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第15章光的衍射基本要求1、了解惠更斯-- 菲涅尔原理。
2、掌握单缝夫琅和费衍射，能计算单缝衍射的暗纹条纹分布，能分析缝宽及波长对条纹分布的影响。
3、了解圆孔夫琅和费衍射的一般特性和光学仪器的分辨本领。
4、理解光栅衍射, 能确定光栅衍射谱线的分布，会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。
5、了解X 射线衍射。
内容提要1．惠更斯-菲涅尔原理从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。
利用这一原理可以计算出衍射图样中的光强分布，但计算过程复杂，在大学物理教材中通常采用菲涅尔提出的半波带法来解释衍射现象。
2．单缝夫琅禾费衍射（1）单缝衍射条纹的主要特点①中央明条纹（零级明纹）最亮，同时也最宽（约为其它明条纹宽度的两倍）②各级明条纹的光强随级数增大而减小；③当白光入射时，中央明条纹仍为白色，其两侧的各级明纹呈现彩色，并按波长排列最靠近中央的为紫色，最远离的为红色，各单色光会产生重叠交错。
应该注意，屏上条纹位置与衍射角之间有对应关系x = f tan^。
当二比较小时，有④条纹级数有限。
(2)屏单色光垂直入射时，屏幕干涉条纹位置暗纹中心位置 a si n = k-k =1,2,3,明纹中心位置asin「二_(2k 1)—k =1,2,3，…2中央明纹范围- ■ ：：：asin ::：: ■(3 )条纹间距中央明纹线宽度1。
=2 —fa其它各级明纹线宽度(相邻两暗纹中心间距) I。
= 一fa式中a为单缝宽度，f为缝屏间所置透镜的焦距。
sin v :' tan v，此时x = f sin : f tan ；当较大时，则要先求出值，再代入若用圆孔代替狭缝，则为圆孔夫琅禾费衍射，其衍射图样为明暗相间的同心圆环状条纹，中央明纹是圆形亮斑 (爱里斑)，它集中了入射光束中光强大约84%，其对透镜光心的张角A k2)- 2.44D其中D为圆孔直径。
习题十五解答15-1已知一狭缝的宽度为，会聚透镜的焦距cm f 40=。
今以单色平行光垂直照射狭缝，在屏幕上形成衍射条纹，若离零级明条纹的中心为1.4mm 的处，看到的是第级明条纹。
求：（1）入射光的波长；（2）从处来看这光波时，在狭缝处的波前可分成几个半波带？解：(1)据单缝明纹公式：，而，，。
由上式可解算出(2)(个)15-2以波长为λ＝5461Å的平行光垂直射在宽1=a mm 的单缝上，设透镜焦距为cm f 100=。
问：第一极明纹和第三极暗纹距中心的距离分别为多少?解：由明暗条纹条件：暗纹明纹 又 fx tg 1sin =≈ϕϕ 得明暗纹位置暗纹 明纹 代入数据得 第一级明纹距中心的距离为cm 2102.8-⨯；第三级暗纹距中心的距离为0.164cm 22λk ± 3,2,1=k 2)12(λ+±k 3,2,1=k =ϕsin a f k aλ± 3,2,1=k (21)2f k a λ±+ 3,2,1=k x =15-3在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰好与波长为600nm 的单色光的第2级明纹位置重合，求该光波的波长。
（428.6nm ）解：明纹的位置为：(21)2f x k a λ=±+ 设所求光波的波长为λ，已知光波的波长为λ'， 由题意，32x x '= 得： 55600nm=428.6nm 77λλ'==⨯15-4已知单缝宽度m a 4100.1-⨯=，透镜焦距m f 50.0=，用nm 4001=λ和nm7602=λ的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹距屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离。
若用每厘米刻有1000条刻痕的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹距屏中心的距离分别为多少？这两条明纹之间的距离又是多少？解：（1）单缝衍射明纹的位置为：(21)2f x k a λ=±+（2）换为光栅后，由光栅公式λϕk b a ±=+sin )( 2510101000a b m m --+==15-5钠光垂直照射在每厘米有条刻痕的衍射光栅上，求第三级明条纹的衍射角。
第15章 光的衍射 习题解答1．为什么声波的衍射比光波的衍射更加显着解：因为声波的波长远远大于光的波长,所以声波衍射比光波显着;2．衍射的本质是什么衍射和干涉有什么联系和区别解：波的衍射现象是波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时所发生的展衍现象．其实质是由被障碍物或孔隙的边缘限制的波阵面上各点发出的无数子波相互叠加而产生．而干涉则是由同频率、同方向及位相差恒定的两列波的叠加形成．3．什么叫半波带单缝衍射中怎样划分半波带对应于单缝衍射第三级明条纹和第四级暗条纹,单缝处波阵面各可分成几个半波带解：半波带由单缝A 、B 首尾两点向ϕ方向发出的衍射线的光程差用2λ来划分．对应于第三级明条纹和第四级暗条纹,单缝处波阵面可分成7个和8个半波带． ∵由272)132(2)12(sin λλλϕ⨯=+⨯=+=k a4．在单缝衍射中,为什么衍射角ϕ愈大级数愈大的那些明条纹的亮度愈小 解：因为衍射角ϕ愈大则ϕsin a 值愈大,分成的半波带数愈多,每个半波带透过的光通量就愈小,而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的,所以亮度减小．5．若把单缝衍射实验装置全部浸入水中,衍射图样将发生怎样的变化如果此时用公式),2,1(2)12(sin =+±=k k a λϕ来测定光的波长,问测出的波长是光在空气中的还是在水中的波长解：当全部装置浸入水中时,由于水中波长变短,对应='='λϕk a sin n k λ,而空气中为λϕk a =sin ,∴ϕϕ'=sin sin n ,即ϕϕ'=n ,水中同级衍射角变小,条纹变密．如用)12(sin +±=k a ϕ2λ),2,1(⋅⋅⋅=k 来测光的波长,则应是光在水中的波长．因ϕsin a 只代表光在水中的波程差．6．单缝衍射暗纹条件与双缝干涉明纹的条件在形式上类似,两者是否矛盾怎样说明解：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为k k a 2sin ==λϕ2λ,是用半波带法分析子波叠加问题．相邻两半波带上对应点向ϕ方向发出的光波在屏上会聚点一一相消,而半波带为偶数,故形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为λθk d =sin ,描述的是两路相干波叠加问题,其波程差为波长的整数倍,相干加强为明纹．7．光栅衍射与单缝衍射有何区别为何光栅衍射的明纹特别明亮而暗区很宽解：光栅衍射是多缝干涉和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多缝干涉．光强与缝数2N 成正比,所以明纹很亮；又因为在相邻明纹间有)1(-N 个暗纹,而一般很大,故实际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景．8. 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时,哪些级次的衍射明纹缺级12a b a +=；23a b a +=；34a b a +=解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时,出现缺级．即可知,当k ab a k '+=时明纹缺级． 1a b a 2=+时,⋅⋅⋅=,6,4,2k 偶数级缺级；2a b a 3=+时,⋅⋅⋅=,9,6,3k 级次缺级；3a b a 4=+,⋅⋅⋅=,12,8,4k 级次缺级．9．若以白光垂直入射光栅,不同波长的光将会有不同的衍射角;1零级明纹能否分开不同波长的光2在可见光中哪种颜色的光衍射角最大3不同波长的光分开程度与什么因素有关解：1零级明纹不会分开不同波长的光．因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强．2可见光中红光的衍射角最大,因为由λϕk b a =+sin )(,对同一k 值,衍射角λϕ∞．3对于同一级明纹,波长相差越大条纹分开程度越大;10．为什么天文望远镜物镜的孔径做得很大射电天文望远镜和光学望远镜,哪种分辨率更高 解：光学仪器的最小分辨角为0 1.22D λθ=,它的倒数为分辨率,当D 越大或者λ越小,分辨率就越大,所以用的天文望远镜物镜的孔径很大,提高了分辨率；由于微波的波长比可见光的波长要小,故射电天文望远镜的分辨率更高;11．单缝宽0.40mm,透镜焦距为1m,用600λ=nm 的单色平行光垂直照射单缝;求：1屏上中央明纹的角宽度和线宽度；2单缝上、下端光线到屏上的相位差恰为4π的P 点距离中央明纹中心的距离；3屏上第一级明纹的线宽度；解：1第1级暗条纹中心对应的衍射角1ϕ为故中央明纹的角宽度为而中央明纹的线宽度为2相位差为4π,则对应的光程差为2λ,即故屏上P 点应形成第二级暗纹,它到中央明纹中心的距离为3屏上第一级明纹的线宽度为中央明纹线宽度的1/2,解之得12．在单缝夫琅禾费衍射实验中,用波长1650nm λ=的单色平行光垂直入射单缝,已知透镜焦距2.00f m =,测得第二级暗纹距中央明纹中心33.2010m -⨯;现用波长为2λ的单色平行光做实验,测得第三级暗纹距中央明纹中心34.5010m -⨯．求缝宽a 和波长2λ; 解：1当用1650nm λ=入射时,第二级暗纹对应的衍射角设为1ϕ由暗纹公式得： 11sin 2a ϕλ=而第二级暗纹距中中央明纹中心距离则 9413122650102.008.13103.210a f m m x λ---⨯⨯==⨯=⨯⨯ 2当用2λ入射时,第三级暗纹对应的衍射角设为2ϕ由暗纹公式得： 22sin 3a ϕλ=而第三级暗纹距中央明纹中心距离则 34722 4.5108.1310 6.091060933 2.00x a m m nm f λ---⨯⨯⨯===⨯=⨯ 13．一单色平行光垂直照射一单缝,若其第三级明纹位置正好与600nm 的单色平行光的第二级明纹位置重合,求此单色光的波长;解：单缝衍射的明纹公式为当600=λnm 时,2=kx λλ=时,3=k重合时ϕ角相同,所以有得 6.42860075=⨯=x λnm 14．用橙黄色的平行光垂直照射一缝宽为0.60mm 的单缝,缝后凸透镜的焦距为40.0cm,观察屏幕上形成的衍射条纹;若屏上离中央明纹中心1.40mm 处的P 点为一明纹;求：1入射光的波长；2P 点处条纹的级数；3从P 点看,对该光波而言,狭缝处的波阵面可分成几个半波带解：1由于P 点是明纹,故有2)12(sin λϕ+=k a ,⋅⋅⋅=3,2,1k由ϕϕsin tan 105.34004.13≈=⨯==-f x 故3105.3126.0212sin 2-⨯⨯+⨯=+=k k a ϕλ 当 3=k ,得600=λnm2 3=k P 点是第3级明纹；3由2)12(sin λϕ+=k a 可知, 当3=k 时,单缝处的波面可分成712=+k 个半波带；15．以白光垂直照射光栅常数d=×10-6m 的透射光栅,在衍射角为30°处会出现什么波长的可见光可见光的波长范围为400～700nm解：由光栅方程：λθk d ±=sin , 3,2,1,0=k讨论：当1=k 时,nm k d 17002==λ 当2=k时,nm k d 8502==λ 当3=k时,nm k d 5672==λ 当4=k时,nm k d 4252==λ 当5=k 时,nm kd 3402==λ 所以,在衍射角为30°处会出现波长为567nm 和425nm 的可见光16．用波长1400nm λ=和2760nm λ=的两种平行光,垂直入射在光栅常数为52.010m -⨯的光栅上,若紧接光栅后用焦距为f =2.0m 的透镜把光会聚在屏幕上;求屏幕上两种平行光第二级主极大之间的距离;解：光栅方程：sin d k ϕλ=±, 3,2,1,0=k屏幕上第k 级主极大的位置为屏幕上两种光第二级主极大之间的距离为17．波长600λ=nm 的单色平行光垂直入射到一光栅上,第二、三级明纹分别出现在20.0sin =ϕ与30.0sin =ϕ处,第四级缺级;求：1光栅常数d ；2光栅上狭缝的最小宽度a ；3在9090ϕ-<<范围内,实际呈现的全部级数;解：1由λϕk b a =+sin )(式对应于20.0sin 1=ϕ与30.0sin 2=ϕ处满足：得 6100.6-⨯=+=b a d m2因第四级缺级,故此须同时满足解得 k k b a a '⨯='+=-6105.14取1='k ,得光栅狭缝的最小宽度为6105.1-⨯m3由λϕk b a =+sin )( 当2πϕ=,对应max k k =∴ 1010600100.696max =⨯⨯=+=--λb a k 因4±,8±缺级,所以在︒︒<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 共15条明纹10±=k 在︒±=90k 处看不到．18．一束平行光含有两种不同波长成份1λ和2λ;此光束垂直照射到一个衍射光栅上,测得波长1λ的第二级主极大与波长2λ的第三级主极大位置相同,它们的衍射角均满足sin 0.3ϕ=;已知nm 6301=λ;1求光栅常数d ；2求波长2λ；3对波长1λ而言,最多能看到第几级明纹解：由光栅方程 λθk d ±=sin , 3,2,1,0=k1光栅常数为m d 61102.4sin 2-⨯==θλ 22132sin λλθ==d 37.6sin 11=≤=λλθd d k最多能看到第6级明纹19．波长范围为400760nm 的白光垂直照射入射某光栅,已知该光栅每厘米刻有5000条透光缝,在位于透镜焦平面的显示屏上,测得光栅衍射第一级光谱的宽度约为56.5mm,求透镜的焦距;解：由题设可知光栅常数为由光栅方程可得波长为400nm 和760nm 的第一级谱线的衍射角分别为第一级光谱的宽度为则有 0.18x f ∆==0.31m 20．在圆孔夫琅禾费衍射中,设圆孔半径为0.10mm,透镜焦距为50cm,所用单色光波长为500nm,求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径;解：由爱里斑的半角宽度爱里斑半径53.1105.30500tan 24=⨯⨯=≈=-θθf f d mm 21．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为64.8410rad -⨯,它们都发出波长为550nm 的光,试问望远镜的口径至少要多大,才能分辨出这两颗星解：由最小分辨角公式22．已知入射的X 射线束含有从～范围内的各种波长的X 射线,晶体的晶格常数为,当X 射线以45°角入射到晶体时,问晶体对哪些波长的X 射线能产生强反射解：由布喇格公式 λϕk d =sin 2 得kd ϕλsin 2=时满足干涉相长 当1=k 时, nm 389.045sin 75.22=⨯⨯=︒λ2=k 时,nm 194.0245sin 75.22=⨯⨯=︒λ 3=k 时,nm 13.0389.3==λ 4=k 时, nm 097.0489.3==λ 故只有nm 13.03=λ和nm 097.04=λ的X 射线能产生强反射．。
第15章光的衍射基本要求1、了解惠更斯--菲涅尔原理。
2、掌握单缝夫琅和费衍射，能计算单缝衍射的暗纹条纹分布，能分析缝宽及波长对条纹分布的影响。
3、了解圆孔夫琅和费衍射的一般特性和光学仪器的分辨本领。
4、理解光栅衍射,能确定光栅衍射谱线的分布，会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。
5、了解X射线衍射。
内容提要1．惠更斯-菲涅尔原理从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。
利用这一原理可以计算出衍射图样中的光强分布，但计算过程复杂，在大学物理教材中通常采用菲涅尔提出的半波带法来解释衍射现象。
2．单缝夫琅禾费衍射（1）单缝衍射条纹的主要特点①中央明条纹（零级明纹）最亮，同时也最宽（约为其它明条纹宽度的两倍）；②各级明条纹的光强随级数增大而减小；③当白光入射时，中央明条纹仍为白色，其两侧的各级明纹呈现彩色，并按波长排列最靠近中央的为紫色，最远离的为红色，各单色光会产生重叠交错。
④ 条纹级数有限。
（2） 屏单色光垂直入射时，屏幕干涉条纹位置暗纹中心位置 sin a k ϕλ=± 1,2,3,k =明纹中心位置 sin (21)2a k λϕ=±+ 1,2,3,k = 中央明纹范围 sin a λϕλ-<<（3）条纹间距中央明纹线宽度 02l f a λ=⋅其它各级明纹线宽度（相邻两暗纹中心间距） 0l f a λ=式中a 为单缝宽度，f 为缝屏间所置透镜的焦距。
应该注意，屏上条纹位置与衍射角之间有对应关系tan x f θ=。
当θ比较小时，有sin tan θθ≈，此时sin tan x f f θθ=≈；当θ较大时，则要先求出θ值，再代入tan x f θ=中计算。
若用圆孔代替狭缝，则为圆孔夫琅禾费衍射，其衍射图样为明暗相间的同心圆环状条纹，中央明纹是圆形亮斑（爱里斑），它集中了入射光束中光强大约84%，其对透镜光心的张角2 2.44D λθ=其中D 为圆孔直径。
3． 光学仪器的分辨率 两发光点刚好能被圆孔光学仪器分辨，则它们对透镜光心所张的角叫最小分辨角。
由瑞利判据知，它等于爱里斑的半角度 1.22D λθ=。
光学仪器的最小分辨角的倒数，称为该仪器的分辨率。
所以提高光学仪器分辨率的途径之一是增大透光孔径D ，如大型天文望远镜；二是减小入射光波的波长λ。
如用电子显微镜等。
4．光栅衍射光栅衍射图样的特点是明条纹细且亮，两明纹之间存在很宽的暗区，这种衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的综合结果。
（1） 光栅方程当平行光束垂直入射到光栅上，屏幕上主极大条纹的位置为()sin 0,1,2,a b k k ϕλ+=±=式中()a b +为光栅常数，k 称为条纹级数。
上式表明，相邻两单缝衍射的光波列到达屏上某点（衍射角ϕ处）时，若光程差恰好是波长的整数倍，则叠加后相互加强，形成明条纹。
（2）缺级现象：当ϕ角同时满足单缝衍射的暗纹公式和光栅方程时，将出现所谓缺级现象。
缺级条件为a b k a k +='式中k 为光栅明纹主极大级次，k '单缝衍射的暗条纹级次。
（3）光栅光谱当白光入射光栅上时，与单缝衍射类似，除中央主极大仍为白色，其它为各级主极大都将呈现彩色。
形成由紫到红的彩色光带，这些光带的整体称为衍射光谱。
由sin k a b λϕ=+，对于同一级k ，衍射角ϕ的大小正比于入射光的波长λ，所以光谱中紫光靠近中央主级大，而红光则远离中央主极大。
当级数较高时，第k 级光谱中的长波明纹将与第1k +级短波明纹位置重合，光谱发生了重叠，级数愈高，重叠愈多，愈难分辨。
5．X 射线衍射利用天然晶体的空间点阵为三维衍射光栅，观察到X 射线的衍射图样—劳厄斑点。
设晶体中各原子层间的距离为d （晶格常数），平行相干的X 射线以掠射角ϕ投射到晶体表面上，满足2sin 1,2,d k k ϕλ==时，反射光波加强形成亮点，上式称为布喇格公式。
重点、难点分析1． 半波带法如前所述，用半波带解释单缝衍射条纹的分布，可避免复杂的计算，单缝AB 上各点发出的子波在ϕ方向的最大光程差sin AC a ϕ=，作k 个平行于BC 的平面，把AC 分割为半波长2λ的k 个相等部分。
同时，这些平面将把单缝处的波阵面AB 分割成k 个半波带。
这样，相邻两半波带上对应点向ϕ方向发出的子波其光程差总是2λ，到达P 点时则相互干涉抵消。
所以当单缝处的波阵面恰好分成偶数个半波带时，所有波带上各点发出的光振动都将在P 点一一抵消，使P 点形成暗条纹；当缝AB 波阵面正好分成奇数个半波带，则成对的半波带抵消后，还剩下一个半波带未被抵消，将使P 点成为明条纹。
若ϕ角不同，单缝处的波阵面分割成的半波带数目也不同，ϕ角愈大，半波带数目也愈多，每个半波带透过的光通量（或能量）愈小，对应的明条纹亮度愈弱。
若单缝处的波阵面AB 不能分成整数个半波带时，光屏上P 点总会有一些光线到达，但其亮度比明条纹要小，这就使得单缝衍射的明条纹有一定宽度。
所以在用单缝衍射测量光波波长时，一般测量暗条纹的位置。
这里应该注意：图15-1中引入的BC 平面与AC 线（及沿ϕ方向的各衍射线）垂直，是借用了光线在各向同性介质中波线与波面垂直，且平行光经透镜后不产生附加光程差的原理，使单缝处波阵面上各点向ϕ方向发出的光波从BC 面开始一直到P 点，走过的光程都一样，相互间均没有附加光程差。
因此，这些沿ϕ方向的衍射光线之间若有光程差就应该是在AB 面之后与BC 之前的这一段，其最大光程差sin AC a ϕ=。
但这里的BC 平面上各点之间已有位相差，从B 到C 位相依次落后，所以它们在到达屏幕时才会形成明（或暗）的干涉条纹。
不然，若BC 平面是ϕ方向衍射线的波面，之后又没有附加光程差，那么屏幕上将永远只能是明的。
图15-12．光栅衍射的缺级现象若屏幕上某处满足光栅公式主极大条件：()sin a b k ϕλ+=同时也满足单缝衍射的暗纹条件：sin a k ϕλ'=则因从每个单缝射出的衍射光已各自满足暗条纹条件，也就不会出现缝与缝之间的干涉加强作用了，这种现象称为缺级。
将上述两式相比可知缺级条件为 1,2,3,a bk k k a +''==一般只要为整数比时，则对应的k 级明条纹位置一定出现缺级现象。
3．光栅衍射时屏上最多见到的条纹级数分析当平行光垂直入射到光栅上，由()s i n a b k ϕλ+= ()sin a b k ϕλ+=±式中取90ϕ=︒，计算出对应的k 值，若k 为非整数，则不大于k 的最大整数值就是所能看到的该光栅的最高衍射级数max k ；若k 为整数，则max 1k k =-，因为90ϕ=︒时条纹在光栅的延长线上，实际观察不到。
此外，还要考虑到有无缺级的问题。
解题示例例15 -1 单缝宽0.50mm ，透镜焦距为1=f cm ，用500=λnm 的绿光垂直照射单缝．求：(1)位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的角宽度；(2)中央明条纹的线宽度；（3）第一级与第二级暗纹之间的距离；（4）如果在屏幕上离中央亮纹中心为3.5mm 处的P 点为一亮纹，试求P 处亮纹的级数；（5）从P 处看，对该光波而言，狭缝处的波面可分割成几个半波带？解 （1）中央明纹的角宽度为3360102105.0105.022---⨯=⨯⨯⨯==∆m m a λθrad (2) 中央明纹的线宽度为300102-⨯=∆≈∆θf x m(3) 第一级暗纹与第二级暗纹之间的距离3332110110102(1)2(---⨯=-⨯⨯=-≈∆a a f x λλ m （4） 由明纹公式2)12(sin λθ+=k a以及明纹坐标θθsin tan f f x ≈=求得该条纹级次321=-=f ax k λ （5）当3=k 时，衍射光中的最大光程差为272)12(sin λλθ⨯=+=k a因此，狭缝处波阵面可分成七个半波带。
例15 -2 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm 的单缝，缝后凸透镜的焦距0.40=f cm ，观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm 处的P 点为一明条纹；求：(1)入射光的波长；(2)P 点处条纹的级数；(3)从P 点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带?解 (1)由于P 点是明纹，故有2)12(sin λϕ+=k a ，⋅⋅⋅=3,2,1k 由 ϕϕsin tan 105.34004.13≈=⨯==-f x 故 3105.3126.0212sin 2-⨯⨯+⨯=+=k k a ϕλ3102.4121-⨯⨯+=k mm当 3=k ，得6003=λnm4=k ，得4704=λnm(2)若 6003=λnm ，则P 点是第3级明纹；4704=λnm ，则P 点是第4级明纹．(3)由2)12(sin λϕ+=k a 可知，当3=k 时，单缝处的波面可分成712=+k 个半波带；当4=k 时，单缝处的波面可分成912=+k 个半波带．例15 -3 波长为500nm 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm ．求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少?解 光栅常数3100.52001-⨯==+b a mm =6100.5-⨯m (1)由光栅衍射明纹公式λϕk b a =+sin )(，因1=k ,又fx ==ϕϕtan sin ，所以有 λ=+fx b a 1)(即 62101100.51060105000---⨯⨯⨯⨯=+=b a fx λ2100.6-⨯=m 6= cm (2)对应中央明纹，有0=k正入射时 0sin )(=+ϕb a ，所以 0sin =≈ϕϕ斜入射时 0)sin )(sin (=±+θϕb a ，即 0sin sin =±θϕ因︒=30θ ∴21tan sin ±==≈f x ϕϕ 故 22103010602121--⨯=⨯⨯==f x m 30=cm 这就是中央明条纹的位移值．例15 -4 波长600=λnm 的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在20.0sin =ϕ与30.0sin =ϕ处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度；(3)在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数．解 (1)由光栅常数方程λϕk b a =+sin )(对应于20.0sin 1=ϕ与30.0sin 2=ϕ处满足101060002)(20.0-⨯⨯=+b a101060003)(30.0-⨯⨯=+b a得 6100.6-⨯=+b a m(2)因第四级缺级，故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件，有λϕk b a =+sin )(λϕk a '=sin解得 k k b a a '⨯='+=-6105.14取1='k ，得光栅狭缝的最小宽度为6105.1-⨯m（1） 由光栅常数方程λϕk b a =+sin )(得 λϕsin )(b a k +=当2πϕ=，对应max k k =，则有 10106000100.6106max =⨯⨯=+=--λba k 因4±，8±缺级，所以在︒︒<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 共15条明条纹(10±=k 在︒±=90k 处看不到)．例15 -5 一双缝，两缝间距为0.1mm ，每缝宽为0.02mm ，用波长为480nm 的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm 的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹?解 (1)中央明纹宽度为02.01050104802260⨯⨯⨯⨯==-f a l λmm 4.2=cm (2)由于缺级，故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件，有λϕk a '=sinλϕk b a =+sin )(知k k a b a k k '='=+'=502.01.0 ⋅⋅⋅=',2,1k 即⋅⋅⋅=,15,10,5k 缺级．中央明纹的边缘对应1='k ，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有4,3,2,1,0±±±±=k 共9条双缝衍射明条纹．例15 -6 用590=λnm 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹?解 由光栅常数方程5001=+b a mm 3100.2-⨯=mm 由光栅常数方程知 λϕk b a =+sin )(最多见到的条纹级数max k 对应的2πϕ=所以有 39.35900100.24max ≈⨯=+=λba k 即实际见到的最高级次为3max =k .例15 -7 在夫琅禾费圆孔衍射中，设圆孔半径为0.10mm ，透镜焦距为50cm ，所用单色光波长为5000oA ，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径．解 由爱里斑的半角宽度 47105.302.010500022.122.1--⨯=⨯⨯==D λθ 爱里斑半径5.1105.30500tan 24=⨯⨯=≈=-θθf f d mm 例15 -8 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6rad ，它们都发出波长为5500oA 的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星?解 由最小分辨角公式 D λθ22.1= 分辨出这两颗星望远镜的口径至少为86.131084.4105.522.122.165=⨯⨯⨯==--θλD cm。
