因式分解的四种方法(习题及答案)

因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式巩固练习1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3. 因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---； 解：原式= 解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+； 解：原式= 解：原式=（5）2168()()x y x y --+-； （6）41x -；解：原式= 解：原式=（7）222(1)4a a +-； （8）25210ab bc a ac --+；解：原式= 解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-； 解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-； 解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-； 解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --； 解：原式= 解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --； 解：原式= 解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---． 解：原式= 解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1. C2. D3.（1）3ab(a+2b-1)（2）(x-y)(y+1)（3）2a-(21)（4）(x-2)(x-3)（5）2(4)-+x y（6）2-++(1)(1)(1)x x x（7）22a a-+(1)(1)（8）(b-2a)(a-5c)（9）3m(2x-y-n)(2x-y+n)（10）(b-c)(a-b)（11）(a+b)(a-b+2)（12）2(x+1)(x+2)（13）2+-(1)(1)a a（14）(a-2-b)(a-2+b)（15）2+-(1)a b（16）(x-4)(x+2)（17）(a-3b)(a+2b)（18）(2x-1)(x-1)（19）x(x+2)(x-6)（20）(x+y-1)(x+y+2)（21）(x+1)(x-4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法④分组分解法。

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

初中因式分解练习题过程及答案初中因式分解练习题过程及答案一定要记住的公式大全：平方差公式：a -b =；完全平方公式：a ±2ab＋b ＝的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍。

立方和公式：a +b =；立方差公式：a -b =；完全立方公式：a ±3a b＋3ab ±b = ．公式：a+b+c-3abc=*十字相乘法初步公式：x +x+pq= ．*十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx +mx+n=．因式分解方法：方法一：分组分解法步骤类型一分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式。

类型二分组后能直接运用上面的公式方法二：十字相乘法.二次项系数为1的二次三项式类型一直接利用公式——x?x?pq?进行分解。

类型二**十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx +mx+n=．总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。

因式分解练习练习一分组分解法类型一1.am?an?bm?bn.2ax?10ay?5by?bx223.x?y?ax?ay .xy?x?y?1练习二分组分解法类型二5.x2?y2?ax?ay .a?2ab?b?c7.x2?x?9y2?3y. x2?y2?z2?2yz22练习三十字相乘法9.x2?5x?611.3x2?11x?101.5x2y?15x3y2?20x2y33.32x3y4?2x35.a2-b2-2b-17.a6-10a3+1610.x2?7x?612.2x2?7xy?6y综合练习2.?3x2y?12x2yz?9x3y24.2?12z?36z26.2-1-2c+c.x3?y3?x2 ?xy?y2答案：1.2.或3.4.56. .?x?3y?1?8.9. 10. 11. 综合练习答案222325xy?3xy2x. .1.4.2.8..a-b-c+1) .因式分解单元测试题及答案2一、选择题1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是A、?a?3??a?3??a2?9B、a2?b2??a?b??a?b?C、a2?4a?5?a?a?4??D、m2?2m?3?m?3??m?2?m??2、下列各式的分解因式：①100p2?25q2??10?5q??10?5q?2②?4m2?n22m?n??2m?n?③x2?6??x?3??x?2?④?x2?x?14? ??1??x?2?其中正确的个数有A、0B、1C、D、33、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A、?x?y??y?x??4xyB、a22ab?4b2C、4m2?m?14D、?a?b?22a?2b?1、当n是整数时，?2n?1?22n?1?2是A、2的倍数B、4的倍数C、6的倍数D、8的倍数5、设M?13a?a?1??a?2?,N?13a?a?1??a?1?，那么M?N等于A、a2?aB、?a?1??a?2?C、1113a2?3aD、3?a?1??a?2?6、已知正方形的面积是?16?8x?x2?cm2，则正方形的周长是A、?4?x?cmB、?x?4?cmC、?16?4x?cmD、?4x?16?cm7、若多项式?2x?n81能分解成?4x29??2x?3??2x?3?，那么n=A、2B、4C、D、88、已知2481可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 A、61，6B、61，C、63，6D、65，679、如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是①② A、?a?2b??a?b??a2?ab?2bB、?a?b?2a2?2ab?bC、?a?b?2a2?2ab?bD、a2?b2??a?b??a?b? 10、三角形的三边a、b、c满足a2?b?c??b2c?b3?0，则这个三角形的形状是A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形二、填空题1、利用分解因式计算：16.8?732?7.6?716=___________；1.222?9?1.332?4=__________；5×998+10=____________。

因式分解的四种方法
1. 因式分解法一：提取公因式法
这种方法适用于多项式中存在公共因式的情况。

首先，找出多项式中的公共因式，然后将其提取出来，在剩下的部分进行进一步的因式分解。

例如，对于多项式2x² + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。

2. 因式分解法二：二次因式法
这种方法适用于多项式中存在二次因式的情况。

具体步骤是将多项式进行因式分解，将其表示为一个二次因式乘以一个一次因式的形式。

例如，对于多项式x² - 4，可以通过差平方公式进行因式分解，得到(x - 2)(x + 2)。

3. 因式分解法三：分组法
这种方法适用于多项式中存在四项以上的情况。

具体步骤是将多项式中的项进行分组，然后在每个组内因式分解，最后再进行合并。

例如，对于多项式x³ + 8y³ + 2xy² + 16y²，可以将其分为(x³ + 2xy²) + (8y³ + 16y²)，然后在每个组内因式分解，得到x(x² + 2y²) + 8y²(y + 2)，最后合并得到(x + 2y)(x² + 8y²)。

4. 因式分解法四：完全平方式
这种方法适用于多项式是平方差的形式。

具体步骤是将多项式表示为两个完全平方数的差，然后应用差平方公式进行因式分解。

例如，对于多项式x⁴ - 16，可以将其表示为(x²)² - 4²，然后应用差平方公式得到(x² - 4)(x² + 4)。

因式分解公式法练习题及答案一. 一元二次多项式因式分解1. 练习题1.将多项式4x2+12x+9进行因式分解。

2.对于多项式3x2+13x+12，找到它的两个因式。

2. 答案1.多项式4x2+12x+9可以因式分解为(2x+3)2。

2.多项式3x2+13x+12可以因式分解为(x+4)(3x+3)。

二. 因式分解与整式运算结合1. 练习题1.将多项式2x3−4x2+2x进行因式分解。

2.对于多项式(2x−1)2−(x−1)2，求它的因式分解形式。

2. 答案1.多项式2x3−4x2+2x可以因式分解为2x(x−1)2。

2.多项式(2x−1)2−(x−1)2可以因式分解为(x−1)(3x)。

三. 因式分解与方程1. 练习题1.解方程2x2+7x+3=0。

2.解方程x3−8=0。

2. 答案1.解方程2x2+7x+3=0的解为 $x = -\\frac{1}{2}, x = -3$。

2.解方程x3−8=0的解为x=2。

四. 多项式因式分解的应用1. 练习题1.某长方形的周长为14x+10，面积为4x2+6x+1，求长方形的长和宽。

2.某数的立方加上该数的平方再加上该数等于100，求该数。

2. 答案1.设长方形的长为l，宽为w，根据题意得出方程2(l+w)=14x+10和lw=4x2+6x+1。

将第一个方程变形为l+w=7x+5，将第二个方程变形为lw=(2x+1)(2x+1)。

由此，解得长方形的长为2x+1，宽为2x+1。

2.设数为n，根据题意可以列出方程n3+n2+n=100。

化简后可得n3+n2+n−100=0。

通过因式分解，我们可以将此方程写成(n−4)(n+ 5)(n+5)=0。

因此，解得该数为−5。

学生做题前请先回答以下问题问题1：提公因式法需要注意哪些要点？问题2：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．问题3：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．问题4：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？问题5：是因式分解吗？为什么？因式分解的四种基本方法（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法2.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法3.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法8.下列分解因式正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀。

因式分解定义：把一个整式写成几个整式乘积的形式，称为因式分解。

在因式分解中，通常要求每个因式都是既约多项式（不可约多项式），这样的因式称为质因式。

因式分解常用的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，待定系数法等。

◆一、提公因式法：◆二、公式法①平方差公式：②完全平方和公式：③完全平方差公式：④立方和公式：⑤立方差公式：⑥完全立方和公式：⑦完全立方差公式：⑧三项平方和公式：⑨三项立方公式：◆三、分组分解法有一些整式（如：）既没有公因式可提，也不能运用公式直接分解，这样的式子需要采用分组分解法。

（一）分组后能直接提公因式)(c b a m mc mb ma ++=++))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-))((2233b ab a b a b a +-+=+))((2233b ab a b a b a ++-=-33223)(33b a b ab b a a +=+++33223)(33b a b ab b a a -=-+-2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++bn bm an am +++例1、分解因式：解：原式== =例2、分解因式：解：原式== =（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：解：原式== =例4、分解因式：解：原式== = 【举一反三】bnbm an am +++)()(bn bm an am +++)()(n m b n m a +++))((b a n m ++bxby ay ax -+-5102)5()102(bx by ay ax -+-)5()5(2y x b y x a ---)2)(5(b a y x --ayax y x ++-22)()(22ay ax y x ++-)())((y x a y x y x ++-+))((a y x y x +-+2222c b ab a -+-222)2(c b ab a -+-22)(c b a --))((c b a c b a --+-1、2、3、4、5、6、7、3223yxyyxx--+baaxbxbxax-+-+-22181696222-+-++aayxyxabbaba4912622-++-92234-+-aaaybxbyaxa222244+--222yyzxzxyx++--8、9、10、11、12、◆四、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。