有理数讲义

《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常基础且重要的概念。

那什么是有理数呢？有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

比如说，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1；有限小数 025可以写成 1/4，07 可以写成 7/10；无限循环小数 0333 可以写成 1/3。

这里要注意的是，像圆周率π（约等于 314159）和自然常数 e（约等于 271828）这样的无限不循环小数就不是有理数，它们被称为无理数。

二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数三大类。

正有理数包括正整数和正分数。

正整数就是我们平常说的1、2、3、4、5……正分数则是大于 0 的分数，比如 1/2、3/4 等等。

零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。

负有理数包括负整数和负分数。

负整数是像－1、－2、－3 这样的数，负分数则是小于 0 的分数，比如－1/2、－3/4 等等。

我们可以用下面这个图来更直观地表示有理数的分类：（此处可以插入一个简单的分类图）三、有理数的性质1、有理数的运算性质有理数的加、减、乘、除运算都有明确的规则。

加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

2、有理数的大小比较在数轴上，右边的数总比左边的数大。

正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

四、有理数在生活中的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。

比如，在购物时，商品的价格就是有理数。

如果一件商品的价格是155 元，这就是一个有理数。

在计算路程和速度时，比如汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 25 小时，我们通过计算 60×25 ＝ 150 千米，这里的速度、时间和路程都是有理数。

有理数及其加减一. 教学内容：1. 有理数2. 数轴、相反数3. 绝对值二. 知识要点：1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

有理数的分类：有理数 有理数2. 数轴：（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。

（2）意义：任意有理数都可以用数轴上的点来表示；用数轴比较有理数的大小：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。

3. 绝对值定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值 两个正数比较大小，绝对值大的数大。

两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

绝对值的非负性：三. 考点分析1、有理数的有关概念是中考的一大热点，常以选择题、填空题的形式出现；2、利用数轴比较大小，相反数的概念，是近几年的中考热点，一般多是与绝对值等内容综合考查，常以选择题、填空题的形式出现；3、绝对值的中考考点有三个：求一个数或一个整式的绝对值；绝对值非负性的应用；比较有理数的大小。

中考命题时形式多样，既有填空题又有选择题，有时出现解答题。

【典例精析】例1、把下列各数填在相应的大括号里：－1，－，0，＋3.6，－17%，3.142，，－0.088，2008，－506 整数集合：{ …} 分数集合：{ …} ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩正整数0整数负整数正分数分数负分数{{0⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正整数正分数负整数负分数正有理数负有理数a 0≥39119负整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 正有理数集合：{ …}例2、在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来：－3，，0，1，＋4.5，－1.5，，例3、已知︱x －3︱＋︱4－y ︱＝0，求x ，y 的值。

例4、某检修小组乘汽车沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东为正，向西为负，某天从A 地出发，到收工时所走的路线 （单位：千米 ）如下：＋10，－5，＋4，－9，＋8，＋12，－8若汽车每千米耗油0.2升，问：（1）收工时检修组在A 地何处？（2）到收工时共耗油多少升？【模拟试题】一、填空题（每题4分，共32分）1. 把下列各数分别填入相应的括号内：＋3，－5，＋1／2，－0.09，０，－70，3.36，－7/8正分数（ ） 负分数（ ）负整数（ ） 整数（ ）正有理数（ ）2. 用“＞”、、“＜”或“＝”填空： （１）－1／2（ ）－1／3 （2）－（－3）（ ）︱－3︱ （3）0（ ）－（＋5）3. 数轴上距原点距离是4个单位的点表示的数是（ ）4. 绝对值不大于3的整数有（ ）个，它们的和是（ ）5. 绝对值最小的有理数是（ ），最大的负整数是（ ）﹡6. 若｜x －6｜＋｜y －2｜＝0，则x/y ＝（ ）﹡7. 若m ≥0，则｜m ｜＝（ ），若m ≤0，则m ＝（ ）8. 已知一个数的相反数是－2.5的倒数的绝对值，则这个数是（ ）二、选择题（每题4分，共24分）9. 一个有理数的绝对值是（ ）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数10. 下面结论中错误的是（ ）A. ０是整数但不是正数B. 正分数都是正有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 有理数中除了正数就是负数11. 下列两数中互为相反数的是（ ）23 113A. 4和1／4B. －0.3和1／3C. －（－6）和－︱－6︱D. 5和︱－5︱12. 在数轴上，在表示数－3.5与2.5的两点之间，表示整数的点的个数是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3﹡13. ＝1，则m 是（ ）A. 正数或负数B. 正数C. 有理数D. 正整数﹡14. 已知 ｜－x ｜＝20，｜y ｜＝5，则｜x ｜＋y 的值是（ ）A. 15B. 25C. –15或－2 5D. 15或25三 解答题（共44分）15. （6分）比较下列各组数的大小（1）－5与－6 （2）｜－3.1｜与｜2.9｜ （3）0与｜－3｜16. （8分）已知x ，y 是有理数，且满足｜x ＋4｜＋｜1－y ｜＝0 求x ＋y 的值。

《有理数的加法与减法》讲义一、有理数的概念在我们的数学世界里，有理数是一个非常重要的概念。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零以及正分数和负分数。

比如说，5 是有理数，因为它可以写成 5/1；－3 也是有理数，可以写成－3/1；05 同样是有理数，它能写成 1/2 。

理解有理数的概念，对于我们学习有理数的加法和减法至关重要。

二、有理数的加法（一）同号两数相加1、两个正数相加当两个正数相加时，结果为正数，数值是这两个正数的数值之和。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8因为 3 和 5 都是正数，它们代表的是在数轴上向右移动的距离，所以相加的结果就是向右移动的总距离，也就是 8 。

2、两个负数相加当两个负数相加时，结果为负数，数值是这两个负数的绝对值之和的相反数。

例如：－3 ＋（－5) ＝－8－3 和－5 都是负数，它们代表的是在数轴上向左移动的距离，所以相加的结果就是向左移动的总距离，也就是－8 。

（二）异号两数相加1、正数加负数正数加负数的结果，取决于这两个数的绝对值大小。

如果正数的绝对值大于负数的绝对值，那么结果为正数，数值是正数的绝对值减去负数的绝对值。

例如：5 ＋（－3) ＝ 2因为 5 的绝对值大于－3 的绝对值，所以结果是正数，数值是 5 的绝对值 5 减去－3 的绝对值 3 ，即 2 。

如果正数的绝对值小于负数的绝对值，那么结果为负数，数值是负数的绝对值减去正数的绝对值。

例如：3 ＋（－5) ＝－2因为 3 的绝对值小于－5 的绝对值，所以结果是负数，数值是－5 的绝对值 5 减去 3 的绝对值 3 ，即－2 。

2、互为相反数的两个数相加互为相反数的两个数相加，结果为 0 。

例如：3 ＋（－3) ＝ 0因为 3 和－3 互为相反数，它们在数轴上到原点的距离相等，但方向相反，所以相加的结果就是 0 。

（三）一个数同 0 相加任何数同 0 相加，仍得这个数。

例如：0 ＋ 5 ＝ 5 ， 0 ＋（－3) ＝－3三、有理数的加法运算律（一）加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变。

《有理数比较大小》讲义一、有理数的基本概念在数学的世界里，有理数是一个重要的概念。

有理数包括整数和分数，整数可以看作是分母为 1 的分数。

例如，5 可以写成 5/1。

有理数可以用数轴来表示，数轴上的点与有理数一一对应。

在数轴上，越往右的数越大，越往左的数越小。

二、正数和负数正数是大于 0 的数，负数是小于 0 的数。

0 既不是正数，也不是负数。

正数通常前面没有符号，或者前面有“＋”号，例如 5 或者+5。

负数前面一定有“”号，例如－3。

三、有理数比较大小的方法1、借助数轴比较在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例如，在数轴上表示－2 和 3，我们可以清晰地看到 3 在－2 的右边，所以 3 ＞－2 。

2、直接比较正数、负数和 0正数都大于 0，负数都小于 0 。

例如，7 是正数，所以 7 ＞ 0 ；－5 是负数，所以－5 ＜ 0 。

3、两个正数比较大小两个正数比较大小，数值大的数大。

比如 8 和 5 ，因为 8 的数值大于 5 的数值，所以 8 ＞ 5 。

4、两个负数比较大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

先求出负数的绝对值，绝对值大的那个负数反而小。

例如，比较－7 和－5 。

｜－7| ＝ 7 ，｜－5| ＝ 5 。

因为 7 ＞ 5 ，所以－7 ＜－5 。

四、比较大小的实际应用在日常生活中，有理数比较大小有着广泛的应用。

比如，在温度计上，我们可以通过比较温度的有理数大小来判断天气的冷热。

如果今天的温度是－5℃，明天的温度是－2℃，那么明天比今天暖和，因为－2 ＞－5 。

再比如，在财务方面，盈利为正，亏损为负。

如果一家公司这个月盈利 1000 元记作＋1000 元，上个月亏损 500 元记作－500 元，那么很明显这个月的财务状况比上个月好，因为＋1000 ＞－500 。

五、练习题为了更好地掌握有理数比较大小的方法，我们来做一些练习题。

1、比较－3 和－5 的大小。

｜－3| ＝ 3 ，｜－5| ＝ 5 ，因为 3 ＜ 5 ，所以－3 ＞－5 。

第一章有理数知识点提要1.1正数和负数●0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数，其余叫做正数。

●数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

●在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

注意事项：比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

例题【考题1－1】|－22|的值是（）A．－2 B.2 C．4 D．－4解C 点拨：由于－22=－4，而|－4|=4．故选C．【考题1－2】在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：□○□=－6；□○□=－6．⊕ = －6点拨：此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符合题目要求即可．【考题1－3】自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉人“陷井”的这个固定不变的数R=_________解：13 点拨：可任意举一个自然数去试验，如 15，(1+5）×3+1=19，（1+9）×3+1=31，(3+1）×3+1=13(1+3）×3+1=13，……．【考题1－4】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：解：（1）如图1－2－1所示：（2）300－（－200）=500（m ）；或|－200－300 |=500（m ）；或 300+|200|=500（m ）．答：青少宫与商场之间的距离是 500m 。

第1讲有理数教学目标1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；3、掌握有理数的大小比较；4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。

正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

小专一：正数和负数【要点回顾】为什么会出现负数？根据现实生活的需要，产生了正数和负数，规定一种意义的量为正，把另一种与它意义相反的量规定为负。

一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出、零上温度等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于、零下温度等规定为负的。

正数和负数的定义是什么？（要会判别正负数）像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数（有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号）；像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上一个“-”（读作负）号的数叫做负数。

零有点特别哦！零既不是正数，也不是负数，比正数小，比负数大！默默提示：正数，0，负数前带“十”号，结果分别是正数，0，负数；正数，0，负数前带“-”号，结果分别是负数，0，正数。

用正负数表示具有相反意义的量。

相反意义的量包含两层意思：一是“相反意义”，即意义相反（意义相反的量必须是成对出现的，是同类的量比如支出与收入，向东与向西等，二是“量”，具有一定的量。

【题型展示】1．下列不是具有相反意义的量是（）A．前进5米和后退5米 B．节约3吨和消费10吨C．身高增加2厘米和体重减少2千克 D．超过5克和不足2克2．下列说法不正确的是（）(概念理解）A．0不是正数也不是负数 B.负数是带“—”的数，正数是带有“+”的数C.非负数是正数或0D.0是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”3．（05年宜昌市中考·课改卷）如果收入15•元记作+15•元，•那么支出20•元记作元。

（用正负数表示相反意义的量）4.如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160 个零件记作个，2月生产200个零件记作个。

5.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？（4到5是正负数在生活中的应用。

第一讲：有理数【概念精讲】1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做 ；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做 ；（3） 即不是正数也不是负数。

2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素： 。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

0的相反数是 ，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离 。

5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的 。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 。

【例题祥解】1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，－590，87正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝；负整数集｛ …｝；自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝；负分数集｛ …｝；2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）3．在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。

4，－|－2|， －4.5， 1， 04.下列语句中正确的是（ ）Ａ.数轴上的点只能表示整数 Ｂ.数轴上的点只能表示分数Ｃ.数轴上的点只能表示有理数 Ｄ.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来5. －5的相反数是 ；－（－8）的相反数是 ；－ =0的相反数是 ； a 的相反数是 ；6. 若a 和b 是互为相反数，则a+b= 。

有理数1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算模块一 正负数与有理数的分类1. 对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。

2. 相反意义的两个量是相互的，也是相对的。

3. 掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类☞有理数的分类【例1】 下列说法：①0是整数；②负分数一定是负有理数；③一个数不是整数就是负数；④π-为有理数；⑤最大的负有理数是1-，正确的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类 【答案】①②【巩固】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类 【答案】②④⑤模块二 数轴、相反数、倒数1. 数形结合思想是一种重要的数学思想。

数轴就是数形结合的工具。

2. 数轴是条直线，可以向两方无限延伸。

3. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。

4. 所有有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数5. 相反数是成对出现的，不能单独存在。

相反数和为零。

☞数轴例题精讲重难点【例2】 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹盖住的整数共有几个【难度】1星【解析】考察数轴的有关概念【答案】如图，盖住数中的整数有4-、3-、2-、2、3、4，共有6个【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm ，若在数轴上任意画出一条长2006cm 的线段，则线段盖住的整数点共有 个【难度】2星【解析】考察数轴的有关概念 【答案】2006或2007☞相反数与倒数【例3】 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =±，求2a b x cdx ++-的值 【难度】3星【解析】考察相反数与倒数的有关概念 【答案】解：由相反数、倒数的定义可得 0a b +=，1cd =则当1x =时，原式=01110+-⨯= 当1x =-时，原式=20(1)1(1)2+--⨯-=【巩固】已知a 和b 互为相反数，m 和n 互为倒数，(2)c =-+，求22mna b c++的值 【难度】3星【解析】考察相反数与倒数有关概念 【答案】解：由相反数和倒数的定义可得 0a b +=，1mn =∵(2)c =-+ ∴原式112()022mn a b c =++=+=--【巩固】已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，a 和b ()a b <并且A 、B 两点间的距离是144,求a 、b 【难度】3星【解析】考察相反数有关概念【答案】解：∵a 、b 两数互为相反数 ∴0a b += ∴a b =-∵A 、B 两点间距离有144b a -= ∴1()44b b --=∴178b =，178a =-模块三 有理数的运算1. 在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。