层叠导体脉冲涡流检测中探头瞬态响应的快速计算

第29卷第36期中国电机工程学报V ol.29 No.36 Dec.25, 20092009年12月25日 Proceedings of the CSEE ©2009 Chin.Soc.for Elec.Eng. 129 文章编号：0258-8013 (2009) 36-0129-06 中图分类号：TH 878 文献标志码：A 学科分类号：470⋅40层叠导体脉冲涡流检测中探头瞬态响应的快速计算张玉华，孙慧贤，罗飞路(国防科学技术大学机电工程与自动化学院，湖南省长沙市 410073)Fast Calculation of Probe’s Transient Response to Pulsed Eddy-current for Inspection ofMulti-layered Conductive StructuresZHANG Yu-hua, SUN Hui-xian, LUO Fei-lu(Institute of Mechanical and Electrical Engineering, National University of Defense Technology,Changsha 410073, Hunan Province, China)ABSTRACT: To research metal thinning, interlayer gap variation caused by all kinds of hidden corrosion in aircraft multi-layered metal structure, the electromagnetic field theory model of n-layered conductive structure inspected by pulsed eddy current technique was built. The reflection coefficient of the conductive structure to probe is derived by using magnetic vector potential A. It is generalized as the product of n matrix. Furthermore, the frequency-domain response of two coaxial coils probe is derived and expressed in integral expression. According to the diffusion characteristic of low-frequency electromagnetic field and partial difference equation theory, double generalized integral is expanded to series summation. Probe transient response to multi-layered conductive structure is calculated by fast Fourier transform (FFT). Compared with the results from finite element time-stepping method, it is shown that the theoretic derivation is correct and the calculation method using series expansion and FFT is more effective.KEY WORDS: pulsed eddy current testing; multi-layered conductive structure; transient response; reflection coefficient; series expansion; Fourier transform; time-stepping method摘要：针对飞机多层金属结构中各类隐藏腐蚀导致的金属层减薄、层离间隙变化等问题，建立任意n层层叠导体结构脉冲涡流检测的电磁场理论模型，应用矢量磁势A推导得到了导体结构对线圈探头的反射系数，将之归纳为n个矩阵相乘的形式。

进一步导出了同轴双线圈探头频域响应的积分表达式，并根据低频电磁场传播特性和偏微分方程理论，将二重广义积分转化为级数求和，采用快速傅里叶变换计算探头的瞬态响应，并与有限元时步法进行对比，验证理论推导的正确性，结果表明级数展开结合快速傅里叶变换是一种更快速有效的求解方法。

关键词：脉冲涡流检测；层叠导体结构；瞬态响应；反射系数；级数展开；傅里叶变换；时步法0 引言在飞机机身多层金属板搭接处、翼面胶接复合结构中、机翼铝蒙皮上紧固件孔周围以及发动机固定支座和冷却组件中常会发生各类隐藏的腐蚀或应力裂纹，从而导致关键结构的损伤和断裂[1-2]，因此如何有效检出这类缺陷是飞机日常维护和检修中极为重要的课题。

传统的单(多)频涡流检测技术简单可行，对表面或近表面缺陷有着很高的灵敏度，但受趋肤效应的限制，对更深层或第一层以下的结构完整性进行评估时，必须降低检测频率，但检测灵敏度也随之降低。

在脉冲涡流检测中，施加给探头的激励信号是一系列矩形脉冲电压(流)，它包含丰富的频谱分量，且信号能量集中，使感应涡流能渗透到更深的试件内部，有效地扩大了检测范围，从理论上讲可实现对待测物上不同纵深位置的同时检测。

近年来，脉冲涡流检测方法日益引起重视和关注[2-5]。

虽然脉冲涡流技术具有上述优点，但在理论模型的建立及信号的物理解释上却比单频涡流检测复杂很多。

根据不同的检测对象，各种解析法和数值法均被用于时域涡流场的计算，如J.Bowler[6]以半无限大导体为对象，导出了阶跃和指数2种激励下，电流和导体反射系数乘积的拉普拉斯逆变换，计算了线圈电磁场的时域解。

V.O.Haan等人[7]从待测导体的材料和几何特征对场传播的影响出发，将导体的反射系数分段展开求傅里叶反变换，导出了半无限大和有限厚度导体上线圈感应电压的时域表达式。

J.Pavo[8]用边界积分法和阻抗型边界条件130 中 国 电 机 工 程 学 报 第29卷求解2层导体中任意形状的平面缺陷场问题，通过反傅里叶转换计算时域信号。

Li Y 等人[9]采用截断区域特征函数展开计算了3层导体结构的时谐场问题。

H.Tsuboi 等人[10]用棱边有限元法直接求解了27号电磁场基准问题(TEAM Workshops problem 27)的时域响应。

文献[11]采用有限元和边界元耦合法对有限厚平板导体中理想裂缝模型进行了时域求解。

文献[12]采用节点有限元法分析了特殊形状探头的三维瞬态涡流场问题。

本文以任意n 层层叠导体为检测对象，用矢量磁势A 推导得到了层叠导体对探头的反射系数以及线圈感应场的频域解。

由于表达式中包含了1阶贝塞尔函数的类索末菲积分，根据低频电磁场传播特性及偏微分方程理论，将求解区域限定在一个有效范围内，使二重广义积分化为级数求和，并用快速傅里叶变换法计算了层叠导体结构检测中探头的瞬态响应信号。

最后与有限元时步法进行了对比，结果表明级数展开结合快速傅里叶变换是一种更快速有效的计算方法。

1 层叠导体结构的时谐场求解1.1 层叠导体反射系数的推导计算模型如图1所示，探头包括2个均匀绕制的同轴圆柱形线圈，小检测线圈位于激励线圈内部，层叠导体结构由n 层导体平板和n −1层非导体间隙组成，其中第i 层导体为各向同性、线性均匀的介质，其电导率为σi ，磁导率μi =μr ,i μ0，μr ,i 为相对磁导率，厚度为d i ，第i 层和i +1层导体之间间隙的磁导率为μ0，厚度为g i ，第n 层导体下方是半无限大空气域。

考虑到模型的对称性及求解边界的设定问题，选择圆柱坐标系(ρ,θ, z )，设定z =0平面 与第一层导体表面重合，z 轴垂直于导体表面向上，将整个求解空间划分为2n +2个子区域。

z r 2 r 1l 1l 2 g 1g n −1激励线圈探头区域 检测线圈 k =0 k =1 k =3k =d 1, σ1, μ1 d 2, σ2, μ2d n , σn , μn d n −1, σn −1, μn −1 k =2n 2=2n −3 =2n −1 k =k =0+ ……图1 同轴双线圈探头置于层叠导体结构上方Fig. 1 Two coaxial coil probe above the multi-layered conductive structures由轴对称时谐场性质可知，当线圈中加载频率 ω=2πf 正弦电流时，矢量磁位A 仅存在周向分量A θ，即A =A θ e θ，e θ 为θ方向的单位矢量。

计算一个理想δ线圈位于导体上方(r 0, l 0)时产生的磁位A ，忽略位移电流及速度效应，则各区域的电磁场控制方程[13]可统一表示为(k =0+, 0, 1, 2, …,2n )22()22211[()j ](,,)k k k A z z ωμσρωρρρρ∂∂∂0++−−=∂∂∂(1)线圈中电流密度可用δ函数表示为J =i (ω)⋅δ(ρ−r 0)δ(z −l 0)，则对各区域的媒质分界面上的边界条件为(0)(0)(,,)(,,)z l z A z A z ρωρω+l === (2)00(0)(0)00(,,)(,,)|| ()()z l z l A z A z z zi r ρωρωμωδρ+==∂∂=−∂∂− (3) 当1≤k ≤2n 时 1(1)()(,,)(,,)k kk k z z z A z A z ρωρω−−z === (4)1(1)()11(,,)1(,,)||k k k k z z z k k A z A z z z ρωρωμμ−−z ==−∂∂=∂∂(5)式中z k 为各分界面的z 坐标。

利用分离变量法对方程(1)进行求解，并考虑空气中电磁场的传播特性，则各个子区域的通解可表示为：1）δ 线圈上方半无限大空气域，有0010(,,)e ()d z A z C J λρωλ∞++−=∫ρλ (6)2）δ 线圈与导体之间的空气域，有00010(,,)(e e )()d z z A z C D J λλρωλ∞−=+∫ρλ (7)3）第i 层导体区域，有21212110(,,)(e e )()d i i z z i i i A z C D J λλρωλ∞−−−−=+∫ρλ(8)4）第i −1和i 层导体之间的间隙，有22222210(,,)(e e )()d i i z i z A z C D J λλρωλ∞−−−−=+∫ρλ (9)5）导体下方半无限大空气域，有2210(,,)e ()d n n z A z C J λρω∞=∫λρλ (10)式中：λ为分离变量(本征值)，i λ=， i =1,2,…,n ；J 1(λρ)为第一类1阶贝塞尔(Bessel)函数，未知系数C 0+、C 0、D 0、C 2i −2、D 2i −2、C 2i −1、D 2i −1和C 2n 可由式(2)~(5)并利用傅里叶–贝塞尔(Fourier- Bessel)方程计算得到，它们之间满足一定的递推关系(见附录)，其中C 0+、C 0、D 0和C 2n 如下：000010()()[e (,)e ]2l l i r J r C λλωμλΓλω−+=+ (11)第36期 张玉华等：层叠导体脉冲涡流检测中探头瞬态响应的快速计算 13100010()()e 2l i r J r C λωμλ−=(12)000010()()(,)e 2l i r J r D λωμλΓλω−= (13)020010,111()()e (4)()2l nnni r i i i r J r C λωμλλλμΓ−==−∏ (14) 将对应的系数代入式(6)~(10)可得一个理想δ线圈在各区域内产生的磁位A 。