山东省烟台市2010届高三上学期期末考试(数学理)

山东省烟台市2006—2007学年度第一学期高三年级期末考试数学（理）试题说明：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共12页，考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目用钢笔和2B 铅笔写、涂在答题 卡. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，若需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不准答在试卷面上.3．参考公式：锥体的体积公式是：sh V 31=，其中S 表示其底面积，h 为高. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上或填在和Ⅱ卷相应的空格内.1．设全集U 是实数集R ，},112|{},4|{2≥-=>=x x N x x M 则图中阴影部分所表示的集 合是（ ）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠k C ，则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23 D ．23-3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 4．若0lg lg =+b a （其中1,1≡≠b a ），则函数xxb x g a x f ==)()(与的图象 （ ）A ．关于直线y=x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点,21t a n21=∠F PF 则该椭圆的离心率为 （ ）A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 6．已知0||,0||2||2=⋅++≠=b a x a x x b a 的方程且关于有实根，则a 与b 夹角的取值 范围是（ ）A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππ D ．],6[ππ7．曲线21)4cos()4sin(2=-+=y x x y 与直线ππ在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次 记为P 1，P 2，P 3，……，则|P 2P 4|等于（ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π48．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形 的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．1 B ．21C ．31D ．619．已知抛物线).0(22>=p px y 直线l 经过定点)20(),0,(p m m M <<且交抛物线于A 、B 两点，则AOB ∠为（ ） A ．锐角 B ．钝角C ．直角D ．锐角或直角10．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图象经过（0，－1）和下面哪一个点时，能使不等式}31|{1)1(1<<-<+<-x x x f 的解集为 （ ）A ．（3，2）B ．（4，0）C ．（3，1）D ．（4，1）11．如果函数)1ln(2)(+-=x b a x f 的图象在1=x 处的切线l 过点（b1,0-），并且l 与圆C ：,122相离=+y x 则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不能确定12．某地一年的气温)(t f （单位：℃）与时间t （月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令g （t ）表示时间段[0,t]的平均气温，g （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填在Ⅱ卷相应题号的空格内.13．设二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成角的大小为 . 14．已知函数)(),(),2sin(2)(,sin 2)(x g x f m x x x g x x f 与直线=-==π的图象分别交M 、N 两点，则|MN |的最大值为 .15．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 后钟，该病毒占据64MB 内存.（其中，1MB=210KB ）16．已知点P （x,y ）的坐标满足AOP OP A x y x y x ∠⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-cos ||),0,2(,012553034则设（O 为坐标原点）的最大值为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说、证明过程或推演步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.0),cos ,(cos ),,2(=⋅=+=n m C B n b c a m 且（1）求角B 的大小；（2）设)()(,2cos 23)cos(cos sin 2)(x f x f x C A x x x f 的周期及当求-+=取得最大值时的x 的值.18．（本题满分12分）如图1，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 边的中点.现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B （如图2）. （Ⅰ）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角B —AC —D 的余弦值.19．（本小题满分12分）已知函数)6(),2(),0(),(log )(2f f f m x x f 且+=成等差数列.（1）求)30(f 的值；（2）若a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断)()(c f a f +与)(2b f的大小关系，并证明你的结论.20．（本题满分12分）如图，椭圆的方程为)0(122222>=+a ay a x ，其右焦点为F ，把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆上半部于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5五个点， 且|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F |=52.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 过F 点（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M （m,0），试求m 的取值范围.21．（本题满分13分）已知向量b a x f x b x a ⋅=-==)(),sin ,1(),1,(函数.（1）若],0[π∈x ，试求函数)(x f 的值域； （2）若θ为常数，且],0[),32(3)()(2)(),,0(πθθπθ∈+-+=∈x xf x f f xg 设，请讨论)(x g 的单调性，并判断)(x g 的符号.22．（本题满分13分）已知点),,1(11y B ),,2(22y B ),,3(33y B …，)(),,(+∈N n y n B n n 顺次为某直线l 上的点，点),0,(11x A ),0,(22x A …，),0,(n n x A …顺次为x 轴上的点，其中)10(1≤<=a a x .对于任意的n n n n B A B A N n 是以1,++∆∈为顶点的等腰三角形.（1）证明n n x x -+2是常数，并求数列}{n x 的通项公式； （2）若l 的方程为)(,121411++∈∆+=N n A B A x y n n n 试问在中是否存在直角三角形，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题CACCD BADBD AD 二、填空题 13．60° 14．22 15．45 16．5三、解答题 17．解：（1）由0cos cos )2(,0=++=⋅C b B c a n m 得0cos cos cos 2=++∴c b B c B a由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A ………………3分即0)sin(cos sin 2=++B C B A0)1cos 2(sin =+∴B A在0sin ,≠∆A ABC 中01cos 2=+∴B.32π=∴B ……………………6分（2）因为,32π=B3π=+∴C A)32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f ………………8分 ∈+=-∴k k x x f ,2232)(ππππ令的周期为 ，得125ππ+=k x （∈k ） 即当时125ππ+=k x （k ∈ ）时)(x f 取最大值.……………………12分 18．解：（Ⅰ）∵在图2中，E 、F 分别为AC 、BC 中点，∴AB//EF ………………2分 而⊄AB 面DEF ，EF ⊂面DEF∴AB//面DEF ……………………5分 （Ⅱ）在图2中，作.,,BG G AC DG 连垂足为⊥易证D AC B BGD Rt BDG --∠∆∆为二面角为,的平面角………………8分在a a a a DG a BD BDG 2323,,=⋅==∆中 a DG BD BG 2722=+=∴ 721732723cos ====∠∴a aBG DGBGD （也可用向量法解）……………12分19．解：（1）由得成差数列,)6(),2(),0(f f f)0)(6()2(),6(log log )2(log 22222>+=+++=+m m m m m m m 即2=∴m 得…………………………………………………………4分5)230(log )30(2=+=∴f …………………………6分（2）),2)(2(log )()(,)2(log )2(log 2)(22222++=++=+=c a c f a f b b b f,2ac b =又b c a b b c a ac b c a 4)(2444)(2)2()2)(2(22-+=---++==+-++∴…………9分4)(2)(22>-+∴≠=>+b c a c a b c a c a)(2)()(,)2(log )2)(2(log 222b f c f a f b c a >++>++∴即………………12分20．解：（1）由题意，知.,3251轴对称分别关于与与y P P P P 设椭圆的左焦点为F 1，则|P 1F |+|P 5F |=|P 1F |+|P 1F 1|=2a ，同时|P 2F |+|P 3F |=2a 而|P 3F |=a ∴|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |+|P 5F |=5a =522=∴a1222=+∴y x 椭圆方程为…………………………6分（2）由题意，F （1，0），设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y1222=+y x 代入椭圆方程为整理，得0224)21(2222=-+-+k x k x k……………7分因为l 过椭圆的右焦点，.,B A l 与椭圆交于不同的两点∴设),(),,(),,(002211y x AB y x B y x A 中点为，则12)1(,122)(21,21420022*******+-=-=+=+=+=+k kx k y k k x x x k k x x …………9分)(100x x ky y AB --=-∴的垂点平分线方程为令2222222001211212122,0kk k k k k k ky x m y +=+=+-+=+==得由于012>k ,2122>+∴k.210<<∴m …………………………12分21．解：（1）,sin )(x x b a x f -=⋅=],0[,cos 1)('π∈-=∴x x x f ， ,0)('≥∴x f.],0[)(上单调递增在πx f ∴………………3分于是)()()0(πf x f f ≤≤].,0[)(π的值域为x f ∴………………5分（2）x x x x x x g sin 31sin 3232sin 323sin )sin (2)(--=+++--+-=θθθθθ,32sin x ++θ32cos 31cos 31)('xx x g ++-=∴θ……………………7分.],0[cos ),,0(32),,0(],,0[内单调递减在而ππθπθπx y xx =∈+∴∈∈ .,32,0)('θθ=+==∴x xx x g 即得由 因此，当)(,0)(',0x g x g x <<≤时θ单调递减；当)(,0)(',x g x g x >≤<时πθ单调递增.…………………………10分 由)(x g 的单调性，知)(θg =)(x g 在],0[π上的最小值,θθθ≠===∴x g x g x 当时当0)()(,时，)()(θg x g >=0，…………12分综上知，当),0[θ∈x 时，)(x g 单调递减； 当],0(π∈x 时，)(x g 单调递增.当,时θ=x )(x g =0，当,时θ≠x )(x g >0.………………13分22．解：（1）因),(1n n n n n y n B A B A 构成以+∆这顶点的等腰三角形，)(2,211+++∈=+=+∴N n n x x n x x n n n n 即（1）从而),2)(1(221+=+++n x x n n …………3分由（2）—（1）得，.,22为常数=-+n n x x显然 ,,,,,,,,264212531n n x x x x x x x x 及-分别成等差数列.,1)12(2)1(112-+-=⨯-+=∴-a n n x x n)(22)1()2(2)1(112+-∈-=⨯-+-=⨯-+=N n a n n a n x x n⎩⎨⎧--+=∴为偶数为奇偶数n n n a n x n ,1,1………………………………6分（2）当n 为奇数时，)0,1(),0,1(1a n A a n A n n -+-++，)1(2||1a A A n n -=∴+当n 为偶数时，),0,(),0,(1a n A a n A n n +-+，a A A n n 2||1=∴+作x C B n n ⊥轴于,),(,上在直线由于点l y n B C n n n.12141||,12141+=+=∴n C B n y n n n 即……………………9分 要使|,|2||11n n n n n n n C B A A A B A =∆++为直角三角形当且仅当,31112)12141(2)1(2,n a n a n -=+=-∴即有为奇数时当（※）当5,61,3,32,1≥====n a n a n 当时当时时，方程（※）无解. 当n 为偶数时，有127,1312=+=a n a 同进求得……………………12分 综上所述，当1276132===a a a 或或时，存在直角三角形.…………………13分。

山东省烟台市2009—2010学年度高三第一学期学段检测数 学 试 题（理）本试题考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

请将正确答案的序号涂在和题卡上或填写在答题纸的相应表格里） 1．已知全集U=R ，集合)()(},1|{},2|{A C B B C A x x B x x A U U ⋃⋃≤=>= 则=（ ） A ．φB ．}21|{≥<x x x 或C ．}21|{<≤x xD ．}21|{≤<x x2．已知直线y=kx 是曲线x x y ln 212+=在x=e 处的切线，则k 的值为 （ ）A ．ee 1+B ．ee 1- C ．e 2 D ．03．不等式211<x 的解集是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．（0，2）D ．),2()0,(+∞⋃-∞4．已知定义在R 上的奇函数),0()(+∞在区间x f 上单调递增，若ABC f ∆=,0)21(的内角满足0)(cos ≤A f ，则角A 的取值范围是（ ）A ．],32[ππB ．]2,3[ππC ．]2,3[ππ∪ ],32[ππ D ．]32,3[ππ5．已知)(2R x x x ∈=-⋅+⋅，其中A 、B 、C 三点共线，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能6．已知定义域为R 的函数),8()(+∞在x f 上为减函数，且)8(+x f 为偶函数，则 （ ） A ．)7()6(f f > B ．)9()6(f f >C ．)9()7(f f >D ．)10()7(f f >7．已知函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，现将)(x f 的图象向左平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，则)(x g y =的表达式为（ ）A ．x y 41sin-=B ．x y cos 41=-=C ．)44sin(π--=x yD ．)44cos(π--=x y8．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为,0)0('),('>f x f 对任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0(')1(f f 的最小值为 （ ）A ．23 B ．2C ．25 D ．39．函数)0,0)(cos()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图 所示，则+++)3()2()1(f f f )2009(f + 的值为 （ ）A ．2B ．22-C ．7D ．010．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域为[a ，b]，其中a 、b ∈Z ，且a ＜b 。

高三期末自主练习数 学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集,{|(3)0},{|1}U R M x x x N x x ==+<=<-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|30}x x -<<B ．{|1}x x ≥-C ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2、在递减等差数列{}n a 中，若150a a +=，则n S 取最大值是n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或33、右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π4、设01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a > D ．lg()0b a -< 5、设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6、在ABC ∆中，若,B C ∠∠的对边分别为,,45,b c B c ∠==b =则C ∠（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．60或1207、函数ln x xy x =的图象可能是（ ）8、若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=9、若点P 是函数113()22x x y e ex x -=---≤≤图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角α，则α的最小值是（ ）A ．56πB ．34πC ．4πD ．6π 10、已知直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，交抛物线,A B 两点，且点,A B 到y 轴的距离相等,m n ，则2m n ++的最大值为（ ）A ．．．4 D ．611、如图，O 为线段02013A A 外一点，若01232013,,,,,A A A A A Hong 任意相邻两点的距离相等，0OA a =，2013OA b =，用,a b 表示0232013OA OA OA OA +++其结果为（ ）A ．1006()a b +B ．1007()a b +C ．2012()a b +D ．2014()a b + 12、定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，现有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②函数()2g x x =为函数()2xf x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数。

2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测数学(理科)注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设集合U=R ，集合{}{}22A=log 1,230x x B x x x <=--≤，则()U C A B ⋂=A ．[]2,3B ．[]1,2-C ．[]1,0-D ．[][]1,02,3-⋃ 2．设0.0192,lg 2,sin5a b c π===，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b3．己知函数()2y f x x =-是偶函数，且()12f =，则()1f -= A ．2 B ．－2 C ．0 D ．14．已知l 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//l ααβ，则//l βB ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥C ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥D ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ 5．已知()12tan ,tan 25ααβ=-=-，那么()tan 2βα-的值为 A ．34- B ．112- C ．98- D ．986．若变量,x y 满足430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，实数2z 是2x 和y 的等差中项，则z 的最大值为A ．3B ．6C ．12D ．157．在ABCD 中，已知AB=2，AD=l ，∠BAD=60°，若E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 则BF DE uu u r uuu rg =A ．2B ．－2C ．54D ．54-8．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若()0f x ''=方程有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()f x 的“拐点”．已知函数()2sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则直线OM 的斜率为A ．2B ．12C ．1D ．4π 9．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M ，若O 为坐标原点，△OFM 的面积是212a ，则该双曲线的离心率是A ．2B C 10.对任意实数a ，b ，定义运算⊕“”：,1,,1b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩设()()()214f x x x =-⊕+，若函数()y f x k =-有三个不同零点，则实数k 的取值范围是 A ．(]1,2- B. []0,1 C ．[)1,3-D ．[)1,1-二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．计算：00212log sin15log sin 75-=12．若抛物线y 2=8x 的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为13．若函数()()lg 23f x x x a =-+--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且)n a n N *=∈．若不等式18n n a nλ++≤对任意n N *∈恒成立，则实数λ的最大值为三、解答题：本大题共6个小题，共75分． 16．(本小题满分12分) 已知函数()()()c o s 23c o s ,02fx x x R ππωωω⎛⎫=-++∈> ⎪⎝⎭满足()()2,2fm fn =-=，且m n -的最小值为2π． (1)求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数g (x )的图象，已知a 为△ABC 中角A 的对边，若g (A)=1，a =4，求△ABC 面积的最大值．17．(本小题满分12分)如图，四棱锥V-ABCD 的底面是直角梯形，VA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，VA=AD=CD=12BC=a ,点E 是棱VA 上不同于A ，V 的点．(1)求证：无论点E 在VA 如何移动都有AB ⊥CE ；(2)设二面角A —BE —D 的大小为α，直线VC 与平面ABCD 所成的角为β，试确定点E的位置使tan tan 2αβ=18．(本小题满分12分)在数列{}{},n n a b 中，()11111,2,1,1n n n n a b a b b a n N *++===+=+∈．(1)求数列{}{},n n n n b a a b -+的通项公式；(2)设n S 为数列的前n 项的和，求数列()1411n n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+-⎪⎪⎩⎭的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式()22,191220,1015480x x P x N x x *⎧≤≤⎪⎪-=∈⎨+⎪≤≤⎪⎩，(日产品废品率=100%⨯日废品量日产量) 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．(1)将该厂日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?20．(本小题满分13分)已知椭圆()2222C 10x y a b a b+=>>：的焦距为，F 1，F 2为其左右焦点，M 为椭圆上一点，且∠F 1MF 2=60°，12F MF S =(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．21．(本小题满分14分) 已知函数f (x )=ln x ． (1)判断函数()()1g x af x x=-的单调性； (2)若对任意的x >0，不等式()xf x ax e ≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+.高三数学理科参考答案及评分标准一、选择题D A B D B C D A B A 二、填空题11.2- 12.22(2)25x y -+= 13.1a <-或5a > 14. 44315. 25三、解答题16.解：（1）()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+ (2)分由题意可知，22T π=，所以T π=， 故2,2ππωω==， …………………………4分即()2cos(2)3f x x π=+， 而()f x 在2[2,2],3x k k k ππππ+∈-∈Z 上单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为2[,],36k k k ππππ--∈Z . ……………6分（2）由题意可得，()2cos[2()]2cos(2)333g x x x πππ=-+=-，…………………7分 由()1g A =可得，2cos(2)13A π-=，而(0,)A π∈,可得，3A π=， …………………………………………………9分由余弦定理得：22162cos b c bc A bc +-==，即22162bc b c bc +=+≥，得16bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立，………11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==≤ …………………………………12分故三角形面积的最大值为17.解：(1)证明：连接AC ,在直角梯形ABCD 中，,,2AC AB BC a ===，所以222BC AC AB =+,所以AB AC ⊥， ……………1分又因为VA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB AV ⊥, ……………2分 而AV AC A =I ,所以AB ⊥平面VAC ， ………………………………………3分CE ⊂平面VAC ，所以AB CE ⊥. ………………………………4分（2）取BC 中点F ，以点A 为坐标原点，,AF AD AV ，所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设(01)AE AV λλ=<<,可得(,,0),(0,,0),(0,0,)B a a D a E a λ-，故(,,0),(0,0,)AB a a AE a λ=-=u u u r u u u r， …………5分设(,,)x y z =m 为平面ABE 的一个法向量，则=0,=0AB AE m m u u u r u u u r g g ，可得0x y z -=⎧⎨=⎩， 令1x =可得，(1,1,0)=m ， …………………………………………………………6分又(0,),(,2,0)DE a a DB a a λ=-=-，，设(,,)x y z =n 为平面DBE 的一个法向量，则020y z x y λ-+=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(2,,1)λλ=n ，…………………………………7分故cos ,||||<>=m n m n m n g ，即cos α=8分因为AC 为VC 在平面A B C D 内的射影，所以C A V β∠=，在R t V A C ∆中，t a n2A V AC β===, ………………………………………………………9分所以tan tan αβ=tan 1α=，cos α=，…………………………10分=2，解得1=2λ或12-， …………………11分又01λ<<，所以12λ=，点E 为VA 的中点.……………………………………12分 18.解：（1）因为11n n a b +=+，11n n b a +=+，所以11()n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为1，公比为1-的等比数列，所以111(1)(1)n n n n b a ---=⋅-=-. (3)分11()2n n n n a b a b +++=++，且113a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为3，公差为2的等差数列，故32(1)21n n a b n n +=+-=+. ………………………………………6分（2）由121(1)n n n n n a b n b a -+=+⎧⎨-=-⎩，得11[1(1)]2n n b n -=++-，…………………………7分 221[1(1)]24n n n n S +=+--， ………………………………………9分所以211111()41(1)2(2)42n n S n n n n ==--+-++ ……………………10分故1111111111(1)432435112n T n n n n =-+-+-++-+--++L 3111()8412n n =-+++ 232384812n n n +=-++ ………………………12分19.解：（1）由题意可知，当19x ≤≤时，21822(1)12x x y x p px x-=--=-， (2)分当1015x ≤≤时，2152(1)8160x x y x p px =--=-， ……………………4分 所以该厂日利润23182,191215,10158160x x x xy x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-≤≤⎪⎩.…………………………5分（2）当19x ≤≤时，令222482160(12)x x y x -+'==-，解得6x =（18x =删）， ……6分当16x ≤<时，0y '>，函数单调递增， 当69x <≤时，0y '<，函数单调递减，而6x =时，max 6y =， …………………………………………………………………8分当1015x ≤≤时，令215308160x y '=-=，解得10x =， (9)分当1015x ≤≤时，0y '<，函数单调递减， 所以当10x =时，max 252y =， …………………………11分由于2562>，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为252千元. ……12分 20.解：（1）由题意可知，c =12||,||MF x MF y ==，在12F MF ∆中，22282cos 601sin 602x y a x y xy xy ⎧⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪⎪=⎪⎩oo ，…………………………………2分解得24a =，………………………………………………………………………4分 所以2222b a c =-=所以椭圆方程为22142x y +=.………………………………………………………5分 （2）联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得222(21)4240k x kmx m +++-=， …………6分22222=4)4(21)(24)8(42)0km k m k m ∆-+-=+->（，所以2242m k <+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222424,2121km m x x x x k k --+==++，…………………8分 212122242()2+22121k m my y k x x m m k k -+=++==++，而1212(,)OP OA OB x x y y =+=++，所以2242(,)2121km mP k k -++…………………9分因为点P 在椭圆上，所以22221412(+)=1421221km m k k -++）（， 整理可得：2212m k =+，满足0∆>，………………………………………………10分又12|||AB x x =-==…11分设O 到直线AB 的距离为d，则d ===， (12)分所以||2OAPBS AB d =⋅==. ……………13分21. 解：（1）∵()ln f x x =，∴1()ln g x a x x=-， 故2211()a ax g x x x x+'=+= …………………………………………………………2分因为0x >，所以当0a ≥时，()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，当1(0,),()0x g x a'∈->，函数()g x 单调递增， 当1(,+),()0x g x a'∈-∞<，函数()g x 单调递减； ……………………………4分 （2）∵对任意0x >，不等式对任意的0x >，不等式()e xf x ax ≤≤恒成立，∴ln e x x a x x ≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为max min ln e ()()x x a x x≤≤， (5)分设2ln 1ln (),()x xh x h x x x-'==，当(0,e)x ∈时，()0h x '>；当(e,+)x ∈∞时，()0h x '<，∴当e x =时，max 1()eh x =． (7)分设22e e e e (1(),()x x x x x x t x t x x x x--'===)，当(0,1)x ∈时，()0t x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0t x '>，所以1x =时，min ()e t x =，…………………………9分 即1e e a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1[,e]e………………………………………10分（3）当120x x >>时，122221212()()2f x f x x x x x x ->-+等价于112212222ln ()1x x x x x x ⋅->+．………11分令t =12x x 1>，设222()ln 1t u t t t -=-+，则22221)(+21)()(1)t t t u t t t --'=+（， ∵当1t ∈+∞（，）时，2210,+210t t t ->->，∴()0u t '> ………………………13分 ∴()u t 在1+∞（，）上单调递增，∴()(1)=0u t u >， ∴122221212()()2f x f x x x x x x ->-+． ………………………………………………………14分。