善于举例 (数学教师的基本功之一 郑毓信)

从三项基本功到数学教师的专业成长（上）郑毓信【专题名称】高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2010年08期【原文出处】《中学数学月刊》(苏州)2010年3期第1～4页【作者简介】郑毓信，南京大学哲学系(210093)。

【关键词】EEUU除去数学与教育方面的一般性要求，数学教师还应具有自己的特殊技能，这就是“数学教师的三项基本功”：(1)善于举例；(2)善于提问；(3)善于比较与优化。

除教学以外，这三者对于数学教师的专业成长也具有特别的重要性，以下就对此作出具体论述。

一、“善于举例”与数学教师的专业成长容易想到，举例对于数学教学的重要性正是由数学本身的特性所决定的。

具体地说，高度的抽象性正是数学最为基本的一个特性：“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。

我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

”（［俄］亚历山大洛夫著，《数学——它的内容、方法和意义》，科学出版社，1958，第一卷，第1页）从而，适当的举例就应被看成数学教学工作最为重要的一个方面，因为，只有这样，我们才能为学生较好地去实现相应的数学抽象提供必要的基础。

应当指出，数学学习心理学的现代研究也为上述认识提供了直接论据：在大多数情况下，数学概念的心理对应物（心理表征）并非概念的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合体，其中实例占据了十分重要的地位，特别是，后者正是个人情感与经验等进入数学之处，从而对于数学学习具有十分重要的作用。

（正因为如此，人们提出，对于“概念定义”[concept definitio n]与“概念意象”[concept image]我们就应作出明确的区分。

）从上述的角度去分析，我们或许也可更好地去发现中国数学教学的若干不足之处，因为，我们的学生往往能够准确和迅速地说出所学过的各个数学概念（如函数等）的严格定义，但在要求给出实例时却又表现出了极大困难。

千课万人班主任学习心得4篇千课万人班主任学习心得第1篇金秋十月，在美丽的浙大校园里，我有幸参加了千课万人全国中小学班主任广度、深度、维度工作研讨会。

两天的学习安排既紧张有充实，不仅有教授级的班主任工作理论学习，让我从理论层面上认识到班主任工作的重要性；更有一线班主任们的案例剖析交流，让我从中体会到了班主任工作的繁琐、细腻与艰辛。

全国优秀教师高金英老师在《用心做事，做成功班主任》的报告中向我们讲述了她与她的学生们的一个个感人的教育故事，让我体会到和谐的师生关系所起到的良好作用。

高老师的语言幽默诙谐、富含哲理，从中也向我们展示了她作为一名教师所具有的阳光心态及良好的知识储备。

全国模范班主任，现任国家教育部《人民教育》杂志社管理室主任任小艾老师在《教师素质与班主任工作艺术》的报告中指出：促进教师专业成长的七个步骤：学会调查，学会反思，学会改变，学会创新，学会总结，学会读书，学会提升等。

任老师指出：为什么现在有些老师会崭露头角后没几年又会消声灭迹了呢？主要是没做到七个步骤中的后三个学会总结，学会读书，学会提升，她指出现代新型的班主任必须是三能型的能干、能写、能说。

报告给人启发，催人奋进。

两天的学习培训，让我的心灵一次次地被专家的演讲所深深地震撼着，专家的教育教学理念、人格力和独具匠心的班主任工作理念深深地印在我的心中。

聆听中，我深深地思索，细细地品味学习着。

学习是短暂的，但他带给我的思考却是无限的，在教育教学的路上，我将继续学习着、思索着、前进着千课万人班主任学习心得第2篇我有幸赶赴杭州参加千课万人全国小学语文学导课堂教学研讨观摩活动，能够在浙江大学华家池校区聆听大师的声音，能够有这么一个向大师面对面学习的机会，那可真是一道丰盛的精神大餐。

大师的每一堂课都是那么精彩，每一位专家的点评及报告都对我们有着极大的指引性，我的大脑在高速的运行着，虽然我不能够一字不漏的将那些营养记到我的本子上，可是我也在以我最高效的状态吸收着，感悟着。

近年，科学家们开始对不同的学习行为进行深入的研究，逐渐形成了一个跨学科研究领域——“学习科学”，力图帮助人们对学习行为建立更科学的理解，从而让学习更有效、更深入。

关于学习科学的理论已经有很多成熟的研究，但大部分停留在学术圈，在小学一线教学中应用不多。

以错题研究为例，分析学生学习中的错误，是一线教师的日常工作，相关论述亦不少，但从学习科学视角分析的论述却不多见。

因此笔者选取了下面这一案例，试图从学习科学的角度进行研究分析。

一、问题的提出：真的是因为粗心吗？如图1，相信我们在教学中都遇到过这样的错误，明明是“百分之十八”，学生偏偏写作“80%”，通常我们会将其归结为“粗心”，并认为“粗心”可能是学生不良的学习习惯导致的，也可能是学生数感不强导致的，还有可能是学生学习态度不端正导致的。

从学习科学的角度看，会怎样呢？学生是真的“粗心”吗？粗心的背后又隐藏着哪些我们不知道的学习科学原理呢？填空1.读写下面的百分数。

百分之十八写作图1二、问题的本质：我们真的了解大脑吗？在开始解读案例之前，请大家先花30秒的时间阅读一下图2中的文字，你能读懂吗？通过这个测试，我们想说明白什么问题呢？请大家再花1分钟好好研究一下这段文本，这是一段错漏百出的文本，“研究表明”写成了“研表究明”、“不一定”写成了“不定一”、“影响阅读”变成了“影阅响读”等，颠三倒四的文字，如果照着正常语序来读，是词不达意的，但我们在进行阅读的时候，却自行将它们组合成了有意义的文本，为什么会这样呢？图2——从学习科学的视角看学生的错题◇谭春兰研辑究专错析题分48事实上，阅读并非简单的“视觉捕获”，我们在阅读的时候，大脑会瞬间挤进来很多字，并且自动地把这些字组合起来，更改顺序，让这段文字变得很合理。

显然，我们的大脑拥有“自主权”，它根据以往的经验自行判断“研究表明”比“研表究明”更有意义，“不一定”比“不定一”更有意义。

当然，如果你用这段文字测试刚刚识字的小朋友(如果他能认全所有文字)，或许他只能逐字照念，因为在他的经验里，“研究表明”与“研表究明”的意义相差无几。

《四边形》评课稿《四边形》是人教版三年级上册第七单元《长方形和正方形》第一课时内容，属于“图形与几何”领域。

《四边形》这一教学内容是学生在一年级上册认识了了长方体、正方体、圆柱和球的实物和图形，以及一年级下册认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面图形的基础之上进行教学的。

在此基础上，本单元旨在让学生在主动的探究中，进一步认识图形的本质特征。

本课是让学生通过对比、辨析，加深对四边形内涵的认识，通过对四边形概念的肯定与否定的例证辨析，使学生对四边形的概念得以精确的理解和认识的强化，为后续教学中认识和辨析长方形、正方形、其他平面图形的特征奠定基础。

这就是这节课要让学生学习的内容。

现在，我就梁丹老师执教的《四边形》这节课，看看她是怎么让学生学习的，也谈谈我的看法。

1. 情境创设激兴趣。

梁老师从学生已有的生活经验出发，创设了猜图形游戏，找准教学起点，激发学生的学习兴趣，并为后续的通过分类认识四边形提供了丰富的图形素材。

这一点，非常符合我们主张对数学教学与生活经验的紧密联系观点完全一致。

2. 小组合作破难点。

探究新知是达成教学目标的重要环节，为了突出并突破教学重难点，梁老师采用的教学方式是小组合作。

显然，在识别四边形之后，概括出四边形的特征是本节课的重点和难点。

重点需要时间保障，梁丹老师给了25分钟的样子；难点是要以有效的策略突破的，我很开心，她设计了三个层次的教学，借以分散难点，引导学生学习。

第一个层次小组活动让学生从众多的图形中区分出四边形；第二个层次发现并概括出四边形的特征：有四条直的边和四个角；这样两个层次后学生对四边形有了一个初步的认识了，紧接着第三个层次，理解概念内涵，描述四边形概念，在对比、辨析中明确四边形的特点，随后通过对概念的肯定和否定例证辨析，使学生对四边形的概念得以比较精确的分化，强化了认知，既加深了对概念内涵的理解，也丰富了四边形外延的认识。

3. 联系生活辨本质为了帮助学生深刻认识四边形的本质特征，体现数学学习的应用价值，梁老师设计了：（1）找身边的四边形。

人民教育２００８．１８ＲＥＮＭＩＮＪＩＡＯＹＵ抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。

帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。

实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例———会举例，善于举例。

这应当被看成数学教师的一个基本功。

应当指明，就高度抽象的数学概念而言，举例并非一件易事。

以下就是笔者在南京大学执教时的一个亲身体验：由于函数是数学中最为重要的基本概念之一，因此，作为大学微积分学课程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。

结果发现：尽管当时的教学对象是文科学生，但大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”，即自变量、因变量和对应关系。

进而，笔者又要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难，因为在中学的全部学习过程中，他们已经接触到了各种各样的函数，教材中也已给出了这些函数的若干实例。

另外，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各种各样的函数，如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。

然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了一定的困难。

当时有一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系。

”“这能否被看成函数的实例？”笔者组织学生对此进行了简短讨论。

以下的“修正”很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前的水平上，函数所涉及的只是数量之间的关系。

然而，当教师提出以下问题后，大部分同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄之间并不存在必然的联系。

这就是说，当他２０岁时，他所消耗的食品可能是Ｘ吨，也完全可能是（Ｘ＋１）吨或（Ｘ－１）吨。

这种‘不确定性’是否与函数定义中所说的‘确定的对应关系’相矛盾？”由于笔者没有立即提供相应的解答，而是让学生自己去思考，因此，在这一堂课后就有不少同学反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了！”当然，这些学生所说的“原来是懂的”，其实并不是真懂；另外，就我们目前的论题而言，这也就十分清楚地表明：举例特别是举出适当的例子实非一件易事。

郑毓信《数学教师的“三项基本功”》报告实录推荐数学教师要有特殊的基本功：善于举例、善于提问、善于比较和优化一、“善于举例”与数学教学“举例”的两个涵义：1、如何为抽象的数学举出恰当实例？即例子要有可接受性：从常识中抽出经验，有良好的认知基础，这样才会自动作出反应。

典型性：为相应的抽象提供必要基础。

如“范例式教学”2、如何帮助学生由具体实例抽象出数学概念？（1）去情境：相关理论是变式理论。

范例与必要抽象要做好处理，这就是教学的艺术性。

教学中要处理形式与非形式关系，相互渗透，高度认识事物的复杂性。

（2）比较：通过变化与比较来帮助学生掌握概念的本质。

（单一性）（3）新认识；强调概念意象的多元性，从各方面来协调互补与思维灵活，互补性、整合性。

概念意象的多元性包括实例、反例与关系：（1）要运用肢体、肌肉、表情、手臂动作来表达（2）日常语言与数学语言，要鼓励学生用自己的语言来表达理解并也要维护数学意义（3）操作性认识与结构性认识互补概念教学的关键：生成、分析（与其他概念比较）、组织（形成系统）数学的基本活动：概念学习、问题的提出与解决有学校的活动经验与方法是一课一题，一题对多题，将题进行变化、拓展、延伸、以便让学生学到更多的知识。

小结：（1）、基本方法、基本技能要求变，求联。

思维要灵活，对变化的情况能做出恰当变化。

（2）、处理好非形式与形式的关系。

二、“善于提问”与数学教学“善于提问”目的就是让学生学会思维，实现双主体。

1、如何做到以生为主体、教师为主导？两所中学的成功做法：以问题为中心，双主体互动；问题引导教学法。

在这样的课堂中要对预设与生成做好处理，教师要做好预设，把要学的问题做为学生的问题并根据学生的问题与情况做出调整。

2、如何提升学生的数学思维？通过教师的提问，这种提问要有启发性，要有数学家的思维方式。

要帮助学生学会提问、学会数学思维。

关于波利亚定型问题与建议可参见波利亚的〈数学的发现〉〈数学与猜想〉“弄清问题”具体化分析：（1）要用实例来做做（2）会想到的特例组织讨论。

从三项基本功到数学教师的专业成长(一)作者：郑毓信来源：《广西教育·B版》2010年第02期作者简介：郑毓信，南京大学哲学系教授、博士生导师，现为中国自然辩证法研究会数学哲学专业委员会委员，国际数学教育大会(ICME-10)程序委员会委员，美国《数学讨论》杂志评论员，中英澳暑期哲学学院中方委员会委员，教育部人文社会科学重点研究基地山西大学科学技术哲学研究中心学术委员会委员，江苏省社会科学研究人员高级职务任职资格评审委员会成员，人民教育出版社21世纪义务教育小学数学新教材顾问，1992年起享受政府特殊津贴，并已被列入英国剑桥世界传记中心(IBC)编撰的《世界知识分子名人录》。

郑毓信的主要研究领域为数学哲学和数学教育。

除去数学与教育方面的一般性要求，数学教师还应具有自己的特殊技能，这就是“数学教师的三项基本功”：善于举例；善于提问；善于比较与优化。

除教学以外，这三者对于数学教师的专业成长也具有特别的重要性，以下就对此作出具体论述。

一、“善于举例”与数学教师的专业成长容易想到，举例对于数学教学的重要性正是由数学本身的性质所决定的。

具体地说，高度的抽象性正是数学最为基本的一个特性：“甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的抽象性……我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。

我们在学校中学的是抽象的乘法表一总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

”(亚历山大洛夫《数学——它的内容、方法和意义》，科学出版社，1958。

第一卷)从而，适当的举例就应被看成数学教学工作最为重要的一个方面，因为只有这样，我们才能为学生较好地去实现相应的数学抽象提供必要的基础。

应当指出，数学学习心理学的现代研究也为上述认识提供了直接论据：在大多数情况下，数学概念的心理对应物(心理表征)并非概念的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合体，在其中实例占据了十分重要的地位，特别是，后者正是个人情感与经验等进人数学之处，从而对于数学学习也就具有十分重要的作用。

《第四届山西省小学数学课堂教学观摩研讨会》学习报告和心得体会王鹏飞2010年3月29韩咀小学《第四届山西省小学数学课堂教学观摩研讨会》学习报告和心得体会王鹏飞一．介绍大会情况本人很荣幸地参加了这次《第四届山西省小学数学课堂教学观摩研讨会》，并亲耳聆听了全国著名教育专家郑毓信教授的专题报告，全国著名特级教师特级教师华应龙老师的观摩示范课和专题讲座，还有本次优质课评选活动中获一等奖的教师代表的观摩研讨课，真的是感受颇多，受益匪浅！这次大会是“以课题研究为引领，以课例研究为载体，以提高教师素质为重点，以促进学生发展为目标”这样的主题来展开的。

观摩研讨会在太原师范学院大礼堂召开，到会者是来省内的各级小学数学教研员，多数是来自和我一样的教育一线的小学数学老师。

二．报告内容（1）现把郑毓信先生的讲座《立足专业成长关注基本问题》的内容整理如下，本人只是根据会议记录进行了回忆与整理，其间有一些是本人听讲座后的一些理解，如有误还望老师们提出建议，以便修改。

目前教育界的“一个新热点”就是“教师专业成长问题”。

针对此热点，郑毓信教授作了精彩的报告。

郑教授从一个一线老师的普通心态（1.具有这方面的强烈要求。

2.同时又感到有很大的难度。

）开始谈起，提出了究竟什么是一线教师成长的有效途径？（前提：数学课改）首先郑教授对国内外的现状（从课改开始到了高潮，再到逐步“淡出”到现在的“课改再上路”）做了一个分析，提出了我们可以体会什么？（课改过程是曲折的），又抛出了“我们身在何处？课改后是离目标近了还是远了？”这样叫人深思的问题(导出课改的改革性与反复性这样的规律)。

再一次提出新的问题：1.什么是一线教师过去8年课改的启示或教训？2.作为一线教师如何才能掌握自己的命运，从而实现自己人生的价值，包括在教学工作中不断取得提高？就这两个问题他谈到了自己的一些体会：1.应当防止对于时髦潮流的盲目性。

2.防止各种简单问题从一个极端到了另外一个极端。