高中数学第一章数列2.2等差数列的前n项和二课件北师大版必修5

跟踪训练2
在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列
前n项和Sn的最小值. 解答
类型三
求等差数列前n项的绝对值之和
例3
若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，
解答
求Tn.
反思与感悟
求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清 这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的 绝对值之和.
答案
梳理
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
an＝
S1 (n＝1)，
Sn－Sn－1 (n≥2，n∈N＋).
知识点二
等差数列前n项和的最值
思考
我们已经知道，当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 d 2 d n 的二次函数 Sn＝2n ＋(a1－2)n， 类比二次函数的最值情况， 等差数列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？ 答案
解答
1
234源自规律与方法1.因为an＝Sn －Sn－1只有n≥2 时才有意义，所以由Sn求通项公式 an＝f(n)
时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一
解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前 n项和的最值，但要
第一章 数列
§2.2 等差数列的前n项和(二)
学习目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
数列中an与Sn的关系
思考
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an? a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.
1 2 3 4
解析
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. 当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5. 当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1， 又Sn＝3＋2n， ∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. 又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
5，n＝1， ∴an＝ n－1 2 ，n≥2，n∈N＋.
1
2
3
4
2.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ
的值是 答案
解析
A.－2
√
B.－1
C.0
D.1
等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
1
2
3
4
5或6 时， 3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______ Sn取到最大值. 答案 ∵S3＝S8， ∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0， ∴a6＝0.∵a1＞0， ∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0， a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大.
跟踪训练3
已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有
bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式. 解答 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋). 验证a1＝9也符合上式.∴an＝11－2n，n∈N＋. ∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n； 当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时， an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解 析式表示.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 解答
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2· 3n－1.
当n＝1时，代入an＝2· 3n－1得a1＝2≠3.
3 ， ∴an＝ n－1 3 ， 2·
n＝1， n≥2，n∈N＋.
类型二
等差数列前n项和的最值
例2
的值. 解答
2 4 已知等差数列5,4 ，3 7，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n 7
反思与感悟
在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它 前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项 起到该项的各项的和为最大 (小).由于 Sn为关于 n的二次函数，也可借助 二次函数的图像或性质求解.
由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增， 有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取 最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
梳理
等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0， 则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观.
an≥0， (2)通项法：当 a1>0，d<0， 时，Sn 取得最大值；当 a1<0， an＋1≤0 an≤0， d>0， 时，Sn 取得最小值. an＋1≥0
题型探究
类型一 已知数列{an}的前n项和Sn求an
1 例 1 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ＝ n2 ＋2 n ，求这个数列的通项公 式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解答
引申探究
例1中前n项和改为Sn＝n2＋ 2
1
n＋1，求通项公式.
解答
反思与感悟
2 －n ＋10n，n≤5，n∈N＋， 即Tn＝ 2 n －10n＋50，n>5，n∈N＋.
当堂训练
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于 答案
A.4n－2 B.n2 C.2n＋1
解析
√
D.2n
当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 又因为a1＝2符合an＝2n， 所以an＝2n.