高中数学 第三章 圆锥曲线与方程本章整合课件 北师大

程为 y＝x.
3．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交于 A、 B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 所在 直线的斜率为 22，求椭圆的方程．
解析： 联立方程组axx＋2＋y－by12＝＝01.， 消去 y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 因为由题意知 a＋b≠0，所以由根与系数的关系，
x1＋x2＝a2＋bb 得x1x2＝ba－＋1b
，设 AB 中点 C(x0，y0)，
则 x0＝a＋b b，y0＝1－x0＝1－a＋b b＝a＋a b.
所以 AB 中点为 Ca＋b b，a＋a b，从而得到 kOC＝ab＝ 22① 由条件|AB|＝2 2，得 1＋k2AB|x1－x2|＝2 2， 所以(1＋k2AB)(x1－x2)2＝(1＋k2AB)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝8，又 由 kAB＝－1，所以 2×a2＋bb2－4·ba－＋1b＝8， 所以 a2＋b2＋3ab－a－b＝0②
2．直线与圆锥曲线的位置关系：(1)有关直线与圆 锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；(2) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的 关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根 与系数的关系，设而不求，简化运算． 3．在求曲线方程时，有些轨迹问题中，含有隐含 条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，要认真 审题，充分挖掘隐含条件．
解析： 设 M(x，y)、 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
44xx2122＋ ＋99yy2122＝ ＝3366，.
① ②
①－②，得 4(x1－x2)(x1＋x2)＋9(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∵M(x，y)为 AB 中点，
∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y. ∴4×2x(x1－x2)＋9×2y(y1－y2)＝0. 当 x1≠x2 时，k＝xy11－ －yx22＝－49xy.

即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,或|PF1|=2,|PF2|=4(舍去). 所以||PPFF12||=2.
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专题一
专题二
专题三
专题四
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【应用 3】 已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为左、右焦 点.P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12 3,求双曲线的标准方程.
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解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图.
当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为
(m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m,
(1)若∠PF2F1 为直角,则|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,
即|PF1|2-|PF2|2=20,即
|PF1 |-|PF2 |
=
10 3
,
|PF1| + |PF2| = 6,
解得|PF1|=134,|PF2|=43.
所以|PF1|
|PF2|
=
72.
(2)若∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
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反思把点的坐标代入方程检验点是否在方程表示的曲线上时,一 定要注意方程有限制条件的情况.
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【变式训练 1】 判断下列方程中,哪个方程对应如图所示的直 线 l,并说明理由.
(1)x-y=0; (2) ������ − ������=0; (3)x2-y2=0; (4)|x|-y=0.
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题型一 对曲线与方程的概念的理解
【例 1】 (1)判断点 A(-4,3),B(-3 2,-4),C( 5,2 5)是否在方程
x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;
(2)方程 x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线是 C,若点 M(m, 2)与点
N
3 2
,������
所以 (������0-������)2 + (������0-������)2 =r,也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2,即(x0,y0) 是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解;
设(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解,
【做一做 2-1】 已知点
A(-3,0),B(0,
5),C 4,
35 3
,D
3 cos������
,
5tan������
,其中在曲线 D.4 答案:C 【做一做2-2】 “点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程 y=-2 ������ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B
【做一做1-1】 已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2) 是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l'与直线l 的位置关系是( )

c －a b (2)双曲线的形状与e的关系： k＝ ＝ ＝ a a
2
2
c2 2 － 1 ＝ e －1， 2 a
e越大，即渐进线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就
从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的
开口就越阔．
1． 已知双曲线的离心率是 2，焦点是(－4,0)，(4,0)， 则双曲线方程为( ) 2 2 x y x2 y2 A. － ＝1 B. － ＝1 4 12 12 4 x2 y2 x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝1 10 6 6 10
【解析】 x2 y2 对椭圆 ＋ ＝1，a＝7，b＝2 6， 49 24
5 ∴c＝5，e＝ ， 7
x y 设双曲线方程为 2 － 2＝1(m＞0，n＞0)， m n m ＋n ＝25 ∴5 5 4 ÷ ＝ 7 m 7
2 2
2
2
，解得 m＝4，n＝3，
x2 y2 ∴双曲线标准方程为 － ＝1. 16 9 2 2
【解析】
m＋1＜0 因为焦点在 y 轴上，所以 2 m －4＜0
⇒－2＜m＜－1.
【答案】 C
x2 y2 4．双曲线 － ＝1 的焦距为________． 10 2
【解析】 由已知有 c2 ＝a2 ＋b2 ＝12， 所以 c＝2 3，故双曲线的焦距为 4 3，
【答案】 4 3
x2 y2 5．与椭圆 ＋ ＝1 有公共焦点，且双曲线的离心率与该椭 49 24 7 圆的离心率之比为 的双曲线的标准方程是________． 4
3 x2 y2 【解析】 (1)设直线 y＝ x 与双曲线 2－ 2＝1 的交点 P(x，y)， 2 a b
2 2 9 c 9c 则题意得 x＝±c，x2 ＝c2 ，y2 ＝ c2 ，则 2 － 2 ＝1， 4 a 4b 2 c2 9c2 9e 2 ＝1，解得 e＝2，故选 B. 2－ 2 2 ＝1，e － 2 a 4(c －a ) 4(e －1)