(完整版)讲义_有理数的基本概念及分类

有理数知识点总结归纳【有理数知识点总结归纳】有理数是指可以表示为两个整数比例的数，包括整数、分数和小数。

它们在数学中起着重要的作用，广泛应用于各个领域。

本文将对有理数的概念、性质和运算规则进行总结归纳。

一、有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数比例的数，包括整数、分数和小数。

有理数可以用数轴上的点表示，且可以有正负。

例如，-3，2/3，0，7都属于有理数。

二、有理数的分类根据有理数的大小关系，可以将有理数分为正数、负数和零三类。

1. 正数：大于零的有理数为正数，用正号或不加符号表示。

2. 负数：小于零的有理数为负数，用负号表示。

3. 零：表示没有数量或度量的数，用零表示。

三、有理数的性质有理数具有以下性质：1. 封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法运算结果仍然是有理数。

2. 有序性：有理数可以按照大小顺序排列。

3. 密度性：在任意两个不相等的有理数之间，存在无穷多个有理数。

四、有理数的运算规则1. 加法：有理数加法满足交换律和结合律，即(a + b) + c = a + (b +c)，a + b = b + a。

2. 减法：减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。

3. 乘法：有理数乘法满足交换律和结合律，即(a * b) * c = a * (b * c)，a *b = b * a。

4. 除法：除法可以转化为乘法运算，即a ÷ b = a * (1/b)。

五、有理数的应用有理数在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。

以下是几个典型的例子：1. 金融领域：有理数用于货币计算、利率比较等。

2. 科学领域：有理数用于物理学中的测量数据、化学计算等。

3. 统计学：有理数用于数据分析和样本推断。

4. 几何学：有理数用于直线、角度和面积的计算。

六、有理数的拓展有理数的补充为无理数，它们不能表示为两个整数比例的数。

例如，根号2，圆周率π都是无理数。

有理数和无理数统称为实数。

七、有理数的重要性有理数是数学研究的基础，它们在各个学科和实际应用中都起着重要的作用。

第02讲有理数的概念及分类1、有理数的分类整数和负数统称为有理数。

分类如下：(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类：　要点诠释：(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．2、含“非”的有理数正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数．一、题型一、有理数的概念及分类例1.有理数的分类：(1)有理数按照定义分类：(2)有理数按照符号分类；【答案】【答案】；例2.因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是_______．【答案】【答案】有理数例3.正分数和负分数统称为______．【答案】【答案】分数例4.各数中，哪些数是整数，但是不是正数？哪些数是分数，但不是负数？2,1 3,0,-7,0.24,-0.3,-29________是整数，但是不是正数；_______是分数，但不是负数【答案】【答案】0,-7；13,0.24例5.下列语句中正确的有 ()①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③自然数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了正数就是负数．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类及相关概念可直接进行排除选项．【详解】解：①所有整数都是正数，错误，比如-1；②所有正数都是整数，错误，比如0.5；③自然数都是正数，错误，比如0；④分数是有理数，正确；⑤在有理数中除了正数就是负数，错误，还有零；∴正确的有一个；故选A．例6.下列说法正确的是()A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0是最小的有理数D.整数和分数统称有理数【答案】【答案】D【分析】整数包括正整数、负整数、零；不是正数，有可能是负数和零，零既不是正数，也不是负数；有理数可这样分，正数、零、负数；有理数的概念：整数和分数统称为有理数【详解】A.负整数和0就不是正数，显然A 错误；B.不是正数，有可能是零，所以B 错误；C.负有理数比零小，错误；D.正确，故选D .例7.把下列各数填入相应的集合里：+5，-12，4.2，0，-5.37，37，-3．(1)自然数集合：{ ⋯}；(2)整数集合：{ ⋯}；(3)分数集合：{ ⋯}；(4)负有理数集合：{　　⋯}．【答案】【答案】(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．【分析】根据正有理数、负分数、整数、自然数的定义即可得到结果．【详解】解：(1)自然数集合：{+5，0⋯}；(2)整数集合：{+5，0，-3⋯}．(3)分数集合：-12，4.2，-5.37，37⋯ ；(4)负有理数集合：-12，-5.37，-3⋯ ．故答案为：(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．题型二、带“非”字有理数例8.“正数和0”统称为_______；“负数和0”统称为_______．“正整数和0”统称为________；“负整数和0”统称为_________．【答案】【答案】非负数非正数非负整数非正整数例9.下列说法中：①0是最小的的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2是有理数；⑥平方等于它本身的数有±1；⑦无限小数都不是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为()A.7个B.6个C.5个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类，依此即可作出判断．【详解】解：①没有最小的整数，故①错误；②有理数包括正数、0和负数，故②错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故③错误；④非负数就是正数和0，故④错误；⑤-π2是无理数，故⑤错误；⑥平方等于它本身的数有1和0；故⑥错误；⑦无限循环小数是有理数，故⑦错误；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧正确的．故其中错误的说法的个数为7个．故选：A ．例10.下列说法中：①有理数不是正数就是负数；②正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；③非负数就是正数和0；④π6不仅是分数，而且还是有理数；⑤无限小数不一定是有理数；⑥259是无限不循环小数，所以不是有理数．其中正确的说法的个数为()A.4个 B.3个C.2个D.1个【答案】【答案】C【分析】对于①，有理数包括正有理数、零和负有理数，据此来判断即可．对于②，整数和分数统称有理数，据此判断即可．对于③，非负数包括正数和0，据此判断即可．对于④，π是无理数，据此判断即可．对于⑤，有限小数或无限循环小数是有理数，据此判断即可．对于⑥，整数和分数统称有理数，据此判断即可．【详解】解：有理数包括正有理数，0，负有理数，∴①不正确又∵整数和分数统称有理数，∴②不正确．又∵非负数就是正数和0，∴③正确．又∵π是无理数，∴④不正确又∵有限小数或无限循环小数是有理数，∴⑤正确．又∵整数和分数统称有理数，∴⑥不正确．∴综上，③⑤正确．故选C例11.已知下列各数-8，2.1，19，3，0，-2.5，10，-1中，其中非负数的个数是()A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】【答案】D【分析】非负数包括正数和0，选出即可．【详解】解：非负数有2.1，19，3，0，10，共5个，故选：D ．例12.下面说法中正确的有()A.非负数一定是正数B.有最小的正整数，有最小的正有理数C.0既不是整数，也不是负数D.正整数和正分数统称正有理数【答案】【答案】D【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】解：A .非负数包括正数和0，故本选项错误；B .有最小的正整数，没有最小的正有理数，故本选项错误；D .0既不是正数，也不是负数，但是整数，故本选项错误；D .正整数和正分数统称正有理数，正确；故选D ．例13.绝对值不大于3.14的非负整数有_______【答案】【答案】0，1，2，3．【分析】绝对值不大于3.14，取值范围是≥-3.14且≤3.14，非负整数包括0和正整数，从同时符合两个取值条件的数中分析得出答案．【详解】解：∵绝对值不大于3.14，用a 表示取值范围为a ≤3.14，即-3.14≤a ≤3.14，∵a 是非负整数，则符合条件的数是：0、1、2、3．故答案为：0，1，2，3．例14.把下列各数填在相应的大括号内：+3,-58,0,6.21,100,-1,|-4|,0.010010001,-(+1.2),17%正数集合{⋯}整数集合{⋯}负分数集合{⋯}非负有理数{⋯}．【答案】【答案】见解析【分析】按照有理数的分类以及意义直接填空即可．【详解】解：|-4|=4，-(+1.2)=-1.2，正数集合{+3,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}整数集合{+3,0,100,-1,|-4|，...}负分数集合-58,-(+1.2)，...非负有理数{+3,0,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}1._____和______统称为有理数．【答案】【答案】整数分数2.(1)整数包括_________、_________、_________．(2)零_____整数，但零_____正整数，也______负整数．【答案】【答案】正整数负整数零是不是不是3.下列说法错误的是()A.最小自然数是0B.最大的负整数是-1C.没有最小的负数D.最小的整数是0【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：A 、0是最小的自然数，故A 说法正确，不符合题意B 、-1是最大的负整数，故B 说法正确，不符合题意；C 、没有最小的负数，故C 说法正确，不符合题意D 、没有最小的整数，故D 说法错误，符合题意；故选：D ．4.在下列各数中，负分数有()-1，-3.141559，2，-13，13，0，12，-5%，34A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】C【分析】根据负分数的意义，可得答案．【详解】解：负分数有：-3.141559，-13，-5%，共3个，故选：C ．5.下列说法正确的是()A.正数和负数统称为有理数B.正整数包括自然数和零C.零是最小的整数D.非负数包括零和正数【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类进行选择．【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；D、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D．6.把下面的数填入它所属于的集合的大括号内(填序号)①-5.3，②+5，③20%，④0，⑤-27，⑥-7，⑦-∣-3∣，⑧-(-1.8)正数集合{}整数集合{}分数集合{}有理数集合{}【答案】【答案】见解析【分析】根据有理数的分类填空．【详解】解：-|-3|=-3，-(-1.8)=1.8．正数集合{②③⑧}整数集合{②④⑥⑦}分数集合{①③⑤⑧}有理数集合{①②③④⑤⑥⑦⑧}．7.把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3①正数集合：{___________________________________⋯}②负数集合：{___________________________________⋯}③整数集合：{___________________________________⋯}④非正数集合：{_________________________________⋯}⑤非负整数集合：{_______________________________⋯}⑥有理数集合：{_________________________________⋯}【答案】①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}；②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}；③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}；④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}；⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}；⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}【分析】根据有理数的分类即可得出答案．【详解】解：①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}。

第一讲 有理数的基本概念【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【知识梳理】知识点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等 0的数，叫做 ；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做 ．0既不是 ，又不是 。

知识点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：注：⑴正数和零统称为 ；⑵负数和零统称为 ；⑶正整数和零统称为 ；⑷负整数和零统称为 .【例1】下列说法正确的是（ ）A ．a -一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．0-是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数【例2】（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .（2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .（3）某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .（4）向南走200-米，表示 .【例3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例4】检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5与标准质量的差（克） 4+ 7+ 3- 8- 9+最接近标准质量的是_______号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【例5】下面说法中正确的是( )．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．a -一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【例6】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？﹣4.5，6，0，2.4，π，，﹣0.313，3.14，﹣11负 数：（ …）； 非 正 数：（ …）； 正分数：（ …）； 非负有理数：（ …）【例7】（1）在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．（2）①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．一、选择题：1、下列各数中是负整数的是( )A 、2-B 、5C 、12 D 、25-2、在12，π，4，123，0，0.3-&中，表示有理数的有( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、下列各数：74-，1.010010001，833，0，π-， 2.626626662-⋯，0.12&&，其中有理数的个数是()A 、3B 、4C 、5D 、64、如果＋20%表示增加20%,那么-6%表示( )A 、增加14%B 、增加6%C 、减少6%D 、减少26%5、下列判断正确的是( )①＋a 一定不为0；②－a 一定不为0；③a ＞0；④a ＜0A 、①②B 、③④C 、①②③④D 、都不正确6、观察下列一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,则第100个数是( )A 、100B 、－100C 、101D 、－1017、在-，π，0，14，-5，0.333…六个数中,整数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、48、－0.5不属于( )A 、负数B 、分数C 、整数D 、有理数9、在下列集合中,分类正确的是( )A 、正数集合B 、非负数集合C 、分数集合D 、整数集合10、在有理数中,不存在这样的数( )A 、既是整数,又是负数B 、既不是整数,也不是负数C 、既是正数,又是负数D 、既是分数,又是负数11、在－3，－121，0，－73，2002各数中，是正数的有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个12、下列既不是正数又不是负数的是（ ）A 、－1B 、＋3C 、0.12D 、013、飞机上升－30米，实际上就是（ ）A 、上升30米B 、下降30米C 、下降－30米D 、先上升30米，再下降30米14、下列说法正确的是（ ）A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

在初中数学的学习中，有理数占据着基础且关键的地位。

接下来，我们将对有理数的知识点、考点和难点进行详细的总结归纳。

一、有理数的定义和分类有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

按照符号分类，有理数可以分为正有理数、零和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

需要注意的是，零既不是正数也不是负数，但它是有理数。

二、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，反过来，数轴上的点也都对应着一个有理数。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

利用数轴可以比较有理数的大小，也可以进行有理数的加减运算。

三、有理数的相反数只有符号不同的两个数互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。

零的相反数是零。

互为相反数的两个数之和为零。

四、有理数的绝对值绝对值的定义是：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

例如，｜5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，｜0| ＝ 0。

绝对值具有非负性，即任何有理数的绝对值总是大于或等于零。

五、有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小，因为｜－5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，5 ＞ 3，所以－5 ＜－3。

六、有理数的加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同零相加，仍得这个数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2，0 ＋ 5 ＝ 5。

七、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

初一数学第一章有理数01有理数基本概念 辅导讲义导 航：有理数的基本概念考点1．负数（1）用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后…） （2）定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4)-） （3）a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题：例1、设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，-5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。

例2、收入-2000元，表示 。

【中考链接】1、甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作______，乙厂减产1.2%,可记作________.2、已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是________.3、下列说法错误的是 ( ) A 、零是非负数 B 、零是整数 C 、零的相反数是零 D 、零的倒数是零4、自行车车轮向顺时针方向旋转200圈记做+200圈, 那么向逆时针方向旋转150圈应记做________.5、下表记录了某星期内股市的升跌情况,阅读并完成下表.考点2．有理数 （1）定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。

()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。

()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。

40.3,0.31,......5∙∙⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化，所以这类小数也称为分数。

【注】π，以及π的倍数都不是分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类A 、按有理数的定义分类B 、按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数（3）习惯上将―正有理数和零‖称作非负有理数（即非负数） （4）应理解下面常用的一些数字语言和符号。

一．正数和负数具有相反意义的量，一个规定为____数，另一个就是_____数。

在一个数前加一个_____（也可以不加）,这个数叫_______；在一个数前加一个______，这个数叫________。

★0既不是_______，也不是________写出一些正负数：正数__________________________负数______________________二、有理数的概念（一）有理数的定义与分类（1）整数和分数统称为有理数。

目前学过的数，除了______________________________外，都是有理数。

①无限不循环小数的类型1：:π和包含π的算式，例如：3π，π+2②无限不循环小数的类型2：2.010010001……，0.415115111511115……1.有理数的分类：第一种分法：先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”的属性分，第二种分法：先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”的属性分，想一想：①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？2.把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

例如：①所有正数组成的集合，叫做正数集合； ②所有负数组成的集合叫做负数集合；还记得吗？完成下面知识点的问题：初中数学基础知识讲义—有理数③所有整数组成的集合叫整数集合； ④所有分数组成的集合叫分数集合；⑤所有有理数组成的集合叫有理数集合； ⑥所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

⑦非正数， ⑧非负数， ⑨非正整数， ⑩非负整数（2）数轴1.____________________________________________叫数轴。

★数轴的方向通常习惯指向_________方或上方。

2.整数与数轴（1）任何一个整数都可以用________表示。

① 0用_______表示。

有理数知识点总结归纳有理数是数学中的一种数形式，包括整数、分数和小数。

它们都可以用有限或无限循环的十进制表示。

有理数的概念在数学中具有重要的地位，是许多数学分支的基础知识。

本文将对有理数的基本概念、性质和运算法则进行归纳总结。

一、有理数的基本概念有理数是可以表示为两个整数比值的数。

其中，整数包括正整数、负整数和零，分数是两个整数的比值。

有理数可以用分数形式表示，如2/3，也可以用小数形式表示，如0.5。

有理数的表示形式不唯一，但它们都具有有限或无限循环的十进制表示。

二、有理数的性质1. 有理数可以进行加、减、乘、除四则运算，并且运算结果仍然是有理数。

2. 有理数可以进行比较。

对于任意两个不相等的有理数a和b，恒有a>b或a<b。

3. 有理数具有传递性和相等性。

即若a>b，b>c，则a>c；若a=b，b=c，则a=c。

4. 有理数加法满足交换律、结合律和分配律。

三、有理数的运算法则1. 加法和减法：对于两个有理数a/b和c/d，可以先找到它们的公共分母，然后按照相同的分母进行加法或减法运算即可。

2. 乘法：对于两个有理数a/b和c/d，将其分数形式相乘，然后约分得到最简形式。

3. 除法：对于两个有理数a/b和c/d，将其分数形式相除，然后约分得到最简形式。

4. 幂运算：对于有理数a/b的m次幂，将a的m次幂除以b的m次幂，然后根据幂的正负性确定结果的正负性。

四、有理数的应用有理数在实际生活中有很多应用，比如表示温度、长度、重量等。

在科学研究、经济金融、数学建模等领域中，有理数的运算和性质也具有很大的应用价值。

总结：有理数是数学中的一种重要形式，包括整数、分数和小数。

它们可以用有限或无限循环的十进制表示，并且符合相应的运算法则。

有理数的应用广泛，具有重要的实际价值。

通过本文的归纳总结，我们对有理数的概念、性质和运算法则有了更深刻的理解。

《认识有理数》讲义一、什么是有理数在数学的世界里，有理数是一个非常重要的概念。

有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。

比如说，我们常见的整数，像－3、0、5 等，它们可以看作是分母为 1 的分数，所以也是有理数。

还有分数，比如 1/2、－3/4 等，显然也是有理数。

那为什么要研究有理数呢？因为有理数能够帮助我们更精确地描述和计算生活中的很多数量关系。

二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数。

正整数很好理解，就是大于 0 的整数，像1、2、3 等等。

正分数呢，就是大于0 的分数，比如3/5、7/8 。

零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。

负有理数包括负整数和负分数。

负整数就是小于0 的整数，像－1、－2、－3 。

负分数就是小于 0 的分数，比如－1/2、－5/6 。

这种分类方式能够让我们更清晰地理解有理数的性质和特点。

三、有理数的表示方法有理数通常用分数或者小数的形式来表示。

当用分数表示时，分子和分母都是整数，且分母不为 0 。

而用小数表示时，有理数可以分为有限小数和无限循环小数。

有限小数，就是小数部分的位数是有限的，比如 025 、 314 。

无限循环小数，就是小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，比如 0333 、 1666 。

四、有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得 0 。

例如， 3 ＋ 5 ＝ 8 ，－3 ＋（－5) ＝－8 ， 3 ＋（－5) ＝－2 。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

比如， 5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 ， 5 （－3) ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8 。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与 0 相乘都得 0 。

有理数知识点总结有理数知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。

它们常常出现在我们日常生活和学习中的各种问题中。

理解和掌握有理数的相关知识点，对于提高我们的数学水平和解决实际问题至关重要。

本文将对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用等方面的知识进行总结和讨论。

一、有理数的基本概念1. 整数和分数：整数包括正整数、零和负整数；分数由分子和分母组成，分子表示几份，分母表示一份被分成几等份。

2. 有理数的定义：有理数指可以表示为两个整数的比值形式的数，分数和整数都是有理数。

3. 有理数的分类：有理数可分为正有理数、零和负有理数。

二、有理数的性质1. 有理数的比较性质：对于任意两个有理数a和b，存在以下关系：a=b，a>b或者a<b。

2. 有理数的相反数：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，满足a+（-a）=0。

3. 有理数的绝对值：对于任意有理数a，其绝对值|a|定义为以下两种情况之一：如果a>0，则|a|=a；如果a≤0，则|a|=-a。

4. 有理数的倒数：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，满足a×（1/a）=1。

三、有理数的四则运算1. 有理数的加法：a+b的和可以表示为a和b的数轴上的位置关系；对于有理数相加，可以根据同号相加、异号相减的原则进行计算。

2. 有理数的减法：a-b的差可以表示为a和-b的和，可以化为加法问题进行计算。

3. 有理数的乘法：a×b的积可以根据同号得正、异号得负的原则进行计算。

4. 有理数的除法：a÷b的商可以表示为a和b的倒数的乘积，除法问题可以转化为乘法问题进行计算。

四、有理数的化简1. 有理数的约分：对于分数的分母和分子，如果它们有公约数，则可以约分。

2. 有理数的换算：将分数和整数进行相互转换，可以将分数化为整数或将整数化为分数。

3. 有理数的化简：对于复杂的有理数表达式，可以进行括号展开、合并同类项、提取公因数等化简操作。

第1讲 与有理数有关的概念（教师讲义）一、教学目标1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.二、例子【例1】写出下列各语句表示的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．【变式题组】1．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%2．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：按整数、分数分、按正负性分类有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数， 有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______02．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c |c |的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.a解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值三、练习01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个03．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b04．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和305．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数06．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b |③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③07．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b8.零是（ ） A 、正有理数 B 、正数 C 、非正数 D 、有理数9.下列说法不正确的是（ ） A 、 0小于所有正数 B 、0大于所有负数C 、0既不是正数也不是负数D 、0没有绝对值10.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是( )A.正数B.负数C.非正数D.非负数11.下列说法正确的是( )A.-a 一定是负数;B.│a │一定是正数;C.│a │一定不是负数;D.-│a │一定是负数12.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1-1所示,那么下列式子中成立的是( )A.a>bB.a<bC.ab>0D.0a b 13.下列说法正确的是( )A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0不是最小的有理数D.正有理数包括整数和分数14．一个数在数轴上的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则该数是____.15.－5的相反数是 ，－5的倒数是 ，－10的绝对值是 ；16.比较大小：0 －0.01，2334 - ⎽⎽⎽⎽⎽⎽-；－[－（－0.3）]_______－∣－31∣ 17.简化符号：1(71)2--= ，8--= ；18.最大的负整数是 ;绝对值最小的有理数是 ；最小的自然数是______19.数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数是 .20.若│a │=5,则a= .21.绝对值小于3的所有的负整数是 ；它们的和为_________22. -3.5的倒数数是 。

第1讲：对数的认识的发展【引言】一般地说，人们对“数”的认识是随着对“量”的认识发展而发展的。

人们对数的认识的发展体现了实践与认识的辩证关系。

“数表示量”是数的发展的线索。

我们即将所学的数与前面所学的数相比，它可以表示相反意义的量。

【回顾】小学所学的各类数。

【实例】足球比赛中的净胜球问题；某天的气温表示问题；金属零件的误差范围问题；某企业的收入支出问题等。

一、有理数的概念的引入1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带“+”号的数叫做正数。

为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

思考与注意：(1)正数还有没有其他的定义方式？(2)正数前面的正号是否可以省略不写，即一个数前面有或没有正号是否影响该数的大小？(3)思考正号与加号之间的区别与联系。

2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。

而负数前面的“－”号不能省略。

思考与注意：(1)负数还有没有其他的定义方式？(2)负数前面的负号能不能省略不写？即一个不等于零的数前面的负号是否影响了这个数的大小？(3)思考负数与减号之间的区别与联系。

3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

注意：零的归属：零与正数统称为非负数，零与负数统称为非正数。

思考：(1)零还有哪些角色？(3)零前面的符号是否影响它的大小？4、思考与拓展(1)判断一个数是正数还是负数，是否只看前面有没有正号或负号？答：(2)正数与负数表示相反意义的量，它们因生活生产中的需要产生的，你能举出生活中用正数和负数表示的相反意义的量吗？答：5、有理数的概念：整数与分数统称为有理数。

注意：(1)此时的整数包括：正整数，0，负整数；分数包括：正分数与负分数。

(2)“统称”的含义为：任何整数与分数都是有理数，任何有理数要么是整数，要么是分数。

(3)正数中不仅含有正有理数，还含有其他的正数，负数类似。

例题1：（1）―10表示支出10元，那么+50表示 ；（2）如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；（3）如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；（4）太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。

《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常重要的概念。

那什么是有理数呢？有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

整数很好理解，像 0、1、－1、2、－2 等等这样的数就是整数。

而分数呢，则是把一个整体平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。

比如说 1/2、3/4 等等。

需要注意的是，有限小数和无限循环小数也都可以化为分数，所以它们也属于有理数。

二、有理数的分类有理数可以按照不同的标准进行分类。

第一种分类方法是按照符号来分，可以分为正有理数、0 和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，比如 3、5/7 都是正有理数。

负有理数包括负整数和负分数，像－2、－3/5 就属于负有理数。

0 既不是正数也不是负数，但它是有理数。

第二种分类方法是按照整数和分数来分，分为整数和分数。

整数包括正整数、0 和负整数。

分数包括正分数和负分数。

三、有理数的性质有理数具有一些独特的性质。

首先，有理数的加减乘除运算结果仍然是有理数。

这意味着在有理数的范围内进行计算，不会出现“奇怪”的结果。

其次，有理数在数轴上是稠密的。

也就是说，在数轴上任意两个有理数之间，都存在着无数个有理数。

另外，有理数是可以比较大小的。

对于正有理数，数值越大，数就越大；对于负有理数，数值越大，数反而越小。

比较两个有理数的大小，可以先将它们化为相同的形式，比如都化为分数或者都化为小数，然后再进行比较。

四、有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法、除法。

加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2 。

减法运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2，5 （－3) ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8 。

乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0 。