福建省莆田市2018届高三下学期第二次(5月)质量测试数学(理)(B卷)试题

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（B卷）语文本试卷共10页，22题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题对于任何一种文化传统来说，如何协调守成、创新与外来文化三者之间的关系始终是一个关键问题。

晚清至20世纪，中国文化与西方文化的大规模接触伴随着侵略、殖民与长时间的冷战，这些历史事实增加了问题的复杂程度。

尽管如此，多数人愿意认为，五四新文学运动是文学史上的一个成功范例。

五四新文学不仅改变了古典文学的传统形式，而且，相当多的作家动手译介域外文学，使各种西方文化元素逐渐汇入中国文学的表述体系。

这开辟了汉语白话文学的新阶段——“现代文学”。

之所以认定这是一次成功的文学转换，首要的标志是：相对于先秦至晚清的中国古典文学，汉语白话文学更适合表现今天的中国经验。

这丝毫不存在贬低中国古典文学的意思。

中国古代批评家就曾经深刻地指出：“文变染乎世情，兴废系乎时序。

”每一个时代都有自己的文学及其评价依据。

任何一个时期的文学都将受到文学传统与现实世界纵横坐标构成的不同压力。

强调来自纵轴的文学传统，还是追求更大限度地再现当代的现实世界？现实主义的宗旨显然是后者。

这时，所谓的创新可以表述为，一种再现当代现实的企图改变了文学传统的发展方向。

这同时划出了一个区分的标准：如何辨别鲁迅式的“盗火者”与“言必称希腊”的崇洋分子？尽管二者都对西方文化表示出浓厚的兴趣，但是，“盗火者”的宗旨是探索民族的独特道路，力图“师夷长技以制夷”；相反，崇洋分子热衷于将民族历史纳入一个普遍的模式，使之成为西方文化逻辑的具体例证。

2018年5月莆田市高三理科数学第二次质量试卷B(含答案)
5 3
5在中, , ,则的值为
A2 B3 c4 D5
6中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是 ,可见当时就已经知道勾股定理如果正整数满足 ,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数3,4,5; 5,12,13;7,24,25 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是
A11,60,61 B13,84,85
c17,74,75 D21,72,75
7如上图中的三个直角三角形是一个体积为5不等式选讲](10分)
已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)已知 ,对任意 ,总存在 ,使得 ,求的最大值
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．。

2018年高三毕业班教学质量检查试卷英语本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第1卷1至10页，第Ⅱ卷11至12页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节(共 5 小题；每小题 1.5 分，满分7.5 分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回来有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the weather going to be like according to the man ?A. It is going to be fine.B. There is going to be a shower.C. It is going to be cloudy.2. What does the man think of the weather?A. It is hot.B. It is not hot.C. It is as hot as yesterday.3. What is the man complaining about?A. The hot climate.B. The pollution.C. The housing problems.[4. What does the man say about September in his country?A. It's very cold.B. It's rainy.C. It' s very pleasant.5. What kind of weather have the speakers recently been having?A. Hot and dry.B. Cold and wet.C. Cold and dry.第二节(共15 小题；每小题 1.5 分，满分22.5 分)听下面5段对话。

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（A 卷）文科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.则A {B x x = BC {B x x = D2.i 为虚数单位，复平面的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件3.A4.A.7B.6C.5D.45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为6.A.7C. 不存在8.9A. B. C. D.10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱11.PF=-22+∞B.[3,)12.A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．a b a b= ___________.13.1,2,314.________.15.为_________.16.=_______________.DB三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）（1（2.18．(12分).（1（2.19.(12分)进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了.学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼...（1图（如图所示）．根据图中数据,6小时的概率．（2）在样本数据中，有25位女生的每周平均生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”．20．(12分).（1（2）.21.（12分）（1;（2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)).,,建立极坐标系,（1（2,.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)（1（2.2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（A卷）文科数学参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）D （2）A （3）D （4）B （5）C （6） C（7）B （8）A （9）A （10）C （11）D （12）C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13（14（15（16三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数、三角形的面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分12分.解：（1）,.......................................... .. (1)分.….. ...…...…...…...…...…...…...…...…...2分.................................................. ............................... .. (3).................................... ...................................... . (4)…...…...…...…...…...…...…...…...….. ...…...…...….. ..…...…...….....…...…..…..5分（2 (6)分…...….…. 8分.…...…. .…....…...…. .…....9分.......... ........... ........ ........... .. (10).... ........... ........... ........ ........... ........... .. (11)…. .…...…. .…...…. .……. .…...…. .…...…. .……. .…...…. ..…...…...…. .…12分DBDB18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1…. .…. .…...…. .…....1分…. .…...…. .…...…. ..…3分....... ........... ........... ........... ........... . (4)...…. .…...….…...…. .….…...…. .5分 （2....…. .…...…. .…...…. .…...…. .…. .…...…...….. ..….…...…...….. ..…...7分....... ........... ................................... ......................... (8)9分……….…...10分=⨯⨯⨯..…...…...…...….. ..…..…11分232...…. .…...…. .…...…. .…... ..…...…...…...….. .....…12分19.本小题主要考查频率分布直方图、独立性检验、概率的意义统计量等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．解:（1）由频率分布直方图得，.….…...2分.. .…...……....…...…...….....…...……4分5.8,估计该年级学生每周平均体育锻炼时间.……...…. .………...…..…...…...….. ...…...…... ...…..….....5分 （2…. .….…...…. .…...…. .….…...…..…...…...…...….. ..…...…...……. .…...9分 11分... ….... ….... ….... ….... ….... ….... ….... 12分20.本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分.21.本小题主要考查函数导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（1………………………………………………1分……………………3分………………………4分所以，在上单调递增；在上单调递减.…...............5分.（2令，即0在上恒成立.…...…... .…...….6分 (7)分即..................................………………………….....8分减.即.所以)()0g ...................……………………........9分..............................……………………....10分................................................ ………………………….........11分......................................…………………...............12分 22.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分.解：(1)……………………………………………2分………………………………………………………3分……………………………………………………7分………………………………………8分…………………………………10分23.本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分.解：(1)依题意得…………………2分，…………3分4分……………………………………………………5分(2)由(1)得7分8分……………9分………………………………10分。

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（B卷）理科综合能力测试化学部分7．化学与社会、科学、技术、环境密切相关。

下列说法不正确的是A．T-碳是一种新型三维碳结构晶体，与C60互为同素异形体B．推广利用CO2合成聚碳酸酯可降解塑料符合低碳经济理念C．将金属钛、铝混合后在空气中熔化可制得强度较大的钛合金材料D．为汽车安装尾气催化转化装置,可将尾气中的部分CO和NO转化为无毒气体8．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列有关叙述正确的是A．常温常压下， 1.8g甲基(—CD3)中含有的中子数为N AB．2.3g钠被O2完全氧化时，钠得到的电子数目为0.1N AC．9.2g甲苯被酸性KMnO4氧化生成苯甲酸时,反应中转移电子数为0.6N AD．常温下，1L pH=9的CH3COONa溶液中，发生电离的水分子数为1×10－9N A 9．四种常见有机物的比例模型如下图。

下列说法正确的是A．乙可与溴水发生取代反应而使溴水褪色B．甲能使酸性KMnO4溶液褪色C．丙中的碳碳键是介于碳碳单键和碳碳双键之间的特殊的键D．丁为醋酸分子的比例模型10．短周期元素X、Y、Z、W在周期表中位置如图，其中W原子的次外层电子数是最内层电子数与最外层电子数的电子数之和。

下列说法不正确的是A．最简单的氢化物的沸点：X＞WB．元素的非金属性：Z＞W＞YC．简单离子的半径大小：Y＞W＞ZD．氧化物对应水化物的酸性：Y＜W＜Z11．硼化钒（VB2）-空气电池是目前储电能力最高的电池，电池示意图如下：该电池工作时的反应为4VB2＋11O2=4B2O3＋2V2O5。

下列说法正确的是A．电极a为电池负极B．反应过程中溶液的pH升高C．电池连续反应过程中，选择性透过膜采用阳离子选择性膜D．VB2极的电极反应式为：2VB2 + 22OH--22e-=V2O5+ 2B2O3+ 11H2O12．用下列实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是甲乙丙丁A．用装置甲进行中和热的测定B．用装置乙制取CO2气体C．用装置丙蒸发CH3COONa溶液得CH3COONa晶体D．用装置丁模拟工业制氨气并检验产物L－1的HCOOH溶液中不断滴加 1 mol·L－1的NaOH溶液，并一直保持常13．向10mL 1 mol·温，所加碱的体积与-lg c水(H+)的关系如图所示。

2018届福建省莆田市高三第二次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用对数函数的单调性，求得对数不等式的解集，求得集合A，之后利用交集中元素的特征，求得，利用并集中元素的特征，求得，之后对各项进行分析对比，选出正确结果.详解：根据题意可得，又因为，能够发现两个集合没有公共元素，所以可以求得，，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在求解的过程中，需要先确定集合A中的元素有哪些，之后再利用集合的交集与并集中元素的特征，求得正确结果.2．设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：首先利用复数的运算法则，化简求得，从而利用复数在复平面内得到复数对应的点的坐标，之后根据第二象限内点的坐标的特征，求得所满足的不等关系式，从而求得其范围，最后利用集合的包含关系，确定其充分必要性.详解：，其对应的点的坐标为，若该点在第二象限，可得，即，又是的真子集，故为必要非充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解过程中，需要首先确定出各条件对应的参数的取值范围，利用集合间的关系，求得结果.3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：首先需要对框图进行分析，确定其为对哪些量来求积运算，之后需要对其运行，看看到什么时候就会结束，从而求得结果.详解：观察分析题中所给的框图，可以发现，结合条件，可知最后输出的k的值为6，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图读结果的问题，在求解的过程中，需要分析该框图的作用，以及需要分析各项之间的关系，从而判断出满足条件时输出的量，从而求得结果.4．若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项.详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选B.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，在解题的过程中，需要首先利用展开式中二项式系数和求得的值，之后借助于二项展开式的通项，接着令幂指数等于题中要求的项对应的指数，求得的值，之后代入求得结果.5．已知，，、均为锐角，则角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用题中条件以及角的范围，利用平方关系，求得，下一步的任务就是将角进行配凑，之后借助于和角公式求得角的正弦值，结合题中所给的角的范围，进一步求得角的大小.详解：因为，结合、均为锐角，可以求得，所以，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关利用和角公式借助于三角函数值求角的大小，在解题的过程中，需要利用整体思维，将当做一个整体，即整体思维的运用，之后借助于和角公式完成，再者借助于三角函数值求角的大小的时候，一定要参考角的范围进行求解.6．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，结合对应的边长，可以断定该几何体的顶点都落在棱长为1的正方体的顶点处，从而得到该几何体的外接球即为对应的正方体的外接球，利用正方体的对角线就是其外接球的直径，从而求得结果.详解：观察分析题中所给的三视图，可以确定该四棱锥的底面是边长为1的正方形，,高为1，且顶点在底面上的摄影落在底面顶点处的四棱锥，从而可以断定该四棱锥的五个顶点都在以1为棱长的正方体上，从而求得该正方体的外接球的半径为，所以其面积为，故选C.点睛：该题考查的是有关通过三视图还原几何体的问题，再者就是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，一是需要利用三视图将几何体还原，二是要明确特殊几何体的外接球的球心的位置，从而求得结果，注意结论的灵活应用.7．设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 13【答案】B【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.详解：根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.8．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小.详解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，故选A.点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在求解的过程中，需要抓住题中的条件，得到函数的图像的对称性，结合是上的增函数，得到函数是的减函数，而三个自变量的值都是大于零小于1的，所以将函数值的大小转化为自变量的大小上，应用幂函数和指数函数的单调性即可解决.9．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据函数图像的平移变换的原则，写出函数的解析式，利用图像的对称性，得到所满足的等量关系式，结合题中所给的的取值范围，求得，之后结合整体角的取值范围求得函数在给定区间上的最小值.详解：根据题意可知，因为其图像关于直线对称，可知，结合的范围，可以求得，从而得到，因为，则有，从而求得，所以有，所以在上的最小值是，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像变换以及函数在给定区间上的最值问题，在求解的过程中，需要明确函数图像的平移变换的原则，结合题中所给的参数的取值范围求得结果，确定函数解析式之后，应用整体角思维，结合函数在相应区间上的取值问题求得相应的结果.10．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，若，当堑堵的侧面积最大时，阳马的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中的条件，将相应的边长设出，得到其对应的关系式，将其侧面积表示为关于的关系式，之后借助于基本不等式的转化不等式，求得其最值，并且应该明确什么情况下取得最值，之后借助于三棱锥的体积公式求得结果.详解：根据题意，设，则有，堑堵的侧面积，当且仅当时取等号，此时，故选A.点睛：该题考查的是有关几何体的体积的求解，以及应用基本不等式求相关边长的问题，在求解的过程中，首先将三棱柱的侧面积表示为有关变量的关系，之后借助于基本不等式的变形不等式求得其对应的值，之后应用椎体的体积公式求得结果.11．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的和的模大于等于向量的模的差的绝对值，借助题的条件，求得椭圆中系数的关系，紧接着借助于双曲线中的关系，得到其离心率所满足的不等式，从而求得结果.详解：根据题意有，所以有，即，整理可得，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率范围的求解问题，在解题的过程中，一是需要注意应用题的条件，利用向量和的模大于等于向量模的差的绝对值，结合双曲线的定义，从而建立关于的关系，之后借助于双曲线中的关系，得到离心率所满足的关系，求得结果.12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，注意分段函数要明确相应的式子，当时，很容易画出抛物线段，当时，利用导数研究函数的单调性，利用函数解析式，确定出函数值的符号，从而画出函数的图像，利用偶函数的图像的对称性，得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可得结果.详解：画出函数的图像，当时，很容易画出抛物线段，利用导数研究函数的图像的走向，从而确定出其在上单调减，在上单调增，但是其一直落在x轴下方，因为是定义在上的偶函数，所以函数有六个零点，等价于有三个正的零点，相当于函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可知的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点的个数问题，在求解的过程中，将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题，结合偶函数的图像的对称性，得到在y轴右侧有三个交点，利用导数研究函数的单调性，得到函数图像的走向，从而观察图像求得结果.二、填空题13．已知向量，，若，，，则__________．【答案】【解析】分析：首先利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，将两边平方，借助于题中所给的向量的模，求得，之后再借助于向量的模的平方等于向量的平方，得到，从而求得结果.详解：根据，，，可以求得，从而求得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在求解的过程中，需要明确向量的模的平方等于向量的平方求得结果，对应的解题思想就是见模就平方，需要明确向量数量积的运算法则.14．设变量，满足约束条件则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：手先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，之后分析目标函数的形式，可以发现目标函数表示的是区域内的点与点连线的斜率，结合图形，判断出在哪个点处取得最小值，哪个点处取得最大值，之后联立直线方程构成方程组，求得其点的坐标，代入求得结果即可.详解：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，其为直线、直线和直线所围成的封闭的三角形区域，目标函数表示的是区域内的点与点连线的斜率，结合图形，可以判断目标函数在点取得最小值0，在点取得最大值，从而求得的取值范围是.点睛：该题考查的是有关线性规划类的问题，在解题的过程中，正确画出约束条件对应的可行域是解题的关键，该题的目标函数是分式型的，不是线性的，所以是升级版的，这就需要明确目标函数一共有三类，截距型、距离型和斜率型，结合其意义，求得结果.15．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为__________．【答案】【解析】分析：首先将代入抛物线的方程，求得对应点N的坐标，从而求得，利用抛物线的定义，将用点N到抛物线准线的距离来表示，求得，之后应用题中所给的等量关系式，得到关于p的式子，从而求得结果,详解：将代入抛物线方程，可以求得，利用题中条件，结合抛物线定义，可以求得，解得.点睛：该题考查的是抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，对应直线与曲线的交点的求解方法就是联立方程组，再者利用抛物线上的点到焦点的距离就可以应用其到准线的距离可以简化式子，从而建立关于p所满足的等量关系式，求得结果.16．在平面四边形中，，，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：首先根据题中的条件，将对应的四边形画出来，分析图形中的不变量与可变量，设出相应的自变量，分析边与角的关系，在直角三角形中得出，下一步利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，借助于向量的数量积来完成，将的平方转化为关于的函数，从而求得最值.详解：根据题意，画出相应的四边形，设，则有，所以其最大值为，所以的最大值为.点睛：该题考查的是有关线段长度的最值问题，在求解的过程中，需要分析得出图形中的不变量与可变量，找到可变量与谁的变化有关，设出对应的自变量，结合向量的有关知识，将线段的长度的平方转化为关于所设自变量的函数关系，利用函数求得最值，从而求得结果.三、解答题17．已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：第一问首先将代入题中所给的式子，求得，之后类比着写出时对应的式子，两式相减求得，从而确定出数列是首项为3，公差为2的等差数列，进一步求得其通项公式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列求得其通项公式，之后观察是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求和即可.详解：（1）当时，，即，因为，所以，当时，，即，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以．（2）因为数列首项为1，公比为的等比数列，，，成等差数列，所以，即，所以，又因为，所以，所以，则，，①则，②由①②得，所以．点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列的项与和的关系以及错位相减法求和，在解题的过程中，需要对基础知识牢固掌握，再者就是根据题的条件，对所求出的量进行取舍，最后在求和时，最后对应的那个等比数列一定要明确项数.18．如图，三棱柱的侧面是菱形，平面平面，直线与平面所成角为，，，为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：第一问首先借助于线段的长度关系，求得，之后借助于面面垂直得到直线与平面所成角的平面角，利用题中条件所给角的大小，得到，从而得到为正三角形进一步得到，借助于面面垂直的有关性质，得到平面，下一步利用线面垂直的性质和判定定理证得结果，第二问就是利用空间向量求解即可.详解：（1）证明：如图所示，连接，，在矩形中，，为的中点，所以，又因为平面平面，所以直线在平面上的射影是直线，所以直线与平面所成角为，因为直线与平面所成角为，即，所以为正三角形，又为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，且，所以平面，又因为平面，所以．（2）解：设为中点，则，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即令，得，同理可求得平面的一个法向量为，，由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，一是空间垂直关系的证明，二是求二面角的大小，在求解的过程中，需要对空间平行垂直关系的有关定理的条件和结论要熟记，再者就是用空间向量求解二面角的问题要明确思路，还有就是该题第一问也可以应用空间向量来证明，借用向量数量积等于零来达到证明垂直的目的，还有就是利用法向量求二面角的余弦值的时候一定要结合法向量的方向确定是其补角还是其本身.19．某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望．附：【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)(i);(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：第一问首先利用众数和中位数定义，得到直方图中最高的那条对应的组中值就是众数，利用中位数的两边对应的条的面积是相等的，求得中位数；结合题中的条件，填完列联表，之后应用公式求得的观测值，与表中的值相比较，得到是否有把握认为其有没有关系；第三问利用概率公式求得结果，分析变量的取值以及对应的概率列出分布列，应用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果.详解：（1）分厂的质量指标值的众数的估计值为，设分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则，解得．（2）列联表：由列联表可知的观测值为：，所以有的把握认为两个分厂的产品质量有差异．（3）（i）依题意，厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则，所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是．（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，则．点睛：该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，需要耐心读题，因为该题的题干太长，再者要求对基础知识掌握非常的牢固，对相关的定义以及公式都比较熟悉，虽然题干比较长，但是题并不难，所以耐心就能做好.20．在平面直角坐标系中，圆：，，，为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切．（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线过交于，两点，过且与垂直的直线与交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为．(2).【解析】分析：第一问结合题中条件画出相应的图形，连接相关线段，利用中位线的长度以及两圆内切时对应两圆心之间的距离与半径的关系，求得，从而得到其为定值，之后借助于其范围，利用椭圆的定义，求得其轨迹方程；第二问分直线的斜率不存在、为零、存在且不为零三种情况来分析对应的四边形的面积，从而求得其范围.详解：（1）设的中点为，连接，，在中，，分别为，的中点，所以，又圆与动圆相切，则，所以，即为定值，，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，，，所以点的轨迹方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，，，，则，，四边形面积； ②当直线的斜率为0时，同理可得四边形面积；③当直线的斜率存在且不为0时， 可设直线的方程为，设，，联立得，，，，同理，四边形面积，设，则，所以；综上所述，四边形面积的取值范围是．点睛：该题考查的是有关轨迹问题的求解以及直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，需要明确两圆相切是内切还是外切，再者相切时对应的圆心间的距离与半径的关系，之后得到有关线段的长度关系，之后借助于椭圆的定义求得曲线的方程，再者就是有关直线与椭圆相切时，对应的做题思路就是联立，需要对其倾斜角的情况进行讨论.21．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：第一问先将函数的解析式确定，接着写出函数的定义域，之后对函数求导，对a进行讨论，确定导数的符号，从而求得函数的单调区间，第二问假设存在，之后将其转化为最值问题，借用导数研究函数的图像的走向，从而确定函数的最值，最后求得结果.详解：（1）由已知得，的定义域为，则，①当时，，，，所以，所以函数在上单调递减；②当时，令，得或，（i）当（），即时，所以（），所以函数在上单调递增；（ii）当，即时，在和上函数，在上函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（iii）当，即时，在和上函数，在上函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）若对任意恒成立，则，记，只需．又，记，则，所以在上单调递减．又，，所以存在唯一，使得，即，当时，，，的变化情况如下：所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，因为，即，且，故的最小整数值为3，所以存在最小整数，使得对任意恒成立．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，在解题的过程中，需要明确导数与单调性的关系，如何应用导数研究函数的图像的走向，从而确定出函数的单调区间，对于是否存在类问题，在解题的过程中，都是假设其存在，将其向最值靠拢，最后应用导数完成任务.22．在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与相交于，两点，求的值．【答案】(1)，．(2).【解析】分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线，将方程两边同时乘以，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.详解：（1）由（为参数），可得的普通方程为，又的极坐标方程为，即，所以的直角坐标方程为．（2）的参数方程可化为（为参数），代入得：，设，对应的直线的参数分别为，，，，所以，，。

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B 卷)理科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(2)3i z i -=+,则||z =A.D.1 2.已知集合{}{}23,,40x A y y x R B x x ==∈=-≤,则 A.A B R = B.}2|{->=x x B A C.}22|{≤≤-=x x B A D.}20|{≤<=x x B A3.设,x y 满足约束条件4,4,4,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为A.4B.8C.12D.164.已知函数)(x f 是奇函数,且满足⎩⎨⎧>-≤≤-=2),2(20,2)(23x x f x x x x f ,则)5(-f =A.1B.-1C.3D.-35.在ABC ∆中,4,2==AB BC ,1cos 4C =-,则AC 的值为A.2B.3C.4D.56. 中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是222a b c +=,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=,我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5; 5,12,13;7,24,25. 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是 A.11,60,61 B.13,84,85 C.17,74,75 D.21,72,757.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于A.55πB.65πC.75πD.77π8.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,且,,βα⊥⊥n m 则“α∥β”是“m ∥n ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10a = A.28 B.128C.28-D.128-10.已知1x ,2x ,3x 分别为方程12122112log ,()log ,()log 22x x x x x x ===的根,则1x ,2x ,3x 的大小关系为A.132x x x <<B.123x x x <<C.312x x x <<D.321x x x <<11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,过C 的左焦点1F 作圆222+y 4x a =的切线交C 的右支于点M ,切点为E ,且12OE OM OF =+,则C 的离心率为B.5212.若函数()()4co s 3()2f x x πφφ=+<的图像关于直线1112x π=对称,当125,0,,12x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12x x ≠时,()()12f x f x =,则()12f x x +=A.4-B.-C.D.4 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数是 .16.如图,在平行四边形ABCD 中,,AP BD P ⊥为垂足,1AP =,则AP AC ⋅= .三、解答题:共70分。

2018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 345C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合}{1A x x =≥-，1,2x B y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩，则A B =IA ．}{12x x -≤≤B ．}{2x x ≥C ．}{02x x <≤ D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为 A ．1 BCD4．设,x y 满足约束条件12324x y x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．72 B ．92 C ．132D ．152 5．将函数1sin()24y x π=+图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数俯视图正视图()y f x =的图象，则函数()4y f x 3π=+的一个单调递增区间是 A ．(,0)2π-B ．(0,)2πC ．(,)2ππD ．3(,2)2ππ6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C 为正态分布(2,1)N 的密度曲线)与直线0,x =1x = 及0y =围成的封闭区域内点的个数的估计值为(附:若X2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=)A ．2718B ．1359C ．430D ．2157． 已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x = 8．已知锐角,αβ满足sin 2cos αα=，1cos()7αβ+=，则cos β的值为 A ．1314 B ．1114CD9．已知O 是坐标原点，12,F F 分别是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）的左、右焦点，过左焦点1F 作斜率为12的直线，与其中一条渐近线相交于点A ．若2||||OA OF =，则双曲线C的离心率e 等于 A ．54B ．53CD ．210．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代方程思想，可设,,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，则不定方程为53100,3100.z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩如图是体现张丘建求解该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 A ．3?t <，257y t =- B ．3?t ≤，257y t =-C ．5?t <，255y t =-D ．5?t ≤，255y t =- 11．底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为1，则其外接球的表面积为A ．49πB ．36πC ．25πD ．16π12．设函数()ln()f x x k =+，()e 1x g x =-．若12()()f x g x =，且12x x -有极小值1-，则实数k的值是 A ．1- B ．2-C ．0D ．22018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．边长为2的正三角形ABC 中，12AD DC =，则BD AC ⋅=___________． 14．()22344(1)x x x -++的展开式中，3x 的系数是___________．（用数字填写答案）15．B 村庄在A 村庄正西10km ，C 村庄在B 村庄正北3km ．现在要修一条从A 村庄到C 村庄的公路，沿从A 村庄到B 村庄的方向线路报价是800万元/km ，沿其他线路报价是1000万元/km ，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且满足2DAC π∠=，1sin 3BAD ∠=．若13ABD ADC S S ∆∆=， 则C ∠的余弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，若4(1)n n n c b b =+，求证：123n c c c +++<．18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，112BC DC AB ===． O 是AB 的中点，PO ⊥底面ABCD ．O 在平面PAD上的正投影为点H ，延长PH 交AD 于点E ． （1）求证: E 为AD 中点；（2）若90ABC ∠=，PA =BC 上确定一点G ，使得HG //平面PAB ，并求出OG 与面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程；（2） 已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．21．（12分）已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C的参数方程为4cos ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）当r 变化时，设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ．若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与OHEDCBAP曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知实数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式225x x y -++≤；（2）若,0x y >，证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解:（1）由题设132n n S a +=-， 当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分 ∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分 （没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∵2n ≥时，211n n -≥+，∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分 ∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ (11)分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分 当4060t <≤时，.y t t=⨯+-+. ………………………………2分 得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分 ξ可取0，1，2，3.03032327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为……………7分27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………8分 或依题意2(3,)5B ξ，23 1.25E ξ=⨯= ……………………………8分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），……………10分 每次上下班租车的费用约为0.242.611.820.32⨯+=（元）. ……………11分 一个月上下班租车费用约为20.32222894.081000⨯⨯=<，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分解法二：（1）（2）同解法一； （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为2182010(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.51250505050+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=（元）……………10分一个月上下班租车费用约为20.512222902.5281000⨯⨯=<……………11分估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）连结OE . 2,AB O =是AB 的中点，1CD =，OB CD ∴=，//AB CD ，∴ 四边形BCDO 是平行四边形， 1OD ∴=.………………1分PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， PO AD ∴⊥，………………2分 O 在平面PAD 的正投影为H ， OH ∴⊥平面PAD ，OH AD ∴⊥.………………3分又OH PO O =，AD ∴⊥平面POE ，AD OE ∴⊥，………………4分 又1AO OD ==，E ∴是AD 的中点. ………………5分 （2）90ABC ∠=，//OD BC ，OD AB ∴⊥，OP ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，………………6分(0,0,0)O ∴，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，2PA =，OP AB ⊥，1PO ∴OA OD OP ∴==，∴H ∴是ADP ∆的的外心，AD PD AP ==H ∴是ADP ∆的的重心，OH OP PH ∴=+23OP PE =+111(,,)333=-.………………8分设BG BC λ=，(,1,0)OG BC OB λλ∴=+=，141(,,)333GH OH OG λ∴=-=--，又(1,0,0)OD =是平面PAB 的一个法向量，且//HG 平面PAB ， 0GH OD ∴⋅=，103λ∴-=，解得13λ=，1(,1,0)3OG ∴=，………………9分OHECBAP设(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，(1,0,1)PD =-，(0,1,0)CD =-，0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y -=⎧⎨=⎩ 取1,x =则1,0z y ==，(1,0,1)n ∴=.………………11分cos ,||||n PGn PG n PG ⋅∴<>=⋅13==， ∴直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为………………12分 解法二：（1）同解法一；（2）过H 作HM EO ⊥，交EO 于点M ，过点M 作//GM AB ，分别交,OD BC 于,Q G ，则//HG 平面PAB ，………………6分 证明如下：//,MG AB AB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ，//MG ∴平面PABPO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ABCD ，PO EO ∴⊥， ∴在平面POD 中，//PO MH ，PO ⊂平面,PAB HM ⊄平面PAB ，//MH ∴平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PABGH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB .………………7分,OM PH OM ME HE =∴=， 1,3BG OQ ∴===………………8分 在OD 上取一点N ，使23ON =， CN OG ∴==，………………9分 作NT PD ⊥于T ，连结CT .∵,CD OD ⊥,CD OP OD OP O ⊥=，CD ∴⊥平面POD ， NT CD ∴⊥，PD CD D =, NT ∴⊥平面PCD ,NCT ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角.………………10分DN DPNT PO =, NT ∴，………………11分 TNQ PAB CD E HOMGsinNTOTNCN∴∠===, 即直线OG与平面P C D所成角的正弦值为………………12分解法三：（1）同解法一.（2）过E作//EQ AB，交BC于点Q，连结PQ，过H作//HM EQ交PQ于点M，过点M作//GM PB，交BC于G，连结HG，则//HG平面PAB，………………6分证明如下：//,MG PB PB ⊂平面,PAB MG⊄平面PAB，//MG∴平面PAB同理://MH平面PABMG MH M=，∴平面//MHG平面PAB．GH ⊂平面MHG，//HG∴平面PAB，………………7分2BG PM PHGQ MQ HE∴===，E是AD的中点，∴Q是BC的中点，1133BG BC∴==，………………8分取PD的中点N，连结ON，再连结OG并延长交DC的延长线于点T，连结NT，OP OD=，N是PD中点，ON PD∴⊥，OB OD⊥，,OB OP OD OP D⊥=，OB∴⊥平面PODOB ON∴⊥，//OB CD，ON CD∴⊥，PD CD D=，ON∴⊥平面PCD，OTN∴∠就是OG与平面PCD所成的角.BG OBGC CT=，2CT∴=，OT∴12ON DP=………………11分sinONOTNOT∴∠===，即直线OG与平面PCD所成角的正弦值为………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．TNGMQOHED CBAP解法一：（1）根据题意，可得：1224,21122a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,ab =⎧=………………………………………………………2分 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5m n +=，………………………………6分 从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+． (8)∴12y y -.∴12S S n -===85， 当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，122S S -=，………………………………11分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，此时直线l与椭圆的交点为，12182)(225S S ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1d =2d =.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+． (7)分∴12PQ x =-.………………………8分 ∴121212S S d d AB-=-⋅=b =b ===2=， 且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭． (12)分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分 ()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,x x >∴=，……………………………………3分 ()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分 设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+>()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数， (1)10u =-<， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>， 当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x =， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ<，max 2Z λλ∈∴=-. …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分 设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分 则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分 当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+>，………………………………………………11分 0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-， 得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分 曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分 化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．………………………………5分（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． …………………………………………………7分将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………8分 故121ρρ+=，1220ρρ=-<，…………………………………………………9分 故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………………………10分 （或由220ρρ--=得0)1)(2(=+-ρρ得1,221-==ρρ，…………………9分 故211-=-=OA OB …………………………………………………10分） 解法二：（1）同解法一；（2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． ………………………………………………………………7分设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………………8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………………………………9分故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．……………………………………………………10分 （或由220t t --=得，,0)1)(2(=+-t t 得1,221-==t t ，∴211-=-=OA OB ．……………………………………………………10分）23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，………………………………………1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；………………………………………………2分 当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；………………………………………………3分 当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；………………………………………………4分 综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.……………………5分 （2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅……………7分222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y=++225x y y x=++………………………………8分59≥=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分 解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y --∴--=⋅………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅………………………………7分 1x y xyxy+++=………………………………8分21xy =+2219()2x y ≥+=+当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分。

2018年福建省莆田市高考数学二模试卷（理科）（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则|z|＝（）A．5B．2C．D．12．（5分）已知集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则（）A．A∪B＝R B．A∪B＝{x|x＞﹣2}C．A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}D．A∩B＝{x|0＜x≤2}3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．8C．12D．164．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）＝，则f（﹣5）＝（）A．1B．﹣1C．3D．﹣35．（5分）在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝﹣，则AC的值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示是a2+b2＝c2，可见当时就已经知道勾股定理．如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，我们就把正整数a，b，c叫做勾股数，下面依次给出前3组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25．按照此规律，编写如图所示的程序框图，则输出的勾股数是（）A．11，60，61B．13，84，85C．17，74，75D．21，72，75 7．（5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：cm2）等于（）A．55πB．75πC．77πD．65π8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥β，n⊥β，则“α∥β”是“m∥n”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣a n+1＝3a n a n+1，则a10＝（）A．28B．C．﹣28D．﹣10．（5分）已知x1，x2，x3分别为方程2x＝x，（）x＝log2x，（）x＝x的根，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x3＜x2＜x111．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点F1作圆x2+y2＝的切线交C的右支于点M，切点为E，且2＝+，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）＝4cos（3x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x＝对称，当x1，x2∈（0，），x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数是．14．（5分）已知sinα+3cosα＝0，则sin2α＝．15．（5分）抛物线y2＝16x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣1，那么|PF|的值为．16．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝1，则•＝．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}为正项递增等比数列，S n为其前n项和，a1+a3＝5，S3＝7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，P A⊥PB，P A＝PB＝BC＝2AD＝2，PC＝2，O是AB的中点．（1）求证：OP⊥CD；（2）求直线OD与平面CDP所成角的正弦值．19．（12分）一企业从某生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的一项质量指标值x，由测量结果得如图频率分布直方图．（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）若质量指标值x＞，则称该件产品为优品（以x落入各区间的频率作为x取该区间值的概率）．质检部门对该生产线上的产品进行质量检验．检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件均为优品，则这批产品通过检验；若只有2件为优品，则再从这批产品中任取1件检验，若为优品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品均不能通过检验．每件产品是否为优品相互独立．（i）求这批产品通过检验的概率；（ii）已知每件产品的检验费用是100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为Y（单位：元），求Y的分布列及数学期望．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0），的一个焦点，点B1（0，﹣）为C的一个顶点，∠OFB1＝．（1）求C的标准方程；（2）若点M（x0，y0）在C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l：y ＝kx+m与C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过点O，求△AOB的面积．21．（12分）已知函数p（x）＝，q（x）＝x2﹣（1+2a）x．（1）讨论函数f（x）＝q（x）+2ax•p（x）的单调性；（2）当a＝0时，证明：xp（x）+q（x）＜e x+x2﹣x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）设A，B是C上的任意两点，且OA⊥OB，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）已知m+n＝1，对任意m，n∈（0，+∞），总存在a∈R，使得，求x的最大值．2018年福建省莆田市高考数学二模试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则|z|＝（）A．5B．2C．D．1【解答】解：由（2﹣i）z＝3+i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：C．2．（5分）已知集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则（）A．A∪B＝R B．A∪B＝{x|x＞﹣2}C．A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}D．A∩B＝{x|0＜x≤2}【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}；∴A∪B＝{x|x≥﹣2}，A∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：D．3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝4，y＝4时，目标函数z＝2x+y的最大值为2×4+4＝12，故选：C．4．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）＝，则f（﹣5）＝（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且满足f（x）＝，∴f（﹣5）＝﹣f（5）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2）＝1．故选：A．5．（5分）在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝﹣，则AC的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝﹣，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即16＝4+b2﹣4b×（﹣），化简得b2+b﹣12＝0，解得b＝3或b＝﹣4（不合题意，舍去），∴b＝AC＝3．故选：B．6．（5分）中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示是a2+b2＝c2，可见当时就已经知道勾股定理．如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，我们就把正整数a，b，c叫做勾股数，下面依次给出前3组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25．按照此规律，编写如图所示的程序框图，则输出的勾股数是（）A．11，60，61B．13，84，85C．17，74，75D．21，72，75【解答】解：当a＝1时，执行循环体后，a＝3，b＝4．不满足退出循环的条件；当a＝3时，执行循环体后，a＝5，b＝12．不满足退出循环的条件；当a＝5时，执行循环体后，a＝7，b＝24．不满足退出循环的条件；当a＝7时，执行循环体后，a＝9，b＝40．不满足退出循环的条件；当a＝9时，执行循环体后，a＝11，b＝60．不满足退出循环的条件；当a＝11时，执行循环体后，a＝13，b＝84．满足退出循环的条件，c＝85；故输出的a，b，c值为：13，84，85，故选：B．7．（5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：cm2）等于（）A．55πB．75πC．77πD．65π【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；由三视图可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD＝5，BC＝6，AB＝h，∴三棱锥的体积V＝××5×6h＝20，∴h＝4；把三棱锥还原为长方体，如图所示；则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R；∴（2R）2＝42+52+62＝77，∴三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝77π．故选：C．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥β，n⊥β，则“α∥β”是“m∥n”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥β，n⊥β，则“α∥β”⇔“m∥n”，∴“α∥β”是“m∥n”的充要条件．故选：C．9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣a n+1＝3a n a n+1，则a10＝（）A．28B．C．﹣28D．﹣【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n﹣a n+1＝3a n a n+1，则：（常数）则：数列{}是以为首项，3为公差的等差数列．所以：，所以：．则：．故选：B．10．（5分）已知x1，x2，x3分别为方程2x＝x，（）x＝log2x，（）x＝x的根，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x3＜x2＜x1【解答】解：在同一直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝，y＝log2x和y＝x的图象，如图所示；由函数y＝2x与y＝x图象的交点横坐标为x1，函数y＝与y＝log2x图象的交点横坐标为x2，函数y＝与y＝x图象的交点横坐标为x3，知x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点F1作圆x2+y2＝的切线交C的右支于点M，切点为E，且2＝+，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线右焦点为F2，连接MF2，∵2＝+，∴E是MF1的中点，又O是F1F2的中点，∴MF2＝2OE＝a，MF2∥OE，∴MF1＝3a，∵MF1是圆O的切线，∴OE⊥MF1，∴MF2⊥MF1，又F1F2＝2c，∴a2+9a2＝4c2，即5a2＝2c2，∴e2＝＝，故e＝．故选：C．12．（5分）若函数f（x）＝4cos（3x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x＝对称，当x1，x2∈（0，），x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：函数f（x）＝4cos（3x+φ）的图象关于直线x＝对称，∴3×+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝4cos（3x+），且当x∈（0，）时，3x+∈（，），根据题意x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），∴（x1+x2）＝π，∴x1+x2＝2π，∴f（x1+x2）＝4cos（6π+）＝2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数是60．【解答】解：根据题意，（x﹣）6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣r×（﹣）r＝（﹣2）r C6r x6﹣2r；令6﹣2r＝2，可得r＝2，则有T r+1＝（﹣2）2C62x2＝60x2，故答案为：60．14．（5分）已知sinα+3cosα＝0，则sin2α＝﹣．【解答】解：∵sinα+3cosα＝0，即sinα＝﹣3cosα，∴tanα＝﹣3．则sin2α＝2sinαcosα＝＝．故答案为：．15．（5分）抛物线y2＝16x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣1，那么|PF|的值为8．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝16x，∴焦点F（4，0），准线l方程为x＝﹣4，∵直线AF的斜率为﹣1，直线AF的方程为y＝﹣（x﹣4），由，可得A点坐标为（﹣4，8），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为8，代入抛物线方程，得P点坐标为（4，8），∴|PF|＝|P A|＝4﹣（﹣4）＝8，故答案为：8．16．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝1，则•＝2．【解答】解：设AC，BD交点为O，则＝2•＝2•AP•AO•cos∠P AO＝2AP2＝2．故答案为：2．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}为正项递增等比数列，S n为其前n项和，a1+a3＝5，S3＝7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3＝5，S3＝7．∴a1（1+q2）＝5，a1（1+q+q2）＝7，联立解得q＝2或．可得，，∵数列{a n}为正项递增等比数列，∴取，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n＝1+3×2+5×22+……+（2n﹣1）•2n﹣1．∴2T n＝2+3×22+……+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，相减可得：﹣T n＝1+2（2+22+……+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2×﹣（2n﹣1）•2n，化为：T n＝（2n﹣3）•2n+3．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，P A⊥PB，P A＝PB＝BC＝2AD＝2，PC＝2，O是AB的中点．（1）求证：OP⊥CD；（2）求直线OD与平面CDP所成角的正弦值．【解答】证明：（1）因为PB＝BC＝2，PC＝2，所以PB2+BC2＝PC2，所以∠PBC＝90°，即BP⊥BC，………………（1分）又AB⊥BC，AB∩BP＝B，AB⊂平面P AB，BP⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB，…………………………（2分）又OP⊂平面P AB，所以BC⊥OP，……………（3分）因为P A＝PB，O是AB的中点，所以AB⊥OP，又因为AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AB∩BC＝B，所以OP⊥平面ABCD，…………………………（4分）又CD⊂平面ABCD，所以OP⊥CD．…………（5分）解：（2）设CD中点为E，连接OE，则OE∥BC，所以OE⊥平面P AB，所以OB，OP，OE两两互相垂直，………………………………（6分）以O为原点，分别以OB、OP、OE为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．……………………………………………………（7分）则O（0，0，0），D（﹣，0，1），C（），P（0，），＝（﹣），＝（2，0，1），＝（），…………（8分）设平面CDP的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得z＝﹣2，y＝﹣3，…………（9分）即＝（1，﹣3，﹣2）．……………………………………………………（10分）设直线OD与平面DCP所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，所以直线OD与平面CDP所成角的正弦值为．…………………（12分）19．（12分）一企业从某生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的一项质量指标值x，由测量结果得如图频率分布直方图．（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）若质量指标值x＞，则称该件产品为优品（以x落入各区间的频率作为x取该区间值的概率）．质检部门对该生产线上的产品进行质量检验．检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件均为优品，则这批产品通过检验；若只有2件为优品，则再从这批产品中任取1件检验，若为优品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品均不能通过检验．每件产品是否为优品相互独立．（i）求这批产品通过检验的概率；（ii）已知每件产品的检验费用是100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为Y（单位：元），求Y的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知：＝0.004×10×10+0.012×10×20+0.019×10×30+0.030×10×40+0.020×10×50+0.010×10×60+0.005×10×70＝40，所以这100件产品质量指标值的样本平均数为40．（2）由直方图知P（x＞）＝0.15+0.2++0.1+0.05＝，即一件产品为优品的概率是，（i）这批产品通过检验的概率为P＝•（）3+（）2•（1﹣）•＝．（ii）Y可能的取值为300，400，并且P（Y＝400）＝（）2•（1﹣）＝，P（Y＝300）＝1﹣．所以Y的分布列为：Y的数学期望为E（Y）＝300×+400×＝337.5．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0），的一个焦点，点B1（0，﹣）为C的一个顶点，∠OFB1＝．（1）求C的标准方程；（2）若点M（x0，y0）在C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l：y ＝kx+m与C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过点O，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由已知得：b＝，在Rt△B1OF中，tan＝＝，解得c＝1，又∵a2＝b2+c2，解得a＝2．∴椭圆C的方程为：+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y3），则P，Q．又∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，得•＝0，即+＝0，①由，消y整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0，由△＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，而x1+x2＝﹣，x1x2＝，②∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2＝③联立①②③得，+＝0，即2m2﹣4k2＝3，又∵|AB|＝＝•，原点O到直线l：y＝kx+m的距离d＝，∴S△OAB＝|AB|•d＝••，把2m2﹣4k2＝3代入上式得S△OAB＝．21．（12分）已知函数p（x）＝，q（x）＝x2﹣（1+2a）x．（1）讨论函数f（x）＝q（x）+2ax•p（x）的单调性；（2）当a＝0时，证明：xp（x）+q（x）＜e x+x2﹣x﹣1．【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣（1+2a）x+2alnx，定义域为（0，+∞），则f'（x）＝x﹣（1+2a）+＝．①当a≤0时，x﹣2a＞0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．②当0＜a＜时，0＜2a＜1，∴当0＜x＜2a或x＞1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2a）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，③当a＝时，f′（x）＝≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当a＞时，2a＞1，∴当0＜x＜1或x＞2a时，f′（x）＞0，当1＜x＜2a时，f′（x）＜0，所以，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．（2）证明：当a＝0时，要证xp（x）+q（x）＜e x+x2﹣x﹣1，即证lnx+x2﹣x＜e x+x2﹣x﹣1，只需证明：e x﹣lnx﹣1＞0，设g（x）＝e x﹣lnx﹣1，则g′（x）＝e x﹣，g″（x）＝e x+＞0，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，又g′（）＝﹣2＜0，g′（1）＝e﹣1＞0，所以存在唯一x0∈（，1）使得g′（x0）＝0，即＝，∴﹣lnx0＝x0．∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）的最小值为g（x0）＝﹣lnx0﹣1＝+x0﹣1≥2﹣1＝1＞0，所以e x﹣lnx﹣1＞0，即原不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）设A，B是C上的任意两点，且OA⊥OB，求|AB|的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）转换为直角坐标方程：，转换为极坐标方程为：．（2）不妨设点A、B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B则：|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，|AB|2＝|OA|2+|OB|2，＝，＝，由于：0≤sin22θ≤1，所以：|AB|的取值范围是：．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）已知m+n＝1，对任意m，n∈（0，+∞），总存在a∈R，使得，求x的最大值．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）＜2，即|x+1|+|2x﹣1|＜2，…（1分）可得或或解得…（4分）所以不等式的解集为…（5分）（2）f（x）＝|x+a|+|2x﹣a|≥|x+a+2x﹣a|＝|3x|，（当且仅当（x+a）（2x﹣a）≥0时等号成立），…（6分）因为m，n∈（0，+∞），m+n＝1，所以，（当且仅当m＝，n＝时等号成立）…（7分）又因为对任意m，n∈（0，+∞），总存在a∈R，使得不等式成立，所以f（x）的最小值不大于的最小值，即|3x|≤9，…（8分）解得﹣3≤x≤3，…（9分）所以x的最大值为3…（10分）。