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一种新的股票模型的期权定价公式

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期权定价公式的一般推导方法

期权定价公式的一般推导方法

(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)

期权定价二叉树模型

期权定价二叉树模型

9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859

期权定价模型

期权定价模型

二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。

基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。

因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。

6_期权定价的连续模型及BS公式

6_期权定价的连续模型及BS公式
采用股价模型
代替真正股价
，方差保持不变 ，且满足下式
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
现在的问题是，是否存在这样的 ？
2015/10/18
45
第五节 Black-Scholes公式的推导
如果令
（5-15）
于是
2015/10/18
46
第五节 Black-Scholes公式的推导
2015/10/18
10
第二节 离散模型
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自
中的
，其作用类似于债券
第二个漂移项来自于
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即
和货币基金市场中的利率
2015/10/18
11
第二节 离散模型
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对
2015/10/18
37
第四节 Black-Scholes公式
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。 参数是股票价格波动率。
2015/10/18
36
第四节 Black-Scholes公式

金融工程第9章 股票期权定价公式

金融工程第9章 股票期权定价公式
后得到的实际（连续复利）收益率的概率分布是正态分布，其均值为：
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：
S : 股票价格变化
c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93

bs model公式(一)

bs model公式(一)

bs model公式(一)BS Model公式及其解释在金融衍生品定价中，Black-Scholes (BS)模型是一个重要的数学模型，用于计算欧式期权的理论价格。

这个模型是由Fisher Black 和Myron Scholes在20世纪70年代提出的，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

BS模型基于一些假设，包括股票价格的对数正态分布和市场的无套利机会。

以下是BS模型的相关公式及其解释：1. 股票价格模型•Geometric Brownian Motion(GBM)模型表示股票价格的演化：dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)–其中，S(t)代表股票价格在时间t的值。

–μ是股票价格的年化平均收益率。

–σ是股票价格的年化标准差。

–dW(t)是Wiener过程，代表随机波动项。

2. 期权定价公式•BS模型的期权定价公式基于Black-Scholes假设和股票价格模型：C=S(t)N(d1)−Xe−r(T−t)N(d2)P=Xe−r(T−t)N(−d2)−S(t)N(−d1)–其中，C和P分别表示欧式看涨期权和欧式看跌期权的理论价格。

–S(t)是期权到期日当天的标的资产价格。

–X是期权的行权价格。

–r是无风险利率。

–T是期权的到期时间。

–t是当前时间。

–N(x)是标准正态分布的累积分布函数。

–d1=ln(S(t)X)+(r+σ22)(T−t)σ√T−t和d2=d1−σ√T−t。

3. 解释示例假设有一只股票的当前价格为100元，行权价格为120元，无风险利率为5%，期权的到期时间为1年，标的资产的年化平均收益率为10%，股票价格的年化标准差为20%。

根据以上数据，我们可以应用BS模型来计算看涨期权和看跌期权的理论价格。

•计算d1和d2：d1=ln(100120)+(+22)(1−0)√1−0≈−d2=−−√1−0≈−•计算看涨期权价格：C=100N(−)−120e−(1−0)N(−)≈•计算看跌期权价格：P=120e−(1−0)N()−100N()≈因此，根据BS模型，该看涨期权的理论价格约为元，而该看跌期权的理论价格约为元。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件

§ 例6.3
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型

b-s期权公式课件


连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。

金融市场的股票定价模型

金融市场的股票定价模型股票定价是金融市场中的重要问题之一，它涉及到投资者对股票的价值评估和决策。

为了能够合理地估计股票的真实价值，并做出相应的投资决策，金融学家们提出了各种股票定价模型，其中包括常见的CAPM模型和DCF模型。

一、CAPM模型CAPM（Capital Asset Pricing Model，资本性资产定价模型）是股票定价中最为常见的模型之一，它基于投资者在风险与收益之间的权衡选择，并利用市场上的风险无差异原则来估计股票的合理价格。

根据CAPM模型，股票的期望收益率等于无风险利率加上股票的市场风险溢价，即：E(Ri) = Rf + βi * (E(Rm) - Rf)其中，E(Ri)表示股票的期望收益率，Rf表示无风险利率，βi代表股票的贝塔系数，表示股票与整个市场的相关性，E(Rm)表示市场的期望收益率。

通过CAPM模型，投资者可以基于市场风险溢价来评估股票的合理价格，并根据市场的风险水平做出相应的投资决策。

二、DCF模型DCF（Discounted Cash Flow，贴现现金流）模型是另一种常见的股票定价模型，它侧重于评估股票的现金流量，并利用贴现率来计算股票的合理价格。

根据DCF模型，股票的合理价格等于其未来现金流量的折现值之和，即：P = Σ (CFt / (1 + r)t)其中，P表示股票的合理价格，CFt表示第t期的现金流量，r表示贴现率，t表示时间。

通过DCF模型，投资者可以通过对未来现金流量进行估计，结合适当的贴现率，来评估股票的真实价值，并据此做出投资决策。

三、其他股票定价模型除了CAPM模型和DCF模型外，还有许多其他的股票定价模型，如Fama-French三因子模型、Black-Scholes期权定价模型等。

Fama-French三因子模型通过考量股票的市场风险溢价、规模因子和账面市值比因子，对股票的定价进行了更细致的分析。

Black-Scholes期权定价模型则是针对股票期权的定价进行了建模，通过考虑期权的行权价格、到期时间、无风险利率、股票价格和波动率等因素，计算期权的合理价格。

布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

∂f
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
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Open Access
1. 引言
1965 年 Zadeh [1]通过隶属函数提出模糊集合的概念，模糊集理论被广泛应用于实践。之后 Zadeh [2] 为了度量一个模糊事件提出了可能性测度，后发展成为可能性理论。在此基础上，人们开始尝试将模糊 理论应用于金融领域， 试图用来描绘金融领域中的不确定因素。 在 20 世纪七十年代早期， Black 和 Scholes [3]在假设股票价格遵循几何布朗运动的基础上，得出了期权的价格公式。Metron [4]又对 Black-Scholes 公式进行了推广。Black-Scholes 公式在当今的金融市场实践中已经成为了一种独立的工具，但经典的 Black-Scholes 期权定价模型是一种随机数学模型，除了随机性之外，模糊性也是金融市场中不确定性的 一个重要特征。现实生活中的信息不对称，风险主观，客观偏向不同等原因，使得人们对未来状况的估 计总是带有不确定因素， 这样就不能完全用随机性来解释， 模糊理论的出现为解决这类问题提供了基础。 Liu 和 Liu [5]在 2002 年提出了可信性测度的概念。 之后， Li 和 Liu [6]给出了可信性测度的充要条件。 Liu [7]在 2004 年建立了可信性理论，之后 Liu [8]在 2007 年完善了这一理论，随后这一理论成为了研究 模糊现象的一个数学分支。为了描述动态模糊现象，Liu [9]提出了模糊环境下布朗运动的对应概念—— Liu 过程， 并给出 Liu 微分定义和 Liu 积分的定义， 它们分别对应 Ito 微分和 Ito 积分。 有关 Liu 过程方面， 学者们做了大量的研究，You，Huo 和 Wang [10]将 Liu 过程，Liu 积分，Liu 公式推广到多维情形。You 和 Wang [11]介绍了模糊积分存在的三个条件和三类模糊积分性质。You，Ma 和 Huo [12]给出了一类广 义 Liu 积分的定义，并且还得到了这种积分的性质和判别定理[13] [14]。此外，Dai 证明了 Liu 过程是 Lipschitz 连续且具有有限变差。Kaleva [15]，Kaleva [16]和 Ding，Ma 和 Kandel [17]对传统的模糊微分方 程进行了研究。这些模糊微分方程实际上是带有模糊参数的微分方程。Liu [9]定义了一种新的模糊微分 方程：
= ( t , X t ) dCt ,
其中 Ct 是标准 Liu 过程， f , g 是给定函数。这种方程的解是一个模糊过程。后来，Chen 和 Qin [18]证明 了在 Lipschitz 条件和线性增长条件下的上述模糊微分方程的解，得存在唯一性定理。 假设股票价格遵循几何 Liu 过程，Liu 建立了模糊股票模型(Liu 股票模型)。在此基础之上，Qin 和 Li [19] [20]用可信性理论得出了 Liu 股票模型的欧式期权的定价公式，并给出了 MATLAB 求模糊期权价 格的算法。 Gao 和 Chen [21]建立了时变利率、 时变股票漂移和时变股票扩散的广义股票模型。 Gao 和 Gao [22]提出了一种新的股票模型，它类似于 Black-Karasiski 模型，并给出了欧式期权的价格公式。Peng [23] 也给出了一个更一般的模糊金融市场模型，进一步扩展了 Gao 的股票模型，该模型的求解更为复杂，不 能直接应用于金融市场期权定价。 期权价格问题在金融市场中是一个基本问题， 随着金融市场的日益发展， 为满足广大投资者的需求， 金融机构运用期权理论和分析方法设计出来了越来越多新期权。以前讨论的问题中，执行价格都为一固
DOI: 10.12677/aam.2018.710142 1226 应用数学进展
张元元，尤翠莲
定值，本文讨论的是一类期权定价问题，其执行价格满足一扩散过程，例如，一种股票转换成另外一种 股票的期权。 本文的其余内容组织如下， 接下来的部分中， 回顾了模糊过程的一些基本概念和性质。 在第三节中， 我们提出了一种新的模糊期权模型及其公式定义。第四节中，我们给出了基于模型的欧式看涨期权定价 公式和第五节中，我们给出了基于模型的欧式看跌期权的期权定价公式。最后给出简要的总结。
st th nd
Abstract
The option pricing problem is one of central contents in modern finance. Black and Scholes assume that the fluctuation of stock price conforms to geometric Brownian motion, and then establishes stochastic financial mathematics on this basis. However, the uncertainties in the uncertain environment are not only random but also fuzzy, so it is necessary to study the fuzzy financial market. Based on the credibility theory, this paper discusses the case that the execution price of an option satisfies a diffusion process, and obtains the option pricing formula of this new stock model.
B0 exp ( rt ) Bt = = St S0 exp ( et + δ Ct )
或者
dBt = rBt dt = dSt eSt dt + δ St dCt
其中 r 是无风险利率，e 是股票漂移系数， δ 是股票的扩散系数。
X ( t ;θ ) 称为样本连续。下文中我们使用符号 X t 来代替较长符号 X ( t ;θ ) 。
定义 4： (Liu [6])对任意时间 t0 < t1 < < tk ，如果
X t1 − X t0 , X t2 − X t1 , , X tk − X tk −1
是独立的模糊变量，那么称模糊过程 X t 具有独立增量。 对于任意给定的 t > 0 ， 当 s > 0 时，X s+t − X s 是同分布模糊变量， 那么称模糊过程 X t 具有平稳增量。 定义 5： (Liu [6]) 模糊过程 Ct 称作 Liu 过程，如果 1) C0 = 0 ， 2) Ct 具有平稳独立增量， 3) 任意增量 Ct + s − Cs 是正态分布模糊变量，即期望为 et ，方差为 δ 2t 2 ，隶属函数为
Keywords
Fuzzy Process, Liu Process, Stock Model, Fuzzy Differential Equation, Option Pricing
一种新的股票模型的期权定价公式
张元元，尤翠莲
河北大学数学与信息科学学院，河北 保定
收稿日期：2018年10月1日；录用日期：2018年10月15日；发布日期：2018年10月22日
文章引用: 张元元, 尤翠莲. 一种新的股票模型的期权定价公式[J]. 应用数学进展, 2018, 7(10): 1225-1232. DOI: 10.12677/aam.2018.710142
张元元，尤翠莲
关键词
模糊过程，Liu过程，模糊微分方程，股票模型，期权定价
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
DOI: 10.12677/aam.2018.710142
张元元，尤翠莲
传统上，一般假定股票价格遵循几何布朗运动，而随机金融数学就是建立在这一假设之上。随着模 糊过程以及模糊运算的引入，Liu 提出了另一种假设，即股票价格服从几何 Liu 过程。基于这一假设，期 权定价，最优停时，最优投资组合选择等均可重新考虑，因此产生了一种全新的模糊金融数学理论。Liu 提出了模糊金融市场的基本股票模型，其中债券价格 Bt 和股票价格 St 可表达为
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(10), 1225-1232 Published Online October 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.710142
= X t exp ( et + δ Ct )
称为几何 Liu 过程。 的链式规则
dX t = ∂h ∂h ( t , Ct ) dt + ( t , Ct ) dCt . ∂t ∂c
1227 应用数学进展
定理 2： (Liu [6])设 Ct 为标准 Liu 过程， h ( t , c ) 是连续可微函数，令 X t = h ( t , Ct ) ，那么我们有下面
m Cr {ξi ∈ B min Cr {ξi ∈ Bi } , = i } i=1 1≤i≤m
则称模糊变量 ξ1 , ξ 2 , , ξ n 是相互独立的。 的函数称为一个模糊过程。 量，函数 X ( t ;θ * ) 被称为模糊过程的样本路径。如果对于所有 θ ∈ Θ ，样本路径是连续的，那么模糊过程 换句话说，模糊过程 X ( t ;θ ) 是一个有两个变量的函数，对于任意 t * ∈ T ，函数 X ( t * ;θ ) 是一个模糊变 定义 3： (Liu [6])设 T 是一指标集， ( Θ, P, Cr ) 是一可信性空间，那么一个从 T × ( Θ, P, Cr ) 到实数集