2011-10-23 第3讲-位值原理和数的进制(数论综合)

位值原理的概念及基本应用1. 位值原理的定义位值原理是计算机科学中的一个基本概念。

它是指数字中不同位置上的数字所表示的数值是不同的，这是由位的位置所决定的。

在计算机中，我们使用二进制来表示数字，其中每一位上的数字只能是0或1。

每一位上的数字的权值是根据位的位置决定的。

2. 位值原理的基本原理位值原理是基于二进制数系统的。

在二进制数系统中，每一位上的数字都代表了某个权值。

例如，在一个字节（8位）中，最右边的位的权值是20=1，依次向左，每一位的权值都是前一位的2倍。

因此，第二位的权值是21=2，第三位的权值是2^2=4，以此类推。

3. 位值原理的基本应用3.1 数字表示位值原理在计算机中用于数字的表示。

通过不同位置上的数字的权值，我们可以在二进制数中表示各种数字。

例如，一个字节可以表示的数字范围是从0到255，根据位值原理，我们可以使用不同位置上的数字的权值相加来表示不同的数字。

3.2 逻辑运算位值原理在逻辑运算中也有广泛的应用。

例如，计算机的逻辑门电路中，每个输入和输出都是由二进制数字表示的。

通过对不同位置上的数字进行逻辑运算，我们可以实现各种复杂的逻辑操作。

3.3 存储和传输位值原理也被广泛应用于计算机的存储和传输中。

计算机的存储器通常以字节为单位进行存储，每个字节都由8位二进制数组成。

通过位值原理，计算机可以将数据以二进制的形式存储在存储器中，并在需要时进行读取和处理。

在计算机的通信中，也使用二进制表示数据，通过不同位置上的数字进行传输和解析。

3.4 图形显示位值原理在图形显示中也有应用。

计算机中的图像可以通过像素点的颜色来表示。

每个像素点的颜色都可以使用RGB格式表示，其中每个颜色分量都使用8位二进制数字来表示，通过位值原理，我们可以表示各种丰富的颜色。

4. 总结位值原理是计算机中的一个基本概念，它是我们理解二进制数系统和计算机运算的基础。

通过位值原理，我们可以实现数字的表示、逻辑运算、存储和传输以及图形显示等功能。

“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。

【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

位值原理与数的进制位值原理是指在其中一进位制数中，每一位的权值是逐位递增的，即从低位到高位，每一位的权值所代表的数值是上一位权值的进位操作，通常以10进制作为例子进行说明。

数的进制则是指用多少个不同的数位来表示一个数的概念。

常见的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制等。

一、位值原理（以十进制为例）在十进制中，每一位的数值是上一位的数值乘以10的权值次方。

即从右到左，第1位权值为10^0=1，第2位权值为10^1=10，第3位权值为10^2=100，第4位权值为10^3=1000，以此类推。

例如，数值5274在十进制中，表示为：5*10^3+2*10^2+7*10^1+4*10^0即：5000+200+70+4=5274二、数的进制1.二进制：使用0和1来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的2倍。

例如，数值1011表示为：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0即：8+0+2+1=112.八进制：使用0到7的八个不同数位来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的8倍。

例如，数值231表示为：2*8^2+3*8^1+1*8^0即：128+24+1=1533.十六进制：使用0到9的十个数位和A到F的六个字母来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的16倍。

例如，数值ABC表示为：10*16^2+11*16^1+12*16^0即：2560+176+12=2748三、进制转换在进制转换中，下面的方法可以用来将一个数从一种进制转换为另一种进制：1.从十进制转换为其他任意进制：使用除数取余法将十进制数依次除以进制数，直到商为0为止，将每次的余数逆序排列即可得到结果。

2.从其他进制转换为十进制：将每一位数的权值乘以对应的进制数，再将结果相加即可得到十进制数。

3.在其他任意进制之间转换时，可以先将数值转换为十进制，再由十进制转换为目标进制。

四、应用场景不同的进制在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。

其中，二进制在计算机内部用于数据的存储和处理，八进制和十六进制则常用于表示和调试二进制数，简化了长二进制数的书写方式。

位值原理教案一、教学目标1、让学生理解位值原理的基本概念和重要性。

2、帮助学生掌握运用位值原理解决数学问题的方法。

3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

二、教学重难点1、重点：位值原理的概念和运用方法。

2、难点：如何引导学生将复杂的数学问题转化为位值原理的应用。

三、教学方法1、讲授法：讲解位值原理的概念和相关知识。

2、练习法：通过练习题让学生巩固所学内容。

3、讨论法：组织学生讨论问题，激发学生的思维。

四、教学过程1、导入通过一个简单的数字谜题引入位值原理的概念，比如：一个两位数，十位数字是 5，个位数字是 3，这个数是多少？让学生思考数字在不同位置上的意义。

2、知识讲解（1）解释位值原理的定义：每个数字在数中的位置不同，所表示的数值也不同。

以三位数为例，如 321，百位上的 3 表示 3 个百，即300；十位上的 2 表示 2 个十，即 20；个位上的 1 表示 1 个一，即 1。

所以 321 就是 300 ＋ 20 ＋ 1 ＝ 321 。

（2）举例说明位值原理的应用，如：一个三位数，它的百位数字比十位数字大 2，十位数字比个位数字大 3，个位数字是 4，这个三位数是多少？3、练习巩固（1）给出一些简单的练习题，让学生根据位值原理写出数字的组成。

例如：47 是由（）个十和（）个一组成的。

（2）给出一些稍微复杂的题目，让学生运用位值原理解决问题。

比如：一个两位数，个位数字与十位数字之和是 8，个位数字比十位数字大 2，这个两位数是多少？4、小组讨论将学生分成小组，讨论以下问题：（1）在生活中，还有哪些地方用到了位值原理？（2）位值原理对于数学学习有什么重要意义？5、课堂总结（1）回顾位值原理的概念和应用方法。

（2）强调位值原理在数学中的重要性。

6、作业布置（1）完成课本上关于位值原理的练习题。

（2）让学生自己编写一道运用位值原理解决的数学问题，并解答。

五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过自己的努力理解位值原理。

位值原理与整数四则运算本文将介绍位值原理与整数四则运算。

首先，我们将简要介绍位值原理，然后分别讨论整数加法、减法、乘法和除法的计算方法。

一、位值原理位值原理是指数与其位值之间的数学关系。

在十进制系统中，每一位上的数字代表的是10的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。

例如，数字1234的每一位可以表示为：1×10^3+2×10^2+3×10^1+4×10^0同样，再看二进制系统。

在二进制系统中，每一位上的数字代表的是2的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。

例如，数字1101的每一位可以表示为：1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0二、整数加法整数加法的计算方法是将两个数的每一位进行相加，并考虑进位。

从右向左逐位相加，如果两位相加的和大于等于基数（10或者2），就需要进位。

进位的结果会在下一位的计算中被考虑。

例如，我们计算十进制数37和58的和时：37+58—-在二进制中，计算1101和1011的和时：1101+1011三、整数减法整数减法的计算方法是将被减数减去减数。

从右向左逐位相减，如果被减数的其中一位小于减数的对应位，那么需要向高位借位。

例如，我们计算十进制数124减去58时：124-5866-1011110四、整数乘法整数乘法的计算方法是将两个数的每一位进行相乘，并将结果相加。

首先，我们计算第一个数的每一位与第二个数的乘积，然后按照位权相加的原则得到最后结果。

例如，我们计算十进制数23乘以5时：23×5在二进制中，计算1101乘以11时：1101×1111010000(向左移动一位，相当于乘以2)1101(向左移动三位，相当于乘以8)五、整数除法整数除法的计算方法是将被除数除以除数，得到商和余数。

从被除数的最高位开始，逐步向下计算商和余数。

例如，我们计算十进制数50除以7时：7---------7，50-49------因此，商为7，余数为1、即50除以7的结果是7余1101-------------10综上所述，位值原理为我们提供了一种计算整数四则运算的方法。

位值原理公式首先，让我们来了解一下位值原理公式的定义。

位值原理公式是将一个数字表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和。

例如，一个三位数abc可以表示为a100 + b10 + c1，其中a、b、c分别代表这个数字的百位、十位和个位。

这个公式可以推广到任意位数的数字，它是数字在计算机中表示和运算的基础。

接下来，让我们来看一些具体的例子，来帮助理解位值原理公式。

比如，我们有一个四位数1234，根据位值原理公式，可以表示为11000 + 2100 + 310 + 41。

这样我们就可以将这个四位数表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和。

通过这个例子，我们可以更加直观地理解位值原理公式的运算过程。

除了整数，位值原理公式也适用于小数。

对于小数来说，位值原理公式的原理是一样的，只是位值是小数点后的位数，例如0.123可以表示为10.1 + 20.01 + 30.001。

这个例子展示了位值原理公式在小数表示中的应用。

在计算机中，位值原理公式也被广泛应用。

计算机使用二进制来表示数字，位值原理公式帮助我们理解二进制数的运算。

例如，一个八位的二进制数10101010可以表示为1128 + 064 + 132 + 016 + 18 + 04 + 12 + 01。

通过位值原理公式，我们可以将二进制数转换为十进制数，也可以将十进制数转换为二进制数，这对于计算机的运算和编程是非常重要的。

总结一下，位值原理公式是将一个数字表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和的公式。

它适用于整数和小数，并且在计算机科学和电子工程中有着广泛的应用。

通过位值原理公式，我们可以更好地理解数字在计算机中的表示和运算，这对于我们深入理解计算机原理和编程语言是非常有帮助的。

希望本文对位值原理公式有所帮助，谢谢阅读！。

5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 1 of 11本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

知识点拨教学目标 5-7位置原理与数的进制5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 2 of 11 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1。

n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

位值原理法《位值原理法：从基础到应用全解析》1. 引言嘿，你有没有想过，在数学这个奇妙的世界里，为什么数字的位置不同，代表的数值就不一样呢？比如说123，1在百位就表示100，要是1在个位，就只是1啦。

这其中隐藏着一个很有趣的原理哦，这就是我们今天要深入了解的位值原理法。

在这篇文章里，我们会先了解位值原理法的基本概念，就像认识一个新朋友的基本情况一样。

然后深入探究它的运行机制，看看它是怎么在数学这个大舞台上“表演”的。

接着我们会聊聊它在日常生活和高级技术中的应用，也会说说大家容易对它产生的误解。

最后还会给大家介绍些相关的知识和有趣的历史背景呢。

2. 核心原理2.1基本概念与理论背景位值原理法其实就是一种表示数字大小的方法。

它的根源要追溯到很久很久以前，当人类开始有计数的需求的时候。

最初，人们可能只是用简单的符号或者记号来表示数量，比如刻一道痕表示1个东西。

但是随着数量的增多，就需要更复杂的表示方法了。

于是就有了我们现在的数字系统。

位值原理的核心概念就是每个数字在一个数中的位置决定了它所代表的数值大小。

比如说在数字345中，3在百位，它代表的可不是3，而是3个100，也就是300；4在十位，就代表4个10，也就是40；5在个位，就代表5个1。

说白了，就像一个团队里，每个成员的位置不同，承担的职责和价值也就不同。

2.2运行机制与过程分析我们来看一个简单的加法运算，比如说23 + 45。

按照位值原理法，我们先从个位开始计算，3 + 5 = 8。

这里的3和5都是在个位上，所以它们代表的就是单纯的3个1和5个1。

然后再看十位，2个10加上4个10，也就是20+40 = 60。

最后把个位和十位的结果相加，60+8 = 68。

再比如乘法，12×3。

我们可以把12拆分成10 + 2，然后根据位值原理，12×3=(10×3)+(2×3)=30 + 6 = 36。

这就好比我们把任务分给不同位置的小团队，然后把各个小团队的成果汇总起来。

进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（　）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（　）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，L ．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理二进制数 十进制数1 10 100 1000 10000 100000 L L1 2422=⨯ 8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯ L L⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换：n 进制数110()r r n a a a a -L 写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++L ．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --L 的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+L ． 这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129...024...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； （2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，L ，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，L ，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=L 123（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，L ，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，L ，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，，()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克. 因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明： 超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？ ［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。

5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以与二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号的。

进制间的转换：如右图所示。

八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

教学目标1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头， 那么到了 “十 ”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能 数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出 来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位 置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个 “位置值 ”。

例如，用符号 555 表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五 表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了， 现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

个数字除了有自身的一个值外，还有一个 “位置值 ”。

例如 “2”写,在个位上，就表示 2个一，写在百位上，就表示 2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为 x ，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分例 1】 一个两位数， 加上它的个位数字的 9 倍，恰好等于 100。

这个两位数的各位数字的和是 考点】简单的位值原理拆分 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 4 年级，初赛， 7 题，六年级，初赛，第 8 题， 5 分 解析】 这个两位数，加上它的个位数字的 9倍，恰好等于 100，也就是说，十位数字的 10 倍加上个位数字 的 10 倍等于 100，所以十位数字加个位数字等于 100÷10＝ 10。

答案】 10例 2 】 学而思的李老师比张老师大 18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年 龄，求李老师和张老师的年龄和最少是 _____________ ？（注：老师年龄都在 20 岁以上）考点】简单的位值原理拆分 【难度】 3 星 【题型】填空关键词】学而思杯， 4 年级，第 5 题解析】 解设张老师年龄为 ab ，则李老师的年龄为 ba ，根据题意列式子为： ba ab 18 ，整理这个式子得 到：9 b a 18 ，所以 b a 2，符合条件的最小的值是 a 1,b 3，但是 13和 31不符合题意，所位值原理 2.位值原理的表达形以六位数为例： abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

2二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

例题精讲【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。

【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。