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立体几何

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（五）课后作业 1、判断题： （1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ） （1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ） 2、填空题： 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中，与 BD'成异面直线的有 ________ 条。 3、P56 习题 2.1A 组 6
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第三课时§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知能目标 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能 力。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较 好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：多媒体、长方体模型 四、教学思想 （一）课题导入 教师以生活中的实例以及课本 P53 的思考题为载体， 提出了： 空间中直线与平面有多少种位 置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、 引导学生观察、 思考身边的实物， 从而直观、 准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
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例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 （3）教材 P50 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P51 思考
让学生观察、思考： ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交 流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线 a、b，经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b，我们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫 异面直线 a 与 b 所成的角（夹角） 。
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②一般用一个希腊字母 、 、 ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的 字母 来表示如平面 ，平面 AC 等
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③两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段 画成虚线或不画（如图 2）
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锐角画成 45 ， 横边画成邻边的两倍 画两个平面相交时， 当一个平面的一部分被另一个平面
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遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
（2）强调： ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈ 0， 2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 （3）例 3 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。 （三）课堂练习 教材 P53 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。 （四）课堂小结 在师生互动中让学生了解： （1）本节课学习了哪些知识内容？ （2）计算异面直线所成的角应注意什么？
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2、 （1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体 ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与 DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例 2（多媒体）
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推理模式：
A AB ． 如图示： B
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或者：∵ A , B ，∴ AB

A B
应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦 工用直的木条刮平地面上的水泥浆．
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推理模式：
A Al A
如图示：
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或者：∵ A , A ，∴
l, A l
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应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理 3 揭示了两个平面相交的主要特征， 是判定两平面相交的依据， 提供了确定两个平 面交线的方法．
第 1 课时
§2.1.1 平面
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一、教学目标： （一）知识目标：1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2.理解平面的无限延展性 3.理解公理 1、2、3 (二) 能力目标：1.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 2 初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 3.初步应用公理 1、2、3 解决简单的点、线共线共面问题 （三）情感目标：1.提高空间想像能力 2．通过图形、符号、语言的转换体 会数学的美，激发学习兴趣 二、教学重点、难点 （一）重点:平面基本性质的三个公理 （二）难点:1.三种语言的转化 2.三个公理的简单应用 三、教 具：多媒体、实物投影仪 四、教学过程 （一）课题导入 在初中，我们主要 学习了平面图形的性质 平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图 形 平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的 点、线、面所构成的图形 这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本元素及它们之间 的关系和 简单性质 （二）新知探研 1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 一个平面把空间分成两部 分，一条直线把平面分成两部分 2.平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的
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A, B, C 不共线 推理模式： A, B, C 与 重合 A, B, C
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或者：∵ A, B, C 不共线，∴存在唯一的平面 ，使得 A, B, C . 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解， “有”说明图形存在，但不唯一， “只有一个” 说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个”既保证了 图形的存在 性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中， “确定一个 ” ， “可以作 且只 能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存 在性”和“唯一性”两方面来论证． 实例:(1)门:两个合页,一把锁 ；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚 公理 2 及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定 平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件， 这个转化使得立体几何的问题得以在确定的 平面内充分使用平面几何的知识 来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想 方法． 公理 3 如果两 个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有这些公共点的集合是一 条过该点的公共直线
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2、教学用具：多媒体、长方体模型、三角板 四、教学过程 （一）课题导入 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
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用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α L
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β α∥β
α
β
α∩β= L
教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 教材 P55 让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解 教材 P55 习 学生独立完成后教师检查、 指导 （三）归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。 （四）作业 1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。 2、教材 P56 习题 2.1 A 组第 4 题 2.3.2 平面与平面垂直的判定 教学目 标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互 相垂直”的 概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二 面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中 激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 学法与教学用具。 1、学法：实物 观察，类比归纳，语言表达。

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高中数学公式大全立体几何与空间向量

高中数学公式大全立体几何与空间向量

高中数学公式大全立体几何与空间向量高中数学公式大全：立体几何与空间向量一、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中的几何图形及其性质的分支，对于高中生来说，常见的立体几何包括了体积、表面积等方面的内容。

下面是一些常用的立体几何公式：1. 立方体体积公式立方体是一种边长相等的六个正方形围成的立体。

其体积公式为：V = 边长³。

2. 正方体体积公式正方体是一种六个面都是正方形的立体。

其体积公式为：V = 底面积 ×高。

3. 长方体体积公式长方体是一种六个面都是矩形的立体。

其体积公式为：V = 长 ×宽×高。

4. 圆柱体积公式圆柱体是一种底面为圆形的立体。

其体积公式为：V = π × 半径² ×高。

5. 圆锥体积公式圆锥体是一种底面为圆形，顶点和底面中心连线垂直于底面的立体。

其体积公式为：V = 1/3 × π × 半径² ×高。

6. 球体积公式球体是一种所有点到球心的距离都相等的立体。

其体积公式为：V= 4/3 × π × 半径³。

7. 棱柱表面积公式棱柱是一种顶面和底面是平行的多边形，侧面是平行四边形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

8. 棱锥表面积公式棱锥是一种底面为多边形，侧面是由底面上的点和顶点连线形成的三角形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

二、空间向量空间向量是指具有大小和方向的箭头，可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。

在高中数学中，空间向量常用于解决线性相关、平面垂直、平面平行等问题。

下面是一些常用的空间向量公式：1. 两点之间的距离公式设空间中的两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则两点之间的距离公式为：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

立体几何(解析版)

立体几何(解析版)

立体几何(解析版)立体几何(解析版)立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体的空间形状、尺寸以及相互关系。

通过立体几何的学习，我们可以更好地理解并描述物体的形状，并运用相关理论方法解决实际问题。

本文将以解析的方式介绍立体几何的基本概念、性质和定理，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 点、线、面的基本概念在立体几何的世界中，点、线、面是最基本的几何元素。

点是没有大小的，只有位置的几何对象。

线由无数个点组成，是长度没有宽度的几何对象。

面是由无数个点和线组成，有着长度和宽度的几何对象。

了解这些基本概念是理解立体几何的第一步。

2. 空间几何关系的性质在立体几何中，物体之间有着各种各样的空间几何关系。

例如，平行是最基本的几何关系之一。

当两条直线或两个平面在空间中永远不相交时，我们称它们为平行。

此外，垂直、相交、共面等几何关系都在立体几何中发挥着重要作用。

通过研究这些几何关系的性质，可以更好地理解物体在空间中的位置和相互关系。

3. 空间几何图形的性质和分类空间几何图形是由点、线、面组成的。

常见的空间几何图形包括球、立方体、锥体等。

每种空间几何图形都有其独特的性质和分类标准。

例如，球是由所有距离圆心相等的点组成的，而立方体则有六个平面和八个顶点等。

通过深入研究这些性质和分类标准，我们能够更好地认识和应用空间几何图形。

4. 空间几何定理及其应用在立体几何中，有许多重要的定理和定律来描述和证明空间几何图形的性质。

例如，欧几里得空间中的平行公设和垂直公设是我们研究空间几何的基础。

此外，勾股定理、皮亚诺定理、欧拉公式等也为我们解决实际问题提供了强大的工具。

在实际问题中，我们可以通过运用这些定理和定律，推导出几何图形之间的关系，解决诸如面积、体积、距离等方面的问题。

5. 立体几何的应用立体几何的应用广泛而重要。

在建筑设计中，我们需要合理利用立体几何理论，确定房屋的尺寸和结构，确保建筑的稳定和美观。

在工程测量中，立体几何被用于计算地表面积和体积，指导建设工程的施工。

高考数学(文)《立体几何》专题复习

高考数学(文)《立体几何》专题复习


(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
(完整版)立体几何初步知识点(很详细的)

(完整版)立体几何初步知识点(很详细的)

立体几何初步1、 柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行 于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2） 棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。

（3） 棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4） 圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ，其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一个矩形。

（5） 圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ，旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6） 圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴 ，旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7） 球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、 空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽 度。

3、 空间几何体的直观图一一斜二测画法斜二测画法特点： ①原来与x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；② 原来与y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。

4、 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特姝儿何体表面积公式（、c 为底面周长， h 为高， h 为斜高， l 为母线）s 直棱柱侧面积 ch s ®柱侧 2 rh s 正棱锥侧面积 -ch' 2 S 圆锥侧面积 rls 正棱台侧面积1 尹 Q )h' s 圆台侧面积 (r R) ls 圆柱表 2 r r l S i 锥表 r r l s 圆台表 r rl Rl R 2(3) 柱体、 锥体、台体的体积公式V 柱 Sh 2V 圆柱 Sh r h V 锥 ’Sh 3 1 2V 圆锥-r h 3 V 台 S 'S S)h V I 台 3(s .S 'S S)h 12 2 -(r 2rR R 2)h3 （4）球体的表面积和体积公式： V 球=4 R 3 ； S 求面=4 R 234、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。