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北师大版八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题1 平面直角坐标系【要点梳理】知识点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).知识点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.知识点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．知识点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．知识点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征知识点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（）A．A（5，30°）B．B（2，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．【答案】D．【解析】由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A正确；B（2，90°），故B正确；D（4，240°），故C正确；E（3，300°），故D错误．【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A 点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，D(－1，－2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？【答案】解：建立坐标系如图：∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．4.如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O （0，0），A （3，0），B （5，2），C （2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E（5，3），所以S四边形ABCO =S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征5. 已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P的纵坐标比横坐标大3；（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m 的值，进而得出P点坐标；（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．【答案与解析】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，∴m﹣1﹣（2m+4）=3，解得：m=﹣8，∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，∴m﹣1=﹣3，解得：m=﹣2，∴2m+4=0，∴P点坐标为：（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．举一反三：【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（－5,2）；（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.2 坐标平面内图形的轴对称和平移【知识点梳理】知识点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．知识点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．知识点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），则的值为_______.【思路点拨】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，再解方程可得a 、b 的值，进而算出的值．【答案】25【解析】解：∵点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），∴a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得：b ＝2，a ＝－5，＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x 轴的对称点为（ ）A ．（3，－2）B ．（－3，2）C ．（－3，－2）D ．（2，－3）【答案】A ．2.已知点A(－3，2)与点B(x ，y)在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离等于3，求点B 的坐标．b a b a b a【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4. 如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；△ABO（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．3《平面直角坐标系》全章复习与巩固【知识网络】【知识点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：知识点诠释：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1- x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1- y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1- x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1- y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．知识点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．知识点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典型例题】 类型一、有序数对1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m ，再将数对(m ，1)放入其中，得到的数是________． 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可． 【答案】66 .【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8， 再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66， 故填：66．【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，解出m 的值，即可求出把（m ，1）放入其中得到的数． 举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________． 【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米. 类型二、平面直角坐标系2. 第三象限内的点P(x ，y)，满足|x|＝5，y 2＝9，则点P 的坐标为________． 【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x ，y 的具体值．21a b ++21a b ++21a b ++【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．举一反三：【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) ． A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】C.【变式2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题：（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；（2）写出图上其他地点的坐标（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．【思路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．【答案与解析】解：（1）由题意可得，（2）由（1）中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．4.如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO=S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E （5，3），所以S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．5.△ABC 三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．(1)将△ABC 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A 1B 1C 1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC 三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A 2、B 2、C 2，依次连接A 2、B 2、C 2各点，所得△A 2B 2C 2与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC 三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A 3、B 3、C 3，依次连接A 3、B 3、C 3各点，所得△A 3B 3C 3与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）【答案】D．解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．类型四、综合应用6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C （4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）求出三角形A1B1C1的面积．【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．∴△A1B1C1的面积=3.25．【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。
目录：1、知识总结2——32、巩固知识及时练 43、能力培养步步高 54、经典剖析开阔视野6——75、综合练习再巩固8——106、课后培优继续练11——147、知识、能力更上一层楼15——191、知识总结1.确定位置的方法（1）.行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
（2）.“极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。
（3）.经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。
（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。
如“小明住在7号楼3层302号”（5）在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。
此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。
2.平面直角坐标系1.平面内确定位置的几种方法:○1有序数对:有两个数据a和b表示,记为_______○2方位角+距离法○3经纬定位法○4区域定位法2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相______且具有公共______的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫______或______,向_____为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______,向______为正方向。
两条数轴交点叫平面直角坐标系的_______.3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P,过P分别向x轴、y 轴作垂线,x轴上的垂足对应的数a叫P的____坐标,y轴上的垂足对应的数b叫P的_______坐标。
有序数对(a,b),叫点P的坐标。
若P的坐标为(a,b)，则P到x轴距离为_______，到y轴距离为_______．4.平面直角坐标系内点的坐标特征:(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。
根据点所在位置填表(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征○1在x轴上的点______坐标为0;○2在y轴上的点______坐标为0;(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征○1点P(a,b)关于x轴对称点P1_____________ ；○2点 P(a,b)关于y轴对称点P2_____________ ；○3点P(a,b)关于原点对称点P3_____________ 。
2018-2019学年初二数学（北师大版）强化讲义模块一、基础知识归纳1、平面直角坐标系在平面内，两条__________且有公共原点的数轴组成。
通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，取向和向为正方向。
其中水平的数轴称为轴或轴，铅直的数轴称为轴或轴。
横轴和纵轴统称 ,公共的原点O称为直角坐标系的 .2、点的坐标如左下图,平面内的点P,过P作x轴的垂线,垂足A在x轴上所对应的数为 ,它叫做点P 的坐标,写在前面；过P作y轴的垂线,垂足B在y轴上所对应的数为 ,它叫做点P的坐标,写在后面,因此点P的坐标表示为P( , ),两数不能交换.类似地,C点在x轴上对应的数为 ,它是点M的横坐标,D点在y轴上的对应数为 ,它是点M的纵坐标,因此点M的坐标标识为( , )；A点的坐标为( , ),B点的坐标为 ,C点的坐标为 ,D点的坐标为 .3、认识象限(1)在如右上图所示的直角坐标系中标出第一、第二、第三、第四象限.(2)如图,A、B两点在x轴上,它们是某一象限的点吗 .C、D两点在y轴上,它们是某一象限的点吗 .点O呢 ,由此你能得出结1论: .4、如图是一个笑脸，（1）在“笑脸”上，位于第一象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数。
（2）第二象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数；第三象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数；第四象限的点的坐标有：（ , ）、（ , ）、（ , ）等，它们的横坐是数，纵坐标是是数。
（3）不描出点，分别判断A（1,2），B（-1，-3），C（2.，-1），D（-3,4）这些点所在的象限，说说你是怎么判断的。
不同象限点的坐标的特征：第一、二、三、四象限点的符号分别是（+，+）、、、 .5、坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D（-3,5），E（-7,3），C（1,3），D（-3,5）（2）F（-6,3），G（-6,0），A（0,0），B（0，3）1观察所描出的图形，根据图形回答下列问题：（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点（2）线段EC与x轴有什么位置关系点E和点C的坐标有什么特点线段EC上其它点的坐标呢（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点线段FG与y轴有怎样的位置关系坐标轴上点的坐标的特征：(1)x轴上的点：纵坐标为_____,记为( ); (2)y轴上的点：横坐标为_____,记为( );(3)原点的横、纵坐标都为_____,记为( ),原点既在x轴上，又在y轴上.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:(1)与x轴平行的直线上的点：_______坐标相同; (2)与y轴平行的直线上的点：_______坐标相同.拓展(1)当点P(m,n)在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征1(2)当点P(m,n)在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时，则点P的坐标有何特征在两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点:在第一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标 ;在第二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点，横、纵坐标。
6、两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系(1).在图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗之间有怎样的位置关系对应点A( , )与A1( , )的横坐标，纵坐标；其他对应的点B( , )与B1( , )，C( , )与C1( , )，D( , )与D1( , )也都横坐标，纵坐标。
(2)在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系解：如图，它的各个“顶点”的坐标，纵坐标。
小结：①.关于x轴对称的两点，它们的横坐标________，纵坐标_________；②关于y轴对称的两点，它们的横坐标________，纵坐标_________.7、探索坐标变化引起的图形变化(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案1(2)将(1)所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢(3)将(1)中所得图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，依次连接所得的点，你会得到怎样的图案这个图案与原图案有怎样的位置关系呢小结：①横坐标相同、纵坐标互为相反数（乘-1）的两点关于_________对称；②横坐标互为相反数（乘-1）、纵坐标相同的两点关于_________对称；111、在平面直角坐标系中，点)3,2(-P 关于x 轴对称的点在第 象限；2、已知点),(b a P ，当0<ab ，点P 的位置在（ ）A 、第一或第三象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第二或第四象限3、若点),(b a P 在第四象限，则点)1,(--b a Q 在 象限；4、点P （a ，b ）与点Q （1，2）关于x 轴对称，则=+b a ；5、如果点Q （2m +，112m -）在y 轴上，则点Q 的坐标为 ； 【考点题型2】---坐标变换的规律【例3】在直角坐标系中，将某三角形纵向拉长了2倍，又向右平移了3个单位长度，则所得三角形的三个顶点坐标是将原三角形的三个顶点坐标（ ） A 、先纵坐标不变，横坐标均扩大2倍，再横坐标均增加3；B 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；C 、先横坐标不变，纵坐标均扩大2倍，再纵坐标不变，横坐标均增加3；D 、先横坐标不变，纵坐标均增加2，再纵坐标不变，横坐标均增加3； 【考点题型3】---图形变换与坐标的求法【例4】1、如图：平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标为（ ）A 、)7,3(B 、)3,5(C 、)3,7(D 、)2,8(2、如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋②的坐标为)4,7(--，白棋④的坐标为(5,6)--，那么白棋①的坐标为 ；1【例5】如图：在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成11B OA ∆，第二次将11B OA ∆变换成22B OA ∆，第三次将22B OA ∆变换成33B OA ∆。
已知：A （1，3），1A （2，3），2A （4，3），3A （8，3），B （2，0），1B （4，0），2B （8，0），3B （16，0） （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将33B OA ∆变换成44B OA ∆，求4A 、4B 的坐标；（2）若按（1）题找到的规律将OAB ∆进行n 次变换，得到n n B OA ∆，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 、n B 的坐标；【例6】如图：点)0,0(O ，)0,4(B ，将OAB ∆绕点O 按逆时针方向旋转︒90到//B OA ∆； （1）画出//B OA ∆； （2）点/A 的坐标为 ；（3）求/BB 的长；1◆目标训练2：1、同学们玩过五子棋吗它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜，如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是（1,-5），黑②的位置是（2,-4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就获得胜利了。
2、上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，如图，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东︒45和北偏东︒15方向，那么B 处船与小岛M 的距离为（ ）A 、20海里B 、220海里C 、315海里D 、320海里◆【创新题型•思维拓展】【例7】1、如图：已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为︒30，那么点B 的坐标是 ；2、平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ；1◆方法感悟：求点的坐标，关键作出点到x 轴、y 轴的距离，转化为求线段的长。
选择建立合适的坐标系可以简化运算。
注意体会分类讨论思想，方程思想的运用。
【例8】根据指令[],s A （0,0360s A ≥︒≤<︒）机器人在平面上能完成以下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ，现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（3-，3）的位置，应给机器人下的指令是 。
【例9】（规律探索）在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为（1，0）。
将0P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点1P ，延长1OP 到点2P ，使122OP OP =；再将2P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点3P ，延长3OP 到点4P ，使 ；342OP OP =如此继续下去。
求：（1）点2P 的坐标为（ ）；（2）点2010P 的坐标为（ ）；【例10】在直角坐标系xOy 中，已知点A 、C 的坐标分别为A （2-，0）、C （0，32-），在坐标平面xOy 内，是否存在点M ，使AC 为等腰ACM ∆的一边，且底角为︒30，如果存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标，如果不存在，请说明理由；1【例11】如图：在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点C 的坐标是)0,4(。
（1）写出A 、B 两点的坐标；（2）若E 是线段BC 上一点，且︒=∠60AEB ，沿AE 折叠正方形ABCO ，折叠后点B 落在平面内点F 处，请画出点F 并求出它的坐标；（3）若E 是直线BC 上任意一点，问是否存在这样的点E ，使正方形ABCO 沿AE 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的某一点P 处若存在，请写出此时点P 和点E 的坐标；若不存在，请说明理由；模块三、综合检测一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系中，点P (－3，1)的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2. 在如图所示的直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（ ） A. M （－1，2），N （2，1） （2，－1），N （2，1）（－1，2），N （1，2） （2，－1），N （1，2）1小华小军小刚3. 点M (1,2)关于x 轴对称的点坐标为( )A. (－1,2)B. (1,－2)C. (2,－1)D. (－1,－2)4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么你的位置可以表示成( ) A ．(5，4) B ．(4， 5) C ．(3，4) D ．(4，3)5. 点P (13++m m ，)在直角坐标系的x 轴上，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2，0) C ．(4，0) D ．(0，－4)6. 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为( )A ．(3，0) B.(3，0)或(–3，0) C.(0，3) D.(0，3)或(0，–3) 7．若点M (a ,b )在第二象限，则点N (－b ,b －a )必在( )A ．第一象限B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8. 已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点P 的坐标是( ) A.(－1，1)B.(1，－1)C.)2,2(-或)2,2(-D.)2,2(-9. 坐标半面上，在第四象限内有一点P ，且P 点到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则P 点坐标为( ) A ． (?5，4) B. (?4，5) C. (4，?5) D. (5，?4)10.已知等边△ABC 的边长为2，以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，则点A 的坐标为( )． A.(，0)或(－，0) B.(0，)或(0，－) C.(0，) D.(0，－) 二、填空题（每小题4分，共20分)11. 点A （﹣1，2）在第__________象限．12.点P （1，－2）关于y 轴对称的点P′的坐标为 ．.13.以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，则点B 的坐标是 . Rt △ABC 的周长为__________33333314. 若点A(x，0)与点B(2，0)的距离是5，则x的值是____________15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（－1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为 _.三、解答题（共50分）16．（10分)△ABC在直角坐标系内的位置如图．（1）分别写出A、B、C的坐标；（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，并写出B1的坐标．17.（10分)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标；118.（10分) 在图上建立直角坐标系，用线段顺次连结点(－2，0)，(0，3)，(3，3)，(4，0)，(－2，0).(1)作出图形;(2)求出它的面积；(3)求出它的周长.119.（10分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3).(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法)(2)写出A1、B1、C1的坐标；(3)求出△A1B1C1的面积.20.（10分)已知A、B、C、D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)连接AC,CD,DB,求四边形ABCD的面积;(2)连接BC，判断△CBD的形状，并说明理由.11B 卷(50分)一、填空题(共20分，每小题4分)21.第三象限内的点P （x ，y ），满足|x |=5，y 2=9，则点P 的坐标是 ．22.已知点A （﹣3，2a ﹣1）与点B （b ，3 ）关于原点对称，那么点P （a ，b ）关于y 轴的对称点P′的坐标为 ． 23.若点A （4﹣m ，3m+2）到x 轴的距离等于它到y 轴的距离的一半，则m= .24、规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD ，顶点A(1，3)，C(3，1)．若正方形ABCD 经过一次上述变化，则点A 变化后的坐标为 ，如此这样，对正方形ABCD 连续做2015次这样的变化，则点D 变化后的坐标为 ．25、如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作△P 2CP 3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P 6的坐标是 ．二、解答题(共30分)26(8分).如图，在平面直角坐标系xoy 中，(1)在图中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．(2分)(2)写出点111A B C ，，的坐标．(3分)(3)求出ABC △的面积和BC 边上的高．(3分)127(10分).阅读材料：例：说明代数式 221(3)4x x ++-＋的几何意义，并求它的最小值．解：2222221(3) 4 (0)1(3)2x x x x ++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P(x ，0)是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A(0，1)的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B(3，2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P(x ，0)与点A(1，1)、点B 的距离之和．(填写点B 的坐标) (2)代数式 22491237x x x ++-+的最小值．28(12分).等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；(1)如图(1)，已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；(2)如图(2)，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；(3)如图(3)，若点A在x轴上，且A(-4，0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y 轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度.11。
