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初二最值培优专练类型1：将军饮马1、如图，E 为正方形A BCD 边A B 上一点，BE＝3AE＝3，P 为对角线B D 上一个动点，则 PA＋PE 的最小值是.2、在边长为2cm 的正方形A BCD 中，点Q为B C 边的中点，点P为对角线A C 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．3、如图所示，正方形A BCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E在正方形A BCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为 .第1题图第2题图第3题图4、如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，以AC 为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D 作∠A DC 的平分线分别交AB、AC 于点E、F.若AC＝12cm，BC＝5cm，点P 是直线DE 上的一个动点，则△PBC 的周长的最小值是cm．5、如图，在R t△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D是B C 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线A D 翻折，使点C落在A B 边上的点E处，若点P是直线A D 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．第4题图第5题图6、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是B C 边的中点，E 是A B 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是．7、如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，BE＝1，P 是A C 上一动点．则P B＋PE 的最小值是．8、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为B C 的中点，E 是A C 边上一点，则B E+DE 的最小值为.第6题图第7题图第8题图9、点A、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x 轴上使得PA PB 的值最大的点，Q 是y轴上使得Q A+QB 的值最小的点，则O P•OQ= ．10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，3 ），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，点P为斜边O B 上的一个动点，则P A+PC的最小值为．第9题图第10 题图11、（拓展）如图，在平面直角坐标系x oy 中，A（0，4），B（-2，0），C（0，1），将线段B C 向右平移t个单位，当A B+AC 最小时，t= .类型2：邮差送信1、如图，点P是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线O A 和射线O B 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2、如图，四边形A BCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在B C、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°第1题图第2题图yACBO xCA3、如图，∠AOB=60°，点 P 是半径为 2 的弧 A B 上一动点，点 M 、N 分别在半径 O A 、OB 上， 则△PMN 的周长最小值是（ ）A.2B. 2 3C.4D. 4 34、如图，已知∠MON= 45，A 是∠MON 内一点，OA=4，B 、C 分别在 OM 、ON 上，则△ ABC 周长的最小值为 .NAMPON BOB M第 3 题图第 4 题图5、如图，草地边缘 O B 与小河河岸 O A 在 O 处形成 60o 的夹角，牧马人从 C 地出发，先让马 吃草，再去河边饮水，最后回到 D 地，已知 O C=2，OD=3，∠COD=30o 则整个形成最短是.6、如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 O A 、OB 上，且 O M ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 M P ＋PQ ＋QN 的最小值是 .OA第 5 题图第 6 题图BCD7、如图，已知三角形木块A BC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在A C、AB 间往返爬行.当蚂蚁从木块A C 边的中点O出发，爬行到A B 边上任意一点P后，又爬回到A C 边上的任意一点Q 后，再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最．短．距．离．为． 8、如图，已知矩形A BCD，AB=12,AD=3，EF 分别是A B,CD 上的点，则AF+EF+EC 的最小值为第7题图第8题图8、在边长为4的等边△ABC 中、点D、E、F 分别为B C、AB、AC 边长的动点，则△DEF 的周长的最小值为.9、如图，在等边△ABC 中，AB=4，点P是B C 边上的动点，点P关于直线A B，AC 的对称点分别为M，N，则线段M N 长的取值范围是.AB D C第8题图第9题图EF10、在△ABC 中，∠A= 45o ，AB=7，AC= 4 2 ，D 、E 、 F 分别是 A B 、BC 、AC 边上的动点.求 △DEF 的最小周长为 .11、已知 A （2，4）、B （4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 A BCD 的周长最小值 为，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．ABEC第 10 题图第 11 题图12、如图，已知正比例函数 ykx k 0的图像与 x 轴相交所成的锐角为 700，定点A 的 坐标为（0, 4），P 为 y 轴上一个动点，M 、N 为函数 yk （x k0）的图像上的两个动点，则 AM MP PN 的最小值为DFy A P N MOxyABOxC类型 3：三角形三边关系1、如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 P M ．若 B C=2，∠BAC=30°，则线段 P M 的最大值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1 2、如图，∠MON=90°，斜边为 2 的直角三角形 A BC 的顶点 A 、B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，直角的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 .MAOBN第 1 题图第 2 题图3、如图，∠MON=90°，边长为 2 的等边三角形 A BC 的顶点 A 、B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在 边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到 点 O 的最大距离为 .4、如图， MON 90 ，已知△ABC ，AC=BC=5，AB=6，三角形 ABC 的顶点 A . B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，三角形 A BC 的形状保持不变， 在运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 .第 3 题图第 4 题图5、如图，∠MON=90°，矩形A BCD 的顶点A、B 分别在边O M，ON 上，当B在边O N 上运动时， A 随之在边OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为.6、如图，MON 90 ，矩形 ABCD 的顶点A. B 分别在边O M，ON 上，当B在边O N 上运动时，A 随之在边O M 上运动，矩形A BCD 的形状保持不变，其中A B=8，BC=3，运动过程中，点D到点O 的最大距离为.第5题图第6题图7、如图，MON 90，已知△ABC 中，AC=BC=13，AB=10，△ABC 的顶点 A、B 分别在边OM，ON 上，当点B 在边ON 上运动时，A 随之在CM 上运动，△ABC 的形状始终保持不变，在运动过程中，点 C 到点 O 的最小距离为（）A.5B.7C.12D.CMAN O B268、等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段A C 上一动点，连接B D，过点C作C H⊥BD 于H，连接A H，则A H 的最小值为．9、如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段C P 长的最小值为.第8题图第9题图10、如图，矩形A BCD 的两边A B＝5，AD＝12，以B C 为斜边作R t△BEC，F 为C D 的中点，则 EF 的最大值为.11、如图，点P是正方形A BCD 的对角线B D 上的一个动点（不与B、D 重合），连结A P，过点B作直线A P 的垂线，垂足为H，连结D H，若正方形的边长为4，则线段D H 长度的最小值是．第10 题图第11 题图C12、如图，在正方形 A BCD 中，动点 E 、F 分别从 D 、C 两点同时出发，以相同的速度在边 D C 、CB 上移动，连接 A E 和 D F 交于点 P ，由于点 E 、F 的移动，使得点 P 也随之运动.若 ， 线段 C P 的最小值是 .13、（拓展）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，以 B C 为边的△BCD 是等边三角形，则线段 AD 的最大值是.14、（拓展）在△ABC 中，BC= 2 ，AC=1，以A B 为边作等腰直角三角形 A BD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线 A B 的两侧）.当∠ACB 变化时，线段 C D 长的最大值为 .DAABB C第 13 题图第 14 题图15、（拓展）在△AEB 中，AE=2，EB= 2 ，以 A B 为边作正方形 A BCD ，连接 D E ，求 D E 的最大值 .ADEBCD类型4：立体图形展开图1、底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．42、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm3、如图，一个高16m，底面周长8m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，登梯长度最小值为.第1题图第2题图第3题图4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（）A．5 B．25 C．15 D．355、在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于 AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是米．（精确到 0.01 米）6、在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5 分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是分米．第5题图第6题图7、如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过 ABFE、BCGF、EFGH、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．D类型 5：点到直线的距离1、如图，在 R t △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC 交 A C 于 D 点，AB ＝4，BC ＝5，点 P 是 线段 B C 上的一动点，则 P D 的最小值是.2、如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 B C 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 A B 上的动点，则 B M+MN 的最小值是 ．ABPC第 1 题图第 2 题图3、如图，正方形 A BCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 D C 于点 E ，若点 P 、Q 分别是 A D 和 A E 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值．4、如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是 B C 边上的中线，F 是 A D 上的动点，E 是 A C 边上的动点，则 C F+EF 的最小值为 .第 3 题图第 4 题图5、如图， R t ABC 中，ABC 90， A B ＝8 ， B C ＝6 ，CA ＝10 ， A D 平分 BAC ，点 P 、Q 分别为 AD 、AB 上的动点，则 B P ＋PQ 的最小值是． 6、如图，△ABC 中，AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，AM 平分∠BAC ，点 D 、E 分别为 A M 、 AB 上的动点，则 B D ＋DE 的最小值是 ．AQPBDC第 5 题图第 6 题图7、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O 为 A C 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动，连接 O E ，则在点 D 运动过程中，线段 O E 的最小值是为（ ）A ．B ．C．1 D ．8、如图，边长为 2a 的等边三角形 A BC 中，M 是高 C H 所在直线上的一个动点，连接 M B ， 将线段 B M 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 B N ，连接 H N ．则在点 M 运动过程中，线段 H N 长 度的最小值是 ．第 7 题图第 8 题图9、如图，∠BAC=30°，M 为A C 上一点，AM=2，点P是A B 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则P M+PQ的最小值为．10、如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°，点P、Q 分别在BD，AD 上，则AP+PQ 的最小值为（）A． 2 2 B． 2 C．2 3 D． 3 3第9题图第10 题图11、如图，∠MON=90o，OB=2，点A是直线O M 上的一个动点，连结A B，作∠MAB 与∠ABN 的角平分线A F 与B F，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段B F 的最小值为.12、△ABC 是边长为4的等边三角形，点D是边B C 上一定点，CD=1，点E从点B出发向点 C 运动，同时点 F 从点 A 出发，以相同的速度向 C 运动，当点 E 到达点 C 时，运动停止，AE 和 BF 相交于点 O，连接DO，则运动过程中线段D O 长度的最小值为.AB E D CFO313、如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=4x﹣3 与x轴、y 轴分别交于点A，B，点M是直线A B 上的一个动点，则P M 长的最小值为．14、在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0, 2），点为实数），当PM 的长最小时，m 的值为（）M 的坐标为（m -1，-3m -9）（其中m4 4 A．125B．75C．3 D．415、如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6 3 ，0）．O C平分∠AOB，点M在O C 的延长线上，点N为边O A 上的点，则M A＋MN 的最小值是．类型6：费马点1、如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM 的最小值为．2、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点 O 为Rt△ABC 内一点，连接 AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则O A+OB+OC= ．第1题图第2题图3、如图，在四边形A BCD 中， B 60，AB=BC=3，AD=4，BAD 90，点P是形内一点，则P A+PB+PD 的最小值为.APDB C第3题图4、如图，点P是矩形A BCD 对角线B D 上的一个动点，已知，，则的最小值是.5、如图，菱形A BCD 的对角线A C 上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP＋BP＋PD 的最小值为.第4题图第5题图6、（拓展）如图，在矩形A BCD 中，AB=4，BC=6，矩形内有一动点P，过点P做P E⊥AD 于E，连接P B，PC，则P E+PB+PC的最小值为.A E DB C7、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，点P为△ABC 内一点．（1）连接P B，PC，将△BCP 沿射线C A 方向平移，得到△DAE，点B，C，P 的对应点分别为点D，A，E，连接C E．①依题意，请在图2中补全图形；②如果B P⊥CE，BP=3，AB=6，求C E 的长．（2）如图3，连接P A，PB，PC，求P A+PB+PC 的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将P A+PB+PC 的值转化为CP+PM+MN 的值，连接C N，当点P落在C N 上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当A C=BC=4 时，PA+PB+PC 的最小值．P8、如图，在R t△AOC 中，∠A=30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC 为一边做等腰直角△ACP，使得点P在第一象限。
尖子生假期培优正方形考点·方法·破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱 形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】（上海）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵若∠AED ＝2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形． 【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键．本题可选“对角线垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”． 证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ∴平行四边形ABCD 是菱形⑵∵△ACE 是等边三角形，∴∠ACE ＝60°，∵EO ⊥AC ，∴∠AEO ＝12 ∠ACE ＝30°，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∵∠ADO ＝∠EAD ＋∠ADEO ＝45° ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90° ∴四边形ABCD 是正方形． 【变式题组】01．如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，点M 、N 分别在OA 、OD 上,且MN ∥AD ．探究：线段DM 和CN 之间的数童关系，写出结论并给出证明．02．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上的点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，E 、F 是垂足，问PD 与EF 有怎样的关系？ 请说明理由．A B DO C EE GD FCBOA03．（荆州）如图，将正方形ABCD 中的 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．04．(荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图．【例2】（扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n °后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ． ⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面cm 2，求旋转的角度. 【解法指导】解⑴AO ⊥DE 证明：∵在Rt △ADO 与Rt △AEO 中，AD ＝AE ，AO ＝AO ，∴△ADO ∽△AEO (HL ) ，∴∠DAO ＝∠OAE (即AO 平分∠DAE ) ，AO ⊥DE (等腰三角形三线合一)[注：其他的结论也成立如GD ⊥BE ]⑵30°∵四边形AEOD cm 2，∴△ADO 的面积＝2AD DO ⨯=， 在Rt △AOD 中， AO 2＝OD 2＋AD 2， ∴AO ，∴AO ＝2OD ，∴AD ＝2，OD ，∠DAO ＝30°，∴∠DAE ＝60°，∴∠EAB ＝30°，【变式题组】01．(青岛)如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．02．我们给定两个全等的正方形ABCD 、AEFG 它们共顶点A (如图1)，可以绕顶点A 旋转，CD 、EF 相交于点P ． ⑴连接BE 、DG （如图2），求证：BE ＝DG ，BE ⊥DG⑵连接BG、CF(如图)，求证：BG∥CF．【例3】（临沂）数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E 是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE ＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等．解：⑴正确．证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∠BME＝45°，∴∠AME＝135°∵∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°∴∠AME＝∠ECF，∵∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∴△AME≌△ECF，AE＝EF⑵正确．如图，在BA延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°∠NAE＝90°＋∠1，∠CEF＝45°∴∠NAE＝∠CEF，△ANE≌△ECF∴AE＝EF【变式题组】01．(福建省宁德)如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；⑵连接FG，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．02．(南宁)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF．⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【例4】（荆州市竞赛题）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BN＝DN 时（如图1），易证BM＋DN＝MN．⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．图1 图2 图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决．解：⑴MN ＝BM＋DN．证明：延长CB到E，使BE＝DN，连接AE．∵AB＝AD，BE＝DN，∠ABE＝∠ADN，△ABE≌△ADN．∴∠1＝∠2，AE＝AN，∵∠MAN＝45°，∠1＋∠3＝45°∴∠1＋∠2＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，AM＝AM∴△AEM≌△ANM，∴MN＝ME，∴MN＝BM＋DN⑵MN ＝DN－BM．证明：在DN上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF．∴∠4＝∠5，AF＝AM，∵∠4＋∠6＝45°，∴∠5＋∠6＝45°，∴∠F AN＝45°∴∠F AN＝∴∠MAN，AF＝AM，AN＝AN，∴△AFN≌△AMN．∴MN＝FN，MN＝DN－BM．【变式題组】01．（衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：⑴∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵△ECF的周长是否有变化？请说明理由．02．如图，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从边长为1的正方形ABCD 的四个顶点出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动 ⑴试判断四边形PQEF 的形状，并证明；⑵PE 是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？ 03．（济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N (如图)．⑴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；⑵设△MBN 的周长为p ，在正方形OABC 旋转的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E 、F 、G 、H 只分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，若EG 丄FH ，则GE ＝FH ”经过思考，大家给出了以下两个方案：(甲）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，过点B 作BN ∥EG 交CD 于点N ； (乙）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． ⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； ⑵如果把条件中的“EG 丄HF ”改为“EG 与HF 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH (如图2)，试求EG 的长度．【解】⑴证明：如图3过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠AND ＝90° ∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∴∠DAN在△ABM 和△ADN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM=∠DAN AB=AD ∠ABM=∠ADN ∴△ABM ≌△ADN ，∴AM ＝AN ，即EG ＝FH⑵解：如图4过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点A 作AN ∥EG 交于点N ，∵AB ＝1，AM ＝FH ，∴在Rt △ABM 中，BM ＝12将△ADN 绕点A 旋转到△APB ，∵EG 与FH 的夹角为45°∴∠MAN ＝45°，∴∠DAN ＋∠MAB ＝45°即∠P AM ＝∠MAN ＝45° 从而，△APM ≌△ANM ，∴PM ＝NM 设DN ＝x ，则NC ＝1－x ，MN ＝PM ＝12＋x在Rt △ABM 中，(12＋x )2＝14＋(1－x )2解得x ＝13，∴EG ＝AN ．【变式题组】01．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为 ． 02．（天孝）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°，得△ADE'，连接EE'，则EE'的长等于 ． 03．（上海）已知正方形ABCD 中,点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1(如图所示)把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为 ．04．(盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD (如图①，AD ＞CD )沿过A 点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F 处,折痕为(如图②)；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG (如图③)．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，矩形ABCD 长与宽的比值为 ．05．（黑龙江鸡西）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB ＝90°）和一直线MN ．过点C 作以CE 丄MN 于点E ，过点B 作BF 丄MN 于点F ．当点E 与A 重合时（如图1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明．演练巩固·反馈提高01．（江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 02．（烟台）如图，将n 个边长为1cm 瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．14cm 2 B ．4n cm 2 C ．14n -cm 2 D ．1()4n cm 203．（山西省）如图⑴，把一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，并拼成图⑵，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A ．2m n - B ．m －n C ．2mD ．2n 04．（白银）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE 丄AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8， 则BE ＝（ ）A ．2B ．C ．3D 05．（抚顺）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3D 06．（贺州）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．07．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别经过A 、B 、C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2的距离为a ，l 2与l 3的距离为b ，则正方形ABCD 的面积是 ． 08．（重庆）如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线八AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点 A 恰好与BD 上的点F 重合．展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ．连接GF ．下列结论：①∠ADG ＝112．5°；②AD ＝2AE ；③S △ACG ＝ S △OCD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE ＝2OG ，其中正确的结论序号是 ． 09．（北京）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N ＝ ，若M 、N 分别是AD 、BC 边上的距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），则A′N ＝ （用含有n 的式子表示）．10．（威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EF、FG、HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．11．(黄石)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．⑴探究线段OE与OF的数量关系并证明；⑵当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；⑶当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？12．（常德）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M．①求证：AG丄CH；②当AD＝4，DG CH的长．13．如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．求证：△FMH是等腰直角三角形．培优升级·奥赛检测01．（南昌市八年级竞赛试题）P 为正方形ABCD 内一点，若P A ﹕PB ﹕PC ＝1﹕2﹕3，则∠APB 的度数为（ ） A ．120° B ．135° C ．150° D ．以上都不对02．（四川省初二联赛试题）如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A ．1BC ．1D ．1203．在正方形所在的平面内有一点P ，便△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的P 点共有（ ）A ．9个B ．7个C ．5个D ．1个04．如图，G 是边长为4的正方形ABCD 的边长BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD ＝5，则EG 的长为 ．05．（第十九届江苏省初二竞赛试題）如图，四边形ABCD 为正方形，AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ．CE 与DB 相交于点F ，则∠AFD ＝ 度． 06．（荆州市八年级联赛试题）如图，已知：△AEC 是以正方形ABCD 的对角线为边的等边三角形，EF 丄AB ，交AB 延长线于F ，则∠BEF 的度数为 ．07．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间的小正方形（阴影部分）的周长为 ．08．如图，正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，点B 坐标为(4，4)，当三角板直角顶点P 坐标为(3，3)时，设一直角边与x 轴交于点E ，另一直角边与y 轴交点于F ．在三角板绕点P 旋转的过程中，使得△POE 成为等腰三角形．有满足条件的点F 的坐标为 ． 09．（湖州市竞赛试题）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O (0，0) 、A (100，0) 、B (100，100) 、C (0，100)．若正方形OABC 内部（边界及顶点除外）一格点P 满足；S △POA ×S △P AC ＝ S △P AB ×S △POC 就称格点P 为“好点”，则正方形OABC 内部“好点”的个数为 个．10．如图，已知正方形ABEF 和正方形ACGH 在△ABC 的外部．若M 是BC 的中点，求证FH ＝2AM1111．如图，把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上(CG ＞BC )，取线段AE 的中点M ．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．12．（宁德）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将服BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． ⑴求证：△AMB ≌△ENB ；⑵①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；⑶当AM ＋BM ＋CM1时，求正方形的边长．。
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩。
每天他都要从家所在的点A 出发，到集市点B ，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O ，而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图23-1.这个信徒想，我怎样选择朝拜点C ，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？解析 在圆周上选一点P ，过P 作OO 的切线MN ，使得∠APK=∠BPK ，即αβ=.那么朝圣者沿A→P→B 的路线去走，距离最短.证明 如图23-2，在圆周上除P 点外再任选一点P '.连结BP '与切线MN 交于R ，AR+BR>AP+BP.∵RP '+AP '>AR.∴AP '+BP '=AP '+RP '+RB>AR+BP>AP+BP.不过，用尺规作图法求点P 的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，解决它的方法是采用“等角原理”.图23－1BA图23－2M N知识延伸】平面几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中，可以直接通过计算来求出定值；也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变。
例1 如果△ABC 的外接圆半径R 一定， 求证：abcS是定值.（S 表示△ABC 的面积） 解析 由三角形面积1sin 2S ab C =和正弦定理2sin cR C =，2sin c R C ∴=.24sin 4sin sin abc c R CR S C C∴===是定值 点评 通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R ，即为定值.平面几何中不仅有等量关系，还有不等关系，例如在变动一些几何元素时，某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值，如果这个定值在某个情形下可以取得，这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题，解决这些问题总要证明相关的几何不等式，并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图23－3，已知⊙O 的半径R ＝，A 为⊙O 上一点，过A 作一半径为r ＝3的⊙O ′，问OO ′何时最长？最长值是多少？OO ′何时最短？最短值是多少？图23－3解析：当O ′落在OA 的连线段上（即⊙A 与线段OA 的交点B 时）OO′最短，且最短长度为3；当O ′落在OA 的延长线上（即⊙A 与OA 的延长线交点C 时）OO′最长，且最长的长度为 3.点评：⊙O ′是一个动圆，满足条件的⊙O ′有无数个，但由于⊙O ′过A 点，所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.好题秒解】佳题新题品味例1 如图23－4，已知P 为定角O 的角平分线上的定点，过O 、P 两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.求证：OA ＋OB 是定值.图23－4O证明： 连接AP 、BP ，由于它们为有相同圆周角的弦，AP ＝PB ，不妨记为r ，另记1x ＝OA ，2x ＝O B. 对∆POA 应用余弦定理，得1x 2＋OP 2－2OP ⋅cos ∠AOP ⋅1x ＝r 2.故1x 为方程1x 2－2OP ⋅cos12∠AOB ⋅x ＋（OP 2－r 2）＝0的根，同理2x 亦为其根. 因此1x ，2x 为此方程的两根，由韦达定理，得1x ＋2x ＝2OP （12∠AOB ）是定值.点评：当1x ＝2x 时，1x ＋2x 为此定值，事实上此时OP 一定是直径.例2：如图23－5，在矩形ABCD 中，AB ＝8,BC ＝9,⊙O 与⊙O ′外切，且⊙O 与AB 、BC 相切. ⊙O ′与AD 、CD 相切，设⊙O 的半径为x ，⊙O 与⊙O ′的面积的和为S ，求S 的最大值和最小值.图23－5HBD解析：设⊙O ′的半径为y ，过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH ，O ′F ，垂足分别为H ,F ,OH 、O ′F 交于点E ,则有：O ′E ＝8－(x ＋y ),OE ＝9－(x ＋y )由勾股定理可得：(x ＋y )2＝[8－(x ＋y )]2＋[9－(x ＋y )]2 整理，得（x ＋y －29）（x ＋y －5）＝0， 由题意知1≤x ≤4，∴x ＋y ＝5，y ＝－x ＋5，∴S ＝πx 2＋πy 2＝π(2x 2－10x ＋25) ＝2π[(x －52)2＋254],故当x ＝52时，S m i n ＝252π；当x ＝4时，S max ＝17π.点评：先由已知求出⊙O ′的半径与⊙O 的半径x 之间的关系，然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系，这个关系就是一个函数关系，再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例（南京市中考题）如图23﹣6，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，又⊙O 1切⊙O 2的直径BE 于点C ，连结PC 并延长交⊙O 2于点A ，设⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 、R ，且R≥2r.求证：PC·AC 是定值.图23－6EBAP图23－7解析 若放大⊙O 1，使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2（如图23-6），显然此时有PC·AC=P O 2·A O 2=2r·R （定值）.再证明如图23﹣7的情况：连结C O 1，P O 2，则P O2，必过点O 1，且O1C ⊥BE ，得2COBC R =EC R =所以PC·AC=EC·BC=2Rr ，故PC·AC 是定值.点评 解答几何定值问题时，可先在符合题目条件的前提下用运动的观点，从特殊位置入手，找出相应定值，然后可借助特殊位置为桥梁，完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1（第十五届江苏省初中数学竞赛题）如图23﹣8，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合），分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B '、C '、D '.求BB '+CC '+DD '的最大值和最小值.图23－8AC解析 12DPC APC S S AP CC ∆∆'==⋅，得 APC ADP DPC BCDA S S S S ∆∆∆=++四边形1()2AP BB DD CC '''=++，于是BB'+CC'+DD'=2AP. 又1≤AP≤2，∴BB'+CC'+DD'，最大值为2.点评 本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2（2000年“新世纪杯”广西竞赛题）已知△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 或其延长线上一点，AE 是△ABC 外接圆的一条弦，若∠BAE=∠CAD.求证：AD·AE 为定值.图23－9(2)(1)E证明 如图23﹣9（1），当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时，连结BE ，则∠E=∠C ，∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ADC. AB AEAD AC∴=，即AD·AE=AB·AC 为定值. 如图23﹣9（2），当点D 在BC 的延长线上时，∠BAE=∠CAD.此时，∠ACD=∠AEB.AEB ∴∆∽ACD ∆. AB AEAD AC∴=， 即AD·AE=AB·AC 为定值.综上所述，当点D 在BC 边上或其延长线上时，只要∠CAD=∠BAE ，总有存AD·AE 为定值 点评 先探求定值，当AD ⊥BC ，AE 为圆的直径时，满足∠BAE=∠CAD 这一条件，不难发现∆ACD ∽∆AEB ，所以AD·AE=AB·AC ，因为已知AB ，AC 均为定值.再就一般情况分点D 在BC 上，点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.过关检测】A 级1.已知：MN 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径.求证：点A 、B 与MN 的距离的和为定值.2.已知：⊙O与⊙O1外切于C，P是⊙O上任一点，PT与⊙O1相切于点T求证：PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，过P作任一直线交OO，于点E，交⊙O2于点F.求证：∠EOF为定值。
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。
2020中考数学 几何培优:平面几何的最值问题（含答案）1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ．2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． 3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ．4. 在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．第4题图第1题图 第3题图 第5题图 第6题图5．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) A ．42B ．4.75C ．5D ．4.86．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( )A ．12B ．4πC ．62D ．637．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°8．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( )A ．15B ．20C ．15+52D ．15+551第7题图 第8题图 第9题图9．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？10．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．11．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC 边上任意一点．连结AQ ，DQ ，过P 作PE ∥DQ 交于AQ 于E ，作PF //AQ 交DQ 于F ． (1) 求证：△APE ∽△ADQ ；(2) 设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必证明）NNMOBAP12．在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6．动点M ，N 分别在两腰AB ，AC 上(M 不与A ，B 重合，N 不与A ，C 重合)，且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ． (1)当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？(2)设MN =x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式，当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？13. 如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．14. 如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．15. 阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：B CADND图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．16. 如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．17. 如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．NME DAB1ABD参考答案1. 172. 83.4. 1255.D6. D7. B8. C9. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x.∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52.故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52.10. （1）»BC长为23r π.（2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM .由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r －2xr .同理，EF ＝2 r －2x r .l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x r ）..当x ＝r 时，l 取得最大值6 r .11. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ .（2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34.故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.12 （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上.（2）由已知得△ABC 底边上的高h＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2.当＝3时，y 的值最大，最大值是3.②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D .由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC .，∴PEFABC SS ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （.∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2.∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4.故当x ＝4时，y 的最大值为4.综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4.13. B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE＝AB BCAC⋅=c m ，BB ′＝c m ，AE＝．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ．14.由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x -⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋abx≥=∴当且仅当x ＝abx即x 上式等号成立．故当AP AP ＋BQ最小，其最小值为b ．15. ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244h π-时，2212ll <．16. 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%．17. 设PD ＝x (x ＞1)，则PC ，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝CD PA PC ⋅=y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝2122421x x -++=+-，即当x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥-2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4.。
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
例2第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。
【例2】如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段EF 的最小值（）。
A.24B.4.75C.5D4.8【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm，点P 是BC 边上不与点B、C 重合的任意一点，连接AP，过点P 作PQ⊥AP 交DC 于点Q，设BP 的长为x cm，CQ 的长为y cm.(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当41=y cm 时，求x 的值.例1例3【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q，求AP=BQ 的最小值.【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD 的延长线交于P，求AB·S△PAB 的最小值.图形折叠【例6】在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A、B 重合，N 不与A、C 重合），且MN//BC，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.例4例5例6第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（ ）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时， 此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213， 故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22． 故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。
