高中数学必修二导学案：第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系

§2-4 空间直线位置关系一、学习目标：1）直观认识和理解、体会空间中的直线之间的位置关系 2）学会用数学语言表述空间中的直线之间的位置关系 二、学习重点与难点： 1）异面直线2）异面直线所成角 三、学习过程思考：同一平面的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？图（1） 图（2）图（3） 图（1）中线段B A 1所在的直线与线段C C 1所在的直线位置关系如何？ 与（2）中线段所1AA 在的直线与线段C C 1所在的直线位置关系如何？线段所1AA 在的直线与线段11B C 所在的直线位置关系如何？中线段所1AA 在的直线与线段11B A 所在的直线位置关系如何？图（3）中的两条立交桥所在的直线位置关系如何？ 1．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法 （1）以“共面”和“异面”的角度分为⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线： ；共面直线平行直线：；异面直线：. （2）以有无公共点的角度可以分为11南海万泉河立交桥⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面直线平行直线没有公共点相交直线有且仅有一个公共点--------- 2.异面直线的概念： 例1： 判断下列说法是否正确1）异面直线是指两条直线不能同在任何一个平面内 2）2121,,l l l l ，则βα⊂⊂是异面直线 3）既不相交也不平行的直线是异面直线 4）空间中不相交的两条直线； 5）某平面内的一条直线和这平面外的直线； 例2：(1)在如图所示的正方体中，指出哪些棱所在的直线与直线BA 1是异面直线？例3：已知M 、N 分别是长方体的棱C 1D 1与CC 1上的点，那么MN 与AB 所在的直线相交吗？例4那么AB ，CD ，EF ，GH 是异面直线的 对3.异面直线的画法（注意：常用平面衬托法画两条异面直线）练习：画两直线相交，第三条直线与它们异面4.平行公理m l ααl m β在同一平面内，a ∥ b ，b ∥c 则 那么在空间呢？如图长方体D C B A ABCD ''''-中，B B '∥ A A 'D D '∥ A A ' 那么D D '∥ B B '吗？公理4：文字语言表述：2）图形语言表述：3) 符号语言表述 4）作用：例：空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【使用说明及学法指导】1．先精读一遍教材P44-P47，用红笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题，时间不超过15分钟；2．限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑； 4．重点理解的内容：（1）、异面直线的概念；（2）、公理4及等角定理。

【学习目标】1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.一、问题导学1．空间两条直线的位置关系思考1：观察长方体，你能发现长方体ABCD —A′B′C′D′中， 线段A′B 所在的直线与线段C′C 所在直线的位置关系如何？（1）空间的两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线： ； 平行直线： ；异面直线： 。

（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：思考2：若βα⊂⊂b a ,，那么直线a 与b 一定是异面直线吗？思考3：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 3 对？2．平行公理（公理4）思考：长方体D C B A ABCD ''''-中，B B '∥A A '，D D '∥A A '， B B '与D D '平行吗？公理4： ； 符号表示为： ；公理4作用： 3.等角定理思考：长方体D C B A ABCD ''''-中，ADC ∠与C D A '''∠，ADC ∠与C B A '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？等角定理： 4.异面直线所成的角：（1）定义：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a′∥a ，b′∥b ，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做 .编号 高一数学必修二导学案 编制人： 陈善明 审核人： 宋世才 组长签字：—————————————————————————————————————————————————————————————————学 案装订线共面直线ACEGH DB F说明：a '与b '所成的角的大小只由b a ,的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；（2） 两条异面直线所成的角的取值范围θ∈ ； （3） 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线 ，记作 ；【我的疑惑】 二、合作探究例1、空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.例2 如图，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.例3 如图，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.【课堂小结】知识方面 __________________________________________________________________ _____数学思想方法____________________________________________________________三、巩固提升1.下列说法中正确的个数是( B ) ①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线; ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. (A)0 (B)1 (C)2 (D)32、如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（ D ） A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ 3.如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（ B ）（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48 4、在长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===CC BC AB ,则异面直线1AC 与1BB 所成的角的大小为（ C ）A.30°B.45°C.60°D.90°5、如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.6、如图，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.(1)求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数； (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数. 解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角， ∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C 是异面直线CD′和BC′所成的角， ∵△AD′C 是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.。

2.1.2 空间中直线与直线的位置关系知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内——；思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题：空间中是否有类似规律？2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1． 平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线 ，这一性质叫做空间 ． 符号表述：⇒⎭⎬⎫c b b a //// ． 2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别 ， 那么这两个角 或 ． 3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线b a ,，经过空间任意一点O 作直线b b a a //,//''，我们把a '与b '所成的（或 ）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角θ的取值范围： ． （3）当=θ 时，异面直线a 与b 垂直，记作： ． 3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是 ； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是 ； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是 ； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是 ． [活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1 C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，4 2．已知如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB =CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标 1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ．60 B ．120 C ．30 D ．60或120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //．其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形 4．在空间四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且352===PR QR PQ ,,，那么异面直线AC和BD 所成的角是（ ）A ．90 B ．60 C ．45 D ．305．在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，BD 的中点，若AD 与BC 所成的角是60，那么FEG ∠为（ ） A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或120 6．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB ，CD ，在原正方体的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ．异面D ．相交成607．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是 ．8．已知b a ,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则b a ,在α上的射影有可能的是（ ）① 两条平行的直线； ② 两条互相垂直的直线； ③ 同一条直线； ④ 一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是 （写出所有正确的结论的编号）9． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别AA 1，CC 1是的中点．求证：1ED BF //且1ED BF =10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求 （1）AA 1与B 1C 所成的角； （2）A 1B 与B 1C 所成的角．B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是( )A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )A．2对 B．3对 C．4对 D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3 提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D 2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1．迁移与应用1．D2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD 1与A 1B 所成的角为45°．(3)连接D 1C ，AD 1，则A 1B ∥D 1C ．∴D 1C 与AC 所成的角就是A 1B 与AC 所成的角． 又∵AC ＝CD 1＝D 1A ， ∴∠ACD 1＝60°．∴A 1B 与AC 所成的角为60°．迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90° 【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．BB 1，CC 1，DD 1 5．8。