高等数学第章：二重积分共85页文档

D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y

f
(x,
y) dx
d
y
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
常记d为 (y) X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
2
dy f(x,y)dx. c Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
D 高等数学第二节二重积分的计算
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
c y d
1( y) x 2( y)
例 1. 计算 xydxdy 其D 中 是由 y 直 1,x 线 2
0 R 2x2dy
D
R
80R(R2x2)dx
16 3
R3
x
R y
x2y2R2
25x
例4. 交换积分 : I次 03dx序 5x23 f(x, y)dy
0x3
解.
D5x2 9
y
25x 3
画图
0 y5
D
3y2 25
x
9y 5
9
y
25x or x 3y2 3 A(3,5) 25
D
f
(x,
y)d
x
d
y
b
a d
x 2 ( x) 1( x)
f
x,
yd y
(2)
( 1 ) 式 x ,后 先 y 积 对 ,对 ( 2 ) 式 分 y ,后 先 x 积 对 . 对
由 (1)化(为 2)或(由 2)化(为 1)称为交换积 . 分次

在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行 于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i

1 2
(ri

ri )2 i

1 2
ri2i
r ri

1 2
(2ri

ri
)ri i
ririi
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
a 1 ( x)
c
D
D

b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓

[
]
机动
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例2. 计算
∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线
o −1
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
D
2
y +2
2
y = x−2
D2
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为
θ = θk + ∆θk θ = θk
∆σk (k =1, 2,⋯, n)
o
r = rk x
∆σ k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
∆σk = 1 (rk + ∆rk )2 ⋅ ∆θk − 1 rk 2 ⋅ ∆θk 2 2 rk ∆θk
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
机动
0
f (x, y)dx
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例5. 计算
其中D 由
2
y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成.
解: 令 f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
4
y = −3x
机动
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结束
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : • 若积分区域为

D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8

(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
20/24
练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
19/24
例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
10/24
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周

二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球 表面或天体表
面的重力场
质点：质量集 中于一点的物
体
位移：质点在 重力场中的位
置变化
二重积分：计 算质点在重力 场中的位移所 需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场 中单位电荷所具有 的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算 电场中的电势分布 ，分析电场特性
电势的物理意义： 描述电场中电荷所 具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿 过一个平面的磁 力线数量
计算公式：Φ=B·S， 其中B为磁感应强 度，S为平面面积
应用：计算磁场 中的磁通量，了 解磁场分布情况
实例：计算一个圆 形线圈中的磁通量， 了解线圈磁场的分 布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义 极坐标系下的二重积分计算公式 极坐标系下的二重积分计算步骤 极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形 式
计算参数方程的偏 导数
计算参数方程的雅 可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积 计算旋转体的体积 计算曲面的面积 计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个 简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积 的一种方法

实际应用背景：二重积分在物理、工程、经 济等领域有广泛应用，如计算面积、体积、 质量等
添加 标题限制条件：二重积源自的计算需要满足一定的 条件，如函数在积分区域上连续、可积等
添加 标题
积分区域：二重积分的计算需要确定积分区 域，积分区域可以是平面区域、曲面区域等
添加 标题
积分顺序：二重积分的计算需要确定积分顺 序，积分顺序可以是先对x积分，再对y积分， 也可以是先对y积分，再对x积分
添加 标题
积分方法：二重积分的计算可以使用不同的 积分方法，如直接积分法、换元积分法、分 部积分法等
添加 标题
积分技巧：二重积分的计算需要掌握一些积 分技巧，如对称性、周期性、奇偶性等
感谢您的观看
汇报人：
二重积分在几何上的应用
计算曲面的面积
计算曲面的体积
计算曲面的旋转体 体积
计算曲面的旋转体 表面积
二重积分在物理上的应用
计算曲面的面积和体积
计算流体的压力和流量
计算电场的强度和分布
计算热传导和扩散问题
二重积分在经济学上的应用
计算边际成本：二重积分可以用来计算边际成本，从而帮助企业进行成本控制和优化。
注意二重积分的计算精度和误差控制
计算精度：选择合适的积分方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等 误差控制：通过增加积分区间的划分，提高计算精度 数值稳定性：避免在积分过程中出现数值不稳定的情况 计算结果验证：通过与其他方法或已知结果进行比较，验证计算结果的准确性
注意二重积分的实际应用背景和限制条件
添加 标题
极坐标变换法：适用于积 分区域为圆形或扇形的情 况
换元积分法：适用于积分 区域为圆环或椭圆的情况
分部积分法：适用于积分 区域为不规则图形的情况

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶 柱体，它的底为
D (x, y) | 0 y R2 x2 , 0 x R
如图所示。它的顶是柱面 z R2 x2。于是
V1 R2 x2 d.
D
V1 D
R2 x2 d
R
R2 X 2
0 0
R2 x2 dydx
R 0
d
dy
2 y
f (x, y)dx
c
1 y
D
如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿 过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简 单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。
定理 (富比尼定理)设 f x, y在平面闭区域 D 上连续，
（1）若闭区域 D 可表示为：a x b, 1 x y 2 x ， 其中 1(x) 和 2 (x) 在 a,b 上连续，则
且穿过区域D内部平行于 y 轴的直线与D的边界 至多交于两点。
2．水平型区域 设区域D为由介于上下两条自变量为 y 的单值连续 曲线 x 1( y)与 x 2 ( y) 和两条竖直线 y c与y d 之间所构成的，即可表示为
D (x, y) | c y d,1( y) x 2 ( y)
f
cos ,
sin
d d
d
0
f
cos ,
sin
d
D
(3)极点O 在积分区域 D 的内部，如图所示，这时 区域 D可表示为
D , | 0 ( ),0 2
f cos, sin dd
D
2
d
f cos , sin d
0
0
由二重积分的性质3可知，闭区域 D 的面积 可表示为

二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为： ［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、 将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积 分 为 _______________, 其 值 为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.