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一元线性回归(假设检验)

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第3章 一元线性回归分析

第3章 一元线性回归分析

3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态 分布误差项
• 放松了假设4后，与之相关的结论10和12 不再成立，t-检验、F-检验不再成立。 • 大样本情况下，t-统计量近似服从标准正态 分布，因此可以用标准正态分布临界值进 行判断。 • 去掉假设4不影响OLS估计的一致性、无偏 性和渐近正态性。
1
s ˆ
1
t-检验的涵义：估计参数的绝对值足够大或者 标准误很小（标准误小则随机性小，估计越精 确） 样本量较大时 （n>35），t分布接近正态分布， 5%置信水平下临界值接近2，因此常用统计量 是否大于2作为判断系数显著与否的标准。
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
检验 X 和 Y 之间是否 具有线性关系：看 Y 的变化能被 X 的变化解释多少。 总平方和（total sum squared）：
一元线性回归分析
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归 3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态分布误差 项 3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差 3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机抽样和序 列相关 3.7.4 假设条件的放松（四）—内生性 3.7.5 总结
重要概念
第3章
一元线性回归分析
一元线性回归分析
3.1 一元线性回归模型 3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.1 回归系数估计 3.2.2 误差的估计—残差 ˆ 和 ˆ 的分布 3.2.3 0 1
3.3 更多假设下OLS估计量性质 3.4 回归系数检验（t-检验） 2 R 3.5 拟合优度 和模型检验（F检验）
2
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
不带常数项的模型其相应的TSS和ESS为：

计量经济学第6章假设检验

计量经济学第6章假设检验
E S S 6 0 2 7 0 8 . 6 / 1 1 1 F 3 9 9 . 0 9 9 9 9 R S S 4 0 1 5 8 . 0 7 1 / 1 0 ( n 2 )
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy

n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取

一元线性回归模型的统计检验

一元线性回归模型的统计检验

3. 怎样进行拟合优度检验 （1）总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n)，得到 如下样本回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和：
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则：p值越小，越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计，但一 次抽样它并不一定等于真实值，所以需要找到包 含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1，查自由度为(n 2)的t分布表，
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中，如果给定
=0.01，查表得：
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是，计算得到1、0的置信区间分别为：
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)
则
TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线(RSS)，另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此，我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。

5第五章 一元线性回归的假设检验

5第五章 一元线性回归的假设检验

（OLS)估计量有最小方差。这使得OLS估计 量有着优良的性质可以进行统计推断
完全满足这些假定的方程在现实中是不存 在的，但这些假定为我们提供了一个比较 的基准，本课其他部分主要是围绕假定不 被满足时，分析后果，提出解决办法。返 回
第二节 OLS估计量的性质：高斯-马 尔可夫定理 p127
一、高斯-马尔可夫定理
当X是非随机的时，该假定自动满足 X是抽样时候人为设定的：比如前例中把家庭收入分
组
假定5：正态性假定：随机误差项服从正态分布
i ~ N (0, )
2
假定6：样本容量N>待估参数个数 假定7：解释变量 X值有变异性
即X有一个相对较大的取值范围 如果X只在一个狭窄的范围内变动，则无法充分估计X
若
|t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；返回
4、例题：葡萄酒拍卖价格的回归分 析
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
b
i
(n 2) Sb2i
b2
i
~ 2 (n 2)
ˆ bi bi 则t ~ t (n 2), 可以利用该信息进行统计检验 Sbi
返回
第三节 一元线性回归模型的假设检验 p130
一、检验 二、参数的显著性检验 三、回归的拟合优度检验 四、回归分析结果的报告 五、综合实例：美国商业部门工资和生产 率的关系 返回

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。

⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。

⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。

该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。

式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。

⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。

ε表⽰其他随机因素的影响。

⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。

E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。

第二章：一元线性回归模型理论与方法(第二部分)

第二章：一元线性回归模型理论与方法(第二部分)

最小二乘法的数学原理
• 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异 大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为 拟合误差或残差。 • 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平 方和，“最好”直线就是使误差平方和最 小的直线。 • 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟 合直线问题转换为求误差平方和最小。
普通最小二乘法（OLS）
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best liner unbiased estimator, BLUE）。
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ , ˆ 的均 2、无偏性，即以X的所有样本值为条件，估计量 0 1 0与1 。 值（期望）等于总体回归参数真值
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
对数似然函 数极大化的 一阶条件
结构参数的 ML估计量
最大似然法与普通最小二乘法讨论

已知一组样本观测值（Yi，Xi）(i=1,2, …,n)， 要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值，即 样本回归线上的点Y ˆi 与真实观测点Yi的“总体” 误差尽可能地小。在技术处理上我们一般采用 “最小二乘法”。

最小二乘原则：由于估计值和实测值之差可正 可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，因 此，只有平方和才能反映二者在总体上的接近 程度。
n 1
证残差与 Yˆ 的样本协方差为0，即证： i
eiYˆ i
0
ห้องสมุดไป่ตู้

一元线性回归模型的统计检验概述

一、拟合优度检验
拟合优度检验，顾名思义，是检验模型对样本观测值的拟合程度。检验的方法，是构造一个可以表征拟合程度的指标，在这里称为统计量，统计量是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。有人也许会问，采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？问题在于，在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题部的比较，拟合优度检验结果所表示优劣是不同问题之间的比较。例如图2.3.1和图2.3.2中的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果，对于每个问题它们都满足残差的平方和最小，但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。
假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出一个论断，称为统计假设，记为 ；然后根据样本的有关信息，对 的真伪进行判断，作出拒绝 或接受 的决策。
假设检验的基本思想是概率性质的反证法。为了检验原假设 是否正确，先假定这个假设是正确的，看由此能推出什么结果。如果导致一个不合理的结果，则表明“假设 为正确”是错误的，即原假设 不正确，因此要拒绝原假设 。如果没有导致一个不合理现象的出现，则不能认为原假设 不正确，因此不能拒绝拒绝原假设 。
2、可决系数 统计量
根据上述关系，可以用
(2.3.3)
检验模型的拟合优度，称 为可决系数（coefficient of determination）。显然，在总离差平方和中，回归平方和所占的比重越大，残差平方和所占的比重越小，则回归直线与样本点拟合得越好。如果模型与样本观测值完全拟合，则有 。当然，模型与样本观测值完全拟合的情况是不可能发生的， 不可能等于1。但毫无疑问的是该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

一元线性回归：假设检验和置信区间


一般步骤
1. 提出原假设和备择假设
原假设和双边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 ≠ 1,0 其中 1,0 为原假设下的假设值. 原假设和单边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 < 1,0 或 H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 >1,0
检验 Y 的均值: 检验 1,
t = Y Y ,0
sY / n
ˆ t = 1 1,0 , ˆ) SE ( 1
ˆ)= ˆ 抽样分布的方差的估计的平方根 ，公式？ 其中 SE( 1 1
5
ˆ ) 的公式 SE( 1
ˆ 方差的表达式(大 n): 回顾 1
2 var[( X ) u ] i x i v ˆ)= var( = , 其中 vi = (Xi – X)ui. 1 2 2 4 n( X ) n X ˆ 方差的估计量：利用数据构造估计量取替未知总体值 2
ˆ 的抽样分布: 1 ˆ 近似服从, 在 LSA 下, 对大 n , 1
2 ˆ ~N , v 1 1 n 4 X
, 其中 vi = (Xi – X)ui
3
5.1 关于某个回归系数的假设检验
• 1的假设检验
目的是利用数据检验诸如 1 = 0 的假设，得到（原）假设正 确与否的暂时性结论.
2 ˆ
1 n 2 ˆi v n 2 i 1
1
1
1
这个公式看着令人有些讨厌，但: 事实上并没有看上去的那样复杂，其中分子估计的是 var(v), 分母估计的是 var(X). 为什么自由度调整为 n – 2? 因为有两个系数 (0 和 1)是 估计的. ˆ )是由回归软件计算的 SE(

计量经济学复习笔记（二）：一元线性回归（下）

计量经济学复习笔记（⼆）：⼀元线性回归（下）回顾上⽂，我们通过OLS推导出了⼀元线性回归的两个参数估计，得到了以下重要结论：ˆβ1=∑x i y i∑x2i,ˆβ0=¯Y−ˆβ1¯X.注意总体回归模型是Y=β0+β1X+µ，同时我们还假定了µ∼N(0,σ2)，这使得整个模型都具有正态性。

这种正态性意味着许多，我们能⽤数理统计的知识得到点估计的优良性质，完成区间估计、假设检验等，本⽂就来详细讨论上述内容。

1、BLUE我们选择OLS估计量作为⼀元线性回归的参数估计量，最主要的原因就是它是最⼩⽅差线性⽆偏估计(Best Linear Unbiased Estimator)，这意味着它们是：线性的。

⽆偏的。

最⼩⽅差的。

不过，光给你这三个词，你可能会对定义有所困扰——⽐如，关于什么线性？⼜关于什么是⽆偏的？我们接下来就对OLS估计量的BLUE性详细讨论，包括简单证明。

原本我认为，证明在后⾯再给出会更合适，引⼊也更顺畅，但是我们接下来要讨论的许多，都有赖于OLS估计量的BLUE性，因此我还是决定将这部分内容放在这⾥。

⾸先是线性性，它指的是关于观测值Y i线性，这有什么意义呢？注意到，在之前的讨论中，我们总讨论在给定X的取值状况下的其他信息，如µ的条件期望、⽅差协⽅差等，因此我们往往会在这部分的讨论中将X视为常数（⽽不是随机变量）看待，这会带来⼀些好处。

⽽因为µ∼N(0,σ2)且µi是从µ中抽取的简单随机样本，且µi与X i⽆关，所以由正态分布的性质，有Y i|X i∼N(β0+β1X i,σ2).实际上，由于参数真值β1,β1是常数，所以每⼀个Y i在给定了X i的⽔平下，都独⽴地由µi完全决定，⽽µi序列不相关（在正态分布的情况下独⽴），所以Y i之间也相互独⽴。

这样，如果有⼀个统计量是Y i的线性组合，那么由正态分布的可加性，这个统计量就⾃然服从正态分布，从⽽我们可以很⽅便地对其进⾏参数估计、假设检验等。

一元线性回归方程回归系数的假设检验方法

一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的关系。

它可以
用来预测一个变量（被解释变量）的值，另一个变量（解释变量）的值已知。

回归系数是一元线性回归方程的重要参数，它可以用来衡量解释变量对被解释变量的影响程度。

回归系数的假设检验是一种统计学方法，用于检验回归系数是否具有统计学意义。

它的基本思想是，如果回归系数的值不是0，则表明解释变量对被解释变量有
显著的影响，反之则表明解释变量对被解释变量没有显著的影响。

回归系数的假设检验一般采用t检验或F检验。

t检验是检验单个回归系数是
否具有统计学意义的方法，而F检验是检验多个回归系数是否具有统计学意义的方法。

在进行回归系数的假设检验时，首先要确定检验的显著性水平，一般为0.05
或0.01。

然后，根据检验的类型，计算t值或F值，并与检验的显著性水平比较，如果t值或F值大于显著性水平，则拒绝原假设，即认为回归系数具有统计学意义；反之，则接受原假设，即认为回归系数没有统计学意义。

回归系数的假设检验是一种重要的统计学方法，它可以用来检验回归系数是否
具有统计学意义，从而更好地理解解释变量对被解释变量的影响程度。

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第2步，计算配方约束的确定性解：再对上述回归的因变量和回归系数做拉伸压缩，使得回归系
数之和为1，此时即得结构变量的确定性解。
第3步，计算路径系数：在结构方程中根据已知的结构变量确定性解，计算出各个路径系数。
2020/1/27
10
二、潜变量效应分析
1、交互效应
参考文献 5
基于结构方程潜变量(结构变量)的效应分析，基本的是交互效应、调节效应、中介效应。由于交 互效应实质上就是调节效应，所以我们专注于考虑调节效应与中介效应，以及它们的复合效应，如有 中介变量的调节效应，有调节变量的中介效应。
2 21 0 0 0 02 2 2
3




31
32
0
0
0
3




3
1



3

4 41 42 43 0 04 4 4
5


0
0
0
54
i 1
i 1
参考文献1
3
一、回归常识
1、一元线性回归（假设检验）
参考文献1
ˆ1
~

N 1,
2
S XX

假设检验的一般步骤（1）： 要有一个原假设
构造一个包含待检验参数的统计量 在原假设成立时找到该统计量的分布
注意：
原假设对应被择假设也很重要， 它也影响统计量的分布。
统计量的分布如果不能推导出精 确分布，那么可以考虑大样本时 的极限分布，或者采用Monte
Y X
Y1
Y

Y2 Yn
,
1 X11 X1m
X

1 1
X 21
X n1

X 2m
X nm

0


1 m
,
1


2 n

Carlo方法得到数值分布。
2020/1/27
4
参考文献1
一、回归常识
1、一元线性回归（假设检验）
假设检验的一般步骤（2）： 给定置信水平
在分布中确定小概率事件的拒绝域
如果统计量落入拒绝域
则拒绝原假设
显著性水平 分位点
小概率原理 两类错误 弃真错误 纳伪错误
2020/1/27
5
一、回归常识
2、多元线性回归（模型）
一级指标、潜变量、结构变量 结构方程组、路径系数 二级指标、观测变量、 观测方程组、汇总系数
路径分析 协方差拟合算法(LISERL) 偏最小二乘（PLS） 确定性算法 多层路径分析模型
8
一、结构方程模型
3、基本公式
参考文献4
1 0 0 0 0 01 1 1
模型 最小二乘
Y 0 1X
n
(Yi 0 1X i )2 min
i1
~ N (0, 2 )
参考文献1
2020/1/27
2
一、回归常识
1、一元线性回归（参数估计）
2020/1/27
n
S(0 , 1) (Yi 0 1X i )2
i1
例如要分析潜变量
的交互效应，就直接写出回归方程：
根据普通的多元线性回归，就可以估计系数，作出检验。通常先对方程变量数据做中心化标准化再做 检验。
11
二、潜变量效应分析
2、调节效应模型
2020/1/27
设Y与X有如下关系 Y=aX+bM+cMX+e
可以把上式重新写成 Y=bM+(a+cM)X+e
yi ii yi
i 1,, m
2020/1/27
9
一、结构方程模型
4、确定性算法
参考文献4
结构方程模型基于配方回归约束的确定性算法：
第1步，计算单位模长约束的最小二乘解：对每一个结构变量及其所属的观测变量（纵向模块）
做约束回归。观测变量虽然未知，但是加以单位模长约束，同时约束回归系数非负，可以求得唯一解。
S


0
n
2 (Yi
i1
0 1X i ) 0

S

1

n
2
i1
X i (Yi
0
1X i )

0
ˆ1

S XY S XX
ˆ0 Y ˆ1X
n
S XX
Xi X 2
n
S XY ( X i X )(Yi Y )
0

5


0




5 观测方程组 Nhomakorabea结构方程组
B
K (t)
t t j xt j xt j 1
xt t t xt
t 1,, k t 1,, k
L(i)
i i j yi j yi i 1,, m j 1
2020/1/27
6
一、回归常识
2、多元线性回归（解与高斯马尔科夫定理）
ˆ (XX )1XY
ˆ 2

1 n m 1 SES

1 (Y n m 1

Xˆ )(Y

Xˆ )
参考文献2
2020/1/27
7
一、结构方程模型
1、二级指标汇总问题
2020/1/27
参考文献3
2、基本概念
交互效应的日常理解并不困难，其数据分析是考虑两个变量的乘积项作为交互效应项，以其是否显 著来判断交互效应是否显著。
潜变量的效应分析，需要使用观测变量实现计算。要分析潜变量的交互效应，难点在于其观测变量 的配对。但是根据我们的确定性算法，可以得到潜变量的估计值，于是可以直接计算潜变量的交互项是 否显著。
潜变量的效应分析与循环效应及应用论文写作
一、回归常识与结构方程模型
二、交互效应调节效应中介效应：原理、检验与复合
目录
三、一般效应分析的DASC计算 四、循环效应：原理、图示、DASC计算
五、效应分析的应用与论文写作
六、附录：联立方程模型与二阶段LSE
2020/1/27
1
一、回归常识
1、一元线性回归（模型）
参考文献2
多元线性回归模型
Y 0 1X1 2X2 mXm ~ N(0, 2)
Y1 0 1X11 2 X12 m X1m 1 Y2 0 1X 21 2 X 22 m X 2m 2 Yn 0 1X n1 2 X n2 mX nm n