《位置与坐标》讲义

北师大新版八年级第三章《位置与坐标》知识总结
、平面直角坐标系
1.平面内确定位置的几种方法:1.有序数对:有两个数据a和b表示,记为
_P_
方位角+距离法
经纬定位法
区域定位法
2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相_垂直 _且_有公共原点_的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫_X轴_或_y轴_，通常约定_向右_为正方向；竖直方向的数轴叫_y轴_或_x轴_；通常约定_向上_为正方向。

两条数轴交点叫平面直角坐标系的_原点_.
3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P，过P分别向x轴、y 轴作_垂_线，x轴上的_垂足_对应的数a叫P点的_横_坐标，y轴上的_垂足_对应的数b叫P点的_纵_坐标。

有序数对_（a，b）_叫点P的坐
若P的坐标为(m，n)，则P到x轴距离为_y_，到y轴距离为_x_．
4.平面直角坐标系内点的坐标特征:
(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。

根据点所在位置填表
(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征:
在x轴上的点_横坐标为0_;
在y轴上的点_纵坐标为0_;
(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征：
点P(a,b)关于x轴对称点P1_(x,-y)_；
点 P(a,b)关于y轴对称点P2_(-x,y)_；
点P(a,b)关于原点对称点P3_(-x,-y)_。

6.探索图形变换与坐标变化规律
(1)若两个图形关于x轴对称．则对应各点横坐标_相同_，纵坐标_互为相反数__．
(2)若两个图形关于y轴对称，则对应各点纵坐标__相同_，横坐标_互为相反数_．
(3)若两个图形关于原点对称，则对应各点纵坐标_相同__，横坐标_互为相反数__．。

《位置与坐标》知识点一、确定位置1、平面内确定一个物体的位置需要2个数据。

2、（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

（2）方位角距离定位法：方位角和距离。

（3）经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。

如“解放路22号”3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错；图形与语言的相互转换。

二、平面直角坐标系相关概念1、定义：在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

求坐标的方法：作垂线法；确定点的位置：垂线交点。

P点的坐标用（a，b）表示，其书写先写a，后写b，中间有“，”外面有“（）”，横、纵位置不颠倒。

注：平面内点的坐标是有序实数对，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

三、平面直角坐标系中点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限←→x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限←→x＜0，y＞0；点P(x,y)在第三象限←→x＜0，y＜0；点P(x,y)在第四象限←→x＞0，y＜0。

2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上←→y＝0，x为任意实数；点P(x,y)在x轴上←→x＝0，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上，点P坐标为（0，0）即原点。

第三章位置与坐标知识点总结第三章位置与坐标知识点1 坐标确定位置知识链接平⾯内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P （a ，b ）的坐标特征：①第⼀象限：a ＞0，b ＞0；②第⼆象限：a ＜0，b ＞0；③第三象限：a ＜0，b ＜0；④第四象限：a ＞0，b ＜0．（2）坐标轴上点P （a ，b ）的坐标特征：①x 轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．（3）两坐标轴夹⾓平分线上点P （a ，b ）的坐标特征：①⼀、三象限：b a =；②⼆、四象限：b a -=．同步练习1．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平⾯内任意⼀点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．如图，是⽤围棋⼦摆出的图案（⽤棋⼦的位置⽤⽤有序数对表⽰，如A 点在（5，1）），如果再摆⼀⿊⼀⽩两枚棋⼦，使9枚棋⼦组成的图案既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形，则下列摆放正确的是（）A ．⿊（3，3），⽩（3，1）B ．⿊（3，1），⽩（3，3）C ．⿊（1，5），⽩（5，5）D ．⿊（3，2），⽩（3，3）3．如图为⼩杰使⽤⼿机内的通讯软件跟⼩智对话的纪录．根据图中两⼈的对话纪录，若下列有⼀种⾛法能从邮局出发⾛到⼩杰家，则此⾛法为何？（）A ．向北直⾛700公尺，再向西直⾛100公尺B ．向北直⾛100公尺，再向东直⾛700公尺C ．向北直⾛300公尺，再向西直⾛400公尺D ．向北直⾛400公尺，再向东直⾛300公尺4．如图是我市⼏个旅游景点的⼤致位置⽰意图，如果⽤（0，0）表⽰新宁莨⼭的位置，⽤（1，5）表⽰隆回花瑶的位置，那么城市南⼭的位置可以表⽰为（）A．（2，1）B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）5．⼩军从点O向东⾛了3千⽶后，再向西⾛了8千⽶，如果要使⼩军沿东西⽅向回到点O的位置，那么⼩明需要（）A．向东⾛5千⽶B．向西⾛5千⽶C．向东⾛8千⽶D．向西⾛8千⽶6．在⼀次寻宝游戏中，寻宝⼈找到了如图所⽰的两个标志点A（2，1）、B（4，-1），这两个B（-3，-3）可认，⽽主要建筑C（3，2）破损，请通过建⽴直⾓坐标系找到图中C点的位置．11．如图是某台阶的⼀部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）．（1）请建⽴适当的直⾓坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标⽐较有什么变化？（3）现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，请你算算要多长的单位长度的地毯？12．常⽤的确定物体位置的⽅法有两种．如图，在4×4个边长为1的正⽅形组成的⽅格中，标有A，B两点．请你⽤两种不同⽅法表述点B相对点A的位置．知识点2 平⾯直⾓坐标系知识链接１点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平⾯直⾓坐标系的相关概念①建⽴平⾯直⾓坐标系的⽅法：在同⼀平⾯内画两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：⽔平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴⼀般取向右为正⽅向，y轴⼀般取象上为正⽅向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，⼜属于y轴．（3）坐标平⾯的划分建⽴了坐标系的平⾯叫做坐标平⾯，两轴把此平⾯分成四部分，分别叫第⼀象限，第⼆象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何⼀个象限．（4）坐标平⾯内的点与有序实数对是⼀⼀对应的关系．2 两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2．说明：求直⾓坐标系内任意两点间的距离可直接套⽤此公式．、有图形中⼀些点的坐标求⾯积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题A ．a=bB ．2a+b=-1C ．2a-b=1D ．2a+b=15．如图，在平⾯直⾓坐标系中，有⼀矩形COAB ，其中三个顶点的坐标分别为C （0，3），O （0，0）和A （4，0），点B 在⊙O 上．（1）求点B 的坐标；（2）求⊙O 的⾯积．6．如图，在平⾯直⾓坐标系中，OABC 是正⽅形，点A 的坐标是（4，0），点P 在AB边上，且∠CPB=60°，将△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，则D 的坐标为（）A ．（2，32）B ．（3 ， 32-）C ．（2，324-）D ．（3，324-）A ．（2 ，n ）B ．（m ，n ）C ．（m ，2）D ．（2，2） *13．（2014?海港区⼀模）如图，在直⾓坐标系中，有16×16的正⽅形⽹格，△ABC 的顶点分别在⽹格的格点上．以原点O 为位似中⼼，放⼤△ABC 使放⼤后的△A′B′C′的顶点还在格点上，最⼤的△A′B′C′的⾯积是（）A ．8B ．16C ．32D ．64知识点4 坐标与图形的变化知识链接1 坐标与图形变化---对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．（3）关于直线对称①关于直线x=m对称，P（a，b）?P（2m-a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）?P（a，2n-b）2 坐标与图形变化---平移（1）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x+a，y）向左平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x-a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y+b）向下平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y-b）（2）在平⾯直⾓坐标系内，把⼀个图形各个点的横坐标都加上（或减去）⼀个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）⼀个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）3 坐标与图形变化---旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的⾓度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊⾓度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．在平⾯直⾓坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）2．将点A（-2，-3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．如图，把ABC经过⼀定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（-x，y-2）B．（-x，y+2）C．（-x+2，-y）D．（-x+2，y+2）4．如图，已知正⽅形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正⽅形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为⼀次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正⽅形ABCD的对⾓线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）5．如图，在平⾯直⾓坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．。

一、考点讲解：考点一：直角坐标系1．平面直角坐标系：2．点的坐标：（1）四个象限点的特点．（2）坐标平面内的点和有序实数对是一一对应关系．（3）设P(a、b），①若a=0，则P在上;若b=0,则P在上；若a=0且b=0,则点P在上.②若a+b＝0，则P点在上;③若a=b，则P点在上．(4）设P1（a，b)、P2(c,d)，若a=c，则P;P2∥轴；若b=d，则P；P2∥轴．例1：如图1－5－2所示,错误!所在位置的坐标为（－1，－2），相所在位置的坐标为（2,2）那么"炮"所在位置的坐标为______．例2:已知：在如图的平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（—2，-1）,B（-5，0)，C（—2，4）．(1）在平面直角坐标系中求出△ABC的面积；（2）将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的△A′B′C′．练一练：1、已知点P在第二象限,且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3,则P点坐标为___________2．坐标平面内的点与___________ 是一一对应关系．3．若点M （a,b）在第四象限,则点M(b－a，a－b)在（ )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若P(x，y)中xy=0,则P点在（）A．x轴上 B．y轴上 C．坐标原点 D．坐标轴上《难解的结》古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。

长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。

当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。

亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。

有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。

”当他强迫自《难解的结》古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。

目录：1、知识总结2——32、巩固知识及时练 43、能力培养步步高 54、经典剖析开阔视野6——75、综合练习再巩固8——106、课后培优继续练11——147、知识、能力更上一层楼15——191、知识总结1.确定位置的方法（1）.行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

（2）.“极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。

（3）.经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。

如“小明住在7号楼3层302号”（5）在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。

此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。

2.平面直角坐标系1.平面内确定位置的几种方法:○1有序数对:有两个数据a和b表示,记为_______○2方位角+距离法○3经纬定位法○4区域定位法2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相______且具有公共______的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫______或______,向_____为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______,向______为正方向。

两条数轴交点叫平面直角坐标系的_______.3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P,过P分别向x轴、y 轴作垂线,x轴上的垂足对应的数a叫P的____坐标,y轴上的垂足对应的数b叫P的_______坐标。

有序数对(a,b),叫点P的坐标。

若P的坐标为(a,b)，则P到x轴距离为_______，到y轴距离为_______．4.平面直角坐标系内点的坐标特征:(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。

根据点所在位置填表(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征○1在x轴上的点______坐标为0;○2在y轴上的点______坐标为0;(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征○1点P(a,b)关于x轴对称点P1_____________ ；○2点 P(a,b)关于y轴对称点P2_____________ ；○3点P(a,b)关于原点对称点P3_____________ 。

位置与坐标知识点在我们日常生活中，位置和坐标是非常重要的概念。

无论是在导航系统导航时，还是在玩游戏时寻找目标，我们都需要借助位置和坐标的概念来确定方向和距离。

下面我们来探索一下位置与坐标的知识点。

一、位置的概念位置是指事物所在的地方或方位。

我们所处的地球上有无数的位置，每个位置都有着独特的特征和含义。

通过给位置确定一个特定的名称，比如城市的名称、地区的名称等，就可以准确地描述和定位这个位置。

二、坐标的概念坐标是一种确定位置的方式。

我们可以通过坐标来表示某个位置在二维平面或三维空间中的具体位置。

常见的坐标系统有二维坐标和三维坐标。

二维坐标通常用于描述平面上的位置，包括横坐标和纵坐标。

而三维坐标则是在二维坐标的基础上加上了垂直坐标，用于描述空间中的位置。

利用坐标，我们可以方便地确定某个位置的具体点的位置。

三、经纬度坐标经纬度坐标是一种常见的用于描述地球上位置的坐标系统。

经度指从东向西测量的角度，纬度指从南向北测量的角度。

它们以度为单位，由一个数值和一个方向表示。

经度的范围通常是-180度到180度，东经为正，西经为负；而纬度的范围通常是-90度到90度，北纬为正，南纬为负。

通过经纬度坐标，我们可以准确地确定地球上任意一个位置的经纬度。

四、投影坐标系统为了方便地描述和定位地球上的位置，人们还开发了各种不同的投影坐标系统。

投影坐标系统通过将地球上的地图投影到一个平面上，来近似地表示地球上的位置和形状。

常用的投影方式有墨卡托投影、等角圆柱投影等。

这些投影方式各有特点，适用于不同的地图应用和需要。

五、其他坐标系统除了经纬度坐标和投影坐标系统，还有许多其他的坐标系统用于特定的目的。

例如，全球定位系统（GPS）使用一种称为WGS 84的坐标系统来定位地球上的点；航空航天领域使用的坐标系统包括地心坐标系和站心坐标系等。

这些坐标系统针对特定的应用场景，提供了更精确和方便的位置描述。

六、使用位置与坐标的意义位置与坐标不仅在日常生活中很有用，也广泛应用于科学研究、导航导向、地图制作等领域。