【高考复习】2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：阶段滚动练6(对应1～14练)

2018高考全国2卷文科数学带答案绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数2e e ()x xf x x --=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A．y = B．y = C．y = D．y = 7．在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A．2 BCD10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A．1-B．2CD1 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50- B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学文科二轮专题闯关导练：押题模拟（一）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. (导学号：05856337)若集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{－1,1,2,3}，则A∩B＝( )A. {－1,1}B. {1,2}C. {1,3}D. {－1,3}【答案】D【解析】A＝, B＝{－1,1,2,3}∴A∩B＝{－1,3}故选：D2. (导学号：05856338)已知i是虚数单位，z＝，则复数z的实部为( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】z＝＝.∴复数z的实部为－故选：A3. (导学号：05856339)函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，若f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，则( )A. f(1)＝1，g(2)＝－2B. f(1)＝－2，g(2)＝1C. f(1)＝1，g(2)＝2D. f(1)＝2，g(2)＝1【答案】C【解析】∵函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，∴－f(1) －g(2)＝－3，－f(1)+g(2)＝1，∴f(1)＝1，g(2)＝2故选：C4. (导学号：05856340)如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E，G是线段AC上的点，F，H是线段BD 上的点，且AE＝CG＝EG，BF＝FH＝DH，连接EF，FG，GH，EH，现往正方形ABCD中投掷1200个点，则可以估计，落在阴影区域内点的个数为( )A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】设AC＝BD＝6，则正方形ABCD的面积为6×6＝36，而菱形EFGH的面积为×6××6＝6，故落在阴影区域内点的个数为1200×＝200.故选：B5. (导学号：05856341)将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)图象的一个对称中心为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】f(x)＝sin＝sin.且f()＝sin.故选：B6. (导学号：05856342)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，若点N(4,1)，P为抛物线C上的点，则|NP|＋|PF|的最小值为( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】记点P到抛物线C的准线l的距离为d，点N到抛物线C的准线l的距离为d′，故|NP|＋|PF|＝|NP|＋d≥d′＝6，故|NP|＋|PF|的最小值为6.故选：D7. (导学号：05856343)已知实数x，y满足,则z＝log2(x＋y)的最大值为( )A. log229－2B. log214C. 4D. 5【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，要想z＝log2(x＋y)取得最大值，只需z′＝x＋y取得最大值即可；观察可知，当直线z′＝x＋y 过点B(9,7)时，z′有最大值16，故z＝log2(x＋y)的最大值为4.故选：C8. (导学号：05856344)《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下. 若输出的S的值为365，则判断框中可以填( )A. i>4?B. i>5?C. i>6?D. i>7?【答案】D【解析】运行该程序，第一次，S＝290，i＝2，第二次，S＝302.5，i＝3，…，第七次，S＝365，i＝8，此时，要输出S的值，故判断框中可以填“i>7”．故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. (导学号：05856345)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝a7－a1，则{a n}的公比q为( )A. －1B. 2C. －1或2D. －2或3【答案】C【解析】当q=1时，显然不成立当q时，,解得：q=－1或210. (导学号：05856346)将一个正方体切去两个三棱锥，得到一个几何体，若该几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. 6＋B. 3＋C. 6＋2D. 3＋【答案】D【解析】在正方体中截去了三棱锥与三棱锥∴其表面积为：3＋故选：D点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. (导学号：05856347)已知双曲线E： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为，过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A，B两点，在双曲线E上取一点C(与A，B不重合)，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线E的两条渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程(λ>0)，c2＝16λ＋9λ＝25λ，∴F(5，0)．将x＝5代入方程(λ>0)得y＝±，则2×＝，解得λ＝1，故双曲线的方程为.设点A(x1，y1)，则根据对称性可知B(－x1，－y1)，点C(x0，y0)，k1＝，k2＝，∴k1k2＝，且，，两式相减可得，＝.故选:C12. (导学号：05856348)已知函数f(x)＝e x sin x(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是( )A. B. C. [0,1) D. [1，e)【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)≥0⇒0≤x≤，f′(x)<0⇒<x<π，f(0)＝f(π)＝0，f＝，由题意，利用图象得0≤m<.故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. (导学号：05856349)已知tan θ＝5，则＝________.【答案】3【解析】∵tan θ＝5∴故答案为：314. (导学号：05856350)已知向量a，b的夹角为，|a|＝3，|a－2b|＝，则|b|＝________.【答案】2【解析】∵向量，的夹角为，＝3，＝∴即，解得：或（舍）故答案为：215. (导学号：05856351)若三棱锥P－ABC的体积为，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．【答案】12π【解析】∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝2，AC＝2，，又三棱锥P－ABC的体积为，∴PA=2∴画出几何图形，可以构造补充图形为正方体，棱长为2，2，2．∵对角线长．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .16. (导学号：05856352)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝5，a6＝11，若数列{}是等差数列，则a n＝________.【答案】2n-1【解析】设＝kn＋b，则∴∴S n＝n2，a n＝2n－1.故答案为：2n-1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. (导学号：05856353)(12分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a2＋ab－2b2＝0.(Ⅰ)若B＝，求sin C的值；(Ⅱ)若sin A＋3sin C＝3sin B，求sin C的值．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由3a2＋ab－2b2＝0，3a＝2b，即3sin A＝2sin B，又B＝，从而求出sin C的值；(2)设a＝2t，b＝3t，又sin A＋3sin C＝3sin B，从而可得c＝t，利用余弦定理先求cos C，进而得到sin C的值．试题解析：(Ⅰ)因为3a2＋ab－2b2＝0，故(3a－2b)(a＋b)＝0，故3a2＋ab－2b2＝0，故3sin A＝2sin B，故sin A＝，因为3a＝2b，故a<b，故A为锐角，故sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.(Ⅱ)由(Ⅰ)可设，a＝2t，b＝3t，因为sin A＋3sin C＝3sin B，故a＋3c＝3b，故c＝t，故cos C＝＝，故sin C＝＝.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. (导学号：05856354)如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点．(Ⅰ)求证：AP⊥平面GCD；(Ⅱ)求证：平面ADG∥平面FBC；(Ⅲ)若AP∥平面BDE，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析（3）2【解析】试题分析：(1)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，又CD⊥平面GAD，所以CD⊥AP，从而AP⊥平面GCD.；(2)∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，又CD∩GD＝D，∴CD⊥平面FBC，结合（1）可证明结果；(3)连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，从而M是PC中点，过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点.试题解析：(Ⅰ)证明：因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD＝D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.(Ⅱ)证明：∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，∵BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG∥平面FBC.(Ⅲ)解：连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，∵O是AC中点，∴M是PC中点过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点，∴＝2.19. (导学号：05856355)近年来，随着双十一、双十二等网络活动的风靡，各大网商都想出了一系列的降价方案，以此来提高自己的产品利润. 已知在2016年双十一某网商的活动中，某店家采取了两种优惠方案以供选择：方案一：购物满400元以上的，超出400元的部分只需支出超出部分的x%；方案二：购物满400元以上的，可以参加电子抽奖活动，即从1,2,3,4,5,6这6张卡牌中任取2张，将得到的数字相加，所得结果与享受优惠如下：(Ⅰ)若某顾客消费了800元，且选择方案二，求该顾客只需支付640元的概率；(Ⅱ)若某顾客购物金额为500元，她选择了方案二后，得到的数字之和为6，此时她发现使用方案一、二最后支付的金额相同，求x的值．【答案】(1)(2)50........................试题解析：依题意，所有的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6).(Ⅰ)若该顾客花了640元，说明所取数字之和在[8,9]之间，故满足条件的为(3,5)，(3,6)，(4,5)，(2,6)，所求概率为.(Ⅱ)依题意，该顾客需要支付450元，故400＋x%×100＝450，解得x＝50.20. (导学号：05856356)已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝x＋b截得椭圆C的弦长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线，交椭圆C于点A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值时m的值．【答案】(1)(2) |AB|最大为，m＝±1.试题解析：(Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2，由得∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝，当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y＝k(x－m)，由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由＝1得k2m2＝k2＋1，∴|AB|＝＝≤＝，当且仅当|m|＝1时取“＝”，∴|AB|<，∴当AB⊥x轴时，|AB|最大为，m＝±1.21. (导学号：05856357)已知函数f(x)＝x ln x－x.(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值. (2)【解析】试题分析：(1) x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，讨论f′(x)的符号，求出f(x)的单调区间，从而求出函数的极值；（2）∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立通过变量分离转化为a≤在(0，＋∞)上恒成立问题即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值.(Ⅱ)∀x>0，f(x)＋ax2≤0，a≤－，令g(x)＝－，g′(x)＝－－＝，当0<x<e2时，g′(x)<0，当x>e2时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，e2]上是减函数，在[e2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e2)＝－＝－，∴a≤－，∴a的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22. (导学号：05856358)[选修4－4：坐标系与参数方程]平面直角坐标系xOy中，射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(Ⅰ)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；(Ⅱ)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)，把曲线C1的参数方程化为普通方程；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，进而表示|MN|的值即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)；因为曲线C1：故曲线C1：＋＝1.(Ⅱ)曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4，故x2＋y2－4y＝0，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，故|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.23. (导学号：05856359)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.(Ⅰ)解不等式：f(x)>15；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的大小．【答案】(1) (－∞，－4)∪(2，＋∞) (2)【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值m，得到4a＋25b＝10，利用均值不等式求出＋的最小值．试题解析：(Ⅰ)依题意，2|x－2|＋3|x＋3|>15；当x<－3时，原式化为2(2－x)－3(x＋3)>15，解得x<－4；当－3≤x≤2时，原式化为2(2－x)＋3(x＋3)>15，解得x>2，故不等式无解；当x>2时，原式化为2(x－2)＋3(x＋3)>15，解得x>2；综上所述，不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，故＋＝ (4a＋25b)＝≥，当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝.。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）{}2340A x x x =∈--≤Z {}0ln 2B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,3,4{}3,4{}2,3,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】C【解析】，{}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，所以．{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<{}2,3,4A B = 2．设复数（是虚数单位），则的值为（）1z=i z z+A ．B ．C．D ．21【答案】B【解析】，．2z z +=2z z +=3．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；p q ∧p q p q p q ∨当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B ．p q ∨p q p q ∧4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）x y 222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩3x z y =-+A ．B ．C ．D ．143-2-434【答案】C【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线3x z y =-+3xy z =+过点时，取得最大值为．3x y z =+()2,2z 435．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．n n A ．2B ．3C ．26D ．27【答案】C【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，1a 9a ()91991132691262a a a a a =⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以选C ．6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（ ）n S a A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】依次运行流程图，结果如下：，；，；，；，，此时退出循环，所以的值可13S =12n =25S =11n =36S =10n =46S =9n =a 以取10．故选C ．7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2BC ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因2222:1x yC a b -=y x =±a b =为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，双曲线的方程为，所1=a b ==C 22122x y -=以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．b =8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（ ）1x 2x 10x 21x 2x 10x A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，1x 2x 10x 21x 2x 10x 1x ，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，2x 10x 2()()102211222111i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑()10212=11i i x =-∑1x ，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不2x 10x ()102112=1.110ii x =-∑ 1.11>1x 2x 10x 稳定．9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n 项和为，那n a n {}n a n S 么（ ）21n S -=A ．B ．C ．D ．122n n +--11222433n n --+⋅-2nn -22nn +-【答案】B【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．n 2n n a a =n 12n na +=因为，12342121n n S a a a a a --=+++++ 所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++ ()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++ ()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=+++++++++ ⎪⎝⎭ ，()()123211232n na a a a -=+++++++++ ()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++即，()121211242n n nn S S +--=++所以．()()()1112211112121111224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅- 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，2y mx =()0m >P Q PQ ，则（ ）54PQ m =m =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则2y mx =2mp =P Q 1x 2x ，，因为，所以，即，解得．1232x x +=126x x +=54PQ m =125+4x x p m +=5624m m +=8m =11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的12表面积为（）A ．B ．C ．D ．174π214π4π5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三1111ABCD A B C D -棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，11A CB D -1111ABCD A B C D-12所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以1111ABCD A B C D -R ==三棱锥外接球的表面积为．2221444S R π=π=π=12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定P sin ln y x x =+OP O k 成立的为（ ）A ．B ．C ．D ．1k <-0k <1k <1k ≥【答案】C【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以x sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤，因为与中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+≤sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤恒成立，所以，所以排除D ；当时，，所以，所以sin ln y x x x =+<1k <2x π≤<πsin ln 0y x x =+>0k >排除A ，B ．所以选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

2018届江西省南昌市高三二轮复习测试数学（文）试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设复数其中为虚数单位，则的虚部为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2．集合，,则A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到，最后由交集的概念得到结果.【详解】，=，，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和集合的补集的概念，要看清楚题目中所给的全集；集合常考的问题还有集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.3．直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心O点在BC的中点处，且∠ABC=，由向量投影的定义，利用已知条件求出即可．【详解】直角外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图像，又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影|cos=．故选：A．【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

阶段滚动练5(对应1～12练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.已知集合P ＝{x |log 2x ＜－1}，Q ＝{x ||x |＜1}，则P ∩Q 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(0，1) D.⎝⎛⎭⎫－1，12 答案 A解析 由题意得，P ＝{x |log 2x ＜－1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0＜x ＜12，Q ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，所以P ∩Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，故选A.2.复数2＋i 1－2i 的共轭复数的虚部是( )A.－35B.35 C.1 D.－1答案 D解析 由题意得2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，所以其共轭复数的虚部为－1.3.已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∨綈q . 则其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 因为Δ＝(－2a )2－4×(－1)＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋4x 的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧綈q ，綈p ∨綈q 是真命题，故选C.4.已知点A (2，m )，B (1，2)，C (3，1)，若AB →·CB →＝|AC →|，则实数m 等于( ) A.1 B.53 C.2 D.73答案 D解析 AC →＝(1，1－m )，CB →＝(－2，1)，AB →＝(－1，2－m )，由于AB →·CB →＝|AC →|，可得4－m ＝2－2m ＋m 2，解得m ＝73，故选D.5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧5·⎝⎛⎭⎫122x ，－1≤x ＜1，1＋4x 2，x ≥1，设m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，则m ·f (2m )的最小值为( )A.4B.2C. 2D.2 2 答案 D解析 由于m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，所以可得1≤m ＜4，从而m ·f (2m )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋2m 2＝m ＋2m ≥22，当且仅当m ＝2时取等号，故选D. 6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )答案 B解析 由题意得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，所以f (－x )＝1－e －x1＋e －x ·cos(－x )＝e x－11＋e x ·cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f (1)＝⎝⎛⎭⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1＜0，故选B. 7.已知锐角△ABC 的三边长a ， b ， c 成等差数列，且a 2＋b 2＋c 2＝21，则实数b 的取值范围为( ) A.(6，7] B.(0，7] C.⎝⎛⎦⎤2425，7 D.(6，7]答案 C解析 设公差为d ，则有a ＝b －d ，c ＝b ＋d ， 代入a 2＋b 2＋c 2＝21化简可得3b 2＋2d 2＝21， 当d ＝0时，b 有最大值为7，三角形为锐角三角形， 由余弦定理可知，(b －d )2＋b 2－(b ＋d )22b (b －d )>0，解得 b >4d ，∴3b 2＋2⎝⎛⎭⎫b 42>21，解得 b >2425，则实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2425，7. 8.等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12·3n +1＋c (c 为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析 由题意可知，c ＝－32且a n ＝3n ，可得λ≤3＋12·32n +1－323n， 化简为λ≤32⎝⎛⎭⎫3n ＋13n ， 由于基本不等式等号不成立，所以由对勾函数可知， 当n ＝1时， λmax ＝5.故选C.9.记min{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最小值，若x ，y 为任意正实数，则M ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ，1y ，y ＋1x 的最大值是( )A.1＋ 2B.2C.2＋ 2D. 3 答案 D解析 设a ＝2x ，b ＝1y ，c ＝y ＋1x ＝1b ＋2a ，不妨设a ≤b ，则1a ≥1b，有2a ＋1b －a ≥2b ＋1b －b ＝3b －b ＝3－b 2b ， 又1b ＋2a －a ≤1a ＋2a －a ＝3a －a ＝3－a 2a ， 则3－b 2b ≤c －a ≤3－a 2a，当a ≥3时，c ≤a ，此时c 最小；当0＜a ＜3时，c －a ≥0，此时a 最小，则M ≤ 3.故选D.10.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ值为( ) A.π4 B.3π8 C.3π4 D.5π8 答案 C解析 平移后有y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π4，它关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.11.在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A.－2 018B.－2 016C.－2 019D.－2 017答案 A解析 由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.故选A.12.设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A.[－1，2] B.(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 答案 D解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， 因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0，1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2，2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23，故选D.二、填空题13.(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________. 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14.设m ＞1，变量x ，y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m＝________. 答案 1＋ 2解析 因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域，如图所示，直线y ＝mx 与直线x ＋y＝1交于⎝⎛⎭⎫1m ＋1，mm ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m 2m ＋1＝2，且m ＞1，解得m ＝1＋ 2.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋b sin C ＝2a ，b ＝2，则△ABC的面积是________. 答案 1解析 ∵c sin B ＋bsin C ＝2a ，可得sin C sin B ＋sin B sin C ＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B sin B sin C＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )sin B sin C ＝2sin 2B sin C cos C ＋2sin 2C sin B cos B ， ∴sin 2C (1－2sin B cos B )＋sin 2B (1－2sin C cos C )＝0， ∴sin 2C (sin B －cos B )2＋sin 2B (sin C －cos C )2＝0， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，可得B ＝C ＝45°， 又∵b ＝2，∴S △ABC ＝12×(2)2＝1.16.(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数.又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e－x＝－⎝⎛⎭⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数. 由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1) ＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12. 三、解答题17.已知f (x )＝(log m x )2＋2log m x －3(m ＞0，且m ≠1). (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0；(2)若f (x )＜0在[2，4]上恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0，得 (log 2x )2＋2log 2x －3＜0， 即－3＜log 2x ＜1，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18＜x ＜2.(2)由f (x )＜0在[2，4]上恒成立，得－3＜log m x ＜1在[2，4]上恒成立，①当m ＞1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 2，log m4＜1，得m ＞4，②当0＜m ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 4，log m 2＜1得0＜m ＜134，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，134∪(4，＋∞).18.(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.19.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足：a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ·2n 的前n 项和为T n ，求证：T n ＜3.(1)解 根据题意，在等差数列{a n }中，设公差为d ，a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，a 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2(a 1＋d )，a 1·(a 1＋3d )＝16，解得a 1＝2，d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)证明 由(1)知，a 1＝d ＝2， 则S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ，∴S n n ·2n ＝n ＋12n . ∴T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，(*) 12T n ＝222＋323＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，(**)两式相减得12T n ＝221＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1，∴T n ＝2＋121＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＝3－12n －1－n ＋12n ＜3.∴T n ＜3.20.设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ). (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即当x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当x ＝2x ，即当x ＝－2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。

解答题滚动练解答题滚动练11.(2017·太原三模)已知m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 3，cos x 3，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，cos x 3·f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若a ， b ， c 分别是△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边，且a ＝2，(2a －b )cos C ＝c cos B ，f (A )＝32，求c .解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 3cos x 3＋cos 2x 3＝32sin 2x 3＋12⎝⎛⎭⎫cos 2x 3＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π6＋12， ∴f (x )的最小正周期为3π，令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π＋3k π≤x ≤π2＋3k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π＋3k π，π2＋3k π(k ∈Z ). (2)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin A ， ∵0＜A ＜π，∴sin A ＞0，∴ cos C ＝12，∵0＜C ＜π，∴ C ＝π3，∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＋12＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＝1， ∴2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴A ＝π2＋3k π，k ∈Z ，又0＜A ＜π，∴A ＝π2，∴c ＝a sin C ＝2sin π3＝ 3.2.已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝13的等比数列.设b n ＝213log n a －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明 由已知得a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n.b n ＝2131log ()3n－1＝2n －1，b 1＝1，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列. (2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1，则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列. c n ＝a n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎫13n＋4n －1，则T n ＝13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＋3＋7＋…＋(4n －1)， 即T n ＝13·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2，即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·⎝⎛⎭⎫13n(n ∈N *).3.如图(1)，五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设AB ＝1，求四棱锥P －ABCD 的体积.(1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN ∥CD ，MN ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以MN ∥AB ，且MN ＝AB ，则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN ∥BM . 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， 又AN ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD .(2)解 取AD 的中点O ，连接PO ， ∵AN ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点， 可得△P AD 为等边三角形， ∴∠PDA ＝60°.又∠EDC ＝150°，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD .∵PO ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PO ⊂平面P AD ， ∴PO ⊥平面ABCD .∴PO 是四棱锥P －ABCD 的高.∵AB ∥CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角， 由(1)可得∠PDC ＝90°， ∴tan ∠PCD ＝PD CD ＝12，∴CD ＝2PD ，由AB ＝1，可知CD ＝2，P A ＝AD ＝AB ＝1， 则V 四棱锥P －ABCD ＝13PO ·S 直角梯形ABCD ＝34.4.已知函数f (x )＝e x －mx 2－2x . (1)若m ＝0，讨论f (x )的单调性；(2)若m ＜e 2－1，证明：当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＞e2－1.(1)解 当m ＝0时，f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.易知f (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，f (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增.(2)证明 f ′(x )＝e x －2mx －2，(f ′(x ))′＝e x －2m ＞e x －2·e －22＝e x －(e －2).当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1＞e －2，故(f ′(x ))′＞0， 故f ′(x )单调递增.又f ′(0)＝1－2＝－1＜0，f ′(1)＝e －2m －2＞e －2·⎝⎛⎭⎫e 2－1－2＝0， 故存在唯一的x 0∈(0，1)，使得f ′(x 0)＝0， 即0e x－2mx 0－2＝0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，故f (x )单调递减， 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f (x 0)＝0e x－mx 20－2x 0.因为x ＝x 0是方程0e x －2mx 0－2＝0的根， 故m ＝0e x －22x 0.故f (x )min ＝0e x －0e x －22x 0x 20－2x 0＝0e x －12x 00e x －x 0. 令g (x )＝e x －12x e x －x ，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝12e x －12x e x －1，(g ′(x ))′＝－12x e x ＜0.故g ′(x )在(0，1)上单调递减，故g ′(x )＜g ′(0)＝－12＜0，故g (x )在(0，1)上单调递减， ∴g (x )＞g (1)＝e 2－1，故f (x )＞e2－1.解答题滚动练21.天然气是较为安全的燃气之一，它不含一氧化碳，也比空气轻，一旦泄露，立即会向上扩散，不易积累形成爆炸性气体，安全性较高，其优点有：①绿色环保；②经济实惠；③安全可靠；④改善生活.某市政府为了节约居民天然气，计划在本市试行居民天然气定额管理，即确定一个居民年用气量的标准，为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用气量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民某年的用气量(单位：立方米)，样本统计结果如下图表.(1)分别求出n ，a ，b 的值；(2)若从样本中年均用气量在[50，60](单位：立方米)的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求年均用气量最多的居民被选中的概率(5位居民的年均用气量均不相等). 解 (1)用气量在[20，30)内的频数是50，频率是0.025×10＝0.25，则n ＝500.25＝200.用气量在[0，10)内的频率是25200＝0.125，则b ＝0.12510＝0.012 5. 用气量在[50，60]内的频率是5200＝0.025，则a ＝0.02510＝0.002 5.(2)设A ，B ，C ，D ，E 代表用气量从多到少的5位居民，从中任选2位，总的基本事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10个，包含A 的有AB ，AC ，AD ，AE ，共4个，所以P ＝410＝25.2.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，∠B 1A 1A ＝∠C 1A 1A ＝60°，AA 1＝AC ＝4，AB ＝1.(1)求证：A1B1⊥B1C1；(2)求三棱柱ABC－A1B1C1的侧面积.(1)证明取AA1的中点O，连接OC1，AC1.∵AA1＝AC＝A1C1＝4，∠C1A1A＝60°，∴△AC1A1为正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1＝23，又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，平面ACC1A1∩平面ABB1A1＝AA1，OC1⊂平面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1⊂平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA 1B 1＝60°，A 1B 1＝AB ＝1，OA 1＝2，∴OB 21＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3，解得OB 1＝3， ∴OA 21＝OB 21＋A 1B 21，∴A 1B 1⊥OB 1.又OB 1∩OC 1＝O ，OB 1⊂平面OB 1C 1，OC 1⊂平面OB 1C 1， ∴A 1B 1⊥平面OB 1C 1， ∵B 1C 1⊂平面OB 1C 1， ∴A 1B 1⊥B 1C 1.(2)解 依题意，11ABB A S 四边形＝2×12×A 1B 1×AA 1×sin 60°＝23，11AA C C S 四边形＝2×12×OC 1×AA 1＝83，在平行四边形ABB 1A 1中，过B 1作B 1E ⊥AA 1于点E ， 过O 作OF ⊥BB 1于点F ，则四边形OFB 1E 为矩形， ∴OF ＝B 1E ，由(1)知OC 1⊥平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， ∴BB 1⊥OC 1，∵BB 1⊥OF ，OC 1∩OF ＝O ，OC 1⊂平面OC 1F ，OF ⊂平面OC 1F ， ∴BB 1⊥平面OC 1F ， ∵C 1F ⊂平面OC 1F ， ∴C 1F ⊥BB 1， ∵B 1E ＝A 1B 1×sin 60°＝32， ∴在Rt △OC 1F 中，OC 1＝23，OF ＝B 1E ＝32. ∴C 1F ＝(23)2＋⎝⎛⎭⎫322＝512，∴11BCC B S 四边形＝BB 1×C 1F ＝251，∴三棱锥ABC －A 1B 1C 1的侧面积S ＝23＋83＋251＝103＋251. 3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2). (1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋λn －1，∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1，由a 3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是a n ＝a n －1＋2n －1，即a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3， a n －2－a n －3＝2n －5，…，a 2－a 1＝3，n ＞3. 以上各式累加得a n ＝1＋(n －1)(2n ＋2)2＝n 2，n ＞3.经验证知，a 1，a 2，a 3也满足a n ＝n 2，故a n ＝n 2(n ∈N *). (2)由(1)得b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )＝(－1)n ·n (n ＋1)，故S 2n ＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n －1)·2n ＋2n ·(2n ＋1) ＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n (－2n ＋1＋2n ＋1) ＝2(2＋4＋6＋…＋2n ) ＝2·n (2n ＋2)2＝2n 2＋2n .4.已知动点C 到点F (1，0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km ＜0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点.(1)解 由题意可得动点C 到点F (1，0)的距离等于到直线x ＝－1的距离， ∴曲线E 是以点(1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线， 设其方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴动点C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝()1＋k 2x 1x 2＋km ()x 1＋x 2＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5，∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k . ∵km ＜0，m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )＞0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)， ∴直线l 必经过定点(5，0).解答题滚动练31.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，3c －2b sin C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，c ＝1，求a 和△ABC 的面积. 解 (1)因为3c －2b sin C ＝0， 所以3sin C －2sin B sin C ＝0. 因为0＜C ＜π， 所以sin C ≠0， 所以sin B ＝32. 因为0＜B ＜π，且a ＞b ＞c ，所以B ＝π3.(2)因为b ＝3，c ＝1，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得(3)2＝a 2＋1－2a ×1×12，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1(舍)，所以a ＝2. S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×32＝32.2.某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s 2；(结果精确到小数点后一位)(2)从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.解 (1)依题意样本中男生共6人，成绩分别为164，165，172，178，185，186. ∴他们的总分为1 050，平均分为175.∴s 2＝16[(－11) 2＋(－10) 2＋(－3) 2＋32＋102＋112]≈76.7.(2)样本中180分以上的考生有男生2人，记为A ，B ， 女生4人，记为a ，b ，c ，d ，从中任选2人，有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种，符合条件的有Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，共8种， 故所求概率P ＝815.3.(2017·巴蜀中学模拟)如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，AB ＝2AF ，∠CBA ＝60°.(1)求证：DM⊥平面MNA；(2)若三棱锥A－DMN的体积为33，求MN的长.(1)证明连接AC，在菱形ABCD中，∠CBA＝60°，且AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，又∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，∵BC∥AD，∴AN⊥AD.又∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，且AN⊂平面ABCD，∴AN⊥平面ADEF，又DM⊂平面ADEF，∴DM⊥AN.∵在矩形ADEF 中，AD ＝2AF ，M 为EF 的中点， ∴△AMF 为等腰直角三角形， ∴∠AMF ＝45°， 同理可证∠DME ＝45°， ∴∠DMA ＝90°， ∴DM ⊥AM ，又∵AM ∩AN ＝A ，且AM ，AN ⊂平面MNA ， ∴DM ⊥平面MNA .(2)解 设AF ＝x ，则AB ＝2AF ＝2x ，在Rt △ABN 中，AB ＝2x ，BN ＝x ，∠ABN ＝60°， ∴AN ＝3x ，∴S △ADN ＝12×2x ×3x ＝3x 2.∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AD 为交线，F A ⊥AD ， ∴F A ⊥平面ABCD ，设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h ＝AF ＝x ， ∴V M －ADN ＝13×S △ADN ×h ＝13×3x 2×x ＝33x 3.∵V M －ADN ＝V A －DMN ＝33，∴x ＝1. ∴MN ＝AN 2＋AM 2＝ 5.4.已知圆M ：(x －a )2＋(y －b )2＝9，M 在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上，圆M 过原点且与C 的准线相切. (1)求C 的方程；(2)点Q ()0，－t (t ＞0)，点P (与Q 不重合)在直线l ：y ＝－t 上运动，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .求证：∠AQO ＝∠BQO (其中O 为坐标原点).(1)解 方法一 因为圆M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆的半径为3， 故b ＝3－p2，因为圆过原点，所以a 2＋b 2＝9，所以a 2＝3p －p 24，又a 2＝2pb ，所以3p －p 24＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2， 因为p ＞0，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .方法二 因为圆M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，知 圆M 必过抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2， 又圆M 过原点，所以b ＝p4，又圆的半径为3，所以a 2＝9－p 216，又a 2＝2pb ， 由9－p 216＝p 22，得p 2＝16(p ＞0)，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .方法三 因为圆M 与抛物线的准线相切， 所以b ＝3－p2，且圆过⎝⎛⎭⎫0，p 2，又圆过原点，故b ＝p 4，可得3－p 2＝p 4， 解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .(2)证明 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (m ，－t )，C 的方程为y ＝18x 2，所以y ′＝14x ，求得抛物线在点A 处的切线的斜率k ＝14x 1，所以切线P A 方程为y －y 1＝14x 1(x －x 1)，即y －18x 21＝14x 1(x －x 1)，化简得y ＝－18x 21＋14x 1x ， 又因为过点P (m ，－t )，故可得－t ＝－18x 21＋14x 1m ， 即x 21－2x 1m －8t ＝0，同理可得x 22－2x 2m －8t ＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2mx －8t ＝0的两根， 所以x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－8t ，因为Q ()0，－t ，所以k AQ ＋k BQ ＝y 1＋t x 1＋y 2＋t x 2＝x 21＋8t 8x 1＋x 22＋8t 8x 2＝x 21＋x 21－2x 1m 8x 1＋x 22＋x 22－2x 2m 8x 2＝x 1－m 4＋x 2－m 4＝x 1＋x 2－2m 4＝2m －2m 4＝0.所以∠AQO ＝∠BQO .方法二 依题意设点P (m ，－t )，设过点P 的切线为y ＝k (x －m )－t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )－t ，x 2＝8y ，所以x 2－8kx ＋8km ＋8t ＝0，所以Δ＝64k 2－4(8km ＋8t )＝0，即2k 2－km －t ＝0， 不妨设切线P A ，PB 的斜率为k 1，k 2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以k 1＋k 2＝m 2，k 1k 2＝－t 2，又y ＝18x 2，所以y ′＝14x ，所以k 1＝14x 1， 所以x 1＝4k 1，y 1＝2k 21，即点A (4k 1，2k 21)，同理点B (4k 2，2k 22)， 因为Q (0，－t )，所以k AQ ＝2k 21＋t 4k 1＝k 12＋t 4k 1，同理k BQ ＝k 22＋t 4k 2，所以k AQ ＋k BQ ＝⎝⎛⎭⎫k 12＋t 4k 1＋⎝⎛⎭⎫k 22＋t 4k 2＝k 1＋k 22＋t (k 1＋k 2)4k 1k 2＝m 4－m4＝0， 所以∠AQO ＝∠BQO .解答题滚动练41.(2017届四川省绵阳中学模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足(2b －a )·cos C ＝c ·cos A . (1)求角C 的大小；(2)设y ＝－43sin 2A2＋2sin(C －B )，求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ABC 的形状.解 (1)∵(2b －a )·cos C ＝c ·cos A ，由正弦定理可得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C ·cos A ， 化为2sin B ·cos C ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)y ＝－43sin 2A2＋2sin(C －B )＝－23(1－cos A )＋2sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝sin A ＋3cos A －23＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－23， ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴⎝⎛⎭⎫A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π， ∴当A ＋π3＝π2，即A ＝π6时，y 有大值2－23，此时B ＝π2，因此△ABC 为直角三角形.2.(2017·辽宁葫芦岛二模)已知数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(3n －2)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝4－320＝1.当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，①a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，②由①－②，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝12n －1(2n ＋2－n －2)＝n 2n －1，a n ＝12n －1，当n ＝1时，a 1也适合上式， ∴a n ＝12n －1(n ∈N *).(2)b n ＝(3n －2)12n －1，S n ＝120＋421＋722＋…＋(3n －5)12n －2＋(3n －2)12n －1，① 12S n ＝121＋422＋723＋…＋(3n －5)12n －1＋(3n －2)12n ，②由①－②，得12S n ＝120＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(3n －2)12n ＝1＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(3n －2)12n ，解得S n ＝8－3n ＋42n －1.3.(2017·辽宁重点中学协作体联考)某网络营销部门为了统计某市网友“双11”在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如图)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图；(2)营销部门为进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定5人，若需从这5人中随机选取2人进行问卷调查，则恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率是多少？ 解 (1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝60，18＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6，∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法，从中选取5人，则其中“网购达人”有5×25＝2(人)，“非网购达人”有5×35＝3(人)，设“网购达人”的编号为1，2，“非网购达人”的编号为3，4，5，则基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，其中基本事件的个数为10，事件A ＝“恰好选取1名‘网购达人’和1名‘非网购达人’”＝{(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，其中基本事件的个数为6，则P (A )＝610＝35，即恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率为35.4.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －12x 2－ax (a ∈R ，e 是自然对数的底数)在(0，f (0))处的切线与x 轴平行.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设g (x )＝(e x ＋m －2)x －12x 2＋n .若∀x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求2m ＋n 的最大值.解 (1)f ′(x )＝(x ＋2)e x －x －a ，由已知得f ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2， 则f ′(x )＝(x ＋2)(e x －1)，令f ′(x )＞0，解得x ＞0或x ＜－2，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞). (2)不等式f (x )≥g (x )可化为e x ≥mx ＋n ，记h (x )＝e x －mx －n ，则h ′(x )＝e x －m ， 当m ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，则h (x )在R 上单调递增，没有最小值，故不成立； 当m ＞0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln m ，当x ∈(－∞，ln m )时，h ′(x )＜0；当x ∈(ln m ，＋∞)时，h ′(x )＞0.当x ＝ln m 时，函数h (x )取得最小值h (ln m )＝e ln m －m ln m －n ＝m －m ln m －n ≥0，即m －m ln m ≥n ，则3m －m ln m ≥2m ＋n ，令F (m )＝3m －m ln m (m ＞0)，则F ′(m )＝2－ln m ， 令F ′(m )＝0，则m ＝e 2，当m ∈(0，e 2)时，F ′(m )＞0， 当m ∈(e 2，＋∞)时，F ′(m )＜0，故当m ＝e 2时，F (m )取得最大值F (e 2)＝e 2， 所以e 2≥2m ＋n ，即2m ＋n 的最大值为e 2.解答题滚动练51.(2017·桂林18中模拟)如图，已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ∥CF ，AB ＝AE ＝1，AF ⊥BE .(1)求证：AF⊥平面BDE；(2)求多面体ABCDEF的体积.(1)证明连接AC交BD于点O，则BD⊥AC，因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥AE，又AC∩AE＝A，所以BD⊥平面EACF，又AF⊂平面EACF，则BD⊥AF，又AF⊥BE，BD∩BE＝B，所以AF⊥平面BDE.(2)解连接EO，由(1)知，AF⊥平面BDE，EO⊂平面BDE ，得EO ⊥AF ，所以∠AEO ＝∠CAF ，所以tan ∠AEO ＝tan ∠CAF ，即AO AE ＝FCAC ，所以FC＝12.设所求多面体ABCDEF 的体积为V ， 则V ＝V B －ACFE ＋V D －ACFE ＝13×12×⎝⎛⎭⎫12＋1×1×3＝34. 2.某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：(1)根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否理想？(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润＝销售收入－成本)参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝392，∑5i ＝1x 2i ＝502.5.解 (1)因为x ＝15(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝15(11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以b ^＝392－5×10×8502.5－5×102＝－3.2，则a ^＝8－(－3.2)×10＝40，于是y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－3.2x ＋40.(2)当x ＝8时，y ^＝－3.2×8＋40＝14.4，则||y ^－y ＝14.4－14＝0.4＜0.5， 所以可以认为所得到的线性回归方程是理想的.(3)令销售利润为W ，则W ＝(x －2.5)(－3.2x ＋40)＝－3.2x 2＋48x －100(2.5＜x ＜12.5)， 因为W ＝3.2x (－x ＋15)－100≤3.2×⎝⎛⎭⎫x －x ＋1522－100＝80，当且仅当x ＝－x ＋15，即x ＝7.5时，W 取最大值.所以该配件的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又当n ＝1时，b 1＝S 1＝2－b 1，所以b 1＝1， 当n ≥2时，S n ＝2－b n ， ① S n －1＝2－b n －1，②由①－②，得b n ＝－b n ＋b n －1，即b n b n －1＝12， 所以{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －12n －1，则T n ＝120＋321＋522＋…＋2n －12n －1，③12T n ＝121＋322＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ， ④③－④得12T n ＝120＋221＋222…＋22n －1－2n －12n＝1＋1＋12＋…＋12n －2－2n －12n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n＝3－2n ＋32n .所以T n ＝6－2n ＋32n －1.4.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12.所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， 2ABF S △＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以2ABF S △＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·(4k 2－12)4k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0， 解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.解答题滚动练61.(2017·常德一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C 2a ＋c ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)由cos B b ＋cos C2a ＋c ＝0知，()2a ＋c cos B ＋b cos C ＝0，由正弦定理知(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， ∴2sin A cos B ＝－sin (B ＋C )＝－sin A ， ∴cos B ＝－12，又B ∈(0，π)， ∴B ＝2π3.(2)在△ABC 中由余弦定理知，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 又b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3，∴13＝16－2ac ＋ac ， ∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.2.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝12a n (a n ＋1)，n ∈N *.(1)求通项a n ；(2)若b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)a 1＝S 1＝12a 1(a 1＋1)，a 1＞0，解得a 1＝1，∀n ∈N *，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝12a n ＋1(a n ＋1＋1)－12a n (a n ＋1)移项整理并因式分解，得(a n ＋1－a n －1)(a n ＋1＋a n )＝0， 因为{a n }是正项数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，a n ＋1－a n ＝1，{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . (2)由(1)得S n ＝12a n (a n ＋1)＝12n (n ＋1)，b n ＝1S n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－2n ＋1＝2n n ＋1. 3.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 证明 (1)因为EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF ， 如图，连接DE .因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.4.已知函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的两个极值点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝－2－5. (1)求x 1，x 2的值；(2)若f (x )在(c －1，c )(其中c ＜－1)上是单调函数，求c 的取值范围； (3)当m ≤－e 时，求证：[f (x )＋2e x ]·[(x －2)e x －m ＋1]＞34e x .(1)解 ∵f ′(x )＝[x 2＋(2＋a )x ＋a ]e x ， ∴由f ′(x )＝0，得x 2＋(2＋a )x ＋a ＝0， ∴x 1＋x 2＝－2－a ＝－2－5， ∴a ＝5， ∴由x 2＋(2＋5)x ＋5＝0，得x ＝－2－5±32，∵x 1＜x 2，∴x 1＝－5－52，x 2＝1－52.(2)解 由(1)知，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)上单调递增，其中x 1＝－5－52＜－1，x 2＝1－52＞－1.当f (x )在(c －1，c )上单调递减时，⎩⎪⎨⎪⎧c －1≥x 1，c ≤x 2，又c ＜－1，∴－3－52≤c ＜－1， 当f (x )在(c －1，c )上单调递增时，c ≤x 1.综上，c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3－52，－1.(3)证明 设g (x )＝(x －2)e x －m ＋1， 则g ′(x )＝(x －1)e x ，令g ′(x )＞0，得x ＞1，令g ′(x )＜0，得x ＜1. ∴g (x )min ＝g (1)＝－e －m ＋1≥1， ∴g (x )≥1.∵f (x )＋2e x ＝(x 2＋5x ＋2)e x ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋522＋34e x ≥34e x ⎝⎛⎭⎫当x ＝－52时取等号，∴不等式成立.(∵取等条件不相同，∴等号取不到).解答题滚动练71.(2017·北京海淀区模拟)股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国.2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： (1)投资股市：(2)购买基金：(1)当p ＝12时，求q 的值；(2)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围； (3)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.解 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1，又因为p ＝12，所以q ＝16.(2)由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q ＜38，因为p ＋13＋q ＝1，所以q ＝23－p ＜38，解得p ＞724，又因为q ＞0，所以p ＜23，所以724＜p ＜23.(3)记事件A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，事件A 表示事件“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，则一年后张师傅和李师傅购买基金的所有可能的投资结果有3×3＝9(种)，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，其中事件A 的结果有5种，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(c ，x ). 因此一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P (A )＝59.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＋a 8＝－10，S 10＝－35. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和T n .解 (1)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝－5，2a 1＋9d ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，所以a n ＝1－(n －1)＝2－n . (2)因为a n 2n －1＝12n －2－n ·12n －1，所以T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1， 令S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，则T n ＝S n －S n ′，因为S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝4－12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，① 所以12S n ′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ·12n ，②由①－②，得12S n ′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n ·12n ＝1－12n1－12－n ·12n ＝2－12n －1－n ·12n ， 所以S n ′＝4－12n －2－n ·12n －1，因此T n ＝S n －S n ′＝n 2n －1.3.过点C (2，2)作一直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，点P 是抛物线y 2＝4x 上到直线l ：y ＝x ＋2的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q .(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线BQ 平行于抛物线的对称轴. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 20＝4x 0， 所以点P 到直线l 的距离 d ＝||x 0－y 0＋22＝⎪⎪⎪⎪y 204－y 0＋22＝||(y 0－2)2＋442≥22. 当且仅当y 0＝2时等号成立，此时P 点坐标为(1，2).(2)证明 设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，显然y 1≠2. 当y 1＝－2时，A 点坐标为(1，－2)，直线AP 的方程为x ＝1； 当y 1≠－2时，直线AP 的方程为y －2＝y 1－2y 214－1(x －1)，化简得4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.综上，直线AP 的方程为4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.与直线l 的方程y ＝x ＋2联立，可得点Q 的纵坐标为y Q ＝2y 1－8y 1－2.当y 21＝8时，直线AC 的方程为x ＝2，可得B 点的纵坐标为y B ＝－y 1. 此时y Q ＝2y 1－8y 1－2＝2－4y 1－2＝2－4()y 1＋2y 21－4＝－y 1，即知BQ ∥x 轴，当y 21≠8时，直线AC 的方程为y －2＝y 1－2y 214－2(x －2)，化简得(4y 1－8)x －(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x ，可得(y 1－2)y 2－(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，所以点B 的纵坐标为y B ＝y 21－8y 1－2－y 1＝2y 1－8y 1－2.从而可得BQ ∥x 轴， 所以BQ ∥x 轴.4.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x ，其中a ∈R . (1)当a ＞0时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －1＝2x 2－x ＋a x，设g (x )＝2x 2－x ＋a ，Δ＝1－8a .①当a ≥18时，Δ≤0，g (x )≥0成立，故f ′(x )≥0成立，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0＜a ＜18时，Δ＞0，令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a 4.显然x 2＞x 1＞0，当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 综上，当a ≥18时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜18时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4，＋∞上为增函数， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4，1＋1－8a 4上为减函数. (2)显然f (1)＝0，由x ≥1可知，当a ≥0时，a ln x ≥0，x 2－x ≥0，故f (x )≥0成立； 当a ＜0时，Δ＝1－8a ＞0. 令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a4. 显然x 1＜0，x 2＞0，当x ∈(0，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；若－1≤a ＜0，则x 2≤1，当x ≥1时，f (x )为增函数，故f (x )≥f (1)＝0成立； 若a ＜－1，则x 2＞1，由f (x )在(0，x 2)上为减函数可知， 当x ∈(1，x 2)时，f (x )为减函数， f (x )＜f (1)＝0与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是[－1，＋∞).解答题滚动练81.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围.解 (1)根据倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， 所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12，又因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )， 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 因为0＜B ＜2π3，所以l ∈(2，3].2.第96届(春季)全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下数据：(1)请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？(参考公式：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2 ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ) 解 (1)由数据，求得x ＝9＋11＋12＋10＋85＝10，y ＝23＋28＋29＋25＋205＝25，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝1×3＋(－1)×(－2)＋(－2)×(－5)＋0＋2×4＝23， ∑5i ＝1(x i －x )2＝12＋(－1) 2＋(－2) 2＋02＋22＝10，由公式，求得b ＝2.3，a ^＝y －b ^x ＝2， y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2.3x ＋2.(2)由x ＝13，得y ^＝31.9，而31.9－12＝19.9≈20， 所以该店应至少再补充原材料20袋.3.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝12AA 1＝a ，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点.(1)证明：平面A 1DC ⊥平面ADC ；(2)求平面A 1DC 将此三棱柱分成的两部分的体积之比. (1)证明 在三棱柱中，有AA 1⊥AC ， 又因为AB ⊥AC ，AB ∩AA 1＝A ， 所以AC ⊥平面ABB 1A 1， 因为A 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以AC ⊥A 1D ，因为AB ＝AC ＝12AA 1＝a ，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点，所以AD ＝A 1D ＝2a ，AA 1＝2a ，则AD 2＋A 1D 2＝2a 2＋2a 2＝4a 2＝AA 21， 所以AD ⊥A 1D ， 因为AD ∩AC ＝A ， 所以A 1D ⊥平面ADC .又因为A 1D ⊂平面A 1DC ，所以平面A 1DC ⊥平面ADC .(2)解 平面A 1DC 将三棱柱分成上、下两部分，其上面部分几何体为四棱锥A 1－B 1C 1CD ，下面部分几何体为四棱锥C －ABDA 1.在平面A 1B 1C 1中，过点A 1作A 1E ⊥B 1C 1，垂足为E ，则A 1E ⊥平面B 1C 1CD ，所以A 1E 是四棱锥A 1－B 1C 1CD 的高，在Rt △A 1B 1C 1中，因为A 1B 1＝A 1C 1＝a ，所以A 1E ＝22a . 四边形B 1C 1CD 为直角梯形，其面积11B C CD S 直角梯形＝12()B 1D ＋C 1C ·B 1C 1＝322a 2，所以四棱锥A 1－B 1C 1CD 的体积1111113A B C CD B C CD V S 四棱锥直角梯形＝-·A 1E ＝12a 3.因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积111ABC A B C V 三棱柱-＝S △ABC ·AA 1＝12a 2·2a ＝a 3，所以下部分几何体C －ABDA 1的体积1111111C ABDA ABC A B C A B C CD V V V 四棱锥三棱柱四棱锥＝----＝12a 3， 所以两部分几何体的体积之比为1∶1.4.(2017·广东湛江二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c (其中a ＜0，c ＞0).(1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝－a 2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值. 解 (1)依题意，当x ≥c ，a ＝2c －2时，f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[]x －()c －1x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2.∴要令f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立，即a ≤－1或a ≥1(舍去).又∵c ＝a2＋1＞0，∴a ＞－2.∴实数a 的取值范围是(]－2，－1. (2)由l 1⊥l 2可得f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′()c ＝－1， 而f ′(c )＝ac ，∴f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝－c a . 当－a2≥c 时，则f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝2⎝⎛⎭⎫－a 2－2c －a 2＋a －a2＝－2c ＝－c a ， 即a ＝12，与a ＜0矛盾.当－a2＜c 时，则f ′⎝⎛⎭⎫－a 2＝－2⎝⎛⎭⎫－a 2＋2c －a2＋a －a2＝－－8a ＋2c ＝－ca，∴c ＝a －8a2a ＋1.∵a ＜0，c ＞0，∴2a ＋1＜0. 即a ＜－12，令－8a ＝t ，则a ＝－t 28(t ＞2)，∴c ＝－t 28·t －t24＋1＝t 32t 2－8.设g ()t ＝t 32t 2－8，则g ′()t ＝2t 2()t 2－12()2t 2－82.当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴函数g (t )的最小值为g (23)＝332. ∴实数c 的最小值为332.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

学@科网1ABCD2ABCD34，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A B C D6A B C D7ABCD899100+-A B CD9值为 A B C D 10A B C D 11． A B C D 12A B ．0 C ．2 D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13__________．14__________．15．16．__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）（1（218．（12分）下图是某地区2000年至2016为了预测该地区2018归模型．根据2000年至2016根据2010年至2016年的数据（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，点．（1（220．（12分）（1（221．（12分）（1（2（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）．（1（223．[选修4－5：不等式选讲]（10分）（1（2绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C二、填空题13．y=2x–2 14．9 1516．8π三、解答题17．解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP连结OB．因为AB=BC ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=2．OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC，CM ACB=45°．所以OMCH所以点C 到平面20．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则因此所求圆的方程为21．解：（1）当a =3时，f （x ）f ′（x ）令f ′（x ）=0解得xx当x +∞）时，f ′（x ）>0；当x f ′（x ）<0．故f（x+单调递减．（2g ′（x）0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网又f（3a–1）f（3a+1）f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1（2又由①得，，于是直的斜率23．解：（1（2。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

学@科网 1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±7．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．258．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B ．32C ．52D ．7210．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．312-B ．23-C ．312- D ．31-12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(f ff++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试卷 第1页（共46页） 数学试卷 第2页（共46页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （ ） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（ ） A ．13B ．12C ．2 D ．225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B ．5 C ．25D ．1-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共46页） 数学试卷 第4页（共46页）12．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________． 16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．三、解答题（共70分。