专题14 二次函数及其应用(解析版)

专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得： 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：∴当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；∴当0,0m n <>时，∴抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0， ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∴点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∴0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点． （1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a =-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∴如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∴如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出|1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =+ 12CD x x ∴=-3=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）6【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∴杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，∴()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD'∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x 2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分∴当BF BE =时，∴当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∴四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：∴当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ∴当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =，∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∴过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∴()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∴抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =， ∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∴B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∴PQ ∴CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∴D 是OC 的中点，∴D （0，2），∴QN ∴y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∴2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ =， 设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去）， ∴E （5，4）， 设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+， ()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，∴当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =， ∴当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，∴当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）． ．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2131+；（3）是，1． 【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ． （2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩， ∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CE 的解析式为：233y x =-+， 令1x =，则73y =， ∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +∴AQ QPPC ++1．理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∴'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∴点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∴0q ≠，∴21e q -=-， ∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ∴AB ，理由见解析；（2）（,1）；（3）243y x x =-+ 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断∴AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明∴AOC ∴∴BOE （SAS ），可得∴OBE =∴OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证∴MOC ∴∴NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角∴ACM ，可求出2AM CM ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）BE ∴AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1， ∴B （0，1），A （1，0）， ∴OA =OB =1， ∴∴OBA =∴OAB =45°， ∴四边形OCDE 是正方形， ∴OC =OE ，∴COE =90°， ∴∴AOB =90°， ∴∴AOC =∴BOE ， ∴∴AOC ∴∴BOE （SAS ）， ∴∴OBE =∴OAC =45°，∴∴EBC =∴EBO +∴OBA =45°+45°=90°， 即BE ∴AB ；（2）作CM ∴OA 于点M ，作EN ∴x 轴于点N ，如图1，则∴CMO =∴ENO =90°， ∴∴EON +∴NEO =∴EON +∴COM =90°， ∴∴NEO =∴COM ， 又∴OC =OE ，∴∴MOC ∴∴NEO ， ∴CM =ON ，OM =EN ，在∴ACM 中，∴CMA =90°，∴MAC =45°，AC =BE =t ， ∴22AM CM t ==， ∴212OM t =-， ∴点E 在第二象限， ∴点E 的坐标是（22,122t t --）；（3）∴抛物线过点A （1，0）， ∴a +b +c =0， ∴6320a b c ++=， ∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当t =时，由（2）可得AC =， ∴12AM CM ==， ∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1， ∴∴POA 的面积为12， 即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =， ∴a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1， ∴点P （2，-1）， 设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点2DD CD '=的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+， 将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++， 解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=， 2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，2255(3)(62)35D N CN m m CN m CN FN CN '+=-+-=-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x≤100时，当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：30020022x x=+-，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100， 若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,26N --【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AEAC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN ，最后由3MD MN =即可求解 【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩ 265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥轴，AE AC ⊥ 90EFA EAC ∴∠=∠=︒ 90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO ∴∠=∠ AOC EFA ∴∆∆∽AC AO COEA EF AF∴==tan 2ACM ∠=即2AEAC= 12AC AO CO EA EF AF ∴=== 当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 3511y x ∴=-- 点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m =-1AH m ∴=--265y x x =---∴对称轴32bx a∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-= ()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++= 210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦ 3MD =223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦， 30,3m m +==-不符合题意，舍去，当30m +≠时，2224690,m m ∴++=解得122m -=，由题意知122m --= (3,2N ∴--【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩， ∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+， 当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： ()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-， ∴120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∴500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∴要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将∴代入∴可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）2n =（3）∴12；∴251013(9+或2513(,0)9-． 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）∴先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；∴先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．。

二次函数图象性质及应用（讲义）➢课前预习回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列问题：1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系：a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向．c 是抛物线与交点的．b 的符号：与a ，根据可推导．判断下面函数图象的a，b，c 符号：（1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（）A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0（2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是．2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．1➢知识点睛1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等，则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用，借助求解．3.观察图象判断a，b，c 符号及组合：①确定符号及信息；②找特殊点的，获取等式或不等式；③代入不等式，组合判断残缺式符号．➢精讲精练1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3A．5 B．-3 C．-13 D．-272.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x =1 ；2④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是．2 二次函数草图的画法：1. 一般草图1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数；2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根据四点一线来确定大致图象．四点：二次函数顶点，二次函数与y 轴的一个交点，二次函数与x 轴的两个交点．一线：二次函数对称轴．）5.已知二次函数 y = - 1 x 2 - 3x - 5，设自变量的值分别为 x 1，x 2，2 2x 3，且-3 < x 1 < x 2 < x 3 ，则对应的函数值 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 2 > y 3 > y 1B ． y 1 < y 2 < y 3 D ． y 2 < y 3 < y 16. 若 A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线 y =-(x +1)2+a 上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 3 > y 2 > y 1B ． y 1 > y 3 > y 2 D ． y 3 > y 1 > y 27. 若 A ( -13 ，y )，B ( - 5 ，y )，C ( 1，y )为二次函数 y =x 2+4x -5 4 1 4 2 4 3的图象上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）A ． y 1 < y 2 < y 3 C ． y 3 < y 1 < y 2B ． y 2 < y 1 < y 3 D ． y 1 < y 3 < y 28.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a < 0 ）的图象如图所示，当 -5 ≤ x ≤ 0 时，下列说法正确的是（A . 有最小值-5，最大值 0B . 有最小值-3，最大值 6C . 有最小值 0，最大值 2D .有最小值 2，最大值 69.（1）已知二次函数 y =x 2-4x -3，若-1≤ x ≤ 6 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 4，则 y 的取值范围是；若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是 ．（2）已知二次函数 y =-x 2+6x -3，若-1≤ x ≤ 5 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 0，则 y 的取值范围是； 若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是．10.已知 y =x 2+(1-a )x +1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 1≤x ≤3 时，y 在 x =1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是．311.如图是 y =ax 2+bx +c 的图象，则 a 0，b 0，c0，a +b +c0，a -b +c0，2a +b0．第 11 题图第 12 题图12.二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，小明观察得出了下面四条信息：①c ＞1；②2a -b ＜0；③a +b +c ＜0； ④ m (am + b ) < a - b （m ≠-1）．你认为其中错．误．的是 ．13.如图是二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c =0；② b > 2a ；③二次函数 y =ax 2+bx +c 与 x 轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0)；④ a - 2b + c > 0 ；⑤8a +c ＞ 0．其中正确的命题是．第 13 题图第 14 题图14.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ； ④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m (am + b )（ m ≠ 1）．其中正确结论的序 号是．15. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2，0)， ( x 1 ，0)，且1 < x 1 < 2 ，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方． 下列结论：① 4a - 2b + c = 0 ；② a < b < 0 ；③ 2a + c > 0 ；④ 2a - b +1 > 0 ．其中正确的结论是．4【参考答案】➢课前预习1. a＞0；上；a＜0；下；y 轴；纵坐标；左同右异，对称轴的位置（1）D（2）②2. ＜➢知识点睛1.纵坐标；对称；x =x1+x2 22.增减性；函数图象3.①a，b，c；对称轴；②函数值；③等式➢精讲精练1. D2. ①③④3. m≤2；m≥14. x≤15. A6. A7. B8. B9. （1）-7≤y≤9；-7≤y＜18；-6≤y＜9；（2）-10≤y≤6；-30＜y≤-3；-19＜y≤210. a≥511. ＜；＜；＞；＜；＞；＜12. ①④13. ①③⑤14. ③④⑤15. ①②③④5。

初二数学中的二次函数解析与应用二次函数在初中数学中具有重要的地位，它的解析和应用是数学学习中的关键内容。

本文将从解析和应用两个方面进行讨论，为初二学生深入理解二次函数提供指导。

一、二次函数的解析二次函数是一个拥有最高次数为2的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别是实数且a ≠ 0。

解析二次函数包含以下几个方面。

1. 函数图像：二次函数的图像一般为开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

图像在坐标系中的对称轴为x = -b/2a，最值点为顶点。

2. 零点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解。

求解零点的方法有两种：配方法和根式法。

配方法是通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而求得零点。

根式法则是直接利用一元二次方程的求根公式，即x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)求解。

3. 判别式：判别式是二次方程的重要参数，用于判断方程的解。

判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；判别式等于0时，方程有两个相等的实根；判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

4. 函数的性质：二次函数具有一些特殊性质。

其中，当a>0时，函数在对称轴左侧递减、右侧递增；当a<0时，函数在对称轴左侧递增、右侧递减。

函数的最值由顶点确定，最小值为y的最小值，最大值为正无穷。

通常用顶点坐标表示函数的最值。

二、二次函数的应用二次函数的应用广泛，涉及到各个领域，如物理、经济等。

以下是二次函数在初二数学中的常见应用场景。

1. 位置函数：当一个物体在匀加速度下运动时，物体的位置可以用二次函数来描述。

其中，位置函数的自变量为时间，因变量为物体所在的位置。

通过解析二次函数，可以计算物体在不同时刻的位置。

2. 经济学模型：在经济学中，二次函数被广泛用于分析生产成本和利润。

例如，可以用二次函数描述某个产品的生产成本与产量之间的关系，从而确定最佳产量以实现最大利润。

一、课前梳理：1.已知：抛物线经过（-1,0）、（5,0），且函数的最大值为6，试求抛物线的解析式。

答案：y=-2/3(x+1)(x-5)2.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图像如下，则下列代数式值为负的有_______.(1)abc (2)a+b+c (3)a-b+c(4)4a+2b+c (5)2a+b (6)2a-b(7)b 2-4ac答案：（1）（3）3.二次函数y=-x 2-2x+1,当 -3≤x≤0时，则函数值的取值范围是______。

答案：-2≤y ≤24.已知：抛物线y=x 2-(2m-1)x+m 2-m-2(1)证明：不论m 为何值时，抛物线与x 轴总有两个交点。

(2)用m 表示抛物线与x 轴的交点坐标。

(3)设抛物线与y 轴交与点C ，与x 轴交与点A 、B 。

若⊿ABC 的面积为6，A 、B 两点在y 轴的同侧（A 在B 的左侧），求抛物线解析式。

答案：（1）略，（2） （m-2,0） (m+1,0)(3) y=x 2-5x+4或者y=x 2+5x+4二、例题解析例1 当k 为何值时，关于x 的不等式kx 2-2x-3>0无解。

解：(1)当k>0时，则根据二次函数与不等式的关系可得，不等式kx 2-2x-3>0无解充要条件是y=kx 2-2x-3图像全在x 轴下方，结合图像，开口必然向下，与条件不符。

(2)显然k=0也不合题意。

(3)当 k<0时，不等式kx 2-2x-3>0无解充要条件是y=kx 2-2x-3图像全在x 轴下方，即∆<0，可求得k ＜-1/3。

综上所述，k ＜-1/3。

例2 已知：抛物线y=mx 2-(m+1)x -2m+3.当x>2时y 随x 的增大而增大。

试求m 的取值范围。

解： (1)当m>0，则结合图像可知2m21m ≤+ , m ≥1/3 (2)当m<0，则结合图像可知,不合题意，舍去。

解析高考数学中的二次函数及应用高考数学中，二次函数是一个非常重要的知识点。

考生们需要掌握它的定义、性质、图像和应用等方面的知识。

本文将对二次函数及其应用进行详细的解析，帮助学生更好地掌握这个知识点。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。

它是一种关于自变量x的二次多项式函数，其图像是一个开口向上或向下的抛物线。

图像的轴对称线为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-1/4(b/a)^2)。

二次函数的一些基本性质如下：(1) 当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。

(2) 当顶点坐标为(h,k)时，二次函数可以表示为y=a(x-h)^2+k。

(3) 函数图像关于x轴对称当且仅当c=-1/4(b/a)^2。

(4) 当a的符号改变时，函数图像关于x轴翻折。

(5) 当b的符号改变时，函数图像关于y轴翻折。

(6) 当c的符号改变时，函数图像上下平移。

(7) 当a的绝对值变大时，函数图像变得更加“尖锐”（注意a≠0）。

(8) 当a的绝对值变小时，函数图像变得更加“平缓”（注意a≠0）。

二、二次函数的图像及特点二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其方程中a 决定了抛物线的开口方向和大小，而b和c则决定了抛物线在坐标系中的位置。

当a>0时，抛物线开口向上，图像的左右两边向上开口，因此该函数在(-∞, -b/2a)和(-b/2a, +∞)处单调递增，在x=-b/2a处取得最小值。

当a<0时，抛物线开口向下，图像的左右两边向下开口，因此该函数在(-∞, -b/2a)和(-b/2a, +∞)处单调递减，在x=-b/2a处取得最大值。

另外，二次函数的顶点就是其最值点，该函数的对称轴为x=-b/2a。

当抛物线与x轴相交时，其判别式Δ=b^2-4ac>0；当抛物线与x轴相切时，其判别式Δ=0；当抛物线不与x轴相交时，其判别式Δ<0。

二次函数的应用问题解析Introduction:二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中具有广泛的应用。

本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，包括最值问题、图像分析问题和最优化问题等。

1. 最值问题：一类常见的二次函数应用问题是求解最值。

以抛物线为例，当抛物线开口朝上时，函数有最小值；当抛物线开口朝下时，函数有最大值。

可以通过二次函数的顶点来确定最值点的坐标。

2. 图像分析问题：对于二次函数的图像分析问题，我们可以通过函数的图像特点来解决。

例如，从二次函数的方程中可以直接读出顶点坐标的横纵坐标值，进而确定函数的对称轴和顶点等。

3. 最优化问题：二次函数的最优化问题是另一种常见的应用情况。

通过求解二次函数的极值点来确定输入变量使得函数取得最大或最小值的情况。

这在经济学、物理学等领域中具有重要意义。

4. 物理应用问题：二次函数在物理学中的应用也是广泛存在的。

例如，在抛体运动中，二次函数可以描述出抛体的抛射轨迹。

通过解析抛物线的方程，可以求解出抛体的最大射程、最大高度等。

5. 经济应用问题：在经济学中，二次函数的应用也非常常见。

例如，成本函数、利润函数等经济学模型经常涉及到二次函数。

我们可以通过优化二次函数来求解最低成本、最高利润等经济问题。

6. 几何应用问题：几何中也有很多与二次函数相关的应用问题。

比如，通过二次函数的方程可以得到圆的方程，进而求解圆与直线的交点等。

Conclusion:二次函数作为数学中的重要内容，在实际问题中有着广泛的应用。

通过解析二次函数的方程，可以解决最值问题、图像分析问题和最优化问题等。

此外，在物理学、经济学和几何学中，二次函数也扮演着重要的角色。

掌握二次函数的应用，对于数学和实际生活都具有重要意义。

专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y ＝﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ． （1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值．（3）如图3，将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '．使得点A ′、C '在直线AC 上，是否存在这样的点D ′，使得△A ′ED ′为直角三角形？若存在，请求出点D ′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y ＝13x +2；(2) 点M 坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP 的面积最大，此时|PM ﹣OM |有最大值√616； (3)存在，D ′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．【解析】（1）令x ＝0，则y ＝2，令y ＝0，则x ＝2或﹣6，△A （﹣6，0）、B （2，0）、C （0，2），函数对称轴为：x ＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C 点坐标为（0，2），则过点C 的直线表达式为：y ＝kx +2，将点A 坐标代入上式，解得：k =13，则：直线AC 的表达式为：y =13x +2； （2）如图，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点H ．四边形AOCP 面积＝△AOC 的面积+△ACP 的面积，四边形AOCP 面积最大时，只需要△ACP 的面积最大即可，设点P 坐标为（m ，−16m 2−23m +2），则点G 坐标为（m ，13m +2），S △ACP =12PG •OA =12•（−16m 2−23m +2−13m ﹣2）•6=−12m 2﹣3m ，当m ＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y =−56x ，当x ＝﹣2时，y =53，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616． （3）存在．△AE ＝CD ，△AEC ＝△ADC ＝90°，△EMA ＝△DMC ，△△EAM △△DCM （AAS ），△EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt△DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a =83，则：MC =103，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt△DMC 中，12DH •MC =12MD •DC ，即：DH ×103=83×2，则：DH =85，HC =√DC 2−DH 2=65，即：点D 的坐标为（−65，185）；设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣6√10√10），点D ′坐标为（−65+√10185+√10），而点E 坐标为（﹣6，2），则A′D′2=(−6+65)2+(185)2=36，A′E 2=(√10)2+(√102)2=m 2√104，ED′2=(245+√10)2+(85+√10)2=m 2√101285．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：△当A′D′2+A′E 2=ED′2时，36+m 2−√104=m 2+√101285，解得：m =2√105，此时D ′（−65+√10185+√10）为（0，4）；△当A′D′2+ED′2=A′E 2时，36+m 2+10+1285=m 210+4，解得：m =−8√105，此时D ′（−6510185+10）为（－6，2）；△当A′E 2+ED′2=A′D′2时，m 2√10+4+m 2√101285=36，解得：m =−8√105或m =√105，此时D ′（−65√10185√10）为（－6，2）或（−35，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？【答案】（1）21128y x =-；（2）直线AC 的解析式为114y x =+；（3）点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆．【解析】（1）当0x =时，2122y ax =-=- △顶点()0,2P -，2OP = △90BOP ∠=︒，△sin OP ABP BP ∠==△BP ==△4OB ===△()4,0B ，代入抛物线1l 得：1620a -=，解得18a =，△抛物线1l 的函数解析式为21128y x =- （2）△知抛物线1l 交x 轴于A 、B 两点 △A 、B 关于y 轴对称，即()4,0-A △8AB =设直线AC 解析式：y kx b =+点A 代入得：40k b -+= △4b k =△直线AC ：4y kx k =+，()0,4D k △14|4|8||2AOD BOD S S k k ∆∆==⨯⨯= △21248x kx k -=+，整理得：2832160x kx k ---= △128x x k += △14x =-△284C x x k ==+，()284488C y k k k k k =++=+△2(84,88)C k k k ++ △21||32||2ABC C S AB y k k ∆=⋅=+ △若0k >，则:=1:4AOD OBCD S S ∆四边形 △15AOD ABC S S ∆∆= △()218325k k k =⨯+ 解得：10k =（舍去），214k = △直线AC 的解析式为114y x =+ △若k 0<，则8AOD BOD S S k ∆∆==-，()232ABC S k k ∆=-+△()218|32|5k k k -=⨯-+解得：10k =（舍去），214k =（舍去）综上所述，直线AC 的解析式为114y x =+. （3）由（2）得：()0,1D ，()4,0B△抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180︒得到抛物线2l △抛物线2l 解析式为：22128y x =-- 设点M 坐标为21(,2)8m m --△若90BDM ∠=︒，如图1，则0m < 过M 作MN y ⊥轴于点N△90MND BOD BDM ∠=∠=∠=︒，MN m =-，22111(2)388DN m m =---=+ △90MDN BDO MDN DMN ∠+∠=∠+∠=︒ △BDO DMN ∠=∠ △BDO DMN ∆∆△BO ODDN MN=，即BO MN DN OD ⋅=⋅ △21438m m -=+解得：116m =-+，216m =--△若90DBM ∠=︒，如图2，过点M 作MQ x ⊥轴于点Q△90BQM DBM BDM ∠=∠=∠=︒，4BQ m =-，2211(2)288MQ m m =---=+ △90BMQ MBQ MBQ DBO ∠+∠=∠+∠=︒△BMQ DBO ∠=∠ △BMQ DBO ∆∆△BQ MQDO BO=，即BQ BO MQ OD ⋅=⋅△()214428m m -=+解得：116m =-+216m =--△若90BMD ∠=︒，则点M 在以BD 为直径的圆除点B 、D 外的圆周上 显然以AB 为真径的圆与抛物线2l 无交点，故此情况不存在满足的m综上所述，点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆. 3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由． （4）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．【答案】△y =12x 2−32x +1;(2)92;(3)t =1或3;(4)a =23√5或65√5【解析】（1）将B （0，1），D （1，0）的坐标代入y=12x 2+bx+c ， 得：{c ＝1b +c +12＝0，解得：{b ＝−32c ＝1故解析式y=12x 2−32x +1；（2）设C （x 0，y 0）， 则有 {y 0＝12x 0+1y 0＝12x 02−32x 0+1 ， 解得{x 0＝4y 0＝3， △C （4，3），由图可知：S=S △ACE -S △ABD ，又由对称轴为x=32可知E （2，0），△S=12AE•y 0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92； （3）设符合条件的点P 存在，令P （t ，0）： 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF△x 轴于F ；△Rt△BOP△Rt△PCF ， △BOPF＝OP CF ，即 14−t ＝t3， 整理得t 2-4t+3=0， 解得a=1或a=3； 故可得t=1或3．（4）存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似， △当△APQ△△ABD 时，AP AB＝AQAD ， 解得：a=6√55；△当△APQ△△ADB 时，AP AD＝AQ AB ， 解得：a=2√53，△存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似，a=6√55或2√53．4、已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【思路引导】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【解析】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【方法总结】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．5、如图，动直线 y ＝kx+2（k ＞0）与 y 轴交于点 F ，与抛物线 y ＝14x 2+1 相交于A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，连接 CF ，DF ，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。

二次函数综合应用知识归纳＋真题解析【知识归纳】一．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：公共点（即有两个交点），公共点，公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有个不等实根⇔△=b 2-4ac 0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(2b a -，0)⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0有实根，122b x x a ==-⇔ (3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0 根⇔△=b 2-4ac0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【知识归纳答案】一．二次函数与一元二次方程的关系两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根⇔△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(2b a -，0)⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122b x x a ==-⇔240b ac -= (3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根⇔△=b 2-4ac ＜0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等. 真题解析一．选择题（共5小题）1．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由对称轴，得b=﹣2a．（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b＞0．故选：C．2．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∴ab＜0，故①错误；∵抛物线和y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴＜1，故③正确；故选C．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．4．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故选D．5．如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．二．填空题（共5小题）6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣ }=﹣；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= 2或﹣1．【考点】H3：二次函数的性质；2A：实数大小比较．【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣ }=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【解答】解：min{﹣，﹣ }=﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，故答案为：；2或﹣1．7．若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是﹣1．（写一个即可）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，∴a＜0，∴a的值可能是﹣1，故答案为：﹣1．8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1．则所有正确结论的序号是①②④．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣，可得出m=﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a ＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），∴，∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2．∵a＞0，∴b＜1，c＜2，∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为（m，n），∴m=﹣=﹣=﹣，∴m＜，结论③不正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），∴n≤1，结论④正确．综上所述：正确的结论有①②④．故答案为：①②④．9．已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m=2，解得m=2，将D点坐标代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，故答案为：2≤m≤8．10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．三．解答题（共7小题）11．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y=﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；=4S△COE，求P点坐标．（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，=4S△COE，∴2y=4×，∵S△ABP∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．14．如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°，∴AO=BO，∴•OA•OB=8，∴OA=OB=4，∴A（4，0），B（0，4）．（2）①由题意抛物线经过C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，∴抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，∴16m2+16m=0，∵m≠0，∴m=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，由，解得，∴N（2，2）．15．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；【解答】解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为x=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；16．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【考点】HE：二次函数的应用．当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W 最大值=180000（元）； 当50＜t ≤100时，W=（﹣t +30）﹣=﹣10t 2+1100t +150000 =﹣10（t ﹣55）2+180250， ∵﹣10＜0，∴当t=55时，W 最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W 最大，最大值为180250元．17．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y 1（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y 2（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 1与t 的变化规律，并求出y 1与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （2）求y 2与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y （百件），求y 与t 的函数关系式；当t 为何值时，日销售总量y 达到最大，并求出此时的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到结论；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t ≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30，10＜t≤30时，得到（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大=80；当y最大=91.2，于是得到结论．【解答】解（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得，∴y1与t的函数关系式为：y1=﹣t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4，∴y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得，解得，∴y2与t的函数关系式为：y2=k+30，综上所述，y2=；（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，y=﹣t2+6t+4t=﹣t2+10t=﹣（t﹣25）2+125，∴t=10时，y最大=80；当10＜t≤30时，y=﹣t2+6t+t+30=﹣t2+7t+30=﹣（t﹣）2+，∵t为整数，∴t=17或18时，y最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y最大=91.2（百件）．。

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。