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![带四裂纹的椭圆孔口问题的应力分析_李宗学[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/c94ea865561252d380eb6eb3.png)
厚壁圆筒裂纹有限元分析摘要压力容器是承压并具有爆炸危险的特种设备，一旦发生爆炸或者泄漏事故，往往并发引起火灾或中毒等重大伤亡，严重影响社会生产和经济发展，人民的生命和财产将蒙受巨大损失，同时直接影响社会生活的安定。
压力容器在使用过程中会产生各种缺陷，对这些缺陷进行安全评估是安全生产的必要工作。
本文以断裂力学为理论基础，利用断裂力学理论及数值分析方法从而更能准确的反映出压力容器在不同裂纹尺寸和不同裂纹类型下的疲劳寿命。
判断含裂纹缺陷压力容器运行的安全性与可靠性的目的在于减少不必要的停产以及维修，从而提高经济性和设备的可靠性，因此本课题的研究更加具有实用意义。
并且通过有限元软件ANSYS，建立该表面裂纹缺陷的二维平面模型和三维有限元模型，模拟计算最能反映出该裂纹前沿状态的重要参量—应力强度因子值，并分析有限弹性体高度和长度的变化对应力强度因子值大小的影响。
以上研究的结果为该设备的安全使用和可靠性评价提供了理论依据。
关键词：裂缝；有限元；应力集中；结构分析；应力强度因子AbstractPressure vessels are special pressured equipments with explosion hazard.Heavy casualties such as fire disaster and poisoning caused by explosion or leakage seriously will seriously affect social production,economic development,and people’s lives and property.Therefore,security evaluation on the defects during the process of use is necessary to ensure safety production.This Paper is based on fracture mechanics，this method that using the theory of fracture mechanics and numerical analysis is in order to define an accurate fatigue life of the pressure vessel at different crack size and form.To determine the safety and reliability of the pressure vessel which containing crack defect aimed to reduce unnecessary shutdowns and maintenance，therefore，it enhance the economy and reliability of the equipment.So the study of this topic has more practical significance.And by the use of the finite element software-ANSYS ,the paper establishes a Surface crack 3-D model，simulates an important parameter-the stress Intensity factor，that can best reflect the status of the crack front.This paper also analyses the change of the stress intensity factor value which is influenced by the limited elastomer’s height and weight.These results of the study Provide a theoretical basis for the safe use and reliability evaluation of the equipment.Key word: Crack; Finite element; Stress concentration; Structural analysis; SIF第1章概述有资料表明，目前我国压力容器供方市场已有2700余家，已构成规模大，装备强，覆盖面广，技术力量强，素质高的生产厂家。
第４６卷第２期２０２４年３月沈 阳 工 业 大 学 学 报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｅｎｙａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ ４６Ｎｏ ２Ｍａｒ ２０２４收稿日期：２０２２－０５－０１基金项目：国家自然科学基金面上项目（５１８７５３６５）。
作者简介：郑文涛（１９８０—），男，湖北仙桃人，副教授，博士生导师，主要从事有限元仿真应用技术、金属材料高应变速率变形机理等方面的研究。
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪殏殏殏殏材料科学与工程 ＤＯＩ：１０．７６８８／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１６４６．２０２４．０２．１０孔洞对疲劳裂纹扩展路径的影响郑文涛１，陈晶华１，李 田２（１ 沈阳工业大学材料科学与工程学院，辽宁沈阳１１０８７０；２ 国网天津市电力科学研究院，天津３００２２０）摘 要：为了研究孔洞位置和尺寸对疲劳裂纹扩展路径的影响，利用ＡＢＡＱＵＳ有限元仿真软件建立改进ＣＴ试样的裂纹扩展仿真模型，采用扩展有限元法研究了在低周疲劳加载条件下Ｑ２３５钢圆孔与裂纹尖端的角度、距离以及圆孔半径对裂纹扩展路径的影响，并通过引入裂纹偏转系数来定量描述不同参数对裂纹扩展路径偏转程度的影响。
结果表明：当圆孔与裂纹尖端的夹角为４５°时，裂纹偏转系数取得最大值；裂纹偏转系数随着孔洞半径的增加逐渐增大，随着圆孔与裂纹尖端距离的增大逐渐减小。
关 键 词：孔洞；裂纹扩展；低周疲劳；裂纹偏转行为；扩展有限元法；裂纹尖端应力场；仿真模拟；裂纹偏转系数中图分类号：ＴＧ４０７ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００－１６４６（２０２４）０２－０１７７－０７ＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｈｏｌｅｓｏｎｆａｔｉｇｕｅｃｒａｃｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｐａｔｈＺＨＥＮＧＷｅｎｔａｏ１，ＣＨＥＮＪｉｎｇｈｕａ１，ＬＩＴｉａｎ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈｅｎｙａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０８７０，Ｌｉａｏｎｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｔａｔｅＧｒｉｄＴｉａｎｊｉｎＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００２２０，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｈｏｌｅｌｏｃａｔｉｏｎａｎｄｓｉｚｅｏｎｆａｔｉｇｕｅｃｒａｃｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｐａｔｈ，ＡＢＡＱＵＳｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｔｗａｒｅｗａｓｕｓｅｄｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｃｒａｃｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｆｏｒｍｏｄｉｆｉｅｄＣＴｓａｍｐｌｅｓ．Ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ（ＸＦＥＭ），ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｎｇｌｅａｎｄｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｉｒｃｕｌａｒｈｏｌｅａｎｄｔｈｅｃｒａｃｋｔｉｐａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅｒａｄｉｕｓｏｆｃｉｒｃｕｌａｒｈｏｌｅｏｎｔｈｅｃｒａｃｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｐａｔｈｏｆＱ２３５ｓｔｅｅｌｕｎｄｅｒｌｏｗｃｙｃｌｅｆａｔｉｇｕｅｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇｔｈｅｃｒａｃｋｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｎｔｈｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｄｅｇｒｅｅｏｆｃｒａｃｋｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｐａｔｈｗａｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｃｒａｃｋｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｒｅａｃｈｅｓｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｖａｌｕｅｗｈｅｎｔｈｅａｎｇｌｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｒａｃｋｔｉｐａｎｄｔｈｅｃｉｒｃｕｌａｒｈｏｌｅｉｓ４５°．Ｔｈｅｃｒａｃｋｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｈｏｌｅｒａｄｉｕｓ，ｗｈｉｌｅｄｅｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｃｉｒｃｕｌａｒｈｏｌｅａｎｄｃｒａｃｋｔｉｐ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｌｅ；ｃｒａｃｋｐｒｏｐｏｇａｔｉｏｎ；ｌｏｗｃｙｃｌｅｆａｔｉｇｕｅ；ｃｒａｃｋｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒ；ｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ；ｓｔｒｅｓｓｆｉｅｌｄａｔｃｒａｃｋｔｉｐ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｃｒａｃｋｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ 由于生产工艺的约束和限制，工程结构在制造过程中不可避免地会出现各种圆孔或夹杂等材料缺陷。
裂纹表面受力情形下圆孔边裂纹问题的精确解研究1. 研究背景圆孔边裂纹是一种广泛存在于工程结构中的重要裂纹形式，其对结构的影响和破坏性质备受关注。
在实际应用中，裂纹表面受到不同形式和大小的载荷作用，因此对于圆孔边裂纹问题的精确解研究十分必要。
2. 研究内容针对圆孔边裂纹问题，本研究将基于复合应力函数的方法，通过构建合适的应力函数、边界条件和裂纹参数方程，求解出其精确解。
具体研究内容包括：（1）构建复合应力函数通过应用Liouville-Green变换和椭圆坐标系变换，得到复合应力函数的一般形式，满足边界条件和裂纹参数方程。
（2）求解应力函数系数通过边界条件和裂纹参数方程，利用位势理论求解应力函数系数。
（3）计算应力强度因子利用复合应力函数和Griffith能量原理，计算得到裂纹尖端的应力强度因子。
（4）分析不同受力情形下的裂纹扩展行为根据不同受力情形的载荷作用，绘制应力强度因子对裂纹长度的曲线，分析裂纹扩展行为和破坏特性。
3. 研究意义本研究将对圆孔边裂纹问题的精确解进行分析和研究，提供了一种新的求解方法和途径，为该问题的数值和实验研究提供了参考依据和理论支持。
同时，对于裂纹扩展机理、结构稳定性和破坏特性等方面的研究也有一定的理论和应用价值。
4. 研究前景本研究为圆孔边裂纹问题的精确解研究提供了一种新思路和方法，并且通过对不同受力情形下的裂纹扩展行为的研究，也将推动该问题在工程实践中的应用和发展。
未来，可以将研究对象扩展到其他类型的裂纹问题，深入探讨其扩展机理和破坏特性，为工程结构的可靠性分析和设计提供更加可靠和有效的解决方案。
第四节节理岩体中深埋圆形洞室剪裂区及应力分析•岩体强度受结构面控制，岩体产生剪切滑移一、基本假设：（1）剪切区径向应力分布近似按弹性应力分布；（2）仅考虑一组节理，并不计间距的影响；（3）剪裂区的切向应力受节理面的强度控制，并服从库仑—摩尔准则。
径向应力，由弹性公式给出，破坏角β=β0-θ。
（见下图）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='221rrp arpσ最小主应力与破坏面的夹角：β=β0 -θ λ=1岩体单元中强度最弱的节理，岩体可能沿此方向节理剪切滑移β0βθr a σθ= σ1σ r = σ3图7－9 剪切区应力计算简图τσrpσ'β2βRP因剪裂区结构面与最小主应力的夹角为β，在下图ΔPRB ，由正弦定理有：p θσ'BO二、破裂区的应力计算c jφj（2β－φj ）τj =σtg φj + c j)2sin(sin j j PBRB ϕβϕ-=)2sin(sin )2(22;2j jrp p j j rp p rp p j j rp p ctg c ctg c PB RB ϕβϕσσϕσσσσϕσσθθθθ-'+'+='-''+'+='-'=整理：j j j j rpj j p c ϕϕϕβσϕϕβσθcos 2]sin )2[sin(]sin )2[sin(++-'=--')sin(cos 2]sin cos cos [sin cos 2sin cos 2cos sin cos 2sin ]1)sin [(cos cos cos sin 2sin sin )sin (cos cos cos sin 2sin sin 2cos cos 2sin ]sin )2[sin(22222ϕββϕβϕββϕβϕββϕββϕββϕϕββϕββϕϕβϕβϕϕβ-=-=-=+--=---=--=--j j j j j j j j j jj j j j由假设条件)1(220rrp a rp-='σβϕβϕβϕβσσθcos )sin(cos sin )cos(j j j j rpp c -+-'='同理：)cos(sin 2]sin )2[sin(j j j ϕββϕϕβ-=+-j j j rpj p c ϕϕββσϕββσθcos 2)cos(sin 2)sin(cos 2+-'=-'所以：剪裂区的围岩应力公式：βϕβϕβϕβσθcos )sin(cos sin )cos(1220j j j j a p c r r p -+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='θββσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='0220 1rr p a rp 破裂区的应力(7-59)剪裂区的围岩应力小于结构面强度时，则按弹性区的应力公式计算。
1维6方压电准晶带4条裂纹的圆形孔口问题的解析解张峰;李星【摘要】利用复变函数方法与保角变换技巧,探讨了1维6方压电准晶中带有4条裂纹的圆形孔口的反平面Ⅲ型裂纹问题,得出了应力强度因子和电位移强度因子的解析解.由该解析解得出极限情形下的对称4裂纹圆形孔口、3条裂纹的圆形孔口、共线双裂纹圆形孔口、单裂纹圆形孔口、十字裂纹、T形裂纹对应的Ⅲ型裂纹应力强度因子和电位移强度因子的解析表达式.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(039)001【总页数】6页(P50-54,100)【关键词】1维6方压电准晶;具4条裂纹的圆形孔口;复变函数方法;应力强度因子【作者】张峰;李星【作者单位】宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川750021;宁夏师范学院数学计算机系,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O346.10 引言与基本理论D.Shechtman等［1］于1984年在快速冷却的铝锰合金中发现了1种电子衍射斑具有明显的5次对称性的相，并推断出该结构具有3维空间的彭罗斯拼图结构.D.Shechtman等揭示出原子在晶体内的堆积形态可以不重复、独特的原子排列形式，使得固体准晶具有高硬度、低密度、耐磨等独特的性能.因此，它成为了1种新型的材料，并将其广泛应用于航空航天和金属成型等工程领域［2］.相对于经典弹性理论而言，准晶的弹性理论更复杂，应用数学与力学学者就其弹性和缺陷问题做了一系列研究.文献［3－4］利用对称群对于准晶的弹性基本理论开展了相关研究.范天佑［5］基于经典弹性理论中的复变函数法，系统地总结了若干准晶平面弹性与断裂力学问题的复变方法.在此基础上，众多学者对简单的1维6方立方等准晶的弹性、位错、孔口和裂纹问题进行了研究［6－11］.文献［12］指出准晶具有压电效应，并建立了准晶的电弹性基本理论.而考虑准晶压电效应的研究相对较少，王旭等［11］研究了1维6方压电准晶中的动态螺旋位错，求出位错引起的应力位移场的分量的解析解.李星等［13－14］研究了1维6方压电准晶对称条形体中共线双半无限快速传播裂纹问题与一些简单裂纹的静力学与动力学问题的解析解.本文运用1维6方准晶的电弹性基本理论，将文献［15］中的具有4条裂纹的圆形孔口反平面问题推广到了1维6方压电准晶中，并给出了应力强度因子的解析解.取点群6mm 1维6方压电准晶的准周期方向为坐标轴x3，坐标平面为x1－x2垂直于准周期方向的平面，建立直角坐标系.根据文献［5，11］的广义胡克定律、几何方程、不计体力的运动平衡方程，当缺陷沿准晶的准周期方向穿透时1维6方压电准晶的反平面问题为(1)式最终可以归结为3个调和函数求解的问题，由复变函数理论［5，13］知，u3，ω，ψ 可表示为 3 个解析函数的实部，即其中Re表示实部，φj(z)(j=1，2，3)为3个解析函数，z=x1+ix2.1 问题研究设1个无限大1维6方压电准晶中有4条圆形孔口裂纹，裂纹长分别为a－R，b－R，c－R和c－R，裂纹沿准周期方向穿透，记边界为L，1个电场分布在无穷远处，电极化的方向作为准周期的方向，T是受到的电载荷，τ为无穷远处受到沿准周期方向的剪应力，如图1所示，则该问题转换为准晶在裂纹面上受到电位移和剪应力的作用，Z=－p，Z'=－q，Z″=－T，电非渗透型边界条件为其中l，m表示带4条裂纹的圆形孔口的外法线方向与x1，x2轴夹角的余弦值.若f(z)为解析函数，则∂f ∂x1=dfdz，∂f ∂x2=idfdz.若f(z)=P(x1，x2)+iQ(x1，x2)=Ref(z)+iImf(z)，由Cauchy－Riemann 关系知，由广义胡克定律和(2)式得将(5)、(6)式代入(3)式，再由(4)式知，(5)式可化为两边分别对s积分，并由得对z的不同位置进行讨论(见图2)，得到的结果［15］为(7)式两端关于z求导，并将(8)式代入得其中图1 具有4条裂纹的圆形孔口模型图2 包含具有4条裂纹的圆形孔口的无限大平面到单位圆的映射引入保角变换［15］其中a1=(a/R+R/a)/2，b1=(b/R+R/b)/2，c1=(c/R+R/c)/2.此映射将z平面的裂纹映射到ζ平面上的单位圆内部，从而ω－1(a)→1，ω－1(－b)→－1，ω－1(ic)→ D1，ω－1(－ic)→ J1，如图2所示.令ψi(ζ)= φi(z)，则将(10)式代入(9)式整理，然后将单位圆上的点ζ= σ=eiθ代入，得(11)式两边分别同时乘以1/［2πi(σ－ξ)］，并沿边界l积分得在单位圆内ψ'i(ζ)解析，由Cauchy积分公式得由于，则ω'(σ)·为单位圆外解析函数的边值.根据无穷远处的Cauchy积分公式，对于，有令，其中其中由(12)式可解得根据(4)式和(5)式得由(13)式代入(10)式可得φ'i(z)，然后代入(14)式解方程组，再利用保角映射的反演，则可得z平面内的应力场和位移场的表达式，由于结果较复杂，此处不予列出. 由(z→a)，F(ζ)→RY/2，ζ→1(z→a)得在裂纹尖端z=a处，对应于ζ平面内ζ=1处的声子场应力强度因子、相位子场应力强度因子、电位移强度因子分别为其中当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，问题就退化为1维6方准晶中具有4条裂纹的圆形孔口，其声子场应力、相位子场应力强度因子分别为与文献［15］中的结果一致.2 几种特殊情形1)(i)当c→R时，问题为1维6方压电准晶中带非对称共线双裂纹的圆形孔口，由(15)式得其中(ii)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中带有对称共线双裂纹的圆形孔口，由(16)式知(iii)当b→R时，问题为1维6方压电准晶中带有单裂纹的圆形孔口，由(16)式知2)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中具有对称4裂纹的圆形孔口，由(15)式3)当b→R时，问题为1维6方压电准晶中具有3条裂纹的圆形孔口，由(15)式知其中4)(i)当R→0时，问题为1维6方压电准晶中具有非对称十字裂纹的圆形孔口，由(15)式知(ii)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中具有对称十字裂纹的圆形孔口，由(17)式知(iii)当b→0时，问题为1维6方压电准晶中T形裂纹，由(17)式知(iv)当b→a，c→0时，问题为1维6方压电准晶中Griffith裂纹，由(17)式知当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，问题为1维6方准晶中的Griffith 裂纹，声子场应力、相位子场应力强度因子分别为与文献［15］中的结果一致.3 结论本文得出了1维6方压电准晶中具有4条裂纹的圆形孔口问题的应力和电位移强度因子的解析解，从得到的结果可以看出:电位移并没有和应力发生耦合，电载荷不能改变应力场，只能改变电位移应力强度因子，声子场应力、相位子场应力以及电位移都受到裂纹尺寸的影响.当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，与文献［15］的结论一致.得到的解析解在极限情形下可以给出1维6方压电准晶中对称4裂纹圆形孔口、3条裂纹的圆形孔口、共线双裂纹圆形孔口、单裂纹圆形孔口、十字裂纹、T形裂纹问题对应的III型裂纹应力强度因子和电位移强度因子的解析表达式.这在一定意义上验证理论推导的正确性.在自然界和工程应用中经常会遇到带裂纹的材料受到电载荷的作用，材料由裂纹尖端开始破坏是常有的，本文得到的结果可以作为理论依据，从而推进压电准晶材料的实际应用.4 参考文献【相关文献】［1］ 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2010年5月内蒙古大学学报(自然科学版)M ay2010第41卷第3期Journal of Inner M ongolia University Vol.41No.3文章编号:1000-1638(2010)03-0276-08部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究*赵新平1,2,刘官厅1(1.内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022;2.内蒙古农业大学理学院,呼和浩特010018)摘要:利用复变方法,通过构造保角映射,研究了圆孔带单裂纹且只在孔边受到均匀压力而裂纹面上不受力的部分边界受力的平面弹性问题,得到了复应力函数的精确表达式,并给出了应力场的解析表示,求得在裂纹尖端的应力强度因子的解析解.在极限情形下,还可以还原为圆孔带单裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的已有结果.关键词:带单裂纹圆形孔口;部分边界受力;应力强度因子;保角映射;解析解中图分类号:O346.1 文献标志码:A固体中带裂纹的孔口问题,既是力学中的一个重要问题,又是一个比较难以解决的课题,长期以来引起广大专家学者的极大兴趣.主要是通过构造保角变换,充分利用Cauchy积分理论,求出各种缺陷尖端的应力强度因子或应力场.前人研究了圆孔带单裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的孔口问题,还研究了椭圆孔口的部分边界上受到均匀压力的部分边界受力问题,且前人还用数值方法研究了部分边界受力的带裂纹的孔口问题.而部分边界受力的带裂纹的孔口问题的解析解还待研究.本文通过构造保角映射,充分利用Cauchy积分理论研究了圆孔带单裂纹且只在孔边受到均匀压力而裂纹面上不受力的部分边界受力的平面弹性问题.1 预备知识对平面弹性问题,当物体处于静平衡状态时,其应力函数U满足的相容方程 1 为2 2U=0(1) 2= 2/ x2+ 2/ y2,U代表Air y应力函数,且应力分量与应力函数的关系为xx= 2Uy2, yy= 2Ux2, xy=-2Ux y(2)取复势函数 1(z)和 1(z),则U(x,y)可表示为U(x,y)=Re[ z 1(z)+ 1(z)d z](3)其中 1(z)与 1(z)表示复变量z=x+i y的两个解析函数, z=x-i y是z的复共轭,Re代表复数的实部.应力和位移的复表示为xx+ yy=2[ 1(z)+ 1(z)]=4Re 1(z)yy- xx+2i xy=2[ z 1(z)+ 1(z)](4)*收稿日期:2010-01-18;修回日期:2010-03-20基金项目:国家自然科学基金资助项目(10761005)作者简介:赵新平(1976-),男,内蒙古呼和浩特市人,讲师,硕士.E-mail:zhao xinping9988@.2 (u x +i u y )= 1(z )-z1(z )- 1(z )(5)其中对平面应力k =(3- )/(1+ ),对平面应变k =3-4如果能引入一个合适的保角映射z = ( ),即把物理平面上的区域映射到 平面上单位圆内部,则(4)和(5)式变为+ =4Re ( )- -2i =2 22( )[ ( ) ( )+ ( ) ( )](6)E 1+ (u +i u )= ( )| ( )|3- 1+ ( )- ( ) ( )( )- ( )(7)其中( , )是 平面上的极坐标系.且1(z )= 1[ ( )]= ( ), 1(z )= 1[ ( )]= ( )1(z )= ( ) ( )= ( ), 1(z )= ( ) ( )= ( )(8)未知函数 ( )和 ( )满足如下函数方程组( )=1- 8 (X +i Y)ln +B ( )+ 0( )(9) ( )=-3- 8(X -i Y)ln +(B +i C ) ( )+ 0( )(10)其中0( )+12 i( ) ( )0( ) -d + 0(0)=12 if 0 -d(11) 0( )+12 i( ) ( )0( )-d + 0(0)=12 if 0-d(12)= |=e i 代表 在单位圆周 上的值,而f 0=i(X +i Y)d s -X +i Y 2 ln -1+ 8 (X -i Y) ( )( )-2B ( )-(B -i C ) ( )(13)其中X 和Y 分别表示面力X 和Y 的面力分量,B 和B -i C 由无穷远处的应力主向与主应力决定.裂纹尖端的复应力强度因子 2 为K(c,0)-i K (c,0)=22 lim| ( )- ( 0)|( ) ( )=2 lim 0 ( )( )(14)2 部分边界受力的带裂纹的圆形孔口问题设无限大平面中含有一个带单裂纹的圆形孔洞,孔边受到均匀压力p ,裂纹面上不受力,孔口半径为a,裂纹长度为c -a,以裂纹所在直线为x 轴,以圆孔中心为原点,建立直角坐标系,如图1所示.作保角映射 3 :z = ( )=af (1+ )2+(1- )2+(f 2-1)(1+ )4+2(f +1)(1- 2)24(15)f =12c a +a c =a 2+c 22ac(16)则该映射将z 平面上带单裂纹的圆形孔口外部的区域映射成 平面上的单位圆内部,同时把带单裂纹的圆形孔口映射成单位圆周 ,把a 的上岸z 1映射到点A 1( 1),把a 的下岸z 2映射到点A 2( 2),且有 -1(c) 1, -1(a i ) -i , -1(-a i ) i .在圆周上:从a 的上岸z 1到a 的下岸z 2上X =-p cos (N,x )=-lp ,Y =-p cos (N,y)=-mp277第3期赵新平,刘官厅 部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究f 1=i (X +i Y)d s =i (-p (l d s+i m d s))=i p (d y -id x)=-p d z =-pz =-p ( )(17)图1 只在孔边受力的含单裂纹的圆形孔口的无限大平面Fig.1 A n infinite plane w hich pr essure o nly acts on theedg e of a cir cular ho le w ith a sing le cr ack图2 保角映射到单位圆内Fig.2 Confor mal mapping to the unit circle在裂纹上:从a 的下岸z 2到a 的上岸z 1上f 1=-p z 2(18)若从a 的上岸z 1起始回绕,当逆时针描过全部围线再回到z 1时,f 1得到增量-p z 2-(-p z 1)=p (z 1-z 2),而f 1顺时针回绕一周时,会有增量i (X +i Y),因此,p (z 1-z 2)=-i (X +i Y)(19)X +i Y =i p (z 1-z 2),X -i Y =-i p (z 1-z 2)(20) 由于在无穷远处不受力,有B =0,B -i C =0(21) ( )=a 4 2-12(f +1)+(f 2-1)(1+ )2+2(f +1)(1+ 2)(f 2-1)(1+ )4+2(f +1)(1- 2)2(22)由(15)和(22)式,有( ) ( )=1(1- 2)(f -1)(1+ )4+2(1- 2)2f +1(23)令G( )=1( )=2-1(f -1)(1+ )4+2(1- 2)2f +1(24)因G( )除有两个一级极点 1外,在单位圆内{ :| |<1}解析,在{ :| | 1}上连续,所以由柯西积分公式与解析延拓的知识可得 3 :12 i( ) ( )0( )( -)d =12 iG ( )0( )( - )d =G(0) 0(0)-B 121 -1-B 221+1(25)其中B 1=lim 1( -1)G( ),B 2=lim -1( +1)G ( ).将(21)式代入(13)式,得f=f 1-X +i Y 2 ln -1+ 8 (X -i Y) ( ) ( )(26)由(17)、(18)、(20)和(26)式,有12if 0- d =p (z 1-z 2)2 i 12 iln-d 278内蒙古大学学报(自然科学版)2010年+(1+)8 i p (z 1-z 2)12 i(f -1)(1+ )4+2(1- 2)2(1- 2)1+f ( - )d(27)下面分别计算(27)式右边的各积分21( ) - d =a421(1+ )2f +(1- )2+(f 2-1)(1+ )4+2(f +1)(1- 2)2( - )d =a 4 21(1+ )2f ( - )d + 21(1- )2( - )d +a421(f 2-1)(1+ )4+2(f +1)(1- 2)2d(28)21(1+ )2f( - )d =f211+2 +2( - )dR =f F +2f +f F ln R 2-F R 1-F -f F ln R 2R 1+f (R 2-R 1)(29)Q R 2R 1(1-R )2R (R -F )dR =Q R 2R 11-2R +R 2R (R -F )dR =1F -2+F ln R 2-F R 1-F -1F ln R 2R1+(R 2-R 1)(30)将(29)和(30)式代入(28)式,得Q R 2R 1X (R )R-F dR =f F +2f +f F ln R 2-F R 1-F -f F ln R 2R1+f (R 2-R 1)+1F -2+F ln R 2-FR 1-F -1F ln R 2R1+(R 2-R 1)+Q R 2R1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-F )dR (31)Q R 2R 11R -F dR =ln R 1-F R 2-F(32)设I (F )=12Pi Q #lnR R -FdR ,则d I dF =12Pi Q #lnR (R -F )2dR =-12Pi Q #lnR d 1R -F =-12Pi lnR R -F |R =R 1R =R 1+12Pi Q #dR R (R-F )=-12Pi 2Pi R 1-F +12Pi Q #1R (R-F )dR =-1R 1-FI (F )=ln (R 1-F )+C(33)类似于(25)式的计算,下面求12Pi Q #(f -1)(1+R )4+2(1-R 2)2(1-R 2)1+f (R -F )dR 设F(F )=(f -1)(1+F )4+2(1-F 2)2(1-F 2)1+f12Pi Q #E +E E +E c E(f -1)(1+R )4+2(1-R 2)2(1-R 2)1+f (R -F )dR =F(0)=1(34)当R I E c E ,记R =1+E e iH ,则有limE y 0+12Pi Q E c E (f -1)(1+R )4+2(1-R 2)2(1-R 2dR 279第3期赵新平,刘官厅 部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究=-12PQ P 2-P 242f -1f +111-F dH =f -1f +11F -1(35)图3 积分曲线F ig.3 Integ r al curve当R I EE ,记R =-1+E e iH ,则有limE y 0+12PiQ E E (f -1)(1+R )4+2(1-R 2)2(1-R 2)f +1(R -F )dR=12Pi Q 3P2P2021+f 1-1-FdH =0(36)由(34)、(35)和(36)式,有12Pi Q #(f -1)(1+R )4+2(1-R )2(1-R 2)f +1(R-F )dR =lim E y 0+12Pi Q #E F (R )R-F dR =F (0)-lim E y 0+12Pi Q E E F (R )R -F dR -lim E y 0+12Pi Q E c E F (R )R-F dR=1+f -1f +111-F(37)将(31-33)和(37)式代入(27)式,得12Pi Q #f 0R -F dR =p a 8Pif F +2f +f F ln R 2-F R 1-F -f F ln R 2R1+f (R 2-R 1)+pa8Pi1F -2+F ln R 2-F R 1-F -1F ln R 2R1+(R 2-R 1)+pa 8Pi Q R 2R 1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-F )dR+p z 22Pi ln R 1-F R 2-F -p (z 1-z 2)2Pi(ln (R 1-F )+C)+(1+L)8Pip (z 1-z 2)1+f -1f +111-F(38)将(25)和(38)式代入(11)式,得U 0(F )+G(0)U c 0(0)-B 121F -1-B 221F +1=12PiQ #f 0R -F dR(39)对(39)式两边关于F 求导,有U c 0(F )+B 121(F-1)2+B 221(F+1)2280内蒙古大学学报(自然科学版)2010年=p a 8Pi -f F 2+f ln R 2-F R 1-F +f F +2f +f F R 2-R 1(R 2-F )(R 1-F )+pa 8Pi f F 2ln R 2R1+-1F 2+1ln R 2-F R 1-F +1F -2+F R 2-R 1(R 2-F )(R 1-F )+1F 2ln R 2R1+pa 8Pi Q R 2R 1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-F )2dR +p z 22Pi R 2-F R 1-F R 1-R 2(R 2-F )2-p (z 1-z 2)2P i -1R 1-F +(1+L)8Pip (z 1-z 2)f -1f +11(1-F )2(40)注意到U c 0(F )在F =?1处连续.因此B 2=0,B 1=(1+L)4Pip (z 1-z 2)f -1f +1,从而有U c 0(F )=pa8Pif -f F 2ln R 2-F R 1-F +f F +2f +f F R 2-R 1(R 2-F )(R 1-F )+f F 2lnR 2R1+p a 8Pi1-1F 2ln R 2-F R 1-F+1F -2+F R 2-R 1(R 2-F )(R 1-F )+1F 2ln R 2R 1+p a 8Pi Q R 2R 1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-F )2+pz 22Pi R 1-R 2(R 1-F )(R 2-F )-p (z 1-z 2)2Pi 1R 1-F(41)将(20)和(21)式代入(9)式,得U (F )=L-18Pip (z 1-z 2)lnF +U 0(F )(42)对(42)式两边关于F 求导,得Uc (F )=L-18Pi p (z 1-z 2)1F+U c0(F )(43)lim F y 1Uc (F )=L -18Pi p (z 1-z 2)+p a 8Pi 4f R 2-R 1(R 2-1)(R 1-1)+(f +1)ln R 2R1+pa 8Pi Q R 2R 1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-1)2dR +p z 22Pi R 1-R 2(R 1-1)(R 2-1)-p (z 1-z 2)2P i 1R 1-1(44)X d (F )=a 2F 3(f +1)+(f 2-1)(1+F )2+2(f +1)(F 2+1)(f 2-1)(1+F )4+2(1-F 2)2(f +1)+(F 2-1)4F 2a (2(f 2-1)(1+F )+4(f +1)F )((f 2-1)(1+F )4+2(f +1)(1-F 2)2)(f 2-1)(1+F )4+2(1-F 2)2(f +1)-(F 2-1)4F 2a (f 2-1)(1+F )2+2(f +1)(1+F 2)(f 2-1)(1+F )4+2(f +1)(1-F 2)2(2(f 2-1)(1+F )3-4F (f +1)(1-F 2))(f 2-1)(1+F )4+2(1-F 2)2(f +1)(45)lim F y 1Xd(F )=a 2(f +1)+ff +1f -1(46)将(44)和(46)式代入(14)式,得K (c,0)Ñ-i K (c,0)Ò=2P lim F y 1Uc(F )X d (F )281第3期赵新平,刘官厅 部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究=2PL -18P ip (z 1-z 2)a 2(f +1)+f f +1f -1+2Pp a 8P i 4f R 2-R 1(R 2-1)(R 1-1)+(f +1)lnR 2R1a 2(f +1)+f f +1f -1+2Pp a 8Pi Q R 2R 1(f 2-1)(1+R )4+2(f +1)(1-R 2)2R (R-1)2dRa 2(f +1)+ff +1f -1+2Pp z 22Pi R 1-R 2(R 1-1)(R 2-1)+p (z 1-z 2)2Pi (R 1-1)a 2(f +1)+ff +1f -1(47)z 1=X (R 1)=af (1+R 1)2+(1-R 1)2+(f 2-1)(1+R 1)4+2(f +1)(1-R 21)24R 1(48)z 2=X (R 2)=af (1+R 2)2+(1-R 2)2+(f 2-1)(1+R 2)4+2(f +1)(1-R22)24R 2(49)3 关于孔口问题的特殊情形及结果当z 1=z 2,R 1=R 2时,lnR 2R 1=2Pilim F y 1Uc (F )=p a 8Pi (f +1)2Pi =p a4(f +1)(50)由(46)和(50)式,有K (c,0)Ñ=2Pp a 4(f +1)a 2(f +1)+f f +1f -1,K (c,0)Ò=0(51)将(16)式代入(51)式,得K(c,0)Ñ=p 2(a +c)P (c 2-a 2)c 2c,K (c,0)Ò=0(52)此结果与文献132给出的圆孔带单裂纹且孔边及裂纹面上均受到均匀压力p 的已有结果完全一致.4 结论本文利用复变方法,通过构造保角映射(15),充分利用柯西积分理论,研究了圆孔带单裂纹且只在孔边受到均匀压力而裂纹表面上不受力的平面弹性问题,得到了复应力函数的精确表达式,并给出了应力场的解析表示,求得在裂纹尖端的应力强度因子的解析解.该问题的有效解决方法是对M us -tkhelishv ili 复势法作了进一步拓广,扩大了其应用范围,丰富了其内容.在极限情形下,还可以还原为圆孔带单裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的已有结果,是对已有结果的推广.同时部分边界受力的带裂纹的孔口问题更符合实际情况,这在某些工程断裂问题中有潜在的应用价值.参考文献:[1] M uskhelishvili N I.S ome B asic Pr oblems of M athematical T heor y of elas ticity [M ].Gor ning en;N oo rdho ff,1953.282内蒙古大学学报(自然科学版)2010年[2] 徐芝纶.弹性力学(上册)[M ].北京:高等教育出版社,1985:118-160.[3] 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Science,I nner M ongolia N orm al Univer sity ,H ohhot 010022,China;2.College of Sciences ,I nner M ongolia A gr icultur al Univer sity ,H ohhot 010018,China) Abstr act:By means of a complex v ar iable functio n m ethod and constructing a co nform al map -ping ,plane elasticity pro blem of pressure on the part o f bounar y that uniform pressure only acts o n the edge of a circular hole w ith a single crack but not o n the surface is studied.T he analyic solutio n of co mplex stress functions is obtained,the analy tic expressio ns of the stress field are g iv en,and the analytic so lutions of the stress intensity factors at the crack tip ar e determined.In the situation o f limit,it can revert to the ex isting results,w hich unifo rm pressure acts on both the edg e o f a circular ho le w ith a single crack and the surface of the crack.Key words:a cir cular ho le w ith a crack;pr essure on the part of boundary;stress intensity factor;confo rmal mapping;analytic so lution283第3期赵新平,刘官厅 部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究。
