第三章 2.3应力莫尔圆

( 1 3 )2 2 (1 3 )2
2
2
在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个 圆，圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半 径为(σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。
莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应 面上的应力状态。
课资讲解
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3.2 莫尔-库仑定律
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3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
课资讲解 莫尔圆半径：p*sin16φ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力 1 p (1 sini ) c cot i 最小主应力 3 p (1 sini ) c cot i
zz
粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为
正，拉应力为负；切应课力资讲是解逆时针为正，顺为负。 2
二、莫尔应力圆
1、为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出（ 一位工程师）
来由—— 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
状态—称为莫尔－库仑破坏
准则，它是目前判别粉体(粉
体单元)所处状态的最常用或
最基本的准则。
课资讲解
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莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态
τ-σ线为直线b： 临界流动状态/流 动状态
根据这一准则，当粉体

下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1

要使用应力莫尔圆来求主应力，我们首先需要理解莫尔圆是什么。

在材料力学中，莫尔圆表示的是在某一点上，应力与应变之间的关系。

对于各向同性的材料，三个主应力和主应变在莫尔圆上都有对应的点。

首先，我们需要知道三个方向的应变：ε1，ε2和ε3。

这些应变可以通过实验测量得到，或者通过其他方式计算。

接下来，我们需要知道三个方向的应力：σ1，σ2和σ3。

这些应力也可以通过实验测量得到，或者通过其他方式计算。

有了这些数据后，我们可以根据胡克定律（Hooke's Law）来建立方程组：
ε1 = α1 * σ1
ε2 = α2 * σ2
ε3 = α3 * σ3
其中，α1，α2和α3是材料的弹性常数。

然后，我们可以使用这三个方程来解出α1，α2和α3。

有了这三个弹性常数后，我们就可以求出主应力了。

具体来说，我们可以使用以下公式来求主应力：
σ1 = α1 * ε1
σ2 = α2 * ε2
σ3 = α3 * ε3
这三个公式可以帮助我们找到三个方向的应力，其中最大的那个就是主应力。

需要注意的是，这个方法只适用于各向同性的材料。

对于各向异性的材料，这个方法可能不适用。

滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特 例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在 （σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律