n +<+， 只要证22221n n n n +<++，而上式显然成立， 所以211n n n n +-+<+-成立．·······6分 （2）假设0a <且0b <，由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0．·······12分 20．[2018·天津联考]已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ． 【答案】解：（1）22212y xy x==⎧⎪⎨⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，(2,2)P ∴，221()22x k x ='==，∴所求切线方程为：220x y --=．·······6分（2）2322320200011142(2)2363xdx x dx x x -=-=⎰⎰，·······12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求．【解析】略．21．[2018·北京八中]若函数()34f x ax bx -=＋，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()31443f x x x =-＋；（2）42833k -＜＜．【解析】（1）由题意可知()23f x ax b '=－，于是()423f =-，()20f '=解得13a =，4b =故所求的解析式为()31443f x x x =-＋． (5)分（2）由（1）可知()2()()422f x x x x =--'+=，令()0f x '=，得2x =或2x =-． 当x 变化时()f x '、()f x 的变化情况如下表所示：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x ' + 0 0 +()f x单调递增283单调递减43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-． 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围是42833k -<<．·······12分22．[2018·贺州调研]已知函数()()()ln f x x a x a =+-∈R ，直线22:ln 333l y x =-+-是曲线()y f x =的的一条切线． （1）求a 的值；（2）设函数()()2e 22g x x x f x a a =----+，证明：函数()g x 无零点． 【答案】（1）1a =；（2）见解析． 【解析】（1）()11f x x a'=-+，设切点为()00,P x y ，则()0000121322ln ln 333x a x a x x -=-++-=-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得02x =，1a =，∴1a =为所求．·······4分（2）由（1）知()()e 2112e ln xxg x x x f x x x x =----+=--，()()()()111e 1e1xxx g x x x xx+=+--=-'，令()e 1x G x x =-，∵当0x >时，()()1e 0xG x x =+>'，∴函数()G x 在()0+∞，上单调递增， 又()010G =-<，()1e 10G =->，∴()G x 存在唯一零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0g x '<；当(),x c ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，∴()()g x g c ≥． ∵()10e x G c c =+-=，01c <<，∴()ln 1ln 0x g c c c c c c c =+--=-->， ∴()()0g x g c ≥>，∴函数()g x 无零点．·······12分。

江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm36．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣159．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．312．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，根据公理2以及推论判断AB，四边形有两种：空间四边形和平面四边形；C，梯形中因为有一组对边平等，故梯形是平面图形．D，利用平行线的定义、判定与性质，即可确定D解答：解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．考点：斜二测法画直观图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．解答：解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1，∴对应直观图的面积为，故选：D．点评：本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，高为15cm的直四棱锥；且底面矩形的长为20cm，宽为15cm，如图所示；∴该四棱锥的体积为×20×15×15=1500cm2．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与数据的计算能力，是基础题目．6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线考点：简单组合体的结构特征．专题：数形结合．分析：通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．解答：解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D．点评：本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：空间向量及应用．分析：利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．解答：解：∵⊥，∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z=4．故选：B．点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确解答：解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确有三个，故选C点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线考点：轨迹方程；抛物线的定义．专题：计算题．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为a．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，故∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，判定△AEC是等边三角形，即可得到结论．解答：解：由题意，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AEC=60°，∵菱形ABCD中，锐角A为60°，边长为a，∴AE=CE= a∴△AEC是等边三角形∴A与C之间的距离为a，故答案为：a．点评：本题考查面面角，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，求出圆锥的母线长与底面半径，利用体积公式做出结果．解答：解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥的体积，解题时注意圆锥的展开图与圆锥的各个量之间的关系，做好关系的对应，本题是一个易错题．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由此可以求得△AMC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积解答：解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2，cos∠AMC1==﹣．故sin∠AMC1=，△AMC1的面积为=，设点C到平面AMC1的距离为h，则由等体积可得，∴h=．故答案为：．点评：本题考查棱柱的特征，求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边长，再由面积公式求面积，本题代数与几何相结合，综合性强，解题时要注意运算准确，正确认识图形中的位置关系．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：找出F所在平面上的轨迹，然后判断①的正误；利用体积是否变化判断②的正误；找出F的特殊位置判断④大致为；求出tanθ的最大值，判断⑤的正误；解答：解：对于①，取BC 的中点G，BB1，B1C1的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，所以①正确；对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以②正确；对于③，当F在N时，A1F与D1E平行，所以③不正确；对于④，A1F与CC1是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；对于⑤，A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，tanθ==2，所以⑤不正确；故答案为：①②④．点评：本题考查棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查逻辑推理以及计算能力．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．解答：解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．点评：本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A﹣BCED的体积为16，求实数a的值；（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积．解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V==16，解得a=2；（2）在RT△ABD中，，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP 的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．利用V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD，即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴BD==2，又AD=2，CD=4，AB=2，则BC=2，∴BD2+BC2=16=DC2，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，∴MG∥PD，MG=PD，又PD⊥平面ABCD，∴MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．∴V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD=××2×2×2﹣××2×2×1=．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）计算出棱台的上、下底的边长，高，可得截得棱台的体积；（2）由等体积计算棱锥P﹣ABCD的内切球的半径，即可求出棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．解答：解：（1）由A′B′∥AB得，∴=，∴PA′=5，AB=18，∵PO==3∴OO′=PO=2，∴V台=（36+182+）•2=312（cm3）…（6分）（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO==3，则∵S△PHQ=（PH+PQ+HQ）R，∴=（12+12+18）R，∴R=，∴棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积为4πR2=π（cm2）…（12分）点评：本题考查棱台的体积，考查棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积，考查学生的计算能力，求出棱锥P﹣ABCD的内切球的半径是关键，属于中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形B CDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=点评：本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角；空间向量及应用．分析：（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2﹣x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．解答：解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==∴AD=1，AE=2，△A DE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得DE==∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1D E⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCE D，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2解之得x=，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．。

江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十三）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每题5分共60分）1．曲线y=xe x+1在点（1，e+1）处的切线方程是（）A．2ex﹣y﹣e+1=0 B．2ey﹣x+e+1=0 C．2ex+y﹣e+1=0 D．2ey+x﹣e+1=02．数列2、5、11、20、32、47、x、…中的x等于（）A．56 B．33 C．65 D．643．已知曲线y=在点（1，0）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．4．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．2 B．3C．1 D．45．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣80586．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＞f（x），且f（x+2）为奇函数，f（4）=﹣1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）7．若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（2，3）内为减函数，在区间（5，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，4]B．[5，7]C．[4，6]D．[7，8]8．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．2C．2 D．9．函数y=x3﹣2ax+a在（1，2）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，3）C．（，6）D．（0，6）10．观察（x3）′=3x2，（x5）′=5x4，（sinx）′=cosx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f （x）满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）11．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）≥，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞﹣1}12．函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（3ln2）＞2f（3ln3）B．3f（3ln2）与2f（3ln3）的大小不确定C．3f（3ln2）=2f（3ln3）D．3f（3ln2）＜2f（3ln3）二、填空题（每题5分，共20分）13．在凸多边形当中显然有F+V﹣E=1（其中F：面数，V：顶点数，E：边数）类比到空间凸多面体中有相应的结论为；______．14．若f（2）=3，f′（2）=﹣3，则=______．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0且f（）=1，则f（x）sinx≤1的整数解的集合为______．16．若（x2+）dx=+ln3，则a的值是______．三、解答题（17题10分，其它每题12分共70分）17．求下列函数的积分．（1）（x2+）dx；（2）dx．18．已知数列{a n}中a1=3，a n=．（1）求出a2，a3，a4的值；（2）利用（1）的结论归纳出它的通项公式，并用数学归纳法证明．19．设函数f（x）=，M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊂P，则实数a的取值范围．20．f（x）=lnx﹣ax+1．（1）求f（x）的单调增区间．（2）求出f（x）的极值．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若a=4时，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围．22．求由三条曲线：y=x2，y=x2，y=2 所围成的图形的面积．参考答案一、单项选择题1．解：∵y=xe x+1，∴f'（x）=xe x+e x，当x=1时，f'（1）=2e得切线的斜率为2e，所以k=2e；所以曲线y=f（x）在点（1，e+1）处的切线方程为：y﹣e﹣1=2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e+1=0．故选A．2．解：∵数列的前几项为2、5、11、20、32、47、x、…，其中5﹣2=3，11﹣5=620﹣11=9，32﹣20=12，47﹣32=15猜想：x﹣47=18，解得x=65，而x=65时，正好满足上述要求．故选：C．3．解：y=的导数为y′=，可得在点（1，0）处的切线斜率为，由切线与直线ax+y+1=0垂直，可得﹣a•=﹣1，解得a=2．故选：C．4．解：∵f（x）=ax2+bx，∴f′（x）=2ax+b，∵f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，∴f′（1）=2a+b=2（a＞0，b＞0），∴2（2a=b=1时取等号），∴ab≤，∴=≥4，∴的最小值是4．故选：D．5．解：①由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，由f″（x0）=0得6x0﹣6=1解得x0=1，而f（1）=﹣2，故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×2014+（﹣2）=﹣8058．故选：D．6．解：设h（x）=，则h′（x）=，∵f′（x）＞f（x），∴h′（x）＞0．∴函数h（x）是R上的增函数，∵函数f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴函数关于（2，0）对称，∴f（0）=﹣f（4）=1，原不等式等价为h（x）＜1，∴不等式f（x）＜e x等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），∴＜1=．∵h（x）在R上单调递增，∴x＜0．故选：D．7．解：由f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1得f′（x）=x2﹣ax+a﹣1，令f′（x）=0，解得x=1或x=a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（2，3）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0．∴3≤a﹣1≤5，解得4≤a≤6．∴a的取值范围是[4，6]．故选：C．8．解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D9．解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，∵函数y=x3﹣2ax+a在（1，2）内有极小值，∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（1，2）内，a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，若有一根在（1，2）内，则1＜＜2，即＜a＜6，a=0时，3x2﹣2a=0两根相等，均为0，f（x）在（1，2）内无极小值，a＜0时，3x2﹣2a=0无根，f（x）在（1，2）内无极小值，综合可得，＜a＜6，故选：C．10．解：根据（x3）′=3x2、（x5）′=5x4、（sinx）′=cosx，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），说明函数f（x）是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g（﹣x）=g（x）故选C11．解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则g'（x）=f'（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）≥，∴g'（x））=f'（x）﹣0，即函数g（x）在定义域上单调递增，∵g（1）=f（1）﹣=0，∴当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，∴不等式f（x）＜+的解集为（﹣∞，1），故选：A．12．解：令h（x）=，则h′（x）=，因为对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，所以3f′（3lnx）＞f（3lnx），所以h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h（2）＜h（3），即＜，所以3f（3ln2）＜2f（3ln3）．故选D．二、填空题13．解：根据凸多边形当中有：F+V﹣E=1，其中F：面数，V：顶点数，E：边数；类比到空间凸多面体中有相应的结论为；F+V﹣E=2；如四面体的顶点数V=4，面数F=4，边数E=6，则V+F﹣E=4+4﹣6=2．故答案为；F+V﹣E=2．14．解：由洛必达法则可知：==3﹣2×f′（2）=9，故答案为：9．15．解：设g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx，∵当x＞0时，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是偶函数，∵f（）=1，∴g（）=1，∵f（x）sinx≤1，∴|x|≤，∴f（x）sinx≤1的整数解的集合为{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．16．解：（x2+）dx=（+lnx）|=a3+lna﹣﹣ln1=+ln3，∴a=3，故答案为：3．三、解答题17．解：（1）（x2+）dx=（x3+）|=+=1，（2）dx表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π18．解：（1）a2=，a3=，a4=，（2）猜测：a n=证明如下：1．当n=1时显然成立，2．设n=k时成立即a k=，====，则当n=k+1时有a k+1所以成立由1，2可知n∈一切自然数均成立，所以猜测正确．19．解：a＞1时，M={﹣a＜x＜﹣1}；a＜1时M={x|﹣1＜x＜﹣a}；a=1时M=∅；；∴a＜1时f′（x）＞0恒成立，a≥1时f′（x）＞0的解为空集；∵M⊂P；∴a的范围是（﹣∞，1）．20．解：（1）f′（x）=﹣a（x＞0）∴当a≤0时f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞），当a＞0时，f′（x）＞0的解为（0，），∴f（x）的增区间为（0，）；（2）f′（x）=﹣a=0解得：x=，∴a＞0时，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（0，）时，f′（x）＞0，∴x=是f（x）的极大值无极小值，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，无极值．21．解：（1）a=4时，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴函数在[1，3]上单调递减，[3，4]上单调递增，∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值为f（1）=﹣6，最小值为f（3）=﹣18；（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0，可得a≤在x∈[2，+∞]上恒成立，∴只要求的最小值即可，而y=．y′=恒大于零，∴y在R上为增函数，∴y min=，∴a≤．22．解：由三条曲线：y=x 2，y=x 2，y=2 所围成的图形的面积如图所示：故其面积S=2（﹣）dy=2（﹣1）dy=2（﹣1）•|=．。

江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十一）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．双曲线﹣=1的焦点坐标为（）A．（3，0）和（﹣3，0）B．（2，0）和（﹣2，0）C．（0，3）和（0，﹣3）D．（0，2）和（0，﹣2）2．f（x）=2sinx在x=处的切线斜率为（）A．0 B．1 C．2 D．3．椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A．5或3 B．8 C．5 D．或4．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．R C．[0，2）D．（﹣∞，0）6．函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为（）A．72 B．36 C．12 D．07．设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x8．函数y=xsinx+cosx，x∈（﹣π，π）的单调增区间是（）A．（﹣π，﹣）和（0，）B．（﹣，0）和（0，）C．（﹣π，﹣）和（，π）D．（﹣，0）和（，π）9．给出四个命题：①若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2；②若x=y=0，则x2+y2=0；③已知x，y∈N，若x+y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个偶数；④若x1，x2是方程x2﹣2x+2=0的两根，则x1，x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率．那么（）A．①的逆命题为真B．②的否命题为假C．③的逆命题为假D．④的逆否命题为假10．P为椭圆+=1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则•=（）A．3 B．C．2D．211．曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°12．己知抛物线x2=y上三点A，B，C，且A（﹣1，1），AB⊥BC，当点B移动时，点C 的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣3，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=x2+2x+a有零点的充要条件是______．14．已知椭圆+y2=1上一点P在x轴上的射影恰好是右焦点F2，则点P到左焦点F1的距离为______．15．已知函数f（x）=x3+x2﹣2x+m的图象经过第一，二，三，四象限，则实数m的取值范围是______．B）=∅，16．已知集合A={x||2x﹣3|≤1，x∈R}，集合B={x|ax2﹣2x≤0，x∈R}，A∩（C∪则实数a的范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．19．（1）已知x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求证： +≥5+2；（2）已知a，b，c均为正数，求证： ++≥++．20．甲方有一农场，乙方有一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000t．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．22．已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（1）设a≥0，求f（x）的单调区间；（2）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．参考答案一、单项选择题1．解：双曲线﹣=1中，a=，b=2，c=3，焦点坐标是（±3，0）．故选：A．2．解：∵f（x）=2sinx，∴f′（x）=2cosx∴x=时，f′（）=2cos=1．故选：B．3．解：由椭圆得：2c=2得c=1．依题意得4﹣m=1或m﹣4=1解得m=3或m=5∴m的值为3或5故选A．4．解：若“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”则由线面垂直的判定定理可得：“直线l与平面α垂直”若“直线l与平面α垂直”则由线面垂直的性质可得：“直线l与平面α内任意直线都垂直”故条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的充要条件故选C5．解：当x＞0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2＜x2，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜﹣1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；当x≤0时，f（x）=x﹣2，代入不等式得：x﹣2＜x2，解得x∈R，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选A6．解：∵y=x4﹣4x+3，∴y'=4x3﹣4当y'=4x3﹣4≥0时，x≥1，函数y=x4﹣4x+3单调递增∴在[1，3]上，当x=1时函数取到最小值0当y'=4x3﹣4＜0时，x＜1，函数y=x4﹣4x+3单调递减∴在[﹣2，1]上，当当x=1时函数取到最小值0故选D．7．解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．8．解：∵y=xsinx+cosx∴y'=xcosx令y'＞0且x属于﹣π到π结合余弦曲线得﹣π＜x＜﹣或0＜x＜，故选A9．解：对于①，若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，其逆命题为：若x=1或x=2，则x2﹣3x+2=0，是真命题，原因是x=1，x=2是方程的两根；对于②，若x=y=0，则x2+y2=0的逆命题为：若x2+y2=0，则x=y=0，是真命题，∵一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，共真假，∴若x=y=0，则x2+y2=0的否命题也是真命题；对于③，已知x，y∈N，若x+y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个偶数的逆命题为：已知x，y∈N，若x，y中一个是奇数，一个偶数，则x+y是奇数，为真命题；对于④，方程x2﹣2x+2=0的两根，则x1，x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率，∴命题若x1，x2是方程x2﹣2x+2=0的两根，则x1，x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率为真命题，则其逆否命题也为真命题．综上可知，①的逆命题为真．故选：A．10．解：∵椭圆方程为+=1，∴a=2，b=，c=1．设=m，=n，则由余弦定理得，cos∠F1PF2==，∴可化简为：（m+n）2﹣4=3mn，由椭圆定义得m+n=2a=4，∴mn=4，∴•=4•=2．故选：D．11．解：对曲线y=x3求导，得，y′=3x2，设切点B（x0，x03），则B点处的切线斜率为3x02，∴切线l的方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0）令y=0，得A（x0，0）∵|OA|=|AB|∴|x0|=解方程得：x04=∴切线l的斜率为3x02=∴切线l的倾斜角为60°故选C12．解：由于B、C在抛物线上，故可设B（x1，x12），C（x2，x22）∵AB⊥BC，∴x1≠﹣1，x2≠﹣1，x1≠x2∴•=﹣1，即x12+（x2﹣1）x1﹣（x2﹣1）=0．∵x1∈R，∴△=（x2﹣1）2+4（x2﹣1）≥0，即x22+x2﹣3≥0．解得x2≤﹣3，x2≥1故选：A．二、填空题13．解：函数f（x）=x2+2x+a有零点的充要条件是△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：a≤1．14．解：椭圆+y2=1可得a=2，b=1，c=．把c=代入椭圆方程可得：y2=1﹣，解得y=．由题意可得：|PF2|=，∴点P到左焦点F1的距离=2a﹣=．故答案为：15．解：函数的导数f′（x）=x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2），由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣2，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣2＜x＜1，此时函数单调递减，则当x=﹣2时，函数取得极大值f（﹣2）=﹣+﹣2×（﹣2）+m=+m，当x=1时，函数取得极小值f（1）=+﹣2+m=m﹣，若函数f（x）=x3+x2﹣2x+m的图象经过第一，二，三，四象限，则等价为函数的极大值f（﹣2）＞0，极小值f（1）＜0，即，得，即﹣＜m＜，故答案为：﹣＜m＜16．解：由题意得A=[1，2]，由于A∩（C U B）=∅，则A⊆B，当a=0时，B={x|x≥0}，满足A⊆B；当a＜0时，B={x|x（x﹣）≥0}=（﹣∞，]∪[0，+∞），满足A⊆B；当a＞0时，B={x|x（x﹣）≤0}=[0，]，若A⊆B，则≥2，即0＜a≤1；综合以上讨论，实数a的范围是（﹣∞，1]．三、解答题17．解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…18．（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．19．证明：（1）∵2x+3y=1，∴+=（）（2x+3y）=2+3+≥5+2=5+2；当且仅当时取等号．∴+≥5+2．（2）∵≥2=，≥2=，≥2=．∴2+2+2≥++．当且仅当时取得等号．∴++≥++．20．解：（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000﹣st．由w′=，令w'=0，得t=t0=．当t＜t0时，w'＞0；当t＞t0时，w'＜0，所以t=t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t0为（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则v=st﹣0.002t2．将t=代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=．又v′=，令v'=0，得s=20．当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，所以s=20时，v取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．21．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．则，解得，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*），，∴|AB|===．原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为．（**）另一方面，=，∴x E=my E+n==，即E．∵，∴．代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．∵t＞0，∴．经验证满足（*）．当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．则，，解得，或．又，∴，∴．综上可得：．22．解：（1）函数的定义域为（0，+∞）f′（x）=2ax+b﹣=当a=0时当b≤0时，在定义域内f′（x）＜0，函数递减当b＞0时，在（0，），f′（x）＜0，函数递减；在（，+∞），f′（x）0，函数递增当a＞0时令f′（x）=0∴x=在（0，），f′（x）＜0，函数递减；在（，+∞）f′（x）＞0，函数递增．（2）由题知，函数在x=1处取得最小值，即x=1时函数的极值点∴f′（x）=2ax+b﹣=f′（1）=2a+b﹣1=0∴b=1﹣2a﹣2b=4a﹣2∴lna﹣（﹣2b）=lna﹣4a+2构造函数g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0）g′（x）=令g′（x）=0，x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减∴g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0∴g（a）=2﹣4a+lna=2b+lna＜0故lna＜﹣2b。

江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十五）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 3．已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（+λ），则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．24．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且=，=，=，用，，表示，则等于（）A．（﹣++）B．（+﹣）C．（﹣+）D．（﹣﹣+）5．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．0 B．C．﹣D．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2，命题q：∃x0∈R，x0﹣2＞0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“|a|≤1”的（）A．充分必要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=60°，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．2﹣9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=8，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+8 C．2n+10 D．2n+810．若点P在椭圆+y2=1上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．D．11．已知P是抛物线y2=8x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（2，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +112．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）C．（0，）D．（，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有=﹣2++λ，则λ=．14．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3≤0”为假命题，则实数m的取值范围是．15．过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若x1+x2=4，则|AB|=．16．如图，在平面直角坐标系中，边长为a n的一组正三角形A n B n﹣1B n的底边B n﹣1B n依次排列在x轴上（B0与坐标原点重合）．设{a n}是首项为a，公差为2的等差数列，若所有正三角形顶点A n在第一象限，且均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则a的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：直线y=（2m+1）x+m﹣2的图象不经过第四象限，q：方程x2+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若（￢p）∨q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（1）证明：DC1⊥面BCD；（2）设AA1=2，求点B1到平面BDC1的距离．19．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2： +=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（1）求抛物线C1的方程；（2）过A点作直线L交C1于C、D两点，求线段CD长度的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆C的上顶点，且|MF1|=2，右焦点与右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率k OA，k OB满足k OA•k OB=﹣，求△AOB的面积．22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，设g（x）=（x2﹣2x）e x，求证：对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．参考答案一、单项选择题1．D．2．C．3．A．4．B．5．D．6．B．7．B 8．D．9．D．10．C．11．B．12．C．二、填空题13．解：=﹣=﹣3++λ，=﹣=﹣2+λ，=﹣=﹣2++（λ﹣1），∵P，A，B，C四点共面，∴存在m，n∈R使得=m+n，∴，解得m=，n=1，λ=2．故答案为：2．14．解：命题“∃x0∈R，使得+mx0+2m﹣3≤0”的否定为：“∀x0∈R，都有+mx0+2m﹣3＞0”，由于命题“∃x0∈R，使得+mx0+2m﹣3≤0”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有+mx0+2m﹣3＞0”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）＜0，解得2＜m＜6．则实数m的取值范围是（2，6），故答案为：（2，6）．15．解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，即有|AB|=|AF|+|BF|，由抛物线的定义可得，|AF|=x1+，|BF|=x2+，即有|AB|=x1+x2+1=4+1=5．故答案为：5．16．解：由题意可得：{a n}是首项为a，公差为2的等差数列，∴a n=a+2（n﹣1）．∴a1=a=OB1，∵△A1B0B1是等边三角形，∴=，=a．同理可得：B1B2=a2=a+2，=a+=，=．A1，A2，∴=2p×，=2p×，解得a=2，p=．故答案为：2．三、解答题17．解：p为真⇒⇒m≥2，q为真⇒0＜1﹣m＜1⇒0＜m＜1，由题意（￢p）∨q为假，即p为真且q为假，q为假：≤o或m≥1，故m≥2．18．（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D是棱AA1的中点，故DC=DC1．又AC=AA1，可得DC2+DC12=CC12，所以△C1DC是直角三角形，∴C1D⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，所以DC1⊥面BCD．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知B（0，1，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），B1（0，1，2），P（，，2），则=（1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣1，0）设=（x，y，z）是平面BDC1的法向量，则可取=（1，2，1）．…设点B1到平面BDC1的距离为d，则d=||=．…19．解：（1）+=1，焦点在轴，顶点A（4，0），∵△OAB的面积为，S△OAB=x A•y B=，∴y B=，将y B=，代入椭圆方程得x B=，∴B点坐标为（，），将B点坐标代入抛物线方程：求得（）2=2P×，解得p=4，∴抛物线C1的方程是：y2=8x．…（2）抛物线C1y2=8x的焦点为A（2，0）．设C（x1，y1），D（x2，y2），直线CD的方程为：x﹣4=my，将直线方程代入y2=8x，得：y2﹣8my﹣32=0，由韦达定理可知：y1+y2=8m，y1y2=﹣32，…∴丨CD丨=•=•，=8，=8，∴当m2=0时，CD长度取最小值，最小值为8．…20．（1）证明：取线段AB的中点F，连接EF，CF．则AF=CD，AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD；又EF∥AP且CF∩EF=F，∴面CFE∥面PAD，又EC⊂面CEF，∴EC∥平面PAD …（2）解：如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=，﹣，），取=（1，﹣1，0），则为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|==，则a=1．…于是=（1，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…21．解：（1）由题意得，a=2，a﹣c=1，得c=1，a2=b2+c2，∴b2=3，∴椭圆的方程为，…（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=n，不妨取A（n，），B（n，﹣），由k OA•k OB=﹣，解得n2=2．=丨AB丨•丨n丨=，…此时，S△AOB②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，△＞0得4k2﹣m2+3＞0…k OA•k OB=﹣，=﹣，即：3x1•x2+4y1•y2=0，即：3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，即：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+m2）+4m2=0，化简整理得：3+4k2=2m2，…由弦长公式得：丨AB丨=•，=•，O到直线y=kx+m的距离d=，则：=丨AB丨•d=丨m丨，S△AOB=•丨m丨，=．…=．…综上所述，S△AOB22．解：（1）因为f（x）=x2﹣3x+2lnx，x＞0，所以f′（x）=x﹣3+=，令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，所以其单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）max＜g（x）max．由g′（x）=（x2﹣2）e x，可知，当x∈（0，2]时，g（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，2]上单调递增，g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，所以只需f（x）max＜0．对函数f（x）来说，f′（x）=ax﹣（2a+1）+=．①当≥2时，即0＜a≤，函数f（x）在区间x∈（0，2]上单调递增，所以，f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2＜0，所以，a＞ln2﹣1 即0＜a≤，②当0＜＜2时，即a＞，函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，2]上单调递减，所以f（x）max=f（）=﹣2lna﹣﹣2．当a≥1时，显然小于0，满足题意；当＜a＜1时，可令h（a）=﹣2lna﹣﹣2，所以h′（a）=，可知该函数在a∈（，1）时单调递减，h（a）＜h（）=2ln2﹣3＜0，满足题意，所以a＞满足题意．综上所述：当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．（2）另法】f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx=﹣（x﹣2lnx），因为a＞0，x∈（0，2]，所以＜0令h（x）=x﹣2lnx，则h′（x）=1﹣=，所以h（x）在（0，2]为单调递减，h（x）≥h（2）=2﹣2ln2＞0，因此，在a＞0，x∈（0，2]时，f（x）＜0，故当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．。